Il gruppo dei vettori

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1 Capitolo Terzo Il gruppo dei vettori 3.1. Le strutture di gruppo e di corpo Un operazione binaria (1) definita in un insieme è un applicazione fra il quadrato cartesiano dell insieme e l insieme stesso, così che agli elementi costituenti una coppia, nell ordine il primo operando e il secondo operando, si associa in modo univoco un elemento, il risultato dell operazione. Se A è l insieme e è l operazione binaria definita, per ogni(a 1, a 2 ) A A, esiste ed è unico a A immagine di quella coppia mediante. Nel linguaggio delle applicazioni si scrive indifferentemente: : (a 1, a 2 ) a, (a 1, a 2 ) = a. Per indicare il risultato a dell operazione sugli operandi a 1, a 2 si preferisce, tuttavia, scrivere a 1 a 2 = a con il simbolo dell operazione fra i due operandi; tale scrittura si dice, perciò, infissa. Un operazione interna trasforma l insieme in una struttura algebrica: ogni elemento operato con un altro, ma anche con se stesso, dà luogo, nell insieme, a ben precisi risultati. Una struttura algebrica quindi è una coppia costituita dall insieme, che si dice sostegno di essa, e dall operazione. Un gruppo, (G, ), è una particolare struttura algebrica, costruita su un insieme (il sostegno), G, in cui è definita un operazione interna,, che gode delle proprietà: per ogni g, g 1, g 2, g 3 appartenente a G (1) Si possono portare esempi di operazioni unarie, binarie, ternarie,..., cioè che agiscono con uno, due, tre,... operandi.

2 G1 g 1 (g 2 g 3 ) = (g 1 g 2 ) g 3 G2 esiste u G tale che g u = u g = g V. Scorsipa 28 associatività esistenza dell elemento neutro G3 esiste g 1 G tale che g g 1 = g 1 g = u esistenza dell elemento simmetrico Se inoltre vale la G4 g 1 g 2 = g 2 g 1 commutatività il gruppo si dice commutativo, o abeliano. Il gruppo è una struttura algebrica di base, ricorrente in molti settori della matematica. Sono esempi di gruppi commutativi infiniti (Z, +), (Q, +) e (IR, +), cioè l insieme dei numeri interi, dei numeri razionali, dei numeri reali rispetto all operazione di addizione. Per un gruppo finito e comunque di pochi elementi spesso tutti i possibili risultati si rappresentano con una tabella, che prende il nome di tavola del gruppo. In questo modo, per esempio, se G{a, b, c} è il sostegno del gruppo e rappresenta il simbolo dell operazione binaria, una tabella come quella a fianco riporta tutti i possibili esiti delle operazioni sulle coppie di G G. Osserviamo la tavola: alla coppia (c, b) corrisponde il prodotto c b = a. Gli elementi dell operazione c b = a o a b c a b c sono scritti in grassetto: in questo modo si capisce come si deve adoperare e leggere la tavola del gruppo. L unità del gruppo è a. Il gruppo è commutativo, perché la tavola è simmetrica rispetto alla diagonale che esce dal vertice in cui è rappresentato il segno dell operazione. Infine, il simmetrico di b è b 1 = c, mentre il simmetrico di c è c 1 = b. Notiamo ancora che ogni riga e ogni colonna rappresentano altrettante permutazioni degli elementi del gruppo. In altri termini, ogni riga e ogni colonna della tavola riporta una sola volta tutti gli elementi di G. Per un gruppo infinito e comunque formato da un numero finito ma grande di elementi è chiaro che non è possibile, né proponibile una tavola di gruppo. Un esempio di gruppo finito e commutativo è l insieme { 1, 1} dotato dell operazione di moltiplicazione. Il gruppo S n delle sostituzioni su n elementi, rispetto all operazione prodotto di applicazioni è invece un gruppo finito non commutativo (una sostituzione su n elementi è una qualsiasi biiezione di un insieme di n elementi in sé stesso). Il prodotto di due sostituzioni consiste nell applicarle in successione secondo un dato ordine. Siano, per esempio, s 1 = ( ) da, perché Si osservi che s 2 s 1 = ( ) e s = ( ) ( 1 2 ) a b c due sostituzioni di S 3, il prodotto s 1 s 2 è dato 1 2 s s e dunque che il prodotto di due sostituzioni non è commutativo. b c a c a b

