1. Operazioni binarie e loro proprietà.

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1 INTRODUZIONE ALLE STRUTTURE ALGEBRICHE Lo studio delle strutture algebriche astratte innanzitutto consente economia di pensiero, mediante l'unificazione in teorie generali degli esempi particolari già noti, di cui sono messi in luce gli elementi fondamentali. Inoltre fornisce strumenti e metodi per una migliore comprensione delle proprietà delle operazioni dell'algebra classica, poiché sono evidenziati, mediante l'esame di situazioni diverse, nozioni e risultati sovente di non agevole comprensione con l'approccio diretto. In queste pagine sono mostrate alcune nozioni di base ed i tipi più comuni di strutture algebriche con operazioni interne. I concetti introdotti sono accompagnati da esempi di vario livello, quasi sempre proponibili anche in una scuola secondaria superiore e talvolta anche nella scuola media inferiore. Come prerequisiti per la comprensione del testo sono richieste alcune nozioni sugli insiemi, sulle relazioni d'equivalenza e d'ordine, sulle funzioni e sui numeri. 1. Operazioni binarie e loro proprietà. Una operazione binaria (interna) in un insieme non vuoto X è una "macchina" che ad una qualunque coppia ordinata (x, y) di elementi di X associa sempre uno ed un solo "risultato" z appartenente ad X. In altri termini, una operazione in X è una applicazione (o funzione) da X X ad X. Per indicare una operazione si usano i simboli +,,, *, ecc. Di solito nelle considerazioni "astratte" si adopera il simbolo. ; in tal caso il risultato dell'operazione sulla coppia (x,y) è detto prodotto ed è indicato con x. y o più brevemente con xy. La struttura algebrica più semplice è una coppia (X, ) formata da un insieme X (non vuoto), detto sostegno della struttura, e dall'operazione binaria. su X. Se X è un insieme finito con n elementi, per definire una operazione si può costruire una tabella, simile alla tavola pitagorica, che contiene i risultati. " Per esempio, sia X = { 1,2,3 } la tabella definisce una operazione in X

2 In essa per esempio: 2 " 3 = 1, 2 "1 = 1, ecc. Ognuna delle 9 caselle interne della tavola contiene uno ed uno solo dei 3 elementi di X. Ne segue che sull'insieme X si possono definire ben 3 9 = operazioni diverse Naturalmente non tutte saranno in qualche modo interessanti. Ciò che le rende tali è la presenza di particolari proprietà. Vediamo ora un elenco delle proprietà che rendono interessante una operazione su un insieme X. Scriveremo spesso, come detto sopra, ab in luogo di a. b. 1. Proprietà associativa: per ogni a, b, c X si ha a(bc)=(ab)c. 2. Proprietà commutativa: per ogni a,b X si ha ab=ba. 3. Elemento neutro: esiste un elemento e X tale che: per ogni a X, a. e = e. a = a. 4. Elementi simmetrici (se c'è un elemento neutro e): per ogni a X esiste a' X tale che a. a' = a'. a = e. 5. Leggi di cancellazione: destra: da ab = cb segue a = c; sinistra: da ab = ac segue b = c. 6. Esistenza di operazioni inverse: destra: per ogni a,b X esiste uno ed un solo x X tale che ax = b; sinistra: per ogni a,b X esiste uno ed un solo y tale che ya = b. 7. Proprietà di idempotenza: per ogni a X si ha a. a = a. 8. Elemento assorbente: esiste u X tale che, per ogni a X, a. u = u. a = u. La lista si potrebbe allungare. Le proprietà elencate si trovano negli esempi più importanti, ma non contemporaneamente. Il primo passo è scoprire quali di queste proprietà possano coesistere, quali si escludano a vicenda, quali siano conseguenza di altre. Alcune