13. EQUAZIONI ALGEBRICHE

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "13. EQUAZIONI ALGEBRICHE"

Transcript

1 G. Smmito, A. Bernrdo, Formulrio di mtemti Equzioni lgerihe F. Cimolin, L. Brlett, L. Lussrdi. EQUAZIONI ALGEBRICHE. Prinipi di equivlenz Si die identità un'uguglinz tr due espressioni ontenenti un o più vriili he è ver per tutti i vlori he si possono ttriuire lle vriili, purhé le espressioni ino signifito. Esempio: ( ) ; quest uguglinz è ver per qulsisi vlore delle vriili e. Si die equzione un uguglinz tr due espressioni lgerihe ontenenti un o più vriili, dette inognite, verifit solo per determinti vlori delle inognite. Esempio: + è verifit per, inftti +, m non è verifit per ltri vlori di, per esempio per risult + flso. Si himno soluzioni di un equzione i vlori he sostituiti lle inognite rendono ver l'equzione. Risolvere un'equzione signifi trovre l'insieme di tutte le soluzioni dell'equzione. Due equzioni si diono equivlenti se hnno lo stesso insieme di soluzioni. Primo prinipio di equivlenz: dt un'equzione, ggiungendo entrmi i memri uno stesso numero od un stess espressione ontenente l'inognit si ottiene un'equzione equivlente. Se si ggiunge un'espressione he dipende d un'inognit non si devono modifire le ondizioni di esistenz dell equzione stess. Esempio: dt l equzione si può ggiungere entrmi i memri +, si ottiene l equzione equivlente + +. Conseguenze dirette del primo prinipio di equivlenz sono l regol del trsporto e l regol di nellzione. Regol del trsporto: dt un'equzione, trsportndo un termine d un memro ll'ltro e mindolo di segno si ottiene un'equzione equivlente. Esempio: dt l equzione + 5 possimo portre + dopo l ugule e prim dell ugule, ottenimo l equzione equivlente 5. Regol di nellzione: dt un'equzione, termini uguli presenti in entrmi i memri possono essere nellti, ottenendo un'equzione equivlente. Esempio: dt l equzione possimo nellre prim dell ugule e lo stesso dopo l ugule, ottenendo l equzione equivlente + 5. Seondo prinipio di equivlenz: dt un'equzione, moltiplindo mo i memri per un numero diverso d zero si ottiene un'equzione equivlente. Si può nhe moltiplire per un'espressione ontenente l'inognit purhé l espressione non si nnulli qulunque si il vlore dell'inognit stess, e he non restring le ondizioni di esistenz. Esempio: dt l equzione possimo dividere primo e seondo memro per ottenendo l equzione equivlente, semplifindo. Conseguenze dirette del seondo prinipio di equivlenz sono: Regol dell divisione per un fttore omune diverso d zero: dt un'equzione in ui tutti i termini hnno un fttore omune diverso d zero, dividendo per tle numero si ottiene un'equzione equivlente. Esempio: nell equzione si possono semplifire tutti i termini per, si ottiene l equzione equivlente + 6. Regol del mimento di segno: dt un'equzione, mindo segno tutti i termini di

2 G. Smmito, A. Bernrdo, Formulrio di mtemti Equzioni lgerihe F. Cimolin, L. Brlett, L. Lussrdi entrmi i memri si ottiene un'equzione equivlente. Esempio: nell equzione si possono mire di segno tutti i termini ottenendo l equzione equivlente. Un equzione si die equzione lgeri o polinomile se è rionduiile, medinte i prinipi di equivlenz, un polinomio uguglito zero. Il grdo del polinomio è detto grdo dell equzione. Teorem fondmentle dell lger: ogni equzione lgeri di grdo n mmette esttmente n soluzioni nell insieme dei numeri omplessi (lune delle soluzioni possono oinidere).. Equzioni di primo grdo Un'equzione di primo grdo si può sempre riondorre lll form normle + 0 L soluzione dipende di vlori delle ostnti e : se 0 e 0 l'equzione non h soluzione e si die impossiile se 0 l'equzione è soddisftt per qulsisi vlore dell vriile e si die indetermint se 0 l'equzione si die determint ed h un e un sol soluzione. Equzioni frtte o frzionrie: sono le equzioni in ui l inognit ompre l denomintore. Le equzioni frzionrie si risolvono seguendo i pssi: o stilire l insieme di definizione, ossi esludere i vlori dell inognit he nnullno i denomintori. o lolre il denomintore omune e ridurre tutte le frzioni llo stesso denomintore omune o eliminre i denomintori omuni o risolvere l equzione inter ottenut o verifire se le soluzioni trovte pprtengono ll insieme di definizione. Esempio: Somporre in fttori i denomintori + ( )( + ) + Rier delle ondizioni di esistenz o insieme di definizione: porre i denomintori diversi d 0: + 0 e 0, ioè + Ridurre tutte le frzioni llo stesso denomintore ( + ) ( ) + ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ) Elimre i denomintori omuni e risolvere l equzione + + ( ) ( ) l soluzione è ettile in qunto è divers d + e d -.

3 G. Smmito, A. Bernrdo, Formulrio di mtemti Equzioni lgerihe F. Cimolin, L. Brlett, L. Lussrdi. Equzioni di seondo grdo Un'equzione di seondo grdo o qudrti, in un sol vriile oeffiienti reli, è rionduiile ll form normle on 0 Equzione inomplet pur: un'equzione di seondo grdo inomplet pur è dell form + 0. Si risolve nel seguente modo: + 0, ± Se > 0 l equzione mmette due soluzioni reli opposte. Se < 0 l equzione non mmette soluzioni reli, mmette due soluzioni immginrie. Se 0 l equzione si present nell form 0 ed h ome uni soluzione (doppi) 0 9 Esempio: 9 0, ± Equzione inomplet spuri: un'equzione spuri di seondo grdo è dell form + 0. Si risolve nel seguente modo: Rogliendo fttore omune l'equzione si srive ome ( + ) 0 Per l legge di nnullmento del prodotto le due soluzioni (reli) sono 0 e. 5 Esempio: 5 0 ( 5) 0 0, Equzione omplet: un'equzione omplet di seondo grdo si present nell form ± Si risolve per mezzo dell formul risolutiv, ± Se il oeffiiente è pri si può utilizzre nhe l formul ridott:, Se e è pri si può utilizzre l formul dett ridottissim, ± L quntità Δ si him disriminnte, seond del segno he ssume si h:. Δ > 0 due soluzioni reli distinte: Δ e + Δ. Δ 0 due soluzioni reli oinidenti:. Δ < 0 nessun soluzione rele, due soluzioni omplesse oniugte: i Δ e + i Δ