3 Il gruppo dei vettori 29 Attraverso il concetto di gruppo si definiscono strutture più complesse fondate su due operazioni e, fra queste, quelle di corpo e campo, che qui è utile presentare per gli scopi successivi. Un corpo (K, +, ) è una struttura algebrica, che ha per sostegno l insieme K e in cui sono definite due operazioni interne (in genere indicate), + e, così che: (K, +) è un gruppo commutativo, con 0 elemento neutro; ( K \ {0}, ) è un gruppo; a, b, c K valgono le proprietà distributive: a (b + c) = a b + a c (b + c) a = b a + c a Un campo, (K, +, ), detto anche corpo commutativo, è un corpo, in cui è abeliano il gruppo ( K \ {0}, ). Per quel che segue è bene definire il concetto di isomorfismo fra due strutture, per esempio fra due gruppi. L isomorfismo tra due gruppi (G, ) e (G, ) è una corrispondenza biunivoca, ϕ, tra i loro sostegni, G e G, nella quale si conservano le operazioni: se ϕ : g 1 g 1 ϕ : g 2 g 2 allora ϕ : g 1 g 2 g 1 g 2, ovvero in modo più sintetico: ϕ(g 1 g 2 ) = ϕ(g 1 ) ϕ(g 2 ) In altri termini, l immagine del prodotto di elementi di G, rispetto all operazione, è il prodotto delle loro immagini in G, rispetto all operazione. In questo senso va interpretata l espressione... una corrispondenza biunivoca nella quale si conservano le operazioni..

4 3.2. Dal segmento orientato al vettore V. Scorsipa 30 Il concetto di segmento orientato è altrettanto bene espresso da una coppia ordinata di punti. Perciò coppia ordinata di punti e segmento orientato sono considerate espressioni equivalenti, inoltre il primo punto è detto punto-origine, il secondo, punto-termine del segmento orientato. Per distinguere un segmento AB dal corrispondente segmento orientato si adotta la notazione (A, B). È ovvio allora che (A, B) (B, A) con A B definizione Due segmenti orientati (A, B) e (A, B ) si dicono equipollenti se ABB A è un parallelogramma, anche se degenere, cioè con i vertici appartenenti a una stessa retta. Attraverso una nota proprietà caratteristica del parallelogramma, si afferma in modo del tutto equivalente l equipollenza di due segmenti orientati (A, B) e (A, B ), se i segmenti AB e A B hanno lo stesso punto medio M. Q R P S V W fig. 3.1 La proprietà transitiva della relazione di equipollenza. L equipollenza, che sarà d ora in poi denotata con il simbolo, è una relazione di equivalenza e, dunque, riflessiva, simmetrica e transitiva. Per dimostrare queste proprietà ci si avvale delle proprietà caratteristiche di un parallelogramma. E1. Dati i punti P e Q, un particolare parallelogramma, degenere, è dato da P QQP. Questo mostra che (P, Q) (P, Q) e dunque che l equipollenza è una relazione riflessiva. E2. Del resto se per ipotesi (P, Q) (S, R) allora è anche, per la definizione 3.2.1, (S, R) (P, Q). Ciò garantisce che l equipollenza è una relazione simmetrica. E3. In ultimo, l equipollenza è anche transitiva. Essendo (P, Q) (S, R) e (S, R) (W, V ), occorre provare che (P, Q) (W, V ) e cioè che PQV W è un parallelogramma. È noto che se i lati opposti di un quadrilatero sono paralleli e congruenti, allora il quadrilatero è un paralelogramma e viceversa. Ora, è evidente che P Q e W V sono paralleli e congruenti proprio in forza della definizione di segmenti orientati equipolenti e della proposizione precedente in quanto tali sono i segmenti PQ, SR e SR, WV. La proprietà transitiva della relazione di parallelismo e della relazione di congruenza consentono di affermare il parallelimo e la congruenza di P Q e W V.

