Introduzione alla Programmazione e Applicazioni per la Finanza M2 (Prodotti Derivati) Lezione 12

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1 Introduzone alla Programmazone e Applcazon per la Fnanza M2 (Prodott Dervat) Lezone 12 Anno accademco Ttolare corso: Prof. Costanza Torrcell Docente: Dott.ssa Maranna Brunett

2 In partcolare mplementeremo: 1. Bnomale Sub Fun Fun Sub a. per opzon europee b. per opzon europee, sotto l potes che c. per opzon amercane 2. B&S a. per call e put S ~ logn Sub Fun b. per call e put con l auslo d Inputbox e Msgbox c. per l calcolo della volatltà mplcta

3 1a) Il Bnomale per opzon Europee ( ) X ; ) d ( ) u S( Max q q n C n n n d u + + = = ( ) ; ) d ( ) u S( X Max q q n P n n n d u = + + = Sub PrezzBnomal () Dm S, X, r, u, d As Double Dm n As Integer S = 50, X = 50, r = 0.06, u = 0.1, d = -0.03, n = 2 Dm q_up, q_down, C, P As Double Dm As Integer q_up = (r - d) / ((1 + r) * (u - d)) q_down = (u - r) / ((1 + r) * (u - d))

4 1a) Il Bnomale per opzon Europee (2) C = 0 For = 0 To n C = C + Applcaton.WorksheetFuncton.Combn(n, ) * q_up ^ * q_down ^ (n - ) * _ Applcaton.WorksheetFuncton.Max(S * (1 + u) ^ () * (1 + d) ^ (n - ) - X, 0) Next P = 0 For = 0 To n P = P + Applcaton.WorksheetFuncton.Combn(n, ) *q_up ^ * q_down ^ (n - ) * _ Applcaton.WorksheetFuncton.Max(X - S * (1 + u) ^ () * (1 + d) ^ (n - ), 0) Next End Sub RICORDA: usamo Applcaton.WorksheetFuncton.Qualcosa (o anche solo Applcaton.Qualcosa) per rchamare n VBA la funzone Qualcosa d Excel

5 1b) Il Bnomale per opzon Europee, con S ~ logn Faremo approssmazon tal che movment up e down d S convergano ad una log-normale: T t = n r R = e t 3. u = e σ t up = 1 + u σ t d = e down = 1 + d R down q u = R* ( up down) up R q d = R* ( up down)

6 1b) Il Bnomale per call Europee, con S ~ logn Functon EuroCall(S, X, T, rf, sgma, n) delta_t = T / n up = Exp(sgma * Sqr(delta_t)) down = Exp(-sgma * Sqr(delta_t)) r = Exp(rf * delta_t) q_up = (r - down) / (r * (up - down)) q_down = (up - r) / (r * (up - down)) EuroCall = 0 For = 0 To n EuroCall = EuroCall + Applcaton.Combn(n, ) * q_up ^ * q_down ^ (n - ) * _ Applcaton.Max(S * up ^ * down ^ (n - ) - X, 0) Next End Functon

7 1b) Il Bnomale per put Europee, con S ~ logn Functon EuroPut(S, X, T, rf, sgma, n) delta_t = T / n up = Exp(sgma * Sqr(delta_t)) down = Exp(-sgma * Sqr(delta_t)) r = Exp(rf * delta_t) q_up = (r - down) / (r * (up - down)) q_down = 1 / r - q_up EuroPut = 0 For = 0 To n EuroPut = EuroPut + Applcaton.WorksheetFuncton.combn(n, ) * _ q_up ^ * q_down ^ (n - ) * _ Applcaton.WorksheetFuncton.Max(X - S * up ^ * down ^ (n - ), 0) Next End Functon

8 Gl Array Ad 1 dmensone ( vettore ) sere d element omogene ndvduat da un ndce Sntass ed assegnazone Dm NomeVettore () [As Tpo] Dm Vettore (3) As Double A 2 dmenson ( matrce ) tabella d element omogene ndvduat da una coppa d ndc, uno per rga ed uno per colonna Dm NomeMatrce (, j) [As Tpo] Dm Matrce (3,3) As Double La sntass completa per quanto rguarda gl ndc è ([mn to] max) Dm Vettore2 (0 to 3) As Double Dm Matrce2 (0 to 3, 0 to 3) As Double Opton Base 0 => se dcharo ndce, l numero degl element è ( +1) Opton Base 1 => dcharando, l numero degl element è effettvamente Assegnazone avvene sempre con l = Vettore() = 3