4 G. Smmito, A. Bernrdo, Formulrio di mtemti Equzioni lgerihe F. Cimolin, L. Brlett, L. Lussrdi Esempi: ± 5 5± 56 5± pplindo l formul risolutiv, le soluzioni sono Si può pplire l formul ridottissim, ± 9 5 ± ±, le soluzioni sono + 5. Relzioni fr i oeffiienti e le rdii di un equzione di grdo Dt un'equzione di seondo grdo + + 0, he h ome soluzioni e, fr le rdii e i oeffiienti,, sussistono le seguenti relzioni: Somm delle rdii: + Prodotto delle rdii: Pertnto un equzione di seondo grdo si può sempre srivere nell form S+ P 0, dove S è l somm delle soluzioni, P è il prodotto delle soluzioni: S +, P Altre relzioni Differenz delle rdii: Somm dei reiproi delle rdii: + Somm dei qudti delle rdii: + Somm dei reiproi dei qudrti delle rdii: + Somm dei ui delle rdii: + Somm dei reiproi dei ui delle rdii: + D queste relzioni disendono le seguenti proprietà: - Le rdii sono opposte se e solo se 0 - Le rdii sono reiprohe se e solo se - Le rdii sono ntireiprohe se e solo se - Un rdie è zero se e solo se 0 - Se Δ > 0, llor le rdii sono onordi se e solo se > 0, e sono disordi se e solo se < 0

5 G. Smmito, A. Bernrdo, Formulrio di mtemti Equzioni lgerihe F. Cimolin, L. Brlett, L. Lussrdi 5. Regol dei segni o regol di Crtesio (equzioni di grdo) Dt l equzione on Δ 0 ogni permnenz nei segni dei oeffiienti orrisponde un soluzione negtiv, ogni vrizione dei segni nei oeffiienti orrisponde un soluzione positiv. Più preismente: due permnenze, quindi due soluzioni negtive un permnenz e un vrizione: un soluzione negtiv, un positiv un vrizione e un permnenz: un soluzione positiv e un negtiv due vrizioni: due soluzioni positive 6. Somposizione di un trinomio di seondo grdo Dto un trinomio + +, e dette, le soluzioni dell'equzione + + 0, risult + + ( )( ) Esempio: Dto il trinomio Le soluzioni di sono 5 ± ±, ; Il trinomio si sompone ( + ) Equzioni prmetrihe (di grdo) Si diono equzioni prmetrihe le equzioni he ontengono, oltre ll inognit solitmente indit on l letter, nhe un o più lettere dette prmetri. Le soluzioni vrino seond dei vlori dei prmetri. Determinre le soluzioni qundo è ssegnto il vlore del prmetro. Esempio: k + ( k ) + k + 0, determinre le soluzioni per k- Svolgimento. Sostituire k il vlore ssegnto e risolvere l equzione ( ) + ( ) + 0 divent 0, le soluzioni sono ( + ) 0 0; Determinre il vlore del prmetro qundo è ssegnt un soluzione dell equzione. Esempio: k + ( k ) + k + 0, determinre k in modo he l equzione i soluzione 9. Svolgimento. Sostituire il vlore dell soluzione ll e risolvere l equzione nell inognit k 7 k9 + ( k ) 9 + k+ 0 8k+ 9k 8 + k+ 0 9k 7 k 9 Determinre il vlore del prmetro in modo he le soluzioni sino opposte Esempio: k + ( k ) + k + 0, determinre k in modo he Svolgimento. Imporre S0, l somm delle soluzioni null: k S k 0 k k Determinre il vlore del prmetri in modo he le soluzioni sino uguli Esempio: k + ( k ) + k + 0, determinre k in modo he Svolgimento. Imporre Δ 0 B AC 0 ( k) k ( k+ ) 0 ( ) k k k 6k 0 0k k dividendo per - 5k + 8k 0 k, ± 6+ 0 ± 6 k 0; k + Determinre il vlore del prmetro in modo he l somm delle soluzioni si un vlore 5

6 G. Smmito, A. Bernrdo, Formulrio di mtemti Equzioni lgerihe F. Cimolin, L. Brlett, L. Lussrdi numerio ssegnto. Esempio: k + ( k ) + k + 0, determinre k in modo he + k Svolgimento. Imporre S k k k k Determinre il vlore del prmetro in modo he il prodotto delle soluzioni si un vlore numerio ssegnto Esempio: k + ( k ) + k + 0, determinre k in modo he k+ Svolgimento. Imporre P k+ k k k Determinre il vlore del prmetro in modo he l equzione i rdii reli e distinte Esempio: ( k ) + k+ k+ 0, determinre k in modo he l equzione i due rdii reli e distinte. Svolgimento. Δ> 0 > 0 ( )( ) ( ) k k k+ > 0 k k k > 0 k k + k+ 8> 0 k+ 8> 0 k > Determinre il vlore del prmetro in modo he l somm dei reiproi delle soluzioni si un vlore numerio ssegnto. Esempio: ( k+ ) + k 0, determinre k in modo he + + S Svolgimento. + ; S k+ ; P k ; sostituendo si h: P k + k + k k k k Determinre il vlore del prmetro in modo he l somm dei qudrti delle rdii si un vlore numerio ssegnto. k+ + k 0, determinre k in modo he + Esempio: ( ) Svolgimento. ( ) + + S P ; riprendendo i vlori di S e di P k+ k k + k+ k k 0 k 0. ottenuti l punto preedente imo ( ) Anlisi dell esistenz in R e del segno delle rdii l vrire di un prmetro k+ k+ k 0 Esempio: ( ) ( )( ) Δ 0 k k+ k 0 k k+ 0 k 0 0 k 0 k 0 Δ 0 0 k 0 k - 0 so k<-/; Δ< 0 nessun rdie rele. so k-/; Δ 0 due rdii reli e oinidenti; vrizioni rdii positive. so -/<k<-; Δ> 0 rdii; vrizioni rdii positive. so k-; si nnull il oeffiiente di equzione di grdo rdie; positiv. 5 so -<k<0; Δ> 0 rdii; permnenz e vrizione rdie positiv e negtiv. 6 so k0; si nnull il oeffiiente di equzione inomplet pur rdii opposte. 7 so 0<k<; Δ> 0 rdii; vrizione e permnenz rdie positiv e negtiv. 8 so k; si nnull il termine noto equzione spuri rdie 0, rdie positiv. 6