5 Il gruppo dei vettori esempio Dati i punti P, Q e R in modo che R sia il punto medio di PQ, determinare il punto S in modo che (P, Q) (R, S). soluzione. Sia(U, V ) un segmento orientato equipollente a (P, Q) S dove U non appartiene alla retta PQ; per definizione il quadrilatro P QV U è un parallelogramma. Si considera Q ora il parallelogramma V URS, o meglio si definisce il punto S in modo che il quadrilatero V URS sia un parallelogramma. In tal caso è allora (U, V ) (R, S). R V Per la transitività della relazione di equipollenza è anche P (P, Q) (R, S). U La relazione di equipollenza genera, allora, una partizione (2) in classi dell insieme dei segmenti orientati. Ogni classe di equipollenza verrà chiamata vettore. Per distinguere un vettore da un segmento orientato si osservano alcune convenzioni grafiche. Un vettore può essere denotato con una lettera minuscola in grassetto, o sormontata da una freccia, o anche sottolineata: v, oppure v, o ancora v. Ognuna delle notazioni precedenti si legge in ogni caso vettor vu. B A M B' A' fig. 3.2 (A,B) e (A,B ) sono equipollenti, come lati opposti d un parallelogramma, o perché AB e A B si bisecano. Se un vettore è rappresentato facendo riferimento al segmento orientato (A, B), allora possiamo denotarlo AB, oppure AB e anche AB, che avremo cura di leggere vettor AB in ogni caso. Dalla definizione di vettore, quale insieme di segmenti orientati fra loro equipollenti, ha senso scrivere (A, B) v e (A, B) / w per indicare rispettivamente che (A, B) rappresenta v e che non rappresenta w. I caratteri di un vettore sono: la direzione, il verso e la lunghezza. Due vettori sono perciò uguali, se hanno la stessa direzione, lo stesso verso e la stessa lunghezza; sono, invece, opposti, se hanno la stessa (2) La definizione di partizione si trova nel capitolo Insiemi e Relazioni

6 V. Scorsipa 32 direzione, la stessa lunghezza e versi contrari; sono concordi se hanno la stessa direzione e lo stesso verso; discordi se hanno la stessa direzione, ma hanno i versi contrari. Per rappresentare un vettore bisogna, per forza di cose, servirsi di un segmento orientato, che così viene anche qualificato come vettore applicato nel suo punto-origine I vettori sono gruppo Cominciamo con la seguente definizione di somma di due vettori definizione Dati due vettori, a e b, scelto ad arbitrio un punto O, siano (O, A), (O, B) due segmenti orientati, l uno appartenente ad a, l altro a b, e C il punto tale che il quadrilatero OACB sia un parallelogramma; definiamo allora somma, a + b, dei vettori a e b il vettore rappresentato dal segmento orientato (O, C), diagonale del parallelogramma OACB. Attraverso una proprietà caratteristica del parallelogramma è semplice provare che la definizione ora data equivale alla seguente definizione Dati i vettori a e b, siano (O, A) e (A, C) segmenti orientati tali che (O, A) a e (A, C) b, definiamo a + b il vettore cui appartiene il segmento orientato (O, C) (quest ultimo chiude la spezzata OAC ). B O b c C a A fig. 3.3 L equivalenza delle definizioni di somma di due vettori a e b. In base a queste definizioni l insieme dei vettori, V, assume la struttura di un gruppo commutativo (V, +). Proviamo nell ordine le proprietà che definiscono un gruppo abeliano. Proprietà associativa: u, v, w V = ( u + v) + w = u + ( v + w) Se (O, U) u, (U, V ) v e (V, W) w, allora, per la definizione data, (O, V ) u+ v e (O, W) ( u+ v)+ w ma è anche: (U, W) v + w, da cui (O, W) u + ( v + w). Ciò prova naturalmente l asserto. Esistenza dell elemento neutro: per ogni v V esiste o V tale che v + o = o + v = v.