9 Gl Array (2) Statc = l numero d element rmane costante n tutta la procedura. Dnamc = utl quando non sappamo a pror l numero d element rdmensonamo con l comando ReDm Esemp Sub provaarray() Dm vettore() As Double n = InputBox("nserre l numero d element") ReDm vettore(n) As Double End Sub Sub provaarray2() Dm Matrce() As Double = InputBox("nserre l numero d rghe della matrce") j = InputBox("nserre l numero d colonne della matrce") ReDm Matrce(, j) As Double End Sub

10 1c) Il Bnomale per opzon call Amercane Modfchamo le funzon vste prma per l prcng delle opzon europee n modo da tener conto dell eventuale convenenza dell eserczo antcpato n cascun nodo ntermedo dell albero La prma parte della funzone è uguale Functon AmercanCall(S, X, T, rf, sgma, n) Dm delta_t, up, down, r, q_up, q_down As Double Dm State, Index As Integer delta_t = T / n up = Exp(sgma * Sqr(delta_t)) down = Exp(-sgma * Sqr(delta_t)) r = Exp(rf * delta_t) q_up = (r - down) / (r * (up - down)) q_down = (up - r) / (r * (up - down))

11 1c) Il Bnomale per opzon call Amercane (2) Nella seconda parte della funzone creamo due vettor: OptonReturnEnd valor opzone n cascuno stato del mondo n t+1 OptonReturnMddle valor opzone n cascuno stato del mondo n t...che rdmensonamo una volta noto l numero de pass complessv (n) Dm OptonReturnEnd() As Double Dm OptonReturnMddle() As Double ReDm OptonReturnEnd(n + 1) ora possamo valutare l opzone n cascun possble stato del mondo a scadenza calcolandone semplcemente l payoff For State = 0 To n OptonReturnEnd(State) = Applcaton.Max(S * (up ^ State) * down ^ (n - State) - X, 0) Next State

12 1c) Il Bnomale per opzon call Amercane (3) per cascun stante d tempo ntermedo tra la scadenza e ogg (ovvero tra n-1 e 0), rdmensonamo l vettore che contene valor dell'opzone ne nod ntermed For Index = n - 1 To 0 Step -1 ReDm OptonReturnMddle(Index) utlzzando un cclo For, rempamo cascun elemento d questo vettore con l massmo tra l payoff dell opzone n quel nodo e la valutazone dell'opzone con prezz ne var stat del mondo For State = 0 To Index OptonReturnMddle(State) = Applcaton.Max(S * up ^ State * down ^ (Index - State) - X, _ q_down * OptonReturnEnd(State) + q_up * OptonReturnEnd(State + 1)) Next State

13 1c) Il Bnomale per opzon call Amercane (4) trovato l valore dell opzone n ogn State (stato del mondo) d quell Index (tempo), chamo l vettore d valor appena trovato OptonReturnEnd, poché la valutazone ne nod precedent sarà basata su questo (questo stesso vettore passa da OptonReturnMddle a OptonReturnEnd!) Rdmensono e assegno medesm valor: ReDm OptonReturnEnd(Index) For State = 0 To Index OptonReturnEnd(State) = OptonReturnMddle(State) Next State Next Index Il cclo rpete questa valutazone backward fno all stante 0. Il prezzo dell opzone è qund dato da: AmercanCall = OptonReturnMddle(0) End Functon

14 1c) Il Bnomale per opzon put Amercane Functon AmercanPut(S, X, T, rf, sgma, n) Dm delta_t, up, down, r, q_up, q_down As Double Dm State, Index As Integer delta_t = T / n up = Exp(sgma * Sqr(delta_t)) down = Exp(-sgma * Sqr(delta_t)) r = Exp(rf * delta_t) q_up = (r - down) / (r * (up - down)) q_down = (up - r) / (r * (up - down)) Dm OptonReturnEnd() As Double Dm OptonReturnMddle() As Double ReDm OptonReturnEnd(n + 1) For State = 0 To n OptonReturnEnd(State) = Applcaton.Max(X - S * up ^ State * down ^ (n - State), 0) Next State