7 G. Smmito, A. Bernrdo, Formulrio di mtemti Equzioni lgerihe F. Cimolin, L. Brlett, L. Lussrdi 9 so k>; Δ> 0 rdii; vrizioni rdii positive. 8. Equzioni rionduiili equzioni di seondo grdo Equzioni reiprohe, sono quelle in ui i oeffiienti dei termini equidistnti dgli estremi sono uguli due due oppure opposti due due. Esempi + 0, si nnull per -, on l regol di Ruffini si ss di grdo , si nnull si per, si per -, si può pplire due volte l regol di Ruffini. n Equzioni inomie, sono quelle he si possono srivere nell form + 0, on n intero positivo; le soluzioni sono ± n se n è pri n se n è dispri Purhé queste rdii esistno. Esempi 9 0 ± ( 9)( + 9) non h soluzioni reli n n n Equzioni trinomie, si presentno nell form + + 0, si risolvono sostituendo t, dll sostituzione si ottiene un equzione di grdo. Esempio: , questo tipo di equzione è nhe dett iqudrti, sostituendo t 6± 6 si h t 6t+ 8 0, he h per soluzioni t,, tenendo onto dell sostituzione ± si h ± Altre equzioni possono essere riondotte uno dei si preedenti on opportune sostituzioni. Esempio ( ) 8 0 si risolve sostituendo t, si ottiene t 8 0 t 8 t riordndo l sostituzione preedente si h. 9. Equzioni di terzo grdo Un'equzione di terzo grdo in form normle si present ome Affinhé l'equzione si effettivmente di terzo grdo deve risultre 0, dividendo quindi per l equzione si può srivere nell form so: se 0, mettendo in evidenz l'equzione divent ( + + ) 0. Pertnto un soluzione è 0, le ltre si trovno risolvendo l'equzione di seondo grdo so: se 0 (in tl so 0 non è soluzione), operndo il mimento di vriile 7

8 G. Smmito, A. Bernrdo, Formulrio di mtemti Equzioni lgerihe F. Cimolin, L. Brlett, L. Lussrdi y +, d ui y, l'equzione divent y y + y + y + y + y Eseguendo le somme si rriv y + y( ) Posto p e q +, l'equzione divent 7 y + py + q 0 () Nel seguito vedremo un metodo per risolvere l equzione (). p Operndo il mimento di vriile y z, l'equzione si risrive ome z p p p z pz + + pz + q 0 z 7z z Eseguendo le somme e moltiplindo mo i memri per 6 p z si rriv 0 p Ponendo t z, si trov un'equzione di seondo grdo t + qt 0 7 q q p le ui soluzioni sono t ± + 7 e riordndo l sostituzione t z z + qz 7 q q p z ± + 7 Riordndo le ltre sostituzioni effettute si rriv ll seguente formul risolutiv dell () not ome formul di Crdno q q p q q p y Per ottenere il vlore di st riordre he y q q p q q p Ponendo u + + e 7 7 srivere ome y u+ v u+ v uv y + i u+ v uv y i q p Il disriminnte dell equzione di grdo è Δ + 7 Se Δ> 0 l equzione h rdie rele e omplesse oniugte Se Δ 0 l equzione h rdii reli di ui oinidenti v +, le tre soluzioni dell equzione si possono 8

9 G. Smmito, A. Bernrdo, Formulrio di mtemti Equzioni lgerihe F. Cimolin, L. Brlett, L. Lussrdi Se Δ< 0 l equzione h rdii reli. 0. Equzioni di qurto grdo Un'equzione di qurto grdo in form normle si srive ome d + e 0, ltrimenti il grdo dell'equzione sree inferiore. on 0 so: se e 0 si può rogliere fttor omune, ottenendo ( d) 0, pertnto un soluzione è 0, le ltre tre si trovno risolvendo l'equzione di terzo grdo d 0. so: se e 0 llor 0 non è soluzione dell'equzione. Operndo il mio di vriile y l'equzione divent y + y + y + d y + e 0 Svolgendo i loli si riondue l'equzione quest form d d y + y y Ponendo A 6, d d B, C +, l'equzione si risrive nell form y + Ay By + C Aggiungendo A d mo i memri si ottiene, ll sinistr dell'ugule, un qudrto perfetto ( y + A) By + C + A Aggiungendo or w + Aw + wy (on w per il momento nor d determinre) si ottiene ( y + A + w) wy + By + w + Aw + A + C Seglimo w in modo he il memro di destr si un qudrto perfetto, per fr questo st lolrne il disriminnte rispetto y e porlo ugule zero B 8w( w + Aw + A + C) 0 Quest è un'equzione di terzo grdo oeffiienti reli, pertnto mmette (lmeno) un soluzione rele. Si D tle soluzione (rele), llor l'equzione di qurto grdo divent B ( y + A + D) D( y + ) D Estrendo l rdie qudrt si trovno due equzioni seondo grdo y B + A + D Dy + D D y A D B + + Dy D D Risolvendo tli equzioni si trovno quttro vlori di y, e riordndo he y si determinno le quttro soluzioni dell'equzione di prtenz. 9

Δlessio abelli. Studente di Matematica Sapienza - Università di Roma. Dipartimento di Matematica Guido Castelnuovo

Δlessio abelli. Studente di Matematica Sapienza - Università di Roma. Dipartimento di Matematica Guido Castelnuovo Δlessio elli Studente di Mtemti Spienz - Università di Rom Diprtimento di Mtemti Guido Cstelnuovo we-site: www.selli87.ltervist.org EQUAZIONI DI II GRADO. DEFINIZIONI Si die equzione di seondo grdo nell

Dettagli

La parabola. Fuoco. Direttrice y

La parabola. Fuoco. Direttrice y L prol Definizione: si definise prol il luogo geometrio dei punti del pino equidistnti d un punto fisso detto fuoo e d un rett fiss dett direttrie. Un rppresentzione grfi inditiv dell prol nel pino rtesino

Dettagli

Unità Didattica N 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita

Unità Didattica N 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit 0) L definizione di equzione di seondo grdo d un inognit 0) L risoluzione delle equzioni di

Dettagli

VERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

VERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE VERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE Soluzioni di quesiti e prolemi trtti dl Corso Bse Blu di Mtemti volume 5 [] (Es. n. 8 pg. 9 V) Dell prol f ( ) si hnno le seguenti informzioni, tutte

Dettagli

8 Equazioni parametriche di II grado

8 Equazioni parametriche di II grado Equzioni prmetrihe di II grdo Un equzione he oltre ll inognit (o lle inognite) ontiene ltre lettere (un o più) si die letterri o prmetri e le lettere sono himte, nhe, prmetri; si suppong he l equzione

Dettagli

Lezione 7: Rette e piani nello spazio

Lezione 7: Rette e piani nello spazio Lezione 7: Rette e pini nello spzio In quest lezione i metteremo in un riferimento rtesino ortonormle dello spzio. I primi oggetti geometrii he individuimo sono le rette e i pini. Per qunto rigurd le rette

Dettagli

2^ Lezione. Equazioni di 1. Equazioni di 2. Equazioni fattoriali. Equazioni biquadratiche. Equazioni binomie. Equazioni fratte. Allegato Esercizi.