7 Il gruppo dei vettori 33 Indichiamo con o il vettore cui appartengono i segmenti orientati di lunghezza nulla, in altri termini del tipo (A, A), A V. Se (O, V ) v, poiché (V, V ) o allora, per la definizione di somma, (O, V ) v + o; del resto, da (O, O) o e (O, V ) v discende anche che (O, V ) o + v. Col che la dimostrazione della proprietà è conclusa. Esistenza dell elemento simmetrico, l opposto: per ogni v V esiste v V tale che v + ( v) = ( v) + v = o. Se (O, V ) v, indichiamo con v il vettore cui appartiene (V, O). Poiché (O, O) o, risulta o = v+( v), d altra parte dall ipotesi (O, V ) v e (V, O) v deriva che (V, V ) ( v) + v, cioè ( v) + v = o. Proprietà commutativa: per ogni u, v V si ha u + v = v + u. Se (O, U) u e (O, V ) v e W è il punto per cui i quadrilatero OUWV è parallelogramma, allora (O, W) rappresenta u + v, del resto W è anche il punto per cui OV WU è un parallelogramma, perciò (O, W) rappresenta anche v + u. Questo prova l asserto Il piano puntato e il gruppo additivo dei punti Fissato un punto O del piano Π, si ottiene una corrispondenza biunivoca fra i punti di Π e l insieme dei vettori V : il piano si dice puntato in O e si indica Π o. Ad ogni vettore v si fa corrispondere il segmento orientato (O, V ) v. I segmenti orientati uscenti da O sono in questo modo eletti a rappresentanti speciali dei vettori, mediante la corrispondenza uno-uno: v (O, V ) v. È possibile identificare ogni segmento orientato uscente da O mediante il suo punto-termine, perciò, d ora in poi, scrivendo V si intenderà il segmento orientato (O, V ) e quindi il vettore v. Nell insieme dei punti del piano Π introduciamo una operazione additiva così concepita: definizione Dati due punti U e V si dice loro somma il punto S = U + V, tale che OUSV è un parallelologramma. È evidente la connessione diretta con la definizione già data di somma di due vettori, ove si pensi che U, V e S sono segmenti orientati, che rappresentano altrettanti vettori u, v e s. È facile provare che (Π o, +) è un gruppo abeliano, perché la corrispondenza v (O, V ) v è un isomorfismo delle strutture (V, +) e (Π o, +) Essendo, come già sappiamo, UO = OU, mostriamo che al vettore UV corrisponde il punto V U. Infatti, aggiungendo UO ad ambo i membri della relazione OU + UV = OV, discende UV = OV OU, e di qui che il punto V U corrisponde al vettore UV. Si può anche scrivere UV = V U, e si dice che il vettore è scritto secondo la notazione del Grassmann. A prima vista l uguaglianza UV = V U è un po impropria, perché a sinistra dell uguale compare un vettore e a destra un punto, tuttavia l isomorfismo fra punti e vettori la rende plausibile, essendo gli uni

8 V. Scorsipa 34 V-U V -U O fig. 3.4 U V è il punto differenza. U assimilabili ai secondi e viceversa. Del resto, avremo modo di apprezzare l efficace funzionalità della notazione di Grassmann in molte occasioni La moltiplicazione esterna Se si deve eseguire una somma di vettori, dove gli addendi sono tutti uguali: v + v + + v } {{ } n volte si scrive ovviamente in modo più compatto n v e si dice n v multiplo del vettore v secondo il fattore n. Di qui è facile estendere la definizione di multiplo di un vettore. Posto n v = w è altresì plausibile scrivere v = 1 n w. In generale, con v = m n w si intenderà v = m( 1 n w) o v = 1 n( m w ). Con la definizione seguente si estende il multiplo di un vettore secondo un numero reale definizione Si dice multiplo di un vettore v secondo il numero reale (scalare) k il vettore w = k v tale che: - ha la stessa direzione di v, - ha il verso di v, se k > 0, l opposto se k < 0, altrimenti è il vettore nullo, - il rapporto fra la lunghezza di w e v è il numero k definizione Si dice moltiplicazione esterna l operazione multiplo di un vettore, essa, che da due operandi, un numero e un vettore, ottiene come risultato un vettore, soddisfa: per ogni u, v appartenenti a V e per ogni h, k appartenenti a IR : M1 M2 M3 M4 1 v = v h( u + v) = h u + h v (h + k) v = h v + k v h(k v) = (hk) v In riferimento alla geometria euclidea, la proprietà M2 esprime il teorema di Talete, mentre M1, M3, M4 derivano dalla definizione e dalle proprieà fondamentali delle misure dei segmenti. A questa visione delle cose, che ha come punto di partenza quello geometrico elementare, si può contrapporre uno sviluppo assiomatico dell argomento in termini di algebra moderna, introducendo la struttura di spazio vettoriale.

