ε ε ε ε = L e, applicando Kirchoff, ε IR L = 0 ε L di L dx dx R R R dt R dt x L Rt L Rt L Rt L t

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1 Circuiti R serie Un circuito che contiene una bobina, tipo un solenoide, ha una autoinduttanza che impedisce alla corrente di aumentare e diminuire istantaneamente. Chiudendo l interruttore a t= la corrente aumenta e la f.e.m. dell induttore ( V ab < ) sarà: di di ε = e, applicando Kirchoff, ε IR = ponendo x = ε R I, dx = di ( ) ε di dx dx R I = x + = = R R R x x x i t dx R x R = ln t x = x i ε ε ε ε x = xie I = e I = ( 1 ) e = ( 1 ) e R R R R costante di tempo del circuito R serie τ = R Rt Rt Rt t τ

2 Circuiti R serie andamento temporale della corrente è ε t τ I ( t) = ( 1 e ) R derivando si ha di ε = e di ε = = max R per t = t τ a caduta di tensione sull induttore sarà di V = = εe = εe Rt / t / τ

3 Circuiti R Analogamente ai circuiti RC RC esiste una costante di tempo che caratterizza il comportamento temporale del circuito τ R = ( τ = RC) Perchè τ R cresce per più grandi? si oppone a variazioni di corrente, e quindi rallenta il tasso di variazione. Perchè τ R diminuisce per R più grandi? Grandi R riducono la corrente finale. Grandi R dissipano l energia velocemente, velocizzano la scarica dell induttore (cioè velocizzano la perdita di corrente). R

4 Circuiti R Dopo che l interruttore è stato in posizione a per un tempo lungo, a t=, viene portato in posizione b. a I b R I legge della maglia: IR + di = ε l appropriata condizione iniziale è: a soluzione deve avere la forma: I V = ε R e Rt / I ( t di = = εe = ) Rt / = ε R

5 ε on ε off ε/r /R /R ε/r /R /R I I = ε R ( Rt / 1 e ) I I = ε R e Rt / ε t t V V di = = εe Rt/ V V di = = εe Rt/ t -ε t

6 Energia di un induttore Quanta energia è immagazzinata in un induttore quandi una corrente fluisce attraverso esso? legge della maglia: ε = moltiplichiamo per I : de P = potenza erogata batteria IR + εi = I R + di In questa equazione della conservazione dell energia (per unità di tempo), identifichiamo P, il tasso con cui l energia è immagazzinata nell induttore: du di Integriamo l equazione per trovare una P = = I espressione per U, l energia immagazzinata nell induttore quando la corrente = I : U U = I du = I potenza dissipata resistenza IdI di a ε b I R 1 U = I rapidità immagazzinamento energia (potenza) nell induttanza I

7 Dove è immagazzinata l energia? Come nel caso del condensatore (energia immagazzinata nel campo elettrico) per l induttore l energia è immagazzinata nel campo magnetico stesso. Per calcolare questa densità di energia, consideriamo il campo uniforme generato da un lungo solenoide: N B = µ I l N l induttanza vale: = µ πr l l energia U: 1 1 N 1 B U = I = µ π r I = π r l l µ a densità di energia si ottiene dividendo per il volume in cui è contenuto il campo: U 1 B u = = π r l µ l r N avvolg. Questa relazione, pur essendo stata ricaata nel caso del solenoide, è valida in ogni regione dello spazio in cui è presente un campo magnetico!