2^ Lezione. Equazioni di 1. Equazioni di 2. Equazioni fattoriali. Equazioni biquadratiche. Equazioni binomie. Equazioni fratte. Allegato Esercizi. Corso di Anli Alger di Bse ^ Lezione Equzioni di. Equzioni di. Equzioni fttorili. Equzioni iqudrtihe. Equzioni inomie. Equzioni frtte. Allegto Eserizi. EQUAZIONI ALGEBRICHE EQUAZIONI DI GRADO Con il termine

Dettagli

FUNZIONI MATEMATICHE. Una funzione lineare è del tipo:

FUNZIONI MATEMATICHE. Una funzione lineare è del tipo: FUNZIONI MATEMATICHE Le relzioni mtemtihe utilizzte per desrivere fenomeni nturli, in iologi ome in ltre sienze, possono ovvimente essere le più svrite. Per lo più si trtt di equzioni lineri, qudrtihe,

Dettagli

VERIFICA DI UN CIRCUITO RESISTIVO CONTENENTE PIÙ GENERATORI CON UN TERMINALE COMUNE E SENZA TERMINALE COMUNE.

VERIFICA DI UN CIRCUITO RESISTIVO CONTENENTE PIÙ GENERATORI CON UN TERMINALE COMUNE E SENZA TERMINALE COMUNE. FCA D UN CCUTO SSTO CONTNNT PÙ GNATO CON UN TMNAL COMUN SNZA TMNAL COMUN. Si verifino quttro iruiti on due genertori: genertori on polrità onorde e un terminle omune genertori on polrità disorde e un terminle

Dettagli

a è detta PARTE LETTERALE

a è detta PARTE LETTERALE I MONOMI Si die MONOMIO un espressione letterle in ui le unihe operzioni presenti sino il prodotto e l divisione. Esempio è detto COEFFICIENTE del monomio e è dett PARTE LETTERALE Un monomio si die ridotto

Dettagli

Le equazioni di grado superiore al secondo

Le equazioni di grado superiore al secondo Le equzioni di grdo superiore l secondo ITIS Feltrinelli nno scolstico 007-008 R. Folgieri 007-008 1 Teorem fondmentle dell lger Ogni equzione lgeric di grdo n h sempre n soluzioni, che possono essere

Dettagli

B8. Equazioni di secondo grado

B8. Equazioni di secondo grado B8. Equzioni di secondo grdo B8.1 Legge di nnullmento del prodotto Spendo che b0 si può dedurre che 0 oppure b0. Quest è l legge di nnullmento del prodotto. Pertnto spendo che (-1) (+)0 llor dovrà vlere

Dettagli

] + [ ] [ ] def. ] e [ ], si ha subito:

] + [ ] [ ] def. ] e [ ], si ha subito: OPE OPERAZIONI BINARIE Definizione di operzione inri Dto un insieme A non vuoto, si him operzione (inri) su A ogni pplizione di A in A In generle, un'operzione su A viene indit on il simolo Se (x, y) è

Dettagli

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n.

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n. AUTOVALORI ED AUTOVETTORI Si V uno spzio vettorile di dimensione finit n. Dicesi endomorfismo di V ogni ppliczione linere f : V V dello spzio vettorile in sé. Se f è un endomorfismo di V in V, considert

Dettagli

Le equazioni di secondo grado. Appunti delle lezioni di Armando Pisani A.S Liceo Classico Dante Alighieri (GO)

Le equazioni di secondo grado. Appunti delle lezioni di Armando Pisani A.S Liceo Classico Dante Alighieri (GO) Le equzioni di seondo grdo Appunti delle lezioni di Armndo Pisni A.S. 3- Lieo Clssio Dnte Alighieri (GO) Not Questi ppunti sono d intendere ome guid llo studio e ome rissunto di qunto illustrto durnte

Dettagli

Relazioni e funzioni. Relazioni

Relazioni e funzioni. Relazioni Relzioni e unzioni Relzioni Deinizione: dti due insiemi A e B, si deinise un relzione R tr A e B un orrispondenz stilit d un proposizione tr un elemento A e B, in tl so si die he è in relzione on e si

Dettagli

Equazioni di secondo grado Capitolo

Equazioni di secondo grado Capitolo Equzioni i seono gro Cpitolo Risoluzione lgeri Verifi per l lsse seon COGNOME............................... NOME............................. Clsse.................................... Dt...............................

Dettagli

A.A.2009/10 Fisica 1 1

A.A.2009/10 Fisica 1 1 Mhine termihe e frigoriferi Un mhin termi è un mhin he, grzie un sequenz i trsformzioni termoinmihe i un t sostnz, proue lvoro he può essere utilizzto. Un mhin solitmente lvor su i un ilo i trsformzioni

Dettagli

I PRODOTTI NOTEVOLI. Nel calcolo letterale capita spesso di incontrare moltiplicazioni tra particolari polinomi.

I PRODOTTI NOTEVOLI. Nel calcolo letterale capita spesso di incontrare moltiplicazioni tra particolari polinomi. I PRODOTTI NOTEVOLI Nel lolo letterle pit spesso di inontrre moltiplizioni tr prtiolri polinomi. I reltivi sviluppi si ottengono pplindo le regole fin qui viste, m i risultti, opportunmente semplifiti,

Dettagli

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Autore: Enrio Mnfui - 30/04/0 EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Le equzioni di seondo grdo in un inognit sono uguglinze di due polinomi di ui lmeno uno è di seondo grdo e l ltro è di grdo minore o ugule due.

Dettagli

Esercizi della 8 lezione sulla Geomeria Linere ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA ESERCIZI SULLA PARABOLA ESERCIZI SULL' ELLISSE ERCIZI SULL' IPERBOLE

Esercizi della 8 lezione sulla Geomeria Linere ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA ESERCIZI SULLA PARABOLA ESERCIZI SULL' ELLISSE ERCIZI SULL' IPERBOLE Eserizi dell lezione sull Geomeri Linere ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA ESERCIZI SULLA PARABOLA ESERCIZI SULL' ELLISSE ES ERCIZI SULL' IPERBOLE ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA. Determinre l equzione dell ironferenz

Dettagli

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito.

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito. Integrli de niti. Il problem di clcolre l re di un regione pin delimitt d gr ci di funzioni si può risolvere usndo l integrle de nito. L integrle de nito st l problem del clcolo di ree come l equzione

Dettagli

Equazioni di 2 grado. Definizioni Equazioni incomplete Equazione completa Relazioni tra i coefficienti della equazione e le sue soluzioni Esercizi

Equazioni di 2 grado. Definizioni Equazioni incomplete Equazione completa Relazioni tra i coefficienti della equazione e le sue soluzioni Esercizi Equzioni di grdo Definizioni Equzioni incomplete Equzione complet Relzioni tr i coefficienti dell equzione e le sue soluzioni Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni Un equzione è: Un uguglinz

Dettagli

Equazioni 1 grado. Definizioni Classificazione Risoluzione Esercizi

Equazioni 1 grado. Definizioni Classificazione Risoluzione Esercizi Equzioni grdo Definizioni Clssificzione Risoluzione Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni Prendimo in esme le due espressioni numeriche 8 entrmbe sono uguli 7, e l scrittur si chim uguglinz

Dettagli

Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO ALGEBRA

Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO ALGEBRA Liceo Scientifico G. Slvemini Corso di preprzione per l gr provincile delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO ALGEBRA PROPRIETA DELLE POTENZE PRODOTTI NOTEVOLI QUESITO SUGGERIMENTO y è un espressione non

Dettagli

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica Nome Cognome cls 5D 18 Mrzo 01 Problem Verific di mtemtic In un sistem di riferimento crtesino Oy, si consideri l funzione: ln f ( > 0 0 e si determini il vlore del prmetro rele in modo tle che l funzione

Dettagli

Scomposizione di polinomi 1

Scomposizione di polinomi 1 Somposizione i un polinomio Cpitolo Somposizione i polinomi 1 erifi per l lsse prim COGNOME............................... NOME............................. Clsse.................................... Dt...............................

