1. Calcolare gli invarianti ortogonali e riconoscere le seguenti quadriche.

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1 Algebra Lineare e Geometria Analitica Politecnico di Milano Ingegneria Quadriche Esercizi 1. Calcolare gli invarianti ortogonali e riconoscere le seguenti quadriche. (a) x + y + z + xy xz yz 6x 4y + z + 1 = 0 (b) x + y + z + xy xz + yz + 4x + 4y 4z + = 0 (c) x + y + z + xy xz + 4yz x + 4y z + 1 = 0 (d) x 6xy 4xz 8y + z = 0 (e) x + y + z xy + xz + yz x y z = 0 (f) x + y + z + xy xz yz 6x 6y + 6 = 0 (g) x y + z xz + 4yz 4y 1z + 14 = 0. Sia Q : x + y + xy xz yz x y + z = 0. (a) Mostrare che Q è una quadrica riducibile. (b) Determinare i piani in cui Q si spezza.. Sia Q : x + y z + xy 4yz + x y 1z 9 = 0. (a) Mostrare che Q è un cono. (b) Determinare il vertice di Q. 4. Sia Q : x + y z xy 4z = 0. (a) Riconoscere Q. (b) Scrivere l equazione canonica di Q. (c) Determinare gli assi di Q.. Sia Q : z + xy 1 = 0. (a) Riconoscere Q. (b) Scrivere l equazione canonica di Q. (c) Stabilire se Q è una quadrica di rotazione e, in caso affermativo, determinare l asse di rotazione. 6. Sia Q : 9x + 8y + 8z yz 18x 4 = 0. (a) Riconoscere Q. (b) Scrivere l equazione canonica di Q. (c) Stabilire se Q è di rotazione e, in caso affermativo, determinare l asse di rotazione. 7. Sia Q : 8y z 6xy 6x + 8y + z + 10 = 0. (a) Riconoscere Q. (b) Scrivere l equazione canonica di Q. (c) Stabilire se Q è di rotazione e, in caso affermativo, determinare l asse di rotazione. 8. Siano Q : x + y z xy + x 4y = 0 Q : 6y + 4xz 6x + 1y z + = 0. Stabilire se esiste una rototraslazione che porta Q in Q. 1

2 9. Siano Q : x + y z + xy + x + y = 0 Q : x + yz 1 = 0. Stabilire se esiste una rototraslazione che porta Q in Q. 10. Sia Q : x + y + z + xy 4x = 0. (a) Riconoscere Q. (b) Scrivere l equazione canonica di Q. (c) Scrivere le equazioni di una rototraslazione che porta Q in forma canonica. (d) Stabilire se Q è di rotazione e, in caso affermativo, determinare l asse di rotazione. (e) Determinare gli eventuali vertici di Q. 11. Sia Q : x z 4xy 4x + z = 0. (a) Riconoscere Q. (b) Scrivere l equazione canonica di Q. (c) Determinare (se esiste) il centro di Q. (d) Scrivere le equazioni di una rototraslazione che porta Q in forma canonica. (e) Stabilire se Q è di rotazione e, in caso affermativo, determinare l asse di rotazione. 1. Determinare, al variare del parametro reale k, l indice di specializzazione della quadrica Q k : x + k y + k z + k xy + kxz + kyz + kx + ky + kz + k = Scrivere l equazione del piano tangente alla quadrica Q : x +y z +xy 4yz +6z = 0 nei punti P 1 ( 1, 1, 1), P (0,, ) e P (4, 0, ). 14. Mostrare che il piano tangente alla quadrica Q : λ 1 x + λ y + λ z + k = 0 nel punto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) Q ha equazione 1. Siano λ 1 x 0 x + λ y 0 y + λ z 0 z + k = 0. x = 1 + t r : y = t z = 1 t x = 0 e a : y = 0 z = t. Sia Q la superficie che si ottiene dalla rotazione della retta r attorno alla retta a. Riconoscere Q. 16. Sia Q il luogo delle rette incidenti le rette x = 0 r : y = 1 e s : x = 1 z = 0 e parallele al piano π : x + y z = 0. (a) Scrivere l equazione cartesiana di Q. (b) Riconoscere Q. 17. Determinare le rette che passano per il punto A ( 1,, 6) e che giacciono sulla quadrica Q : x + xy xz 7x y + = 0.