relazioni tra queste proprietà si scoprono facilmente perché sono conseguenza immediata delle definizioni. Per esempio in una struttura (X, ) vi è al massimo un elemento neutro: difatti dati per assurdo due elementi neutri e 1 ed e 2, si avrebbe e. 1 e 2 = e 2, poiché e 1 è elemento neutro, ma anche e. 1 e 2 = e 1 poiché anche e 2 è elemento neutro, dunque per l'unicità del prodotto si avrebbe un assurdo. Per questo è possibile usare l'articolo determinativo "lo". L'elemento neutro di solito viene indicato con 1 X. Allo stesso modo si prova che vi è al più un elemento assorbente. Inoltre, se l'operazione è associativa, ogni elemento ha un solo simmetrico. La presenza delle proprietà 1, 3, 4 implica la presenza delle 5, 6 e (se X ha più di un 2

3 elemento) l'assenza delle 7, 8, mentre la 2 può valere o no. Per altro le 5, 6 non implicano la 4, ecc. Alcuni esempi di strutture algebriche note chiariranno meglio la situazione; indichiamo con N, Z, Q, R, C rispettivamente gli insiemi dei numeri naturali (compreso lo zero), interi relativi, razionali, reali, complessi. 1.I. (N, +) ha le proprietà 1, 2, 3, 5. L'elemento neutro è lo zero. 1.II. (Z,+), (Q,+), (R,+) hanno le proprietà 1, 2, 3, 4, 5, 6. L'elemento neutro è lo zero, ogni elemento x ha un simmetrico -x, detto opposto di x. 1.III. (N, ) ha le proprietà 1, 2, 3, 8. L'elemento neutro è 1, l'elemento assorbente è lo zero. 1.IV. (N, MCD), dove MCD indica il massimo comune divisore, ha le proprietà 1, 2, 3, 7, 8. L'elemento neutro è lo zero, l'elemento assorbente è 1. 1.V. Sia (X) l'insieme dei sottoinsiemi di un insieme X e sia l'unione insiemistica: ( (X), ) possiede le proprietà 1, 2, 3, 7, 8. L'elemento neutro è il vuoto, l'elemento assorbente è X. 1.VI. Sia X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Le tavole seguenti definiscono quattro operazioni in X: la prima possiede le proprietà 1, 3, 4, 5, 6; la seconda le proprietà 1, 2, 3, 7, 8; la terza le proprietà 2,3, 4, 5, 6; l'ultima le proprietà 3, 5, ^ * Alcune delle proprietà si possono leggere direttamente sulla tavola: a) La proprietà commutativa si traduce nella simmetria della tavola rispetto alla diagonale che esce dal vertice in alto a sinistra (diagonale principale). 3

4 b) L'elemento neutro dà luogo ad una riga e ad una colonna (nella stessa posizione) uguali rispettivamente alla riga sopra la tavola ed alla colonna a sinistra della tavola. c) La legge di cancellazione assicura che in ogni riga e colonna ogni elemento compare una volta sola. d) Ogni elemento ha un simmetrico se e solo se in ogni riga e colonna compare l'elemento neutro e se le posizioni da esso occupate sono simmetriche rispetto alla diagonale principale. e) L'idempotenza si traduce nel fatto che la diagonale principale è uguale alla colonna a sinistra della tavola. f) L'elemento assorbente ha solo se stesso nella sua riga e nella sua colonna. Un discorso a parte si deve fare per la proprietà associativa: è la proprietà più importante, ma è la più difficile da leggere sulla tavola. Nel seguito vedremo perché la prima tavola dell'esempio 1.vi) dia luogo ad una operazione associativa; la seconda operazione è: x y = minore tra x ed y, per ogni x,y X, ed è associativa. Per la terza basta qualche prova per trovare una terna non associativa: (2*3)*4 = 4*4 = 1, mentre 2*(3*4) = 2*6 = 3; si noti che ogni elemento è inverso di se stesso. La quarta operazione non è associativa e l'elemento 4 ha inverso destro diverso dall'inverso sinistro: 4 5=1, 6 4=1. 