Dettagli

COMBINAZIONI DI CARICO SOLAI

COMBINAZIONI DI CARICO SOLAI COMBINAZIONI DI CARICO SOLAI (ppunti di Mrio Zfonte in fse di elorzione) Ai fini delle verifihe degli stti limite, seondo unto indito dll normtiv, in generle le ondizioni di rio d onsiderre, sono uelle

Dettagli

b a ax b 0 Equazione lineare B) Equazioni di 2 grado incomplete: ax 2 0 Equazione monomia x 2 0

b a ax b 0 Equazione lineare B) Equazioni di 2 grado incomplete: ax 2 0 Equazione monomia x 2 0 www.esmths.ltervist.org EQUZIONI DI GRDO SUPERIORE L SECONDO PREMESS Finor simo cpci di risolvere solo equzioni di primo e di secondo grdo. imo imprto che isogn prim condurle form cnonic e poi procede

Dettagli

3. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive (Ref p.14)

3. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive (Ref p.14) . Funzioni iniettive, suriettive e iiettive (Ref p.4) Dll definizione di funzione si ricv che, not un funzione y f( ), comunque preso un vlore di pprtenente l dominio di f( ) esiste un solo vlore di y

Dettagli

Test di autovalutazione

Test di autovalutazione UNITÀ ELEMENTI DI CALCOLO ALGEBRICO Test di utovlutzione 0 0 0 0 0 0 60 0 80 90 00 n Il mio punteggio, in entesimi, è n Rispondi ogni quesito segnndo un sol delle lterntive. n Confront le tue risposte

Dettagli

{ 3 x y=4. { x=2. Sistemi di equazioni

{ 3 x y=4. { x=2. Sistemi di equazioni Sistemi di equzioni Definizione Un sistem è un insieme di equzioni che devono essere verificte contempornemente, cioè devono vere contempornemente le stesse soluzioni. Definimo grdo di un sistem il prodotto

Dettagli

ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESPONENZIALI E LOGARITMI ESPONENZIALI E LOGARITMI 1 se 0, per ogni R ; Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se >0: Sono definite: se >0: Non sono definite: Csi prticolri: Le proprietà delle

Dettagli

1) Si ha quindi Un cateto è uguale al prodotto dell ipotenusa per il seno dell angolo opposto.

1) Si ha quindi Un cateto è uguale al prodotto dell ipotenusa per il seno dell angolo opposto. Trigonometri prte esy mtemti Elin pgin TRIANGOLO RETTANGOLO Considerimo i tringoli rettngoli OPQ e OP ' Q A γ C Essi sono simili per ui Q P : QP OP : OP Essendo Q ' P ' QP sin OP OP ottenimo : sen : e

Dettagli

Salvatore Loris Pelella. Corso di. Matematica RCS LIBRI EDUCATION SPA

Salvatore Loris Pelella. Corso di. Matematica RCS LIBRI EDUCATION SPA Slvtore Loris Pelell Corso di Mtemtic RCS LIBRI EDUCATION SPA ISBN 88-45-084-3 004 RCS Libri S.p.A.- Milno Prim edizione: gennio 004 Ristmpe 004 005 006 3 4 5 Stmp: V. Bon, Torino Coordinmento editorile

Dettagli

Stabilità dei sistemi di controllo in retroazione

Stabilità dei sistemi di controllo in retroazione Stbilità dei sistemi di controllo in retrozione Criterio di Nyquist Il criterio di Nyquist Estensione G (s) con gudgno vribile Appliczione sistemi con retrozione positiv 2 Criterio di Nyquist Stbilità

Dettagli

Es1 Es2 Es3 Es4 Es5 tot

Es1 Es2 Es3 Es4 Es5 tot Ottore lsse E Verifi sommtiv Cognome Nome rgomenti: onihe, funzione esponenzile e grfii derivti Tempo disposizione: ore Voto Es Es Es Es Es tot.... Considert l ellisse vente ome sse fole l sse, eentriità

Dettagli

Teoria in sintesi ESPONENZIALI. Potenze con esponente reale. La potenza. Sono definite: Non sono definite: Casi particolari :

Teoria in sintesi ESPONENZIALI. Potenze con esponente reale. La potenza. Sono definite: Non sono definite: Casi particolari : Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se >, per ogni R se, per tutti e soli gli R se

Dettagli

Esercitazione di Matematica sulle equazioni di secondo grado (o ad esse riconducibili) nel campo reale

Esercitazione di Matematica sulle equazioni di secondo grado (o ad esse riconducibili) nel campo reale Esercitzione di Mtemtic sulle equzioni di secondo grdo (o d esse riconducibili) nel cmpo rele 1. Risolvere, nel cmpo rele, le seguenti equzioni di secondo grdo: () 81x 0; (b) (x 1) 7x ; (c) 7x x 0; (d)

Dettagli

U.D.1:ripetizione. U.D.1: piano cartesiano. U.D.2 :La retta. U. D.3 : I sistemi. U.D.1: Le equazioni fratte U.D.1:Disequazioni di primo grado

U.D.1:ripetizione. U.D.1: piano cartesiano. U.D.2 :La retta. U. D.3 : I sistemi. U.D.1: Le equazioni fratte U.D.1:Disequazioni di primo grado U.D.1:ripetizione U.D.1: pino rtesino U.D.2 :L rett U. D.3 : I sistemi U.D.1: Le equzioni frtte U.D.1:Disequzioni di primo grdo Istituzione Solsti MARGHERITA DI SAVOIA Anno Solstio 2014/15 CLASSE II B

Dettagli

Formule di Gauss Green

Formule di Gauss Green Formule di Guss Green In queste lezioni voglimo studire il legme esistente tr integrli in domini bidimensionli ed integrli urvilinei sull frontier di questi. In seguito i ouperemo del problem nlogo nello

Dettagli

Anno 2. Triangoli rettangoli e teorema delle corde

Anno 2. Triangoli rettangoli e teorema delle corde Anno Tringoli rettngoli e teorem delle orde 1 Introduzione In quest lezione impreri d pplire i teoremi di Eulide e di Pitgor e sopriri quli prtiolrità nsondono i tringoli rettngoli on ngoli prtiolri. Infine,

