4. Operazioni binarie, gruppi e campi.

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1 1 4. Operazioni binarie, gruppi e campi. 4.1 Definizione. Diremo - operazione binaria ovunque definita in A B a valori in C ogni funzione f : A B C - operazione binaria ovunque definita in A a valori in C ogni funzione f : A A C - operazione binaria ovunque definita ed interna ad A ogni funzione f : A A A 4.2 Definizione. Sia un operazione binaria ovunque definita in A B a valori in C. Dalla definizione, si ha che ogni coppia ordinata (x, y) di A B ha un unica immagine z in C. Invece di (x, y) = z scriveremo x y = z e diremo che z è il risultato dell operazione tra x e y (in quest ordine). Tenendo conto dell unicità del risultato si ha che: (U1) x,y A, z B x = y x z = y z (U2) z A, x,y B x = y z x = z y 4.3 Definizione. Diremo gruppo una coppia (G, ) dove G è un insieme non vuoto e è un operazione binaria ovunque definita ed interna ad G tale che valgano le proprietà seguenti: (G1) a,b,c G (a b) c = a (b c) (si dice che è associativa) (G2) h G : a G a h = a = h a (si dice che h è l elemento neutro rispetto a ) (G3) a G a G : a a = h = a a (a si dice simmetrico di a rispetto a ) 4.4 Definizione. Un gruppo (G, ) si dice abeliano o commutativo se vale la proprietà seguente: (G4) a,b G a b = b a (si dice che è commutativa) 4.5 Esempio. Sia R l insieme dei numeri reali. Le classiche operazioni + e di somma e prodotto tra due numeri reali sono due operazioni binarie ovunque definite ed interne a R. Inoltre, tali operazioni sono sia associative che commutative. Rispetto a + esiste il numero reale zero 0 che si comporta da elemento neutro e per ogni numero reale x esiste il suo simmetrico (opposto) -x. Quindi, la coppia (R, +) è un gruppo abeliano. Rispetto a esiste il numero reale uno 1 che si comporta da elemento neutro e per ogni numero reale x 0 esiste il suo simmetrico (inverso) x -1. Quindi, la coppia (R-{0}, ) è un gruppo abeliano.

2 2 4.6 Teorema. Se (G, ) è un gruppo allora valgono anche le proprietà seguenti: (G5) l elemento neutro h è unico (G6) a G il simmetrico a di a è unico (G7) Se a è il simmetrico di a allora il simmetrico di a è a, cioè, a = a (G8) a,b,c G a b = c b = a c (spostabilità attraverso = dalla sinistra di ) (G9) a,b,c G a b = c a = c b (spostabilità attraverso = dalla destra di ) (G10) a,b,c G c a = c b a = b (cancellabilità a sinistra rispetto a ) (G11) a,b,c G a c = b c a = b (cancellabilità a destra rispetto a ) (G12) a G a a = a a = h Dimostrazione. (G5) Se k G è un altro elemento neutro, allora h k = h. Ma, per (G2) è anche h k = k. Essendo unico il risultato dell operazione h k si ha che h = k. (G6) Supponiamo che, oltre ad a, esista un altro simmetrico a di a; quindi a a = h = a a h = a a a h = a (a a ) a h = (a a) a a = h a a = a (G7) da (G3) si ha che a è il simmetrico di a; per (G6) il simmetrico è unico, quindi a = a (G8) a b = c (G3 e U2) a (a b) = a c (G1) (a a) b = a c (G3) h b = a c (G2) b = a c (G9) a b = c (G3 e U1) (a b) b = c b (G1) a (b b) = c b (G3) a h = c b (G2) a = c b (G10) c a = c b (G8) a = c (c b) (G1) a = (c c) b (G3) a = h b (G2) a=b (G11) a c = b c (G9) a = (b c) c (G1) a = b (c c) (G3) a = b h (G2) a=b (G12) ovviamente h h = h; a a = a (G2) a a = a h (G10) a = h 4.7 Definizione. Diremo che una terna (K,, ) è un campo se valgono le seguenti proprietà: (C1) e sono due operazioni binarie ovunque definite ed interne a K; (C2) (K, ) è un gruppo abeliano (C3) (K-{h}, ) è un gruppo abeliano (dove h l elemento neutro rispetto a ) (C4) a,b,c K a (b c) = (a b) (a c) (si dice che è distributiva rispetto a ) 4.8 Esempio. La terna (R, +, ) è un campo. Infatti, abbiamo già visto che sono soddisfatte le proprietà (C1), (C2) e (C3). Inoltre, per i numeri reali vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma, cioè: a,b,c R a(b + c) = (ab) + (ac). Nel seguito indicheremo brevemente con R il campo dei numeri reali (R, +, ).

