LA MODA: Unità: è il valore della variabile X osservato il maggior numero di volte;

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Lia Bevilacqua
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1 Apput d Statstca Socal Uvrstà Kor d Ea IDICI DI POSIZIOE O DI TEDEZA CETRALE Gl dc d poszo, o d tdza ctral, soo umr ch sprmoo la sts umrca d ua dstrbuzo ( ) statstca smplc d ua varabl X. I valor ossrvat possoo ssr dstrbut pr:. utà;. modaltà;. class. Gl dc d poszo pù ot soo:. la moda;. la mdaa; 3. la mda artmtca. Data ua dstrbuzo d valor ossrvat o smpr è ammssbl calcolar tutt tr gl dc d poszo. Ifatt, la sclta dll dc d tdza ctral doo a dscrvr ua dstrbuzo d valor dpd dalla atura (qualtatva o quattatva) d dat dalla scala d msura adottata l procsso d msurazo. Solo quado dat soo d atura quattatva qud msurat almo su ua scala d trvall, s possoo calcolar tutt tr gl dc d tdza ctral. La dffrza prcpal tra gl dc rsd l loro dvrso cotuto formatvo. Gl dc soo qu d sguto lcat ord crsct d capactà formatva: la moda è l uco dc d tdza ctral ch s può smpr calcolar, ovvro a partr da dat msurat su scala omal; la mdaa s può calcolar pr dat msurat almo su scala ordal; la mda s può calcolar solo pr dat quattatv, msurat su scala almo a trvall. LA ODA: Utà: è l valor dlla varabl X ossrvato l maggor umro d volt; odaltà: è la modaltà,, d X co la massma frquza,. Class: è la class, dtta modal, a cu corrspod la frquza massma. Quado l class hao ampzza dvrsa, la class modal è qulla a cu corrspod la massma dstà, d. È cssaro calcolar la quattà d pr tutt l class: d f o d a a qud dvduar la class modal cu corrspod ma(d ). La moda d ua dstrbuzo o è cssaramt uca. S la dstrbuzo statstca è carattrzzata da:. u uca moda, la dstrbuzo s dc umodal;. du o pù valor modal, la dstrbuzo s dc plurmodal. Doct: Fabo Allo A.A. 00/

2 Apput d Statstca Socal Uvrstà Kor d Ea EDIE LASCHE: Soo qull md la cu dvduazo s basa sulla poszo occupata da uo o pù dgl trm dlla dstrbuzo ordata d X. La pù ota tra qust è la mdaa. Codzo prlmar è ch la sr d valor ossrvat sa ordata ua graduatora, sso almo o dcrsct, tal ch: [] La poszo occupata da u ossrvazo so alla graduatora s chama rago d è u umro ordal. LA EDIAA ( ): La mdaa, d ua dstrbuzo d valor d X, è l valor ch bpartsc la graduatora [], modo da lascar alla propra sstra alla propra dstra lo stsso umro d trm (,,, ). Qusto sgfca ch è u barctro, co l 50% d valor alla sua a sstra l rstat 50% alla sua dstra. La procdura pr dtrmar la mdaa vara rlazo alla tpologa dlla dstrbuzo statstca cosdrata alla umrostà dll ossrvazo. A tal proposto, è mportat rcordar ch: - prma, s dtrma la poszo occupata dalla mdaa, so alla graduatora, po s dvdua la mdaa; - la poszo occupata dalla mdaa s dtrma modo dvrso, a scoda ch sa dspar o par. Vdamo com s dtrma la, a partr da ua dstrbuzo pr utà. Caso : ~ utà:. dspar la mdaa è qul valor ossrvato d X tal ch: + a. ha poszo mdaa lla graduatora par a, da cu b. +. par la mdaa covzoal appart ad u trvallo dfto da: a. du poszo mda, +, da cu + + b., è l trvallo mdao. + Esmpo: X umro d ms trascors dal momto dlla laura a qullo dl prmo mpgo; utà statstch (u.s.) laurat dlla Kor szo succssv; 8, umro d utà statstch; ossrvazo, pr,, 8: {4, 5, 0,, 4,, 6, 7, 7, 0, 0, 0, 3, 0, 4, 5, 6, 7}. pr calcolar la mdaa dlla dstrbuzo pr utà è cssaro aztutto ordar sso almo o dcrsct l ossrvazo, assgado a cascua d ss l propro rago, r : Doct: Fabo Allo A.A. 00/