Dettagli

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x Appunti elorti dll prof.ss Biondin Gldi Funzione integrle Si y = f() un funzione continu in un intervllo [; ] e si 0 [; ]; l integrle 0 f()d si definisce Funzione Integrle; si chim funzione integrle in

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle per funzioni di un vribile Lure in Informtic e Comuniczione Digitle A.A. 2013/2014 Università di Bri ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 1 / 40 1 L integrle come limite di

Dettagli

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo:

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo: Sistemi lineri Un equzione linere nelle n incognite x 1, x 2, x,, x n è un equzione nell qule le incognite ppiono solo con esponente 1, ossi del tipo: 1 x 1 + 2 x 2 + x +!+ n x n = b con 1, 2,,, n numeri

Dettagli

POTENZA CON ESPONENTE REALE

POTENZA CON ESPONENTE REALE PRECORSO DI MATEMATICA VIII Lezione ESPONENZIALI E LOGARITMI E. Modic mtemtic@blogscuol.it www.mtemtic.blogscuol.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero rele > 0 ed un numero rele qulunque,

Dettagli

ESERCIZI IN PIÙ ESERCIZI DI FINE CAPITOLO

ESERCIZI IN PIÙ ESERCIZI DI FINE CAPITOLO L RLZIONI L FUNZIONI serizi in più SRIZI IN PIÙ SRIZI I FIN PITOLO TST Nell insieme ell figur, l relzione rppresentt goe ell o elle proprietà: TST L relzione «essere isenente i», efinit nell insieme egli

Dettagli

La rappresentazione per elencazione consiste nell elencare tutte le coppie ordinate che verificano la relazione

La rappresentazione per elencazione consiste nell elencare tutte le coppie ordinate che verificano la relazione RELAZIONI E FUNZIONI Relzioni inrie Dti ue insiemi non vuoti e (he possono eventulmente oiniere), si ie relzione tr e un qulsisi legge he ssoi elementi elementi. L insieme A è etto insieme i prtenz. L

Dettagli

1 Espressioni polinomiali

1 Espressioni polinomiali 1 Espressioni polinomili Un monomio è un espressione letterle in un vribile x che contiene un potenz inter (non negtiv, cioè mggiori o uguli zero) di x moltiplict per un numero rele: x n AD ESEMPIO: sono

Dettagli

Equazioni di primo grado

Equazioni di primo grado Cpitolo Equzioni i primo gro Equzioni i primo gro erifi per l lsse prim COGNOME............................... NOME............................. Clsse.................................... Dt...............................

Dettagli

Liceo Scientifico Sperimentale anno 2002-2003 Problema 1 Bernardo Pedone. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI anno 2002-2003

Liceo Scientifico Sperimentale anno 2002-2003 Problema 1 Bernardo Pedone. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI anno 2002-2003 Liceo Scientifico Sperimentle nno - Problem Bernrdo Pedone ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI nno - PROBLEMA Nel pino sono dti: il cerchio γ di dimetro OA =, l rett t tngente γ

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Esponenzili e ritmi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se > 0, per ogni R se 0, per tutti e soli gli R se < 0, per tutti e soli gli Z Sono definite: ( ) ( ) ( ) 7 7 Non sono definite:

Dettagli

CORSO ZERO DI MATEMATICA

CORSO ZERO DI MATEMATICA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA ESPONENZIALI E LOGARITMI Dr. Ersmo Modic ersmo@glois.it www.glois.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero

Dettagli

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma INTEGRALI IMPROPRI. Integrli impropri su intervlli itti Dt un funzione f() continu in [, b), ponimo ε f() = f() ε + qundo il ite esiste. Se tle ite esiste finito, l integrle improprio si dice convergente

Dettagli

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI Sintesi di Mtemtic cur di Griell Grzino SCOMPOSIZIONE IN FATTORI ) Rccoglimento fttore comune ( Applicile d un polinomio di un numero qulunque di termini purchè i termini presentino lmeno un letter o un

Dettagli

Definizione. Si chiama similitudine una corrispondenza biunivoca dal piano in sé tale che,

Definizione. Si chiama similitudine una corrispondenza biunivoca dal piano in sé tale che, CAPITOLO 6 LE SIMILITUDINI 6 Rihimi i teori Definizione Si him similituine un orrisponenz iunivo l pino in sé tle he presi ue punti qulunque A B el pino e etti A B i loro orrisponenti si h he esiste un

Dettagli

Valore del parametro Tipo di Equazione Soluzioni Equazione di I grado x = 4. Equazione Spuria x 1 = 0 x 2 = 5 Equazione Completa con < 0

Valore del parametro Tipo di Equazione Soluzioni Equazione di I grado x = 4. Equazione Spuria x 1 = 0 x 2 = 5 Equazione Completa con < 0 Equzioni letterli di II grdo Un equzione letterle di II grdo è un equzione che contiene, oltre l letter che rppresent l incognit dell equzione, ltre lettere, dette prmetri, che rppresentno numeri ben determinti,

Dettagli

È bene attribuire lo stesso verso (orario o antiorario) a tutte le correnti fittizie. E 1 = 6V ; E 4 = 4V ; I o = 2mA. R 1 = R 5 = 2kΩ ; R 4 = 1kΩ

È bene attribuire lo stesso verso (orario o antiorario) a tutte le correnti fittizie. E 1 = 6V ; E 4 = 4V ; I o = 2mA. R 1 = R 5 = 2kΩ ; R 4 = 1kΩ MTODO DLL CONT CCLCH O D MAXWLL TNSON TA DU PUNT D UNA T. LGG D OHM GNALZZATA MTODO DL POTNZAL A NOD TASFOMAZON STLLA-TANGOLO TANGOLO-STLLA prinipi di Kirhhoff onsentono di risolvere un qulunque rete linere,

Dettagli

a b c Triangolo rettangolo In un triangolo rettangolo : un cateto è uguale al prodotto dell ipotenusa per il seno dell angolo opposto al cateto.

a b c Triangolo rettangolo In un triangolo rettangolo : un cateto è uguale al prodotto dell ipotenusa per il seno dell angolo opposto al cateto. Tringolo rettngolo In un tringolo rettngolo : un teto è ugule l prodotto dell ipotenus per il seno dell ngolo opposto l teto. = sen = sen un teto è ugule l prodotto dell ipotenus per il oseno dell ngolo

Dettagli

Vettori - Definizione

Vettori - Definizione Vettori - Definizione z Verso Origine Modulo Direzione V y Form geometri x Form nliti Un vettore è un ente geometrio definito d: - Direzione: rett sull qule gie il vettore, he ne indi l orientmento nello

Dettagli

ESERCIZI ESERCIZI. Test di autoverifica... 206 Prova strutturata conclusiva... 208 ESERCIZI

ESERCIZI ESERCIZI. Test di autoverifica... 206 Prova strutturata conclusiva... 208 ESERCIZI Indice cpitolo Insiemi ed elementi di logic... 7 8 Insiemi... Operzioni con gli insiemi... 8 Introduzione ll logic... 9 Connettivi e tvole di verità... Espressioni proposizionli... 0 Predicti e quntifictori...