2. Operazioni finitarie e strutture algebriche La parte dell'algebra che studia le proprietà generali delle strutture algebriche si chiama "Algebra universale". Essa prende in considerazione anche operazioni con un numero di fattori diverso da due; per esempio le operazioni ternarie che operano su tre fattori, e così via. Si definisce poi operazione unaria su X ogni funzione da X ad X ed operazione zeroaria ogni elemento di X (per es. l'elemento neutro). Chiameremo sinteticamente operazione finitaria su X una operazione n-aria, con n intero 0. Una struttura algebrica operazioni finitarie: è una sequenza formata da un insieme e da una o più X, f 1, f 2,K, f r ( ). Vediamo ora una breve lista delle più comuni specie di strutture algebriche e per ciascuna alcuni esempi ed alcune nozioni. Osserviamo che, quando non vi sia pericolo di ambiguità, una struttura algebrica X, f 1, f 2,K, f r viene denotata anche solo con X. ( ) 2.I. Semigruppo (S,. ): l'operazione. è associativa. 4

5 Un esempio è ({n N n 1}, +); un altro esempio è l'insieme dei monomi non costanti con l'operazione di moltiplicazione. Una nozione che si può introdurre in un semigruppo è quella di potenza. Sia (S,. ) un semigruppo e sia x S. Poniamo x 1 =x e per ogni altro n N, n>1, poniamo: x n = x n-1. x. Valgono per queste potenze le due proprietà seguenti: per ogni m,n N, m,n 1, e per ogni x S si ha x m. x n = x m+n e (x m ) n = x mn. Si noti che se xy = yx allora per ogni n N si ha (xy) n = x n y n. Sulla nozione di potenza torneremo fra breve trattando di monoidi e di gruppi. Nota. Se l'operazione è indicata con + allora si usa il termine multipli anziché potenze e in tal caso si scrive nx anziché x n. 2.II. Monoide (M,.,1 M ): l'operazione. è associativa ed 1 M ne è l'elemento neutro. Un esempio è (N,+,0), un altro è (N,.,1). Vediamo altri due esempi: - I monoidi delle parole: sia A un insieme finito di oggetti che chiameremo lettere; con esse formiamo delle sequenze finite, le parole nell'alfabeto A. Consideriamo anche la parola vuota, indicata per esempio con ø. Sia F A l'insieme delle parole nell'alfabeto A, compresa la parola vuota, e definiamo in esso la seguente operazione: date due parole w 1 e w 2, giustapponiamo la seconda alla prima ottenendo una nuova parola formata dalla sequenza delle lettere della prima e della seconda. Per esempio, se w 1 ="abba" e w 2 ="cabad", la parola ottenuta è w="abbacabad". Indichiamo con questa operazione, detta concatenazione di parole: essa possiede la proprietà associativa e la parola vuota è il suo elemento neutro. Pertanto (F A,, ø) è un monoide, detto monoide delle parole nell'alfabeto A. Tale monoide ha in ogni caso infiniti elementi. - I monoidi delle funzioni: sia X un insieme non vuoto e sia X X l'insieme delle funzioni da X in sé; definiamo in X X la seguente operazione, detta composizione di funzioni: siano f, g X X ; per ogni x X siano y = f(x) e z = g(y): poniamo (g f)(x) = z. Si può dimostrare che questa operazione è associativa e che ha per elemento neutro la funzione identità id X che ad ogni x X associa se stesso. Il monoide (X X,, id X ) si chiama monoide delle funzioni di X. Se X ha n elementi, dal calcolo combinatorio sappiamo che esso possiede n n elementi. 5