3 Apput d Statstca Socal Uvrstà Kor d Ea :,, 4, 7, 7, 7, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6 rago:,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 è par, qud: pr cu: ( 9) 0 ; ( 0) 0 ; 0. + Caso : ~ modaltà: C s comporta acora modo dvrso a scoda d par o dspar. S dvdua la poszo occupata dalla modaltà mdaa d X, facdo rfrmto alla coloa dll frquz cumulat assolut,, o rlatv, F. La mdaa è, pr: - dspar, la pù pccola modaltà, la cu frquza cumulata è: + - par, la pù pccola modaltà la cu frquza cumulata soddsfa ua sola dll sgut codzo:. > ach +. oppur + allora: I [ -, ] +. Esmpo : usamo la sgut dstrbuzo d frquza pr modaltà: Caso 3: ~ class: f F 0,04 0,04 0,04 0, ,04 3 0, ,4 6 0, ,08 0, ,04 0, , , , , , , ,04 9 0,79 4 0,04 0 0, ,083 0,96 3 0,04 3 0, ,04 4 Total 4 La class mdaa (cm ) può ssr dvduata du mod quvalt, o grafcamt, o aaltcamt. Grafcamt è suffct costrur l stogramma, podo sull ordat l frquz rlatv cumulat, F ; succssvamt s tracca la parallla all ass dll ascss, passat pr l puto d Doct: Fabo Allo A.A. 00/ 3

4 Apput d Statstca Socal Uvrstà Kor d Ea ordata F 0.5. La cm è qulla a cu corrspod la prma barra dll stogramma trscata dalla rtta. Aaltcamt s dvoo sgur sgut pass:. s calcola, sa pr dspar ch pr par;. s dvdua la cm com qulla assocata alla pù pccola ; 3. s dtrma la scodo l pots dll stogramma, a partr dalla cm [ -, ]. L pots dll stogramma assum l uform dstrbuzo dll frquz og class, pr cu la frquza è proporzoal all trvallo cosdrato: Ara(cm ) : a(cm ) Ara[ -, ] : a[ -, ] L ara (la frquza) dlla cm sta alla bas (l ampzza) dlla cm com l ara comprsa tra strmo fror dlla cm mdaa sta alla sua bas (l sgmto d ampzza - ), dov:. Ara(cm ) frquza d cm ;. a(cm ) ampzza d cm - ; 3. Ara[ -, ] ; 4. a[ -, ]. Sosttudo: : ( ) : ( ) d splctado rsptto a : ( ) +. Esmpo 3: X rddto da lavoro dll famgl dlla provca d Ea utà statstch (u.s.) famgl rsdt provca d Ea; : rddto dlla -sma famgla. Dstrbuzo d frquza pr class: - (uro) f F ,0 0, ,0 0, ,03 0, ,04 0, ,05 0, ,05 0, ,05 0, ,5 0, ,6 0, ,5 0, ,08 0, ,0 Doct: Fabo Allo A.A. 00/ 4