3 18. Scrivere l equazione della quadrica Q che contiene i due assi coordinati x e y, che passa per il punto A (1,, 1) e che ha centro nel punto C (1, 1, 1). Riconoscere Q. 19. Sia Q il paraboloide ellittico di fuoco F e piano direttore π : x + y z = 0. (a) Scrivere l equazione cartesiana di Q. (b) Scrivere l equazione canonica di Q. (c) Determinare l asse e il vertice di Q. 0. Siano F 1 e F due punti distinti dello spazio (detti fuochi) e sia a R, a > 0. (a) Riconoscere il luogo Q dei punti dello spazio tali che d(p, F 1 ) + d(p, F ) = a. (b) Riconoscere il luogo Q dei punti dello spazio tali che d(p, F 1 ) d(p, F ) = a. 1. Sia F un punto dello spazio e sia d una retta dello spazio che non contenga F. Sia ε R, ε > 0. Riconoscere, al variare del parametro ε, il luogo Q dei punti P dello spazio tali che d(p, F ) = ε d(p, d).. Sia F (1, 1, 0) e sia d : x = (t, t, t). Scrivere l equazione del luogo Q dei punti P dello spazio tali che d(p, F ) = d(p, d).. Sia Q il luogo dei punti dello spazio equidistanti dalle due rette x z = 0 x = 1 r : s : y = 0 z = 0. (a) Determinare l equazione cartesiana di Q. (b) Riconoscere Q. (c) Scrivere l equazione canonica di Q. 4. Siano r : x = 0 y = 1 s : x = 1 y z = 0. Sia π un piano passante per la retta r e sia π a π. il piano passante per la retta s ortogonale (a) Scrivere l equazione cartesiana del luogo Q delle rette π π. (b) Riconoscere Q.. Sia Q il luogo dei punti dello spazio che intersecano le tre rette x = y x + y = 0 x z = 1 r 1 : r : r : y = z y + 1 = 0 y + z = 1. (a) Determinare l equazione cartesiana di Q. (b) Riconoscere Q. (c) Scrivere l equazione canonica di Q. 6. Sia f : R R l applicazione lineare definita da f(x, y, z) = (x + y, x y, x + y + z). per ogni (x, y, z) R, e sia Q f = x R : f(x) = 1 }. (a) Determinare l equazione cartesiana della superficie Q f. (b) Riconoscere Q f. (c) Scrivere l equazione canonica di Q f.

4 (d) Stabilire se Q f è di rotazione. 7. Sia f : R R un applicazione lineare definita da f(x) = Ax per ogni x R, e sia Q f = x R : f(x) = 1 }. (a) Determinare l equazione (vettoriale) della quadrica Q f. (b) Caratterizzare f in modo che Q f sia una quadrica a centro. In questo caso, determinare il centro. 8. Riconoscere la curva 9. Riconoscere la curva 0. Riconoscere la curva Γ : Γ : x xy + y + z + x y = 0 x + y z + 1 = 0. x + y + z + xy 6xz + y + 1 = 0 x + y + 1 = 0. Γ : x + y + xz x + z 1 = 0 x 4y + z = Riconoscere, al variare del parametro reale k, la curva x + y z = 1 Γ k : x + ky z + 1 = 0. Nel caso in cui Γ k sia degenere, trovare le due rette in cui la conica si spezza e dare una interpretare geometrica di questo fatto.. Verificare che il punto P 0 (1, 1, 1) appartiene alla conica y + 4z + 8x 4y 9 = 0 Γ : x y + z = 0. Scrivere le equazioni cartesiane della retta tangente a Γ nel punto P 0. 4