6 Una proprietà dei monoidi è l'unicità dell'eventuale simmetrico di un elemento: se x ha due simmetrici x' ed x" si ha: x'=x'. 1 M = x'. (x.x") = (x'. x). x" = 1. M x" = x", cioè x'=x". In un monoide si può inoltre ampliare la nozione di potenza ponendo x 0 =1 M. Le proprietà delle potenze enunciate per i semigruppi continuano a valere anche se qualche esponente è nullo. 2.III. Gruppo (G,.,1 G,'): l'operazione. è associativa, 1 G è l'elemento neutro e ogni elemento x ha il simmetrico x' (con l'apice ' indichiamo la funzione, cioè l'operazione unaria, che ad ogni x associa il suo simmetrico x'). Se l'operazione. possiede anche la proprietà commutativa il gruppo si dice abeliano. Di solito nei testi di algebra un gruppo è indicato soltanto con (G,. ). Esempi di gruppi abeliani sono (usando la scrittura abbreviata): (Z,+), (Q,+), (Q*,. ) dove con Q* indichiamo l'insieme dei numeri razionali non nulli e con. l'usuale moltiplicazione. Il gruppo ({1,-1},. ) (sempre indicando con. l'usuale moltiplicazione) è un esempio di gruppo finito con 2 elementi. Costruiamo ora altri esempi di gruppi finiti: - I gruppi simmetrici (S X, ): sia X un insieme non vuoto e sia S X l'insieme delle biiezioni dell'insieme X su di sé (permutazioni di X). L'operazione è la composizione di funzioni: essa è una operazione in S X poiché si può dimostrare che componendo due permutazioni si ottiene come risultato una permutazione. L'elemento neutro è l'identità su X ed ogni permutazione a possiede una simmetrica a', detta permutazione inversa, tale che se a(x) = y allora a'(y) = x. Se come insieme X scegliamo l'insieme {1,..., n}, il gruppo simmetrico S X si denota con S n. Dal calcolo combinatorio sappiamo che S n possiede n= 1 "2 "Ln elementi. La prima delle quattro tavole di moltiplicazione dell'esempio 1.VI è la tavola del gruppo simmetrico (S 3, ), che ha 6 elementi e non è abeliano, come già abbiamo osservato. Più in generale, non è difficile verificare che, se n è maggiore di 2, il gruppo (S n, ) non è abeliano. - I gruppi diedrali (D n, ): dato un poligono regolare con n lati (n 3), vi sono 2n isometrie (o congruenze) del piano che lo trasformano in sé, come sappiamo dalla geometria; esse sono: le n rotazioni di ampiezza 2k", 0 # k # n $1, intorno al centro O del poligono e le n simmetrie assiali n rispetto agli n assi di simmetria del poligono (tutti passanti per O). L'insieme di tali isometrie si indica con D n, (D 2n su qualche testo) e si può dimostrare che la composizione di due elementi di D n è ancora un elemento di D n. 6

7 L'elemento neutro è la funzione identità del piano, identificabile come la rotazione di ampiezza nulla intorno ad O. Se r è una rotazione di ampiezza 2k" n, la sua simmetrica è la rotazione di ampiezza ( ) # 2 n " k n ; mentre ogni simmetria assiale ha per simmetrica se stessa. Il gruppo D n ha 2n elementi e si vede facilmente che non è abeliano. L'operazione. di un gruppo (G,. ) possiede le proprietà 5 e 6 delle lista iniziale (legge di cancellazione ed esistenza delle operazioni inverse). Si noti in particolare che se l'operazione non è commutativa non è detto che le due "equazioni" ax = b e ya = b abbiano la stessa soluzione: se indichiamo con a' il simmetrico di a, si ha infatti x = a'b, mentre y = ba' e può accadere che a'b sia diverso da ba'. In G si possono definire inoltre anche le potenze con esponente intero negativo: se x G e x' è il suo simmetrico, per ogni n N, n > 0, poniamo x "n = x # ( ) n. In tal modo, x -1 = x' e per questo il simmetrico di x è usualmente denotato con x -1. Inoltre valgono anche in questo nuovo caso le proprietà già viste per le potenze in un monoide. L'insieme delle potenze ad esponente intero relativo di un elemento x si denota con x. Il numero di elementi di questo insieme si chiama periodo di x. Per