9 Il gruppo dei vettori 35 hv h(u+v)=hu+hv v u+v O u hu fig. 3.5 La proprietà M2 esprime il Teorema di Talete. Una questione molto importante perché foriera di molte conseguenze è la scomposizione di un vettore del piano secondo due direzioni date e quindi la costruzione che porta a ottenere i vettori componenti. Nel piano Π o fissiamo due punti I e J diversi fra loro e non allineati con O. Un qualsiasi vettore p, per quanto detto, è rappresentato da un ben preciso punto P. In sostanza siamo interessati a trovare due numeri reali x e y tali che p = x i + y j, essendo i e j rispettivamente i vettori rappresentati dai punti I e J. A ben pensare, la scomposizione di un vettore consiste nel costruire i lati contigui di un parallelogramma conoscendo le loro direzioni e gli estremi di una diagonale e nell esprimere, poi, i lati stessi come multipli l uno del vettore OI e l altro di OJ. Adottando i punti come vettori si può anche scrivere P = x I + y J In dettaglio, si procede in questo modo. Detti P x il punto proiezione di P sulla retta OI secondo la direzione OJ e P y il punto proiezione di P sulla retta OJ secondo la direzione OI, allora OP x, OI e OP y, OJ sono coppie di vettori l uno multiplo dell altro; in altri termini, esistono due numeri reali x e y tali che OP x = x OI e OP y = y OJ La coppia ordinata (x, y) è costituita di due numeri reali, che sono detti rispettivamente l ascissa e l ordinata del punto P. I vettori OI = i e OJ = j assumono un ruolo particolare; il vettore OI è stato scelto in modo arbitrario, ma, una volta fissato, ha assunto un ruolo speciale diventando il termine di paragone di tutti i vettori aventi la sua direzione: ognuno di essi è infatti espresso come multiplo di OI. In questo senso il vettore OI è unitario. Un ragionamento perfettamente analogo sussiste per OJ. I vettori OI = i e OJ = j si dicono anche versori. Vale la pena ribadire che il confronto fra due vettori può, al momento, essere effettuato solo a patto che essi abbiano la stessa direzione. Il fatto, dunque, che i versori siano unitari non comporta che essi siano congruenti.

10 V. Scorsipa 36 Oltre a ciò è bene ancora notare che un punto O e due vettori, i e j, non nulli e non paralleli definiscono un sistema di riferimento cartesiano. La notazione (O, i, j) sarà adottata per rappresentare un sistema di riferimento nel quale O e i, j rappresentano l origine e i versori degli assi. La questione sarà affrontata con maggiori dettagli nel seguito di questo capitolo esempio Siano p e p due vettori rappresentati rispettivamente dai punti P e P tali che P = xi + yj e P = x I + y J. Calcolare la loro somma. soluzione. P + P = (xi + yj) + (x I + y J) = xi + yj + x I + y J (proprietà associativa G1) = xi + x I + yj + y J (proprietà commutativa G4) = (xi + x I) + (yj + y J) (proprietà associativa G1) = (x + x )I + (y + y )J (proprietà M3) Si può concludere con la seguente affermazione: le coordinate di un punto somma di due punti sono le somme delle coordinate corrispondenti dei due punti Applicazioni con i vettori I vettori sono uno strumento molto elegante e spesso sintetico, per provare teoremi della geometria in cui ricorrono nozioni legate al parallelismo. Il parallelismo nell ambito dei vettori è, come è noto, assimilato alla condizione che se due vettori sono paralleli, allora l uno è multiplo dell altro secondo un numero reale. È possibile scegliere in modo arbitrario un riferimento e operare così nel piano puntato con l addizione fra punti, identificando i vettori con questi ultimi, in una comoda struttura vettoriale. A titolo di esempio, consideriamo le dimostrazioni delle proposizioni: (1) la prima parte del 1 quesito della maturità dell anno 1992; (2) l inverso del teorema di Talete; (3) un applicazione dello stesso; (4) una notevole proprietà del baricentro del triangolo. (1) Presi due vettori OA e OB non paralleli, con OA = 2 a e OB = b. Tracciare il vettore e BC = a e congiungere O con C. Il punto P divide il segmento OC in due parti tali che e OP = 2 PC. Dimostrare che i punti A, P, e B sono allineati (è allo scopo sufficiente dimostrare che i due vettori AP e PB sono multipli di uno stesso vettore).

11 Il gruppo dei vettori 37 Elenchiamo i dati e le condizioni: OA = 2 a; OB = b; BC = a; OP = 2 g; OC = 3 g. Bisogna provare che esiste un numero reale k tale che k PB = AP, cioè con altra notazione: k( b 2 g) = 2 g 2 a, tenuto conto che b = 3 g a, A 2a P a C O b B fig. 3.6 La 1 a parte del 1 quesito della maturità del si ottiene, sostituendo, nella relazione precedente: k(3 g a 2 g) = 2 g 2 a, cioè k( g a) = 2( g a), da cui k = 2. (2) In un triangolo il segmento congiungente i punti medi di due lati è parallelo al terzo lato e congruente alla sua metà. Siano ABC il triangolo e M e N i punti medi dei lati CA e CB, si consideri il riferimento (C; CM, CN) nel quale C svolge il ruolo di origine, CM e CN di versori. In tal modo il vettore CM si identifica, come sappiamo, con il punto M e cosí CN con N e via dicendo. A M C N B fig. 3.7