5 Soluzioni 1. (a) I 4 =, I =, I = 8, I 1 = 6 : ellissoide reale. (b) (c) (d) (e) (f) (g) I 4 = 8, I = 4, I = 0, I 1 = : iperboloide iperbolico (a una falda). I 4 = 40, I = 9, I = 1, I 1 = 4 : iperboloide ellittico (a due falde). I 4 = 11, I = 0, I = 1, I 1 = 1 : paraboloide iperbolico (a sella). I 4 = I = 0, I = 9/4, I 1 = : cilindro ellittico. I 4 = I = I = 0, I 1 = : cilindro parabolico. I 4 = 0, I = 8, I = 10, I 1 = : cono irriducibile reale.. (a) Moltiplicando l equazione di Q per, si ha r(a) = r = r = Quindi Q è una quadrica specializzata due volte, ossia è una quadrica riducibile che si spezza in due piani distinti. (b) Scriviamo l equazione di Q come se fosse un equazione in x : Le radici di questa equazione sono x + (y z 1)x + y yz y + z = 0. x 1, = y + z + 1 ± (y z 1) 4(y yz y + z) = y + z + 1 ± y + z + 1 yz + y z y + z + 1 ± (y z + 1) = = = y + z y z + 1 y + z + 1 y + z 1 y + 1 y + z. Pertanto, i piani in cui Q si spezza sono π 1 : x + y 1 = 0 e π : x + y z = 0.. (a) Si ha I 4 = 0 e I = 4 0, I = 8 < 0. Quindi Q è un cono irriducibile reale. (b) Il vertice di un cono coincide con il centro, le cui coordinate sono determinate dal sistema x + y + 1 = 0 x + y z 1 = 0 y + z + = 0 da cui si ha x = 1, y =, z = 1. Quindi il vertice è v (1,, 1). 4. (a) Si ha I 4 = < 0, I = 8 0, I = > 0, I 1 = e I 1 I < 0. Quindi Q è un iperboloide ellittico (a due falde). (b) Gli autovalori di B sono 1, 4,. Quindi l equazione canonica di Q è ossia x + 4y + z + 4 = 0 x 4y z = 4. In particolare, Q non è di rotazione (avendo tre autovalori distinti).

6 (c) Gli assi di Q sono le rette passanti per il centro C e parallele agli autospazi di B. Il centro di Q è determinato dal sistema 6x y = 0 6y x = 0 z 4 = 0 dal quale si ha C (0, 0, ). Gli autospazi di B sono V 1 = (0, 0, 1), V = (1, 1, 0), V 4 = (1, 1, 0). Pertanto gli assi di Q sono x = 0 a 1 : y = 0 z = + t x = t a : y = t z = x = t a : y = t z =.. (a) Si ha I 4 = 1 > 0, I = 1 0, I = 1 < 0, I 1 = 1 e I 1 I < 0. Quindi Q è un iperboloide iperbolico (a una falda). (b) Gli autovalori di B sono 1, 1, 1 e l equazione canonica di Q è x + y z = 1. (c) Poiché possiede due autovalori uguali, Q è una quadrica di rotazione. Nel caso delle quadriche non specializzate a centro, l asse di rotazione coincide con la retta che passa per centro e che ha come direzione quella individuata dall autospazio V 7 relativo all autovalore semplice. In questo caso, si ha C (0, 0, 0) e V 1 = (1, 1, 0). Quindi l asse di rotazione è x = t a : y = t z = 0 ossia a : x + y = 0 z = (a) Gli invarianti ortogonali sono I 4 = 9 7, I = 9 7, I = 07, I 1 =. La quadrica Q è un ellissoide reale. (b) Gli autovalori di Q sono 9, 9, 7. Quindi l equazione canonica di Q è 9x + 9y + 7z = 6. (c) Poiché possiede due autovalori uguali, Q è un ellissoide di rotazione. Nel caso delle quadriche non specializzate a centro, l asse di rotazione coincide con la retta che passa per centro e che ha come direzione quella individuata dall autospazio V 7 relativo all autovalore semplice. In questo caso, si ha C (1, 0, 0) e V 7 = (0, 1, 1). Quindi l asse di rotazione è x = 1 x = 1 a : y = t ossia a : y = z. z = t 7. (a) Gli invarianti ortogonali sono I 4 = 81, I = 9, I = 17, I 1 = 7. La quadrica Q è un iperboloide a due falde. (b) Gli autovalori di Q sono 1, 1, 9. Quindi l equazione canonica di Q è 9x y z = 9. (c) Poiché possiede due autovalori uguali, Q è un ellissoide di rotazione. Essendo Q una quadrica non specializzata a centro, l asse di rotazione coincide con la retta che passa per centro e che ha come direzione quella individuata dall autospazio V 9 relativo 6