8 Applicazione mutua induzione: caricabatteria wireless per spazzolino elettrico

9 induttanza nei circuiti: Induttori in parallelo Consideriamo due induttori in parallelo i i i 1 1 Usando la legge di Kirchhoff ai nodi, si ha: induttanza equivalente si trova imponendo che tutti i 3 induttori siano alla stessa differenza di potenziale (in parallelo) di di1 di i = i1 + i = +

10 Induttori in parallelo Quindi di di1 di V = equivalente = 1 = V di di di V V = = + = + 1 equivalente 1 quindi gli induttori in parallelo si combinano come le resistenze: = + equivalente 1

11 Induttori in serie Consideriamo due induttori in serie. Entrambi gli induttori saranno attraversati dalla stessa corrente i. i i 1 Poichè la corrente è la stessa allora di/ è la stessa e la caduta di tensione sulla coppia vale: di di di V = equivalente = 1 + Quindi gli induttori in serie si combinano come resistenze in serie: = + equivalente 1

12 x z y

13 Corrente di spostamento Applichiamo il teorema di Ampere nel caso di un condensatore, considerando le sup. S 1 ed S : B id s = µ I integrale di linea è esteso a qualsiasi percorso chiuso concatenato con la corrente di conduzione. Il teorema di Ampere in questa forma è valido solo se la corrente di conduzione è continua nello spazio. Non è presente una corrente di conduzione tra le due armature! e due superfici S 1 e S, delimitate dallo stesso percorso P, danno due risultati diversi (µ I e ) Per risolvere l incongruenza Maxwell introdusse la Corrente di spostamento dφe IS ε con Φ E d = Ei A flusso campo elettrico

14 Teorema di Ampere generalizzato dφ B id s = µ ( I + IS ) = µ I + µ ε E Teorema di Ampere-Maxwell I campi magnetici sono generati sia dalle correnti di conduzione sia dai campi elettrici variabili!

15 I : Q EidA= ε II : BidA = dφb III : Eids = dφ IV : Bids = µ I + µ ε e equazioni di Maxwell E Teorema di Gauss (flusso elettrico totale attraverso superficie chiusa = carica netta) Flusso magnetico netto attraverso una superficie chiusa è nullo (teorema Gauss per il magnetismo) egge di Faraday dell induzione Teorema di Ampere generalizzato Noti i campi elettrico e magnetico, in un punto, la forza agente su una carica elettrica è data da F = qe+ qv B Questa relazione insieme alle 4 equazioni di Maxwell, fornisce una descrizione completa di tutte le interazioni elettromagnetiche classiche.

16 Onde Elettromagnetiche Maxwell dimostrò che i campi elettrici e magnetici dipendenti dal tempo soddisfano una equazione d onda. a più importante conseguenza di questa teoria è la previsione dell esistenza delle onde elettromagnetiche (campi elettrici e magnetici oscillanti). a variazione dei campi crea reciprocamente il mantenimento della propagazione dell onda: un campo elettrico variabile induce un campo magnetico e viceversa. I vettori E e B sono tra di loro e alla direzione di propagazione.

17 Calcolo equazione d onda E in una direzione E ( x + dx, t) E ( x, t) + dx x dalla I eq. Maxwell E Ei d s = E ( x + dx, t) l E ( x, t) l l dx x flusso B concatenato Φ B = Bldx dφ B db B derivando rispetto a t = ldx dx = l x= cost t sostituendo nella III eq. di Maxwell E B E B l dx = l dx = ( ) x t x t

18 Calcolo equazione d onda Consideriamo la IV eq. Maxwell B Bi d s = B ( x, t ) l B ( x + dx, t ) l = l dx x Il flusso elettrico concatenato vale Φ E = Eldx dφ E E derivando rispetto al tempo = l dx t sostituendo insieme al precedente nella IV eq. Max. B E B E l dx = ε µ l dx = ε µ x t x t derivando rispetto ad x la ( ) e sostituendo E B B E = ε = = µ x x t t x t t E E B B = ε µ e, analogamente = ε µ x t x t 1 eq. onda lineare di velocità c = ε µ E = Emax cos ( kx ωt ) π π f e soluzioni : con k = = e ω = π f B = B cos kx ωt λ c max ( )

19 Calcolo equazione d onda E E B B = ε µ e = ε µ sono eq. onda lineare di velocità c = x t x t ( ) ( ω ) E = E cos k x ω t π π f B = B cos k x t λ c max con soluzioni : con k = = e = f max ω π 1 ε µ ε 1 = µ = 4π 1 c = = ε µ T m A C N m velocità luce nel vuoto si trova che m s a luce è un onda elettromagnetica!!!