12 Per ipotesi, 2 CM = CA e 2 CN = CB, cioè: V. Scorsipa 38 A = 2M, B = 2N dalla differenza membro a membro di queste relazioni si ha: A B = 2M 2N e per la proprietà M2 della moltiplicazione esterna: A B = 2(M N). Ciò comporta che AB è non solo parallelo a MN, ma che è anche il doppio di MN. Si noti che la scelta del riferimento, pur essendo arbitraria, è dettata da ragioni di convenienza, legate alla semplificazione dei calcoli. (3) In un triangolo se si traccia dal punto medio di un lato la retta parallela ad un altro, questa interseca il terzo lato nel suo punto medio, inoltre il segmento congiungente i punti medi è metà del lato cui è paralello. Siano ABC il triangolo e M il punto medio di AC, si mandi la parallela al lato AB fino ad intersecare nel punto N il lato CB. Risulta allora nel riferimento (C; CM, CN) che: A = 2M, B = kn, con k numero reale. Inoltre, essendo MN parallelo AB, esiste h in IR tale che: B A = h(n M) per la proprietà M2 della moltiplicazione esterna: B A = hn hm tenuto conto delle proprietà del gruppo abeliano: B = hn hm + A, e poiché A = 2M : B =hn hm + 2M =hn + (2 h)m, ma è B = kn, perciò dev essere 2 h = 0, ovvero h = 2. Questo prova la tesi, essendo B = 2N e AB = 2MN. (4) Le mediane di un triangolo si tagliano in uno stesso punto, il baricentro. Questo punto divide ogni mediana in due parti, di cui quella che contiene il vertice è doppia dell altra. Sia ABC il triangolo e CI la mediana relativa al lato AB e cioè BI = IA, e sia poi G il punto di essa per cui 2 IG = GC, proviamo che detto J il punto in cui AG interseca il lato BC, risulta BJ = JC e 2 GJ = AG.

13 A Il gruppo dei vettori 39 I G B J C fig. 3.8 Il baricentro divide ogni mediana in due parti: quella contenente il vertice è doppia dell altra. Nel riferimento (B; BC, BA), le relazioni che esprimono le ipotesi si possono scrivere in base alla notazione del Grassmann nel seguente modo: 2(I G) = G C ; I = A I. Queste, con semplici passaggi, divengono: (i) (ii) 3G =C + 2I, A =2I, da cui: 3G = C + A, sostituendo (ii) in (i), infine risulta: (iii) G = 1 (C + A). 3 Siano h, k numeri reali tali che AG = k GJ e BJ = h JC, con la notazione del Grassmann le precedenti relazioni divengono nell ordine: (α) (β) G A =k(j G) = G A = kj kg = (1 + k)g = kj + A, J =h(c J) = J(1 + h) = hc = J = h C, dove h = h 1 + h dalla (α) sostituendo la (β), si ricava: (iv) G = h k 1 + k C k A poiché è unica la combinazione lineare di C e di A che determina G, confrontando (iii) con (iv), si ha: h k 1 + k = 1 3, k = 1 3, da cui k = 2 e ancora h = 1 2, ed infine essendo h = h 1+h, si ha h = 1. Ciò prova che AJ è mediana ed è divisa in due parti di cui quella che contiene il vertice è doppia dell altra. In modo analogo si ragiona per BL.