3 5. Spazi vettoriali reali Definizione. Indicato con R il campo dei numeri reali, diremo spazio vettoriale reale una terna (V,, *) dove (V, ) è un gruppo abeliano e : R V V è un operazione tale che: (PS1) α R, u, v V α (u v) = (α u) (α v) (distributività di * rispetto a ) (PS2) α, β R, u V (α+β) u = (α u) (β u) (distributività di * rispetto a +) (PS3) α, β R, u V (αβ) u = α (β u) (associatività mista ) (PS4) u V 1 u = u (1 è elemento neutro rispetto a *) Gli elementi di V si diranno vettori, mentre quelli di R scalari. Quindi, l operazione : R V V è un operazione tra uno scalare e un vettore il cui (unico) risultato è un vettore. 5.2 Teorema. Se (V,, ) è uno spazio vettoriale reale, allora valgono anche le proprietà seguenti: (PS5) u V 0 u = h (dove h indica l elemento neutro rispetto a ) (PS6) α R α h = h (PS7) α R, u V α u = h et α 0 u = h (PS8) α R, u V α u = h α = 0 vel u = h (PS9) u V (-1) u = u (dove u è il simmetrico dell elemento u) (PS10) u V (-α) u = α u (dove α u è il simmetrico dell elemento α u) (PS11) α R, u, v V α u = α v et α 0 u = v (cancellabilità di α 0) (PS12) α, β R, u V α u = β u et u h α = β (cancellabilità di u h) Dimostrazione. (PS5) (0+0) = 0 (U1) (0+0) u = 0 u (PS2) (0 u) (0 u) = 0 u (G12) 0 u = h (PS6) (G12) (h h) = h (U2) α (h h) = α h (PS1) (α h) (α h) = α h (G12) α h = h (PS7) α u = h et α 0 (U2) α -1 (α u) = α -1 h (PS3 e PS6) (α -1 α) u = h 1 u = h (PS4) u = h (PS8) immediata conseguenza di (PS5), (PS6) e (PS7) (PS9) [1+(-1)] = 0 (U1) [1+(-1)] u = 0 u (PS2 e PS5) (1 u) [(-1) u] = h (PS4) u [(-1) u] = h [(-1) u] è simmetrico di u (G6) (-1) u = u (PS10) (-α) u = [(-1)α] u = (PS3) = (-1) (α u) = (PS9) = α u (PS11) α u = α v et α 0 (U2) α -1 (α u) = α -1 (α v) (PS3) (α -1 α) u = (α -1 α) v 1 u = 1 v (PS4) u = v (PS12) α u = β u (G3) (α u) (β u) = h (PS10) (α u) [(-β) u] = h (PS2) [α+(-β)] u = h [α+(-β)] u = h et u h (PS8) [α+(-β)] = 0 α = β

4 6. Quattro esempi di spazi vettoriali reali Le funzioni reali di variabile reale Osservazione. Siano R A B e S A B due relazioni tra gli (stessi) insiemi A e B. Ovviamente, le due relazioni R e S (in quanto sottoinsiemi di A B) sono uguali (R = S) se e solo se contengono le stesse coppie di A B, ovvero per ogni (a, b) A B si ha che che è la stessa cosa che (a, b) R (a, b) S arb asb Tenendo conto di quanto appena detto, per le funzioni si ha la seguente Osservazione. Date due funzioni f : A B e g : A B si ha che f = g a A f(a) = g(a) Ovvero, due funzioni f e g definite su di uno stesso insieme A e a valori in uno stesso insieme B sono uguali se e solo se per ogni elemento a di A si ha che la sua immagine f(a) tramite f è uguale alla sua immagine g(a) tramite g Definizione. Se I R allora f : I R si dice funzione reale di variabile reale definita in I. Col simbolo I I (R) indicheremo l insieme delle funzioni reali di variabile reale definite in I Osservazione. Si noti che se I J R allora I R (R) I J (R) I I (R) Definizione. Col simbolo e indicheremo la funzione di I I (R) così definita: x I e(x)=0 R Definizione. Per ogni f I I (R) col simbolo (-f) indicheremo la funzione di I I (R) così definita: x I (-f)(x) := -f(x) R