15 1c) Il Bnomale per opzon put Amercane (2) For Index = n - 1 To 0 Step -1 ReDm OptonReturnMddle(Index) For State = 0 To Index OptonReturnMddle(State) = Applcaton.Max(X - S * up ^ State * down ^ (Index - State), _ q_down * OptonReturnEnd(State) + q_up * OptonReturnEnd(State + 1)) Next State ReDm OptonReturnEnd(Index) For State = 0 To Index OptonReturnEnd(State) = OptonReturnMddle(State) Next State Next Index End Functon AmercanPut = OptonReturnMddle(0)

16 2a) B&S per opzon Europee Sub PrezzoCallPut() Dm S, X, r, T, sgma, D1, D2, ND1, ND2, MenoND1, MenoND2, C, P As Double S = 25 X = 25 r = 0.06 T = 0.5 sgma = 0.3 D1 = (Log(S / X) + (r * (sgma ^ 2)) * T) / (sgma * Sqr(T)) D2 = D1 - Sqr(T) * sgma ND1 = Applcaton.NormSDst(D1) ND2 = Applcaton.NormSDst(D2) MenoND1 = Applcaton.NormSDst(-D1) MenoND2 = Applcaton.NormSDst(-D2) C = S * ND1 - (X * Exp(-r * T) * ND2) P = (X * Exp(-r * T) * (MenoND2)) - (S * (MenoND1)) End Sub

17 2b) B&S per opzon Europee InputBox e MsgBox Sub PrezzoCallePutBlackAndSholes() Dm CalcoloD1, CalcoloD2, NormalD1, NormalD2, C, P As Double Dm S As Double S = InputBox("Immettere l prezzo del Sottostante", "Calcolo prezzo B&S") Dm X As Double X = InputBox("Immettere lo Strke della Call", "Calcolo prezzo B&S") Dm r As Double r = InputBox("Immettere l tasso rsk-free", "Calcolo prezzo B&S") Dm T As Double T = InputBox("Immettere la scandenza della call", "Calcolo prezzo B&S") Dm sgma As Double sgma = InputBox("Immettere la varanza del sottostante", "Calcolo prezzo B&S") CalcoloD1 = (Log(S / X) + (r * (sgma ^ 2)) * T) / (sgma * Sqr(T)) CalcoloD2 = CalcoloD1 - (Sqr(T) * sgma) NormalD1 = Applcaton.NormSDst(CalcoloD1) NormalD2 = Applcaton.NormSDst(CalcoloD2) C = S * NormalD1 - (X * Exp(-r * T) * NormalD2) P = C + (X * Exp(-r * T)) - S MsgBox "Il prezzo della Call è " & Str(Round(C, 3)),, "Calcolo prezzo Call" MsgBox "Il prezzo della corrspondente Put è " & Str(Round(P, 3)),, "Calcolo Prezzo Put" End Sub

18 2c) B&S per l calcolo della Volatltà Implcta Functon VolatltyCall(S, X, T, r, C) Dm Hgh, Low, CalcoloD1, CalcoloD2, NormalD1, NormalD2, PrezzoCall As Double Hgh = 1 Low = 0 Do Whle (Hgh - Low) > CalcoloD1 = (Log(S / X) + (r * (((Hgh + Low) / 2) ^ 2)) * T) / (((Hgh + Low) / 2) * Sqr(T)) CalcoloD2 = CalcoloD1 - Sqr(T) * ((Hgh + Low) / 2) NormalD1 = Applcaton.NormSDst(CalcoloD1) NormalD2 = Applcaton.NormSDst(CalcoloD2) PrezzoCall = S * NormalD1 - (X * Exp(-r * T) * NormalD2) If PrezzoCall > C Then Hgh = (Hgh + Low) / 2 Else: Low = (Hgh + Low) / 2 End If Loop VolatltyCall = (Hgh + Low) / 2 End Functon

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