5 Apput d Statstca Socal Uvrstà Kor d Ea ALTRI IDICI DI POSIZIOE QUATILE: è u valor ch bpartsc la graduatora (), modo da lascar ua crta porzo d trm alla sua sstra la rstat part alla sua dstra. S possoo calcolar u umro dtrmato d quatl. Soo dc d poszo aalogh alla mdaa. I pù comu soo: quartl (Q ); dcl (d ); prctl (p ). QUARTILI: I quartl soo 3:. Q : ¼ d trm a sstra ¾ a dstra;. Q : ½ a sstra ½ a dstra; 3. Q 3 : ¾ a sstra ¼ a dstra. Caso : ~ utà o modaltà: luogo dlla dstrbuzo ossrvata d u.s. s dtrma ua uova, *, sml a ssa, modo ch * sa cotmporaamt multplo d d 4. S cofrotao valor dll frquz cumulat pr la uova dstrbuzo * co: *. 4 pr Q ; *. pr Q ; 3 * 3. 4 pr Q 3. Caso : ~ class: s procd modo aalogo a qullo vsto pr la dtrmazo dlla. Prma s dvdua la class cu cad cascu quartl po l valor bas all pots dll stogramma alla ota proporzo: Ara(Q ) : a(q ) Ara[ -, Q ] : a[ -, Q ]. DECILI: soo 9. Il prmo (d ) bpartsc la dstrbuzo modo da lascar /0 d trm alla sua sstra rstat 9/0 alla sua dstra. S procd modo aalogo al calcolo d quartl, s cosdra qud ua uova dstrbuzo, tal ch * sa multplo d d 0. Ioltr: d 5 PERCETILI: soo 99. Il prmo (p ) bpartsc la dstrbuzo modo da lascar /00 d trm alla sua sstra rstat 99/00 alla sua dstra. PROPRIETÀ DELLA EDIAA. La somma d valor assolut dgl scart d valor ossrvat dalla mdaa è u mmo, rsptto alla somma d valor assolut dgl scart d valor ossrvat da u qualsas altro valor: m. La mdaa o è afftta dalla prsza d valor aomal (o outlr). Doct: Fabo Allo A.A. 00/ 5

6 Apput d Statstca Socal Uvrstà Kor d Ea LA EDIA ARITETICA Ua mda è u dc ch sprm ua sts d ua dstrbuzo statstca smplc. Dfzo d Chs: Data ua dstrbuzo smplc d valor,,,,,, ua mda è la quattà μ (o, caso d campo) ch, s sosttuta a cascu trm dlla dstrbuzo, lasca altrato l rsultato dll applcazo dlla fuzo f( ) a trm dlla dstrbuzo stssa: f(,,,,, ) f(μ, μ,, μ). Il tpo d mda camba al varar dlla fuzo applcata a dat. Così, s:. f( ) Σ( ) è la somma, allora: f (,,,,, ) f(μ, μ,, μ,, μ) μ+μ+ +μ+ +μ μ l du quattà soo ugual pr dfzo, qud: Esmpo 4: μ μ.,, 4, 7, 7, 7, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 3, 4, 7, 7, 3, 3 4, μ 4, Quado s ha ua dstrbuzo d valor pr utà, com l caso sopra rportato, l umrator è la somma d tutt l ossrvazo, la mda μ è la mda artmtca smplc. Quado, vc, s ha ua dstrbuzo d frquza pr () modaltà l umrator è la somma d prodott dll modaltà pr l rspttv frquz, la mda μ è la mda artmtca podrata: μ K K. f( ) Π( ) è l prodotto, allora: μ μ μ μ μ da cu s ott la mda gomtrca pr utà: μ g la mda gomtrca pr () modaltà: μ g Doct: Fabo Allo A.A. 00/ 6

7 Apput d Statstca Socal Uvrstà Kor d Ea f f f dato ch: f μg. 3. f( ) è la somma d quadrat, allora: ( ) +( ) + +( ) + +( ) μ + μ + + μ + + μ μ da cu s ott la mda quadratca pr utà: la mda quadratca pr () modaltà: q K K q f PROPRIETÀ DELLA EDIA ARITETICA. Uctà smplctà: pr u dato sm d ossrvazo sst ua d ua sola mda artmtca.. La somma algbrca dgl scart dll ossrvazo dallo loro mda μ è ugual a zro: 0 ( μ) μ ( ). La somma d quadrat dgl scart dll ossrvazo dalla loro mda è u mmo rsptto alla somma d quadrat dgl scart dll da ua qualsas altro valor: ( μ) m L ultma è ua dll proprtà pù mportat dlla mda, prché garatsc la qualtà dll dc d varabltà assocato alla mda artmtca. Qusta quattà è ota com dvaza. U lmt dlla mda artmtca rsd l fatto ch è afftta da valor aomal o outlrs. Doct: Fabo Allo A.A. 00/ 7

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