7 all autovalore semplice. In questo caso, si ha C (, 1, 1) e V 9 = (1,, 0). Quindi l asse di rotazione è x = + t x + y = 0 a : y = 1 t ossia a : z 1 = 0. z = 1 8. Gli invarianti ortogonali di Q e di Q sono rispettivamente I 4 = 6 I = I = 1 I 1 = I 4 = 96 I = 4 I = 4 I 1 = 6. Pertanto esiste uno scalare non nullo ρ = tale che I 4 = ρ 4 I 4, I = ρ I, I = ρ I, I 1 = ρi 1. Di conseguenza, le due quadriche sono equivalenti, ossia esiste una rototraslazione che porta Q in Q. In particolare, si ha che le due quadriche hanno la stessa equazione canonica x + y z =. 9. Gli invarianti ortogonali di Q e di Q sono rispettivamente I 4 = 1 I = 1 I = I 1 = I 4 = 1 I = 1 I = 1 I 1 = 1. Pertanto non esiste alcuno scalare ρ 0 tale che I 4 = ρ 4 I 4, I = ρ I, I = ρ I, I 1 = ρi 1. Di conseguenza, le due quadriche non sono equivalenti, ossia non esiste una rototraslazione che porta Q in Q. 10. (a) Si ha I 4 < 0 e I = 0. Quindi Q è un paraboloide ellittico. (b) Gli autovalori di Q sono,, 0. Quindi l equazione canonica di Q è x +y = z. (c) Gli autospazi di B sono V 0 = (1, 1, 0) e V = (1, 1, 0), (0, 0, 1). Poiché le basi trovate per gli autospazi sono ortogonali, possiamo considerare la seguente matrice ortogonale (ottenuta normalizzado i vettori di tali basi) H = Poiché H = 1, la matrice H rappresenta una rotazione. Le nuove e le vecchie coordinate sono legate dalle relazioni x = Hx e x = H T x, ossia x = x + z x = x + y y = x z e y = z z = y z = x y. Nel nuovo sistema di riferimento, l equazione di Q diventa ( x + z + x z ) + y 4 x + z = 0. Semplificando, si ha x + y x z = 0. Utilizzando il metodo del completamento a un quadrato, si ha ( x 1 ) + y ( z + 1 ) = 0. 7

8 Infine, mediante la traslazione l equazione di Q diventa x = x 1 y = y z = z + 1, x + y = z. Quindi, le equazioni della rototraslazione cercata sono x = x + y 1 y = z z x y + 1 =. (d) Poiché possiede due autovalori uguali, Q è una quadrica di rotazione. Nel sistema di riferimento finale, l asse di rotazione coincide con l asse z, che ha equazioni x = 0 e y = 0. Pertanto, utilizzando le equazioni trovate nel punto precedente, abbiamo che nel sistema di riferimento iniziale l asse di rotazione è x + y 1 = 0 a : z = 0. (e) Poiché Q è un paraboloide ellittico, esso possiede un solo asse di simmetria (l asse di rotazione) e un solo vertice V = Q a. Poiché le equazioni parametriche dell asse sono x = t a : y = 1 t z = 0, si trova subito che V ( 1 4, ) 4, (a) Poiché I 4 = 4 > 0, I = 4 0, I = 1 < 0, Q è un iperboloide iperbolico (a una falda). (b) Gli autovalori di Q sono 1, 1, 4. Quindi l equazione canonica di Q risulta essere x + y 4z = 1. (c) La quadrica Q è a centro e si trova facilmente che C (0, 1, 1). (d) Gli autospazi di B sono V 1 = (1,, 0), (0, 0, 1) e V 4 = (, 1, 0). Quindi una matrice ortogonale che diagonalizza B è data dalla matrice 1 0 H = Poiché H = 1, la matrice H rappresenta un rotazione. Le nuove e le vecchie coordinate sono legate dalle relazioni x = Hx e x = H T x, ossia x = x + z x = x + y y = x z e y = z z = y z = x y. 8

9 Nel nuovo sistema di riferimento, l equazione di Q diventa ( x + z ) y 4 x + z x z 4 x + z + y = 0. Semplificando, si ha l equazione x + y 4z + 4 x y + 8 z = 0. Mediante il completamento a un quadrato, si ha ( x + ) ( + (y 1) 4 z 1 ) = 1. Infine, con la traslazione x = x + y = y 1 z = z 1, si ottiene l equazione x + y 4z = 1. In conclusione, le equazioni della rototraslazione cercata sono x = x + y + y = z 1 z = x y 1. (e) Poiché possiede due autovalori uguali, Q è una quadrica di rotazione. L asse di rotazione nel sistema di riferimento finale coincide con l asse z, che ha equazioni x = 0 e y = 0. Quindi, nel sistema di riferimento iniziale, l asse di rotazione è la retta x + y + = 0 a : z 1 = La matrice completa della quadrica Q k è 1 k k k A = k k k k k k k k. k k k k L indice di specializzazione di Q k è 4 r(a). Si tratta quindi di calcolare il rango di A. Iniziamo a calcolare il determinate di A : 1 k k k 1 k k k k I 4 = k k k k k k k k = 0 k k k k k k k = (1 k )k 1 k 1 k k k k 0 k k k k k k k = (1 k )k 1 k k 1 0 k k = (1 k k )k 0 k k k = (k 1)(k 1)k (k + k ) = k (k 1) (k + 1)(k + ). è una quadrica non specializ- Pertanto, per k 0, ±1,, il rango di A è massimo e Q k zata. Rimangono da esaminare i casi k = 0, ±1,. 9