5 Osservazione. Siano f,g I I (R). Per ogni x I è univocamente (poiché la somma di due numeri reali è un operazione binaria ovunque definita ed interna a R) determinato il numero reale f(x) + g(x). Quindi, possiamo definire univocamente una funzione h I I (R) nel modo seguente: x I h(x) := f(x) + g(x) Per l osservazione precedente è ben posta la seguente: Definizione. Sia : I I (R) I I (R) I I (R) l operazione binaria ovunque definita ed interna a I I (R) definita nel modo seguente: f, g I I (R) f g := h dove per ogni x I si ha che h(x) := f(x) + g(x). Quindi, (f g)(x) = f(x) + g(x). Possiamo, ora, provare il seguente Lemma. La coppia (I I (R), ) è un gruppo abeliano. Dimostrazione. Tenendo conto delle proprietà del campo R si prova facilmente che: (G1) f, g, h I I (R) (f g) h = f (g h) ((f g) h)(x) = (f g)(x) + h(x) = (f(x) + g(x)) + h(x) = = f(x) + (g(x) + h(x)) = (f(x) + (g h)(x)) = (f (g h))(x) (G2) e I I (R) f I I (R) f e = f = e f (f e)(x) = f(x) + e(x) = f(x) + 0 = f(x) = 0 + f(x) = e(x) + f(x) = (e f)(x) (G3) f I I (R) (-f) I I (R) f (-f) = e = (-f) f (f (-f))(x) = f(x) + (-f)(x) = f(x) + (-f(x)) = 0 = e(x) ((-f) f)(x) = (-f)(x) + f(x) = -f(x) + f(x) = 0 = e(x) (G4) f, g I I (R) f g = g f (f g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g f)(x)

6 Osservazione. Siano α R e f I I (R). Per ogni x I è univocamente (poiché il prodotto di due numeri reali è un operazione binaria ovunque definita ed interna a R) determinato il numero reale αf(x). Quindi, possiamo definire una univocamente una funzione h I I (R) nel modo seguente: x I g(x) := αf(x) Per l osservazione precedente possiamo dare la seguente Definizione. Sia : R I I (R) I I (R) l operazione l operazione binaria ovunque definita tra uno scalare e una funzione reale di variabile reale definita in I a valori in I I (R) così definita: α R, f I I (R) α f := g dove per ogni x I si ha che g(x) := αf(x). Quindi, (α f)(x) = αf(x) Possiamo, ora, provare il seguente TEOREMA. La terna (I I (R),, ) è uno spazio vettoriale reale. Dimostrazione. Abbiamo già provato che (I I (R), ) è un gruppo abeliano. Tenendo conto delle proprietà del campo R si prova facilmente che: (PS1) α R, f,g I I (R) α (f g) = (α f) (α g) (α (f g))(x) = α(f g)(x) = α(f(x) + g(x)) = (αf(x)) + (αg(x)) = = (α f)(x) + (α g)(x) =((α f) (α g))(x) (PS2) α,β R, f I I (R) (α+β) f = (α f) (β f) ((α+β) f)(x) = (α+β)(f(x)) = (αf(x)) + (βf(x)) = = (α f)(x) + (β f)(x) =((α f) (β f))(x) (PS3) α,β R, f I I (R) (αβ) f = α (β f) ((αβ) f)(x) = (αβ)(f(x)) = α(βf(x)) = α((β f)(x)) = (α (β f))(x) (PS4) f I I (R) (1 f)(x) = 1f(x) = f(x) 1 f = f