Dettagli

4 ; messo in forma = 2. 4 Le tangenti saranno: = x + 8. La circonferenza (Paolo Urbani prima stesura settembre 2002 aggiornamento novembre 2013)

4 ; messo in forma = 2. 4 Le tangenti saranno: = x + 8. La circonferenza (Paolo Urbani prima stesura settembre 2002 aggiornamento novembre 2013) Fsio iproprio di rette prllele r: ipliit risult q r si h: q ; esso in for. onsiderndo he ( ;) q ( q) q e 8 q q q q 6q 6 q ± 6 q 8; q Le tngenti srnno: 8, ; L ironferenz (Polo Urni pri stesur settere ggiornento

Dettagli

Unità 3 Metodi particolari per il calcolo di reti

Unità 3 Metodi particolari per il calcolo di reti Unità 3 Metodi prticolri per il clcolo di reti 1 Cos c è nell unità Metodi prticolri per il clcolo di reti con un solo genertore Prtitore di tensione Prtitore di corrente Metodi di clcolo di reti con più

Dettagli

Appunti di Algebra Lineare. Mappe Lineari. 10 maggio 2013

Appunti di Algebra Lineare. Mappe Lineari. 10 maggio 2013 Appunti di Algebr Linere Mppe Lineri 0 mggio 203 Indie Ripsso di Teori 2. Cos è un mpp linere.................................. 2.2 Aluni ftti importnti................................... 3 2 Eserizi 4

Dettagli

8. Calcolo integrale.

8. Calcolo integrale. Politenio di Milno - Foltà di Arhitettur Corso di Lure in Edilizi Istituzioni di Mtemtihe - Appunti per le lezioni - Anno Ademio 200/20 26 8 Clolo integrle 8 Signifito geometrio dell integrle definito

Dettagli

TEORIA DELLA PROBABILITÀ II

TEORIA DELLA PROBABILITÀ II TEORIA DELLA PROBABILITÀ II Diprtimento di Mtemti ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive Versione [14-15] Indie 1 Clolo omintorio 1 1.1 Introduzione............................................ 1 1.2 Permutzioni...........................................

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT 00 Sessione strordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PRBLEMA Con riferimento un sistem monometrico

Dettagli

Lezione 14. Risoluzione delle equazioni algebriche.

Lezione 14. Risoluzione delle equazioni algebriche. Lezione Prerequisiti: Lezioni 8,. Risoluzione delle equzioni lgebriche. Si F un cmpo, e si K un chiusur lgebric di F. Si f ( ) F[ ] non costnte. Studimo i metodi di risoluzione per l equzione f ( ) = 0,

Dettagli

RADICALI. Q (insieme dei razionali relativi) = numeri che possono essere messi sotto forma di frazioni es: 0,+3;

RADICALI. Q (insieme dei razionali relativi) = numeri che possono essere messi sotto forma di frazioni es: 0,+3; RADICALI In quest sched ti vengono riproposti lcuni concetti ed esercizi che ti dovreero essere fmiliri e che sono indispensili per ffrontre con successo gli studi futuri. INSIEMI NUMERICI Ripsso insiemi

Dettagli

Numeri razionali COGNOME... NOME... Classe... Data...

Numeri razionali COGNOME... NOME... Classe... Data... I numeri rzionli Cpitolo Numeri rzionli Verifi per l lsse prim COGNOME............................... NOME............................. Clsse.................................... Dt...............................

Dettagli

Risoluzione. dei triangoli. e dei poligoni

Risoluzione. dei triangoli. e dei poligoni UNITÀ Risoluzione dei tringoli e dei poligoni TEORI Relzioni tr lti e ngoli di un tringolo qulunque (sleno) riteri per risolvere i tringoli qulunque 3 re dei tringoli 4 erhi notevoli dei tringoli 5 ltezze,

Dettagli

Rapporti e proporzioni numeriche

Rapporti e proporzioni numeriche Rpporti e proporzioni numeriche Rpporti. Per rpporto tr due numeri e b, di cui il secondo diverso d zero, s intende il quoziente estto dell divisione dei due numeri dti, cioè :b oppure /b. Ad esempio dire

Dettagli

Il lemma di ricoprimento di Vitali

Il lemma di ricoprimento di Vitali Il lemm di ricoprimento di Vitli Si I = {I} un fmigli di intervlli ciusi contenuti in R. Diremo ce l fmigli I ricopre l insieme E nel senso di Vitli (oppure ce I è un ricoprimento di Vitli di E) se per

Dettagli

IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. per a = - 2 vale:

IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. per a = - 2 vale: IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. Complet.. Un espressione letterle è.... Per clcolre il vlore numerico di un espressione letterle isogn...... c. Non si possono ssegnre lle lettere che compiono

Dettagli

fattibile con le tecniche elementari che imparerai in seguito. Ad esempio il polinomio

fattibile con le tecniche elementari che imparerai in seguito. Ad esempio il polinomio Scomposizione di un polinomio in fttori Scomporre in fttori primi un polinomio signific esprimerlo come il prodotto di due più polinomi non più scomponibili Ad esempio 9 = ( 3) fttore 1 ( + 3) fttore +

Dettagli

Anno 2. Potenze di un radicale e razionalizzazione

Anno 2. Potenze di un radicale e razionalizzazione Anno Potenze di un rdicle e rzionlizzzione Introduzione In quest lezione impreri utilizzre le ultime due tipologie di operzioni sui rdicli, cioè l potenz di un rdicle e l rdice di un rdicle. Successivmente

Dettagli

+ t v. v 3. x = p + tv, t R. + t. 3 2 e passante per il punto p =

+ t v. v 3. x = p + tv, t R. + t. 3 2 e passante per il punto p = 5. Rette e piani in R 3 ; sfere. In questo paragrafo studiamo le rette, i piani e le sfere in R 3. Ci sono due modi per desrivere piani e rette in R 3 : mediante equazioni artesiane oppure mediante equazioni

Dettagli

I radicali. Cos è un radicale? ESERCIZIO 2.1. Determina le C.E. dei seguenti radicali e delle seguenti espressioni contenenti radicali.