10 Per k = 0, si ha la matrice Poiché r(a) =, la quadrica Q 0 Per k = 1, si ha la matrice Poiché r(a) = 1, la quadrica Q 1 Per k = 1, si ha la matrice Poiché r(a) =, la quadrica Q k A = è specializzata due volte (si spezza in due piani distinti) A = è specializzata tre volte (si spezza in due piani coincidenti) A = è specializzata una volta sola (è un cono o un cilindro). Infine, per k =, si ha la matrice A = Poiché r(a) =, la quadrica Q 1 In conclusione, abbiamo trovato che per k 0, ±1,, Q k per k = 1,, Q k per k = 0, Q k per k = 1, Q k è specializzata una volta sola (è un cono o un cilindro). non è specializzata è specializzata una sola volta è specializzata due volte è specializzata tre volte. 1. Il piano π 1 tangente a Q nel punto P 1 ha equazione x T 1 Ax = 0, ossia x [ ] y 0 1 z = Pertanto π 1 : y + z = 0. Analogamente, il piano tangente a Q in P è π : x z + 6 = 0 e il piano tangente a Q in P è π : 4x + 8y + z 6 = Il piano π tangente a Q nel punto P 0 ha equazione x T 0 Ax = 0, dove A è la matrice completa che rappresenta Q, x T 0 = [ x 0 y 0 z 0 1 ] e x T = [ x y z 1 ]. Quindi, si ha π : [ x 0 y 0 z 0 1 ] λ 1 x λ y λ z = 0 k 1 ossia π : λ 1 x 0 x + λ y 0 y + λ z 0 z + k = 0. 10

11 1. Sia C (0, 0, 0) a. Allora x + y + z = (1 + t) + ( t) + (1 t) Q : z 1 + t = 0. Dalla seconda equazione si ha t = 1 z. Sostituendo nella prima equazione si ottiene Q : x + y z + 10z 10 = 0 Poiché questa equazione non contiene termini misti, essa può essere ridotta a forma canonica mediante il completamento a un quadrato. Infatti, si ha Q : x + y (z 1) =. Quindi Q è un iperboloide iperbolico (a una falda), di rotazione attorno all asse z. 16. (a) Sia A (0, 1, t) il generico punto di r e sia B (1, u, 0) il generico punto di s. I parametri direttori della retta AB sono (1 : u 1 : t). Affinché la retta AB sia parallela al piano π si deve avere + u + t = 0, ossia t = u. Quindi x = 1 + v AB : y = u + (u 1)v z = 0 + (u + )v. Al variare di entrambi i parametri, queste sono le equazioni parametriche di Q. Per trovare l equazione cartesiana, basta eliminare i parametri. dalla prima equazione si ha v = x 1. Sostituendo nella seconda equazione, si trova u = (x+y 1)/x. Sostituendo nella terza equazione, si ottiene l equazione cartesiana di Q, ossia Q : x + xy xz 7x y + = 0. (b) Moltiplicando per l equazione di Q, si ha I 4 = 4 > 0, I = 0. Pertanto Q è un paraboloide iperbolico (a sella). 17. La quadrica Q è un iperboloide iperbolico (si veda l esercizio 16) e A Q. Pertanto, essendo Q una quadrica doppiamente rigata, per il punto A Q passano esattamente due rette completamente contenute in Q. Consideriamo la generica retta passante per A : x = 1 + at r : y = + bt z = 6 + ct. Imponiamo che r sia contenuta in Q, ossia che ogni punto di r appartenga a Q. Si deve avere ( 1 + at) + ( 1 + at)( + bt) ( 1 + at)( 6 + ct) 7( 1 + at) ( + bt) + = 0 per ogni t R, ossia (a + ab ac)t (7a + 4b c)t = 0 per ogni t R, ossia a + ab ac = 0 7a + 4b c = 0. Posto c = 7a + 4b, la prima equazione diviene a(a + b) = 0. Si hanno quindi due casi: se a = 0, allora c = 4b e (a : b : c) = (0 : 1 : 4), se b = a, allora c = b e (a : b : c) = (1 : 1 : ). 11