esempio, nel gruppo (D n, ) ogni simmetria ha periodo 2, la 2" rotazione di ampiezza ha periodo n e le altre rotazioni sono le sue potenze. n Nel gruppo (Z,+) ogni elemento diverso da 0 ha periodo infinito; si ha inoltre 1 = Z (ricordiamo che se l'operazione è indicata con + si parla di multipli anziché di potenze). Quando in un gruppo (G,. ) vi è un elemento x tale che (Z,+) è ciclico, generato da 1. Un gruppo ciclico è sempre abeliano. x = G allora il gruppo si dice ciclico ed x si chiama generatore di G. Con questa terminologia, 2.IV. Anello (A,+,.,1 A ): (A,+) = (A,+, 0 A, -) è un gruppo abeliano; (A,., 1 A ) è un monoide e valgono le due proprietà distributive (destra e sinistra) di. rispetto a +, ossia: per ogni a, b, c A, (a+b)c = ac+bc e a(b+c) = ab+ac. Se l'operazione. è commutativa l'anello si dice commutativo. (Z,+,.,1) è un anello commutativo. Vediamo altri esempi: 7

8 - Anelli di funzioni: siano X un insieme ed (A,+,.,1 A ) un anello. Nell'insieme A X costituito dalle funzioni da X ad A definiamo le seguenti operazioni, dette operazioni punto per punto: se f,g A X, per ogni x X poniamo $ ( f + ( x ) = f ( x ) + g ( x & ) % ( f " g) ( x ) = f ( x ) " g ( x ). Consideriamo inoltre le due funzioni costanti O ed 1 tali & '& (#f ) ( x ) = #f ( x ) che O(x) = 0 A ed 1(x)=1 A per ogni x X. Si prova facilmente che con queste operazioni A X è un anello in cui O è l'elemento neutro di + e 1 quello di.. Se l'anello A è commutativo lo è anche l'anello delle funzioni. - Anelli di successioni: Sia A un anello commutativo e consideriamo l'insieme A N delle successioni, cioè delle funzioni da N ad A. Definiamo in esso la seguente moltiplicazione (detta convoluzione): se f,g A N poniamo: per ogni n N, (f.g)(n) = f(0)g(n)+f(1)g(n-1)+f(2)g(n-2)+...+f(n)g(0). Questa operazione è associativa ed ha per elemento neutro la funzione 1 che a 0 associa 1 A e agli altri n> 0 associa 0 A. Indichiamo poi con + l'addizione punto per punto: (A N, +,, 1) è un anello commutativo. - Aritmetiche finite: sia m Z, m > 1 e sia A m = {0,1,...,m-1}. In questo insieme definiamo le seguenti operazioni: # a + m b = resto della divisione di a + b per m $ % a " m b = resto della divisione di a " b per m L'elemento neutro di + m è 0, quello di " m è 1; l'opposto di x è m-x. Si ottiene un anello commutativo con m elementi. Interessante è il caso di m = 12, perché dà luogo all'aritmetica dell'orologio. Qui sotto vediamo le tavole di addizione e moltiplicazione di A 6 : In un anello (A,+,.,1 A ) si ha sempre x. 0 A = 0. A x = 0A. Un anello si dice integro se vale la legge di annullamento del prodotto: x. y = 0 A solo se x = 0 A oppure y = 0 A. Per esempio, (Z,+,.,1) è integro, mentre ( A 6, + 6, " 6,1) non lo è, in quanto 3 " m 2=0; si noti che in questo anello l'equazione 3x 2 =3x ha 6 soluzioni 8

9 Gli elementi di un anello che hanno l'inverso rispetto alla moltiplicazione. si dicono elementi unitari e costituiscono un gruppo (U A,.,1 A ), detto gruppo delle unità dell'anello. Nel caso di Z gli elementi unitari sono solo 1 e -1. Nel caso di A 6 gli elementi unitari sono 1 e 5, cioè quelli primi con 6. (Si potrà generalizzare ad un numero m qualsiasi?). In un anello (A,+,.,1 A ) il periodo di 1 A nel gruppo additivo (A,+) si chiama caratteristica di A. Per esempio Z ha caratteristica infinita (e si usa dire che ha caratteristica zero), mentre A 6 e l'anello delle funzioni da un insieme qualunque X ø ad A 6 hanno caratteristica 6. Se l'anello è commutativo ed integro allora si può