14 3.7. Spazio vettoriale sui reali V. Scorsipa 40 L insieme dei vettori geometrici assume la struttura di spazio vettoriale su IR attraverso due operazioni: l addizione, basata sulla geometria del parallelogramma, e la moltiplicazione esterna, definita mediante la nozione di multiplo di un vettore. Altri insiemi di oggetti matematici assumono la struttura di spazio vettoriale, se dotati di un opportuna addizione e di un opportuna moltiplicazione esterna, che prende gli scalari da un corpo commutativo. La seguente definizione di Spazio Vettoriale è particolare rispetto a quella di spazio vettoriale su un corpo commutativo K. Faremo, infatti, uso di spazi vettoriali su IR, in altri termini, di spazi vettoriali che assumono i numeri reali come scalari definizione Si dice spazio vettoriale V su IR un insieme V, i cui elementi si dicono vettori e che munito di un operazione interna, generalmente indicata +, e perciò detta additiva, è rispetto ad essa un gruppo abeliano, cioè se: per ogni u, v, w appartenenti a V G1 u + ( v + w) = ( u + v) + w G2 o V : v + o = o + v = v G3 v V : v + ( v) = ( v) + v = o G4 u + v = v + u se è definita un operazione, detta moltiplicazione esterna, tale che per ogni u, v appartenente a V e per ogni h, k appartenenti a IR : M1 1 v = v M2 h( u + v) = h u + h v M3 (h + k) v = h v + k v M4 h(k v) = (hk) v. Se u e v sono due vettori distinti e non nulli tali che u = k v, allora è possibile determinare due numeri λ e µ entrambi non nulli, per cui k = µ e tali che λ u + µ v = o. In questo caso si dice che u e v sono λ vettori linearmente dipendenti. Invece due vettori u e v distinti e non nulli si dicono linearmente indipendenti se e solo se λ u + µ v = o, essendo λ e µ scalari entrambi nulli. L idea di vettori linerarmente indipendenti porta a concepire quei vettori come generatori di uno spazio vettoriale e alla definizione di base di uno spazio vettoriale. Il motore di questa catena di concetti è la combinazione lineare. Si esprime il vettore v, combinazione dei vettori v 1, v 2,..., v n mediante gli scalari h i, con i = 1, 2,..., n, come segue: v = h 1 v 1 + h 2 v h n v n È evidente che al variare della n-pla (h 1, h 2,..., h n ) la combinazione lineare degli n vettori v i rappresenta un vettore dello spazio vettoriale. Si dimostra che l insieme dei vettori così generati dagli n vettori linearmente indipendenti è un sottospazio dello spazio vettoriale. Se, poi, accade che il sottospazio coincide con lo spazio vettoriale, allora gli n vettori generatori costituiscono una base, su IR, dell intero spazio vettoriale V.

15 Il gruppo dei vettori 41 È facile provare che due basi qualsiasi di uno spazio vettoriale sono equipotenti. La cardinalità di una base è detta dimensione dello spazio. Lo spazio dei vettori del piano ha dimensione due, mentre quello dei vettori dello spazio, normalmente inteso, è tre; lo spazio generato da un solo vettore attraverso tutti i possibili suoi multipli è di dimensione uno ed è geometricamente rappresentato da una retta; infine lo spazio vettoriale di dimensione zero rappresenta un punto. Riassumendo: punto, retta, piano, spazio rappresentano rispettivamente lo spazio vettoriale zero, uni, bi, tridimensionale. È chiaro che proprio attraverso la base v 1, v 2,, v n di uno spazio vettoriale V su IR di dimensione n nasce una corrispondenza biunivoca fra i vettori e le n-ple ordinate di numeri reali, che servono a ottenere le loro combinazioni lineari. Quei n numeri prendono il nome di coordinate di un vettore. I vettori v 1, v 2,, v n della base sono ovviamente rappresentati dalle n-ple: v 1 (1, 0,, 0) v 2 (0, 1,, 0).... v n (0, 0,, 1) Questa corrispondenza biunivoca diviene un isomorfismo fra l insieme dei vettori, V, e l insieme delle n-ple, IR n. Si dimostra, infatti, che IR n è a sua volta uno spazio vettoriale su IR, se si definiscono una addizione fra n-ple e una moltiplicazione esterna fra numeri reali ed n-ple come segue: (1) (2) (x 1, x 2,, x n ) + (x 1, x 2,,x n ) = (x 1 + x 1, x 2 + x 2,,x n + x n ) k(x 1, x 2,,x n ) = (kx 1, kx 2,, kx n ) Saper operare con le n-ple diviene allora importante! Uno spazio euclideo n-dimensionale è dunque lo spazio vettoriale IR n a scalari in IR: in questo contesto un punto dello spazio euclideo è assimilato ad una n-pla, in altre parole a un vettore di IR n. Dati nel piano Π un punto O e due vettori, i e j, non nulli e l uno non multiplo dell altro, in una parola, linearmente indipendenti, ogni vettore p del piano si esprime mediante la combinazione lineare: p = x i + y j, dove x e y sono due numeri reali opportuni. Nel piano puntato Π o, al vettore p corrisponde il punto P determinato dalla condizione (O, P) p e ad esso si associa la coppia ordinata di numeri reali x e y, che sono sia le coordinate del vettore sia quelle del punto. Dietro a tutto questo sta, come già affermato, l idea di sistema di riferimento esempio Provare che i vettori (caratterizzati dalle seguenti terne di numeri reali) (1, 2, 2), (2, 1, 1) e (0, 1, 3) dello spazio IR 3 sono linearmente dipendenti. soluzione. In base alla definizione di vettori linearmente dipendenti, dobbiamo provare che: a (1, 2, 2) + b (2, 1, 1) + c (0, 1, 3) = (0, 0, 0)