12 Si hanno così le due rette x = 1 r 1 : y = + t z = 6 + 4t x = 1 + t e r : y = t z = 6 + t. 18. Consideriamo l equazione della generica quadrica Q : ax + by + cz + dxy + exz + fyz + hx + iy + lz + k = 0. Imponiamo che Q contenga l asse x, ossia che contenga ogni punto (t, 0, 0). Si deve avere at + ht + k = 0, per ogni t R, ossia a = h = k = 0. Analogamente, imponiamo che Q contenga l asse y, ossia che contenga ogni punto (0, t, 0). Si deve avere by + iy + k = 0, per ogni t R, ossia b = i = k = 0. A questo punto l equazione di Q si riduce a Q : cz + dxy + exz + fyz + lz = 0. Le coordinate del centro soddisfano il seguente sistema lineare dy + ez = 0 dx + fz = 0 cz + ex + fy + l = 0. Imponendo il passaggio per A e imponendo che il centro sia C, si ottiene il sistema lineare c + 4d + e + 4f + l = 0 c = d d e = 0 e = d d f = 0 f = d c + e + f + l = 0 l = 4d. Pertanto, posto d = 1, si ha Q : z + xy + xz + yz 8z = 0, ossia Q : z xy xz yz + 4z = 0. Poiché contiene l asse x e l asse y, Q deve essere una quadrica rigata. Più precisamente, risulta essere un iperboloide a una falda. Moltiplicando per l equazione di Q, si hanno gli invarianti ortogonali I 4 = 16, I = 4, I =, I 1 =. 19. (a) Il paraboloide Q è il luogo dei punti P dello spazio equidistanti dal fuoco F e dal piano direttore π. Quindi d(p, F ) = d(p, π). Se P (x, y, z), allora l equazione di Q è (x 1) + (y + 1) + (z 1) x + y z = ossia ossia ((x 1) + (y + 1) + (z 1) ) = (x + y z) x + y + z xy + xz + yz 6x + 6y 6z + 9 = 0. (b) Si ha I 4 = 7. Inoltre gli autovalori della matrice B sono,, 0. Pertanto l equazione canonica di Q risulta x + y z = 0. (c) L asse di Q è la retta a che passa per F ed è ortogonale a π. Quindi si ha x = 1 + t a : y = 1 + t z = 1 t. 1

13 Il vertice V di Q è il punto medio del segmento di estremi F e F = a π. Intersecando a con π, si ottiene t = 1/. Quindi ( F 1 + 1, 1 + 1, 1 1 ) ( 4,, ) e V = 1 ( 7 (F + F ) 6, 6, ) Scegliamo un sistema di riferimento cartesiano in modo che F 1 (c, 0, 0) e F ( c, 0, 0), con c R, c > 0. Sia P (x, y, z) un generico punto dello spazio. (a) In questo sistema di riferimento, l equazione d(p, F 1 ) + d(p, F ) = a diventa (x c) + y + z + (x + c) + y + z = a ossia (x c) + y + z = a (x + c) + y + z. Elevando a quadrato e semplificando, si ottiene l equazione Elevando ancora a quadrato, si ha ossia a (x + c) + y + z = a + cx. a (x + cx + c + y + z ) = a 4 + a cx + c x (a c )x + a y + a + z = a (a c ). Considerato il triangolo P F 1 F, per la disuguaglianza triangolare si ha a > c, ossia a > c. Esiste pertanto un numero reale positivo b < a tale che b = a c. Quindi, l equazione precedente diventa da cui si ricava b x + a y + a z = a b x a + y b + z b = 1. Pertanto Q è un ellissoide reale di rotazione attorno all asse focale. (b) In questo sistema di riferimento, l equazione d(p, F 1 ) d(p, F ) = ±a diventa (x c) + y + z (x + c) + y + z = ±a ossia (x c) + y + z = ±a + (x + c) + y + z. Elevando a quadrato e semplificando, si ottiene l equazione Elevando ancora a quadrato, si ha ossia ±a (x + c) + y + z = a + cx. a (x + cx + c + y + z ) = a 4 + a cx + c x (a c )x + a y + a + z = a (a c ). Considerato il triangolo P F 1 F, per la disuguaglianza triangolare si ha a < c, ossia a < c. Esiste pertanto un numero reale positivo b tale che b = c a. Quindi, l equazione precedente diventa da cui si ricava b x + a y + a z = a b x a y b z b = 1. Pertanto Q è un iperboloide ellittico (a due falde) di rotazione attorno all asse focale. 1