20 Calcolo equazione d onda E = kemax sin ( k x ω t) E ( ω ) ( ω ) E = E cos k x t rispetto ad x Calcolando le derivate parziali di max B = B max cos k x t rispetto ad t x B dovendo essere = kemax = ωb B x t = ωbmax sin ( k x ω t) t π πν E E essendo ω = πν e k = = si ha = c = c λ c B B max!!! max max In ogni istante, in un onda elettromagnetica, il rapporto tra il modulo del campo elettrico ed il modulo del campo magnetico è uguale alla velocità della luce!!!

21 V C U E V 1 C Circuiti C U B t 1 t t

22 Onde Hertziane Si può mettere in evidenza l esistenza delle onde elettromagnetiche previste dalla teoria di Maxwell? Sì, nel 1887 Hertz mise a punto un sistema oer per la generazione e rivelazione delle onde elettromagnetiche (onde radio).

23 Oscillazioni Elettromagnetiche Analogia con la meccanica: Rammentiamo l oscillatore meccanico massa-molla k = costante elastica -A +A d x m = kx sol.: x = Acosω t A = ampiezza delle oscillazioni

24 Oscillazioni di Energia Consideriamo un circuito C T = periodo di oscillazione Il condensatore si scarica, la corrente aumenta, l energia si trasferisce dal campo elettrico a quello magnetico. Poi il ciclo si inverte e proseguirebbe all infinito in assenza di meccanismi dissipativi.

25 Circuito C Consideriamo un semplice circuito C. Il condensatore ha una carica iniziale Q max e l interruttore viene chiuso al tempo t=. C I(t) V = Q I d t C = la caduta di tensione è C determinata dall integrale della corrente sulla capacità I(t) di V = = d Q la caduta di tensione è determinata dalla derivata della corrente per l induttanza

26 Circuito C Applichiamo la regola delle maglie al circuito C. Q di + = C dq Q d dq essendo I = si ha = C d Q 1 d x k = = C m Q analoga a x a carica nel circuito oscillerà in modo analogo alla massa con la molla: 1 ω = C 1 f = π C frequenza di risonanza

27 Esperimento di Hertz trasferimento di energia elettromagnetica Hertz trovò che l energia viene spedita dal trasmettitore al ricevitore quando la frequenza di risonanza del ricevitore veniva accordata con quella del trasmettitore. energia è trasportata da onde elettromagnetiche. Es.: radio FM, TV, telefonia radiomobile

28 Energia trasportata dalle onde elettromagnetiche Flusso di energia in un onda elettromagnetica = vettore di Poynting S 1 EB S E B poichè E B = EB si ha S = µ µ E cb B = E c da cui S = = valore istantaneo di S µ c µ Se l ' onda è sinusoidale occorre fare il valore medio temporale di cos kx t 1 Emax Bmax Emax cbmax essendo cos ( kx ωt) = si ha I = Smed = = = µ µ c µ 1 ( ) B E c 1 In termini di densità di energia ue = ε E ub = = = ε E µ µ B quindi ue = ub, u = ue + ub = ε E = µ 1 1 Bmax mediando su un ciclo umed = ε Emax = ed, inf ine, I = Smed = cumed µ intensità di un onda elettromagnetica è uguale al prodotto della densità di energia media per la velocità della luce. ( ω )

29 Spettro delle onde elettromagnetiche e onde elettromagnetiche viaggiano nel vuoto con velocità c, frequenza f e lunghezza d onda λ. I vari tipi di onde elettromagnetiche, prodotte tutte da cariche accelerate, sono mostrate in figura. Es.: onda radio di frequenza f=94.7mhz λ = c/f = 3.17 m