dimostrare che la caratteristica o è zero oppure è un numero primo. Divisibilità in un anello. Dati a,b in un anello (A,+,.,1 A ), si dice che a è multiplo di b e che b è divisore di a se esiste c A tale che a = bc. Se a, b A, si chiama massimo comune divisore di a e b ogni elemento d tale che: (1) d è divisore di a e b (2) ogni altro divisore comune c di a e b è divisore anche di d. Analogamente si può dare la nozione di minimo comune multiplo. Non è detto però che in un anello qualsiasi ogni coppia di elementi possieda un massimo comune divisore o un minimo comune multiplo. Nell'anello degli interi le due nozioni seguenti sono equivalenti: un elemento i Z si dice indecomponibile se quando risulta i = xy allora uno dei due fattori x oppure y è unitario (cioè, nel caso di Z, vale ±1). Un elemento p si dice primo se tutte le volte che divide un prodotto xy allora divide almeno uno dei fattori. Si prova facilmente che ogni primo è anche indecomponibile, ma vi sono anelli in cui non vale il viceversa. Per esempio, sia $ ' A = % z " C z = a + b #5, a, b " Z( : è un sottoinsieme del campo complesso ed è & ) un anello rispetto alle operazioni del campo complesso stesso. L'elemento # & 3 = "5 di A è indecomponibile: infatti l'equazione % x + y "5 $ ' ( ) # z + t "5 & % ( = 3 $ ' non ha soluzioni intere se non quelle ovvie con y = t = 0 e xz = 3. D'altra parte, # & 3 divide "5 = % 2 + "5 $ ' ( ) # 4 + "5 & % ( senza dividere nessuno dei due fattori, $ ' quindi non è primo. Lo stesso esempio prova che in questo anello vi sono elementi che si possono scomporre in fattori indecomponibili in più modi essenzialmente diversi fra loro. Da quanto precede si può comprendere come lo studio di vari tipi di anelli consenta un'analisi più approfondita delle nozioni classiche della teoria della divisibilità. 9

10 2.V. Campo (F,+,. ): è un anello commutativo in cui tutti gli elementi diversi da 0 F sono invertibili. Posto F* = F\{0 F }, si ha che (F*,. ) è un gruppo abeliano, coincidente con il gruppo U F degli elementi invertibili. Un campo è un anello integro, quindi ha caratteristica 0 oppure un numero primo p. Esempi di campi sono Q, R, C e l'aritmetica finita A p, con p primo. Ampliamento quadratico di un campo. Sia K un campo e sia u K che non sia il *, # a b " u&., quadrato di altri elementi di K. Consideriamo l insieme F = + % ( a, b ) K/ -, $ b a ' 0,. Rispetto alle usuali operazioni con le matrici, si vede facilmente che F è un anello con unità e commutativo. Di più, poiché il determinante è " = a 2 # u $ b 2 ed u non è un quadrato in K, allora solo la matrice nulla è non invertibile. # a b " u& )1 Escluso questo caso, si ha % ( = 1 # a )bu& % ( + F. Pertanto, F è un campo. $ b a ' * $ )b a ' ) + " a 0% - + Si noti che il sottoinsieme delle matrici scalari * $ ' a ( K. forma a sua 0 a, + # & / + " volta un campo, identificabile con K. Posto i = 0 u % $ ', si ha i 2 " = u 0 % $ ' ( u. 1 0 # & # 0 u& Nel caso di K = R, u = -1, si ottiene sostanzialmente il campo complesso C. Un campo finito con q elementi si denota con GF(q). La sua caratteristica è necessariamente un numero primo p e si può dimostrare che si ha sempre q = p n per un opportuno n > 0. Si può anche dimostrare che per ogni primo p e per ogni n 1 esiste uno e "sostanzialmente" un solo campo di ordine p n. 2.VI Reticolo (R,, ), dove e sono operazioni binarie associative, commutative e tali che per ogni a, b " R si ha: a a = a = a a (idempotenza delle due operazioni) a (a b) = a = a (a b) (legge di assorbimento). Due esempi di reticoli costruiti sull'insieme dei numeri naturali sono: - (N, MCD, mcm), in cui le due operazioni hanno anche elementi neutri (0 e 1 rispettivamente) e le due operazioni sono anche distributive l'una rispetto all'altra; - (N, max, min), dove max{a, b} e min{a, b} indicano rispettivamente il più 10