14 1. Scegliamo il sistema di riferimento in modo che F (c, 0, 0), d : x = a, y = 0, con a, c R, a, c > 0 e c = εa (ossia O Q ). Se P (x, y, z), allora l equazione di Q diventa (x c) + y + z = ε (x + a) + y ossia (dopo aver elevato a quadrato e semplificato) Q : (1 ε )x + (1 ε )y + z c(1 + ε)x = 0. Se ε = 1, allora Q : z 4cx = 0, e quindi Q è un cilindro parabolico. Se invece ε 1, allora si ha 1 ε 0 0 c(1 + ε) I 4 = 0 1 ε = c (1 + ε) (1 ε ) 0 c(1 + ε) ε 0 0 I = 0 1 ε = (1 ε ) 0. Quindi Q è sempre una quadrica non specializzata a centro. Poiché la matrice B è diagonale, i suoi autovalori sono 1 ε (contato due volte) e 1. Quindi l equazione canonica di Q è (1 ε )x + (1 ε )y + z c (1 + ε) (1 ε ) (1 ε ) ossia ( ) x + y + z c 1 ε =. 1 ε Quindi, se ε < 1, si ha un ellissoide reale, altrimenti, se ε > 1, si ha un iperboloide a una falda. Riassumendo, in conclusione, si ha la seguente classificazione: se 0 < ε < 1 : Q è un ellissoide reale di rotazione se ε = 1 : Q è un cilindro parabolico se ε > 1 : Q è un iperboloide iperbolico (a una falda) di rotazione.. In base all esercizio 1, essendo ε = > 1, il luogo Q è un iperboloide iperbolico (a una falda) di rotazione. Sia P (α, β, γ) il generico punto dello spazio e sia P la sua proiezione ortogonale sulla retta d. Sia π il piano che passa per P e che è ortogonale a d. Allora π : 1 (x α) + 1 (y β) 1 (z γ) = 0, ossia π : x + y z α β + γ = 0. Intersecando π con d si ottiene t+t+t α β +γ = 0, ossia t = (α +β γ)/. Pertanto ( α + β γ P, α + β γ, α + β γ ). L equazione d(p, F ) = d(p, d) è equivalente all equazione d(p, F ) = d(p, P ), ossia all equazione ( (α 1) + (β 1) + γ = α α + β γ ) ( + β α + β γ ) ( + γ + α + β γ ) ossia [ (α ) ( ) ( ) ] β + γ α + β + γ α + β + γ (α 1) + (β 1) + γ = Sviluppando i calcoli, si ottiene α + β + γ 8αβ + 8αγ + 8βγ + 6α + 6β 6 = 0. Infine, sostituendo α, β e γ rispettivamente con x, y e z, si ha Q : x + y + z 8xy + 8xz + 8yz + 6x + 6y 6 = 0. 14

15 . (a) Sia P (α, β, γ) il generico punto dello spazio. Si trova facilmente che le proiezioni ortogonali di P rispettivamente sulle rette r ed s sono date dai punti ( α + γ P, 0, α + γ ) e P (1, β, 0). Pertanto l equazione d(p, r) = d(p, s) diventa d(p, P ) = d(p, P ), ossia ( α α + γ ) ( + β + γ α + γ ) = (α 1) + γ. Semplificando, si ottiene l equazione α β + γ + αγ 4α + = 0. Infine, sostituendo α, β e γ rispettivamente con x, y e z, si ottiene l equazione cartesiana di Q, ossia Q : x y + z + xz 4x + = 0. (b) Poiché I 4 = 8 > 0 e I = 0, Q è un paraboloide iperbolico (a sella). (c) Gli autovalori di Q sono ± e 0. Quindi l equazione canonica di Q è x y = z. 4. (a) Consideriamo i fasci di piani passanti rispettivamente per r e per s : Pertanto, abbiamo i piani e π π Φ r : tx + y + 1 = 0 Φ s : x 1 + u(y z) = 0 π : tx + y + 1 = 0 π : x + uy uz 1 = 0 quando t + u = 0. Di conseguenza, sostituendo in questa equazione i valori si ottiene l equazione t = y + 1 x e u = 1 x y z, Q : x + y yz x + y z = 0. (b) Per costruzione, Q è una quadrica rigata. Poiché (dopo aver moltiplicato per ) si ha I 4 = 1 > 0, I = 0, I = > 0, I 1 = 4, I 1 I < 0, Q è un iperboloide a una falda.. (a) Primo modo. Sia A (t, t, t) il generico punto di r 1. Sia π il piano contenente r e A. Sia π il piano contenente r e A. Intersecando π con π si trova una retta che interseca le tre retta date. Per determinare questi due piani, consideriamo i fasci che hanno come sostegno rispettivamente le rette r ed r : Φ : x + y + λ(y + 1) = 0 Φ : x z 1 + µ(y + z 1) = 0. Imponendo, in entrambi i casi, il passaggio per A, si ottiene Φ : t + t + λ(t + 1) = 0 λ = t 1 + t Φ : t t 1 + µ(t + t 1) = 0 µ = 1 t 1. 1