16 V. Scorsipa 42 solo se a = b = c = 0. Operando sulle terne come su indicato si perviene al sistema: { 1 a + 2 b + 0 c = 0 2 a 1 b + 1 c = 0 2 a + 1 b + 3 c = 0 equivalente a { a = -2b c = 5b 12b = 0 che ammette la sola soluzione nulla a = b = c = 0.

17 Il gruppo dei vettori ESERCIZI E COMPLEMENTI Dati i punti P e Q, provare che (P, R) (R, Q), dove R è il punto medio del segmento PQ. 3.2 Provare che i segmenti orientati (P, R), (R, Q), (Q, S) dell esempio sono equipollenti. 3.3 Dato un punto A e il segmento orientato (P, Q) costruire il punto B tale che (A, B) (P, Q) 3.4 Calcolare in modo simile P P, tenendo conto degli assiomi di gruppo e delle proprietà della moltiplicazione esterna. 3.5 Calcolare in modo simile k P, dove k è un numero reale e impiegando gli assiomi di gruppo e le proprietà della moltiplicazione esterna. 3.6 Provare che M = 1 2 (P + P ) è il punto medio del segmento PP. [Sugg.: usare la notazione del Grassmann per esprimere i vettori PM e MP...] 3.7 Dato un trapezio ABCD, come si può indicare che la base AB è doppia della base DC? 3.8 Su una retta r sono scelti i punti P e Q, si considera poi un generico punto X appartenente ad r. Indicato con t lo scalare tale che PX = t PQ, che in altri termini esprime il fatto che PX è multiplo di PQ. Per quali valori di t il punto X coincide rispettivamente con P, con Q e con il punto medio di P Q? Infine, per quali valori di t il punto X è esterno al segmento P Q? 3.9 Considerato l esercizio precedente, siano (2, 2), ( 1, 0) e (x, y) rispettivamente le coordinate dei punti P, Q e X. Provare che x e y dipendono dal parametro t secondo le funzioni x = 2 3t e y = 2 2t, che prendono il nome di equazioni parametriche della retta PQ Dati i punti A(2, 1), B(5, 3), C(4, 0) e D(x, 2) stabilire per quale valore di x i segmenti AB e CD sono paralleli In un triangolo ABC siano M, N e P rispetttivamente i punti medi dei lati AB, BC e AC. Provare che M + N + P = A + B + C.

18 V. Scorsipa AB e CD sono le basi del trapezio ABCD. AD e BC si tagliano in J. La parallela ad AB passante per J, taglia rispettivamente AC e BD in M e N. La parallela ad AB, passante per I, intersezione delle rette BN e AM, interseca rispettivamente AD e BC in M e N. Mostrare che: (a) J è il punto medio di MN e I di M N ; (b) la retta IJ interseca AB e CD nei loro punti medi Provare che i vettori (1, 1, 1), (1, 1, 1) e (1, 1, 1) dello spazio IR 3 sono linearmente indipendenti Esprimere il vettore (5,2,1) mediante una combinazione dei vettori (1, 1, 1), (1, 1, 1) e (1, 1, 1) dello spazio IR In IR 3 sono date le basi e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1) v 1 = (1, 1, 1), v 2 = (1, 1, 1), v 3 = (1, 1, 1) Esprimere ogni vettore della prima base {e 1, e 2, e 3 } come combinazione dei vettori della seconda {v 1, v 2, v 3 } Esistono valori di k IR per cui i vettori (1, k, 1), (1, 1, 2) e (k, k, 1) dello spazio IR 3 sono linearmente dipendenti? 3.17 Calcolare x, y, z affinché i vettori (1, 1, 1), (2, 1, 2) e (x, y, z) dello spazio IR 3 siano linearmente dipendenti.