11 grande ed il più piccolo fra a e b. In quest'ultimo, solo max ha elemento neutro, lo zero. Gli (eventuali) elementi neutri di ed si indicano con 0 R ed 1 R rispettivamente. Un reticolo si dice complementato se ha gli elementi neutri e per ogni elemento x esiste un elemento x' tale che x x' = 1 R, x x' = 0 R. Un reticolo si dice distributivo se le due operazioni sono distributive l'una rispetto all'altra. Se è anche complementato, ogni suo elemento ha un solo complemento. Un reticolo si dice infine algebra di Boole se è distributivo e complementato, e si indica in tal caso con (A,,, 0 A, 1 A, '). Per esempio, se X è un insieme e "(X) è l'insieme dei suoi sottoinsiemi, ("(X), #, $, %, X,&) è un'algebra di Boole (indicando con Y' il complementare di un sottoinsieme Y di X). Un altro esempio è fornito dall'insieme D = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} dei divisori di 30: indicando con x' il quoziente 30/x, si ha che (D, MCD, mcm, 30, 1, ') è un'algebra di Boole. Si può dimostrare che un'algebra di Boole finita ha 2 n elementi, per un n " N opportuno. In un'algebra di Boole (A,,, 0 A, 1 A, ') definiamo la seguente operazione, detta differenza simmetrica: x+y = (x y') (x' y): si può dimostrare che (A, +) è un gruppo abeliano e che (A, +,, 1 A ) è un anello, detto anello di Boole. In esso ogni elemento è opposto di se stesso (cioè A ha caratteristica 2) ed è il quadrato di se stesso, ossia A è idempotente. Inversamente, da ogni anello di Boole si può costruire un'algebra di Boole ponendo x " y = x # y, x $ y = x + y + x # y, x % = 1 A + x. In un reticolo (R,, ) poniamo: x y se x y = x. Si può dimostrare che la relazione è un ordine in R, tale che per ogni a,b " R si ha $ sup(a, b) = a " b %. & inf(a, b) = a # b Per esempio, in (N, mcm, MCD) la relazione d'ordine associata è "a è divisore di b"; in ("(X), #, $ ) la relazione è "A è sottoinsieme di B". Inversamente, ogni insieme ordinato (R, ) nel quale per ogni coppia {x, y} di elementi esistano l'estremo superiore ed inferiore, è un reticolo in cui x y = sup{x, y} ed x y = inf{x, y}. In particolare, ogni insieme totalmente ordinato è un reticolo 11

12 ed è distributivo. Un insieme ordinato (X, ) è spesso chiamato poset. I reticoli sono quindi dei particolari poset. Nel caso finito è possibile rappresentare un poset mediante un diagramma di Hasse. Esso è basato sulla relazione seguente, detta di copertura: "x, y # X, x p y se x < y e non esiste z X, x < z < y. Nel diagramma gli elementi di X sono rappresentati mediante punti, con le condizioni seguenti: se x < y allora x è più in basso di y e una linea collega x ed y se x p y. In figura i diagrammi di Hasse dell insieme dei divisori di 12 ordinato sia mediante l ordine naturale di N sia mediante la relazione è divisore di. fig NOTA. Gli argomenti sopra esposti si trovano in parte anche nei libri di scuola secondaria, corredati da esercizi di vario livello di difficoltà e da cenni storici opportuni. La simbologia non è uniforme e talora anche alcune definizioni possono differire da un testo all'altro: per esempio nella definizione di anello in molti testi non è richiesta la presenza dell'elemento neutro moltiplicativo. 12