I radicali. Cos è un radicale? ESERCIZIO 2.1. Determina le C.E. dei seguenti radicali e delle seguenti espressioni contenenti radicali. I rdicli Cos è un rdicle? Il simbolo si chim rdicle e si legge rdice ennesim di. - n si chim indice dell rdice e deve essere un numero nturle mggiore di zero. Qundo l indice si sottintende e il rdicle

Dettagli

Teoria in pillole: logaritmi

Teoria in pillole: logaritmi Teori in pillole: logritmi EQUAZIONI ESPONENZIALI Un'equzione si dice esponenzile qundo l'incognit compre soltnto nell'esponente di un o più potenze. L'equzione esponenzile più semplice (elementre) è del

Dettagli

Maturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria 2000-2001

Maturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria 2000-2001 Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone Mturità scientific, corso di ordinmento, sessione ordinri 000-001 PROBLEMA 1 Si consideri l seguente relzione tr le vribili reli x, y: 1 1 1 +

Dettagli

La risoluzione di una disequazione di secondo grado

La risoluzione di una disequazione di secondo grado L risoluzione di un disequzione di seondo grdo Quest nno le disequzioni srnno importntissime. Non si prlerà però proprimente di disequzioni m di studire il segno di un funzione. In effetti un numero può

Dettagli

{ 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12, }

{ 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12, } Lezione 01 Aritmetic Pgin 1 di 1 I numeri nturli I numeri nturli sono: 0,1,,,4,5,6,7,8,,10,11,1, L insieme dei numeri nturli viene indicto col simbolo. } { 0,1,,, 4,5,6,7,8,,10,11,1, } L insieme dei numeri

Dettagli

IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. per a = - 2 vale:

IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. per a = - 2 vale: IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. Complet.. Un espressione letterle è un scrittur in cui compiono operzioni tr numeri rppresentti, tutti o in prte, d lettere. Per clcolre il vlore numerico di

Dettagli

Il volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi

Il volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone 3 Questionrio Quesito 1 Provre che un sfer è equivlente i /3 del cilindro circoscritto. r 4 3 Il volume dell sfer è 3 r Il volume del cilindro

Dettagli

E U Q A U Z A I Z O I N O I N DI SE S C E O C N O DO

E U Q A U Z A I Z O I N O I N DI SE S C E O C N O DO EQUAZIONI DI ECONDO GRADO Riepilogo delle soluzioni in bse l segno di < φ : b > : b b Prof I voi, EQUAZIONI DI ECONDO GRADO EQUAZIONI PURE DI ECONDO GRADO : EEMPI ) ) ) 7 7 ) > φ (impossibile) ) impossibil

Dettagli

Esercizi svolti Limiti. Prof. Chirizzi Marco.

Esercizi svolti Limiti. Prof. Chirizzi Marco. Cpitolo II Limiti delle funzioni di un vribile Esercizi svolti Limiti Prof. Chirizzi rco www.elettrone.ltervist.org 1) Verificre che risult: = Dobbimo provre che per ogni ε positivo, rbitrrimente piccolo,

Dettagli

Monomi e polinomi. Verifica per la classe prima COGNOME... NOME... Classe... Data...

Monomi e polinomi. Verifica per la classe prima COGNOME... NOME... Classe... Data... Cpitolo Monomi e polinomi Monomi Verifi per l lsse prim COGNOME............................... NOME............................. Clsse.................................... Dt...............................

Dettagli

Introduzione all algebra

Introduzione all algebra Introduzione ll lgebr E. Modic ersmo@glois.it Liceo Scientifico Sttle S. Cnnizzro Corso P.O.N. Modelli mtemtici e reltà A.S. 2010/2011 Premess Codificre e Decodificre Nell vit quotidin ci cpit spesso di

Dettagli

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le Sched Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI L funzione esponenzile Assegnto un numero rele >0, si dice funzione esponenzile in bse l funzione Grfici dell funzione esponenzile Se = l funzione esponenzile è costnte:

Dettagli

Disequazioni di primo grado

Disequazioni di primo grado Cpitolo Disequzioni i primo gro Risoluzione lgeri Verifi per l lsse seon COGNOME............................... NOME............................. Clsse.................................... Dt...............................

Dettagli

" Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6

 Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6 CAPITOLO 6 Clcolo integrle 6. Integrle indefinito L nozione fondmentle del clcolo integrle è quell di funzione primitiv di un funzione f (). Tle nozione è in qulche modo speculre ll nozione di funzione

Dettagli

Geometria Analitica Domande, Risposte & Esercizi

Geometria Analitica Domande, Risposte & Esercizi Geometri Anliti Domnde, Risposte & Eserizi L ellisse. Dre l definizione di ellisse ome luogo di punti. L ellisse è un luogo di punti, è ioè un insieme di punti del pino le ui distnze d due punti fissi

Dettagli

CAPITOLO 16 LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO. caffè. succo di frutta. arancia. cappuccino. cornetto. R il numero da determinare in ciascuna proposizione.

CAPITOLO 16 LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO. caffè. succo di frutta. arancia. cappuccino. cornetto. R il numero da determinare in ciascuna proposizione. CAPITOLO 6 LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO 6. Equzioni di secondo grdo e loro clssificzione Luc e Mrt sono l r dell città di Mttown per l solit colzione. Osservndo il listino prezzi, si ccorgono che i prezzi

Dettagli

lim lim lim + Nome.Cognome Classe 4D 7 Aprile 2011 Verifica di matematica Problema (punti 3) Sono date le funzioni: f ( x)

lim lim lim + Nome.Cognome Classe 4D 7 Aprile 2011 Verifica di matematica Problema (punti 3) Sono date le funzioni: f ( x) Nome.Cognome Clsse D 7 Aprile 0 Verific di mtemtic Problem (punti ) Sono dte le funzioni: f ( ) =, g ( ) = ( ) ) determinre il dominio di f() e di g() b) determinre, senz l uso dell clcoltrice f ( ) c)

Dettagli

L IPERBOLE. L iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

L IPERBOLE. L iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. prof.ss Cterin Vespi 1 Appunti di geometri nliti L IPERBOLE L iperole è il luogo geometrio dei punti del pino per i quli è ostnte l differenz delle distnze d due punti fissi detti fuohi. Sino F1 e F i

Dettagli

Le equazioni di primo grado

Le equazioni di primo grado Cpitolo Eserizi Le equzioni di primo grdo Teori p. Dl prolem ll equzione Determin l equzione on ui puoi risolvere i prolemi dihirndo, inoltre, qul è l inognit, quli sono i dti noti e qul è il dominio del

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele Esponenzili e ritmi L potenz è definit: se, per ogni R se, per tutti e soli gli R se, per tutti e soli gli Z. Sono definite: 7 7. Non sono definite:.

Dettagli

Radicali. Definizioni Variazioni di radicali Operazioni Razionalizzazione Radicali doppi Potenze con esponente razionale Esercizi

Radicali. Definizioni Variazioni di radicali Operazioni Razionalizzazione Radicali doppi Potenze con esponente razionale Esercizi Rdicli Definizioni Vrizioni di rdicli Operzioni Rzionlizzzione Rdicli doppi Potenze con esponente rzionle Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni n L espressione è comunemente dett rdice

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA Nel pino sono dti: il cerchio di dimetro OA,

Dettagli

ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESPONENZIALI E LOGARITMI ESPONENZIALI E LOGARITMI RICHIAMI DI TEORIA dom f Im f grfico Funzioni esponenzili y=^ con > Funzioni esponenzili y=^ con

Dettagli