16 Pertanto, si ha Quindi π π : π : x + y t (y + 1) = t π : x z (y + z 1) = 0. t 1 (1 + t)(x + y) t(y + 1) = 0 (t 1)(x z 1) + (y + z 1) = 0. Lasciando variare il parametro t si ottiene Q. per trovare l equazione cartesiana di Q, bisogna eliminare il parametro t. Poiché t = x + y x y t = x y z x + z, si ottiene l equazione (x + y)(x + z ) + (x y z)(x y ) = 0 ossia Q : x + y 4xz 4x + 4z = 0. Secondo modo. Sia A (t, t, t) il generico punto di r 1 e sia B (1, 1, u) il generico punto di r. Allora x = 1 + (t 1)w AB : y = 1 + (t + 1)w z = u + (t u)w. Intersechiamo la retta AB con la retta r ed imponiamo che abbiano un punto in comune. Si ha 1 + (t 1)w u (t u)w = (t + 1)w + u + (t u)w = 1 (u 1)w u = 0 (t u + 1)w + u = 0 da cui si ottiene w = u u 1 e w = u t u + 1. Affinché le due rette AB ed r siano incidenti, occorre che sia soddisfatta la seguente condizione di compatibilità u u 1 = u t u + 1 ossia tu u + 1 = 0. Le equazioni parametriche di Q sono pertanto date da x = 1 + (t 1)w y = 1 + (t + 1)w Q : z = u + (t u)w tu u + 1 = 0. Per determinare l equazione cartesiana di Q, bisogna eliminare tutti i parametri. Dalle prime tre equazioni, si ottiene w = x + y, t = x + y x y, + y z u = x. x y 16

17 Sostituendo nell ultima equazione, si ha ossia x + y x + y z + x + y z + 1 = 0 x y x y x y (x + y)(x + y z) + (x + y z)(x y ) + (x y )(x y) = 0 di cui si riottiene Q : x + y 4xz 4x + 4z = 0. (b) La superficie Q è una quadrica e, per costruzione, è rigata. Gli invarianti ortogonali sono I 4 = 4, I = 4, I = 1, I 1 = 4. Quindi Q è un iperboloide iperbolico (a una falda). (c) Poiché gli autovalori di Q sono ±1 e 4, l equazione canonica di Q è x + 4y z = (a) Si ha f(x) = 1 sse f(x) = 1, e questo accade sse (x + y) + (x y) + (x + y + z) = 1. Quindi Q f è una quadrica e la sua equazione cartesiana è Q f : x + y + z + xy + xz + yz 1 = 0. (b) Poiché I 4 = 4 < 0, I = 4 0, I = 1 > 0, I 1 = 7 e I 1 I > 0, Q f reale. (c) L equazione canonica di Q f è è un ellissoide + 17 x + 17 y + z = 1. (d) Q f non è di rotazione (poiché possiede tre autovalori distinti). 7. (a) Si ha x Q f f(x) = 1 f(x) = 1 f(x), f(x) = 1 Ax, Ax = 1 x T A T Ax = 1. Pertanto l equazione di Q f è x T Bx = 1, dove B = A T A. Si osservi che la matrice B è sempre simmetrica, qualunque sia la matrice A. (b) Poiché una quadrica è a centro sse I 0 e poiché I = B = A T A = A T A = A, si ha che la quadrica Q f è a centro sse A = 0, ossia sse l applicazione lineare f è invertibile. In questo caso, poiché nell equazione di Q f mancano i termini lineari, il centro coincide con l origine. 8. Poiché è l intersezione di una quadrica con un piano, Γ è una conica. Sostituendo z = x + y + 1 nella prima equazione, si ottiene x + xy + y + 4x + y + 1 = 0 Γ : x + y z + 1 = 0. Pertanto la curva Γ : x + xy + y + 4x + y + 1 = 0 z = 0 è la proiezione di Γ sul piano xy parallelamente alla direzione data dall asse z. Poiché Γ è un ellisse reale (irriducibile), essendo I = 9 0, I = 9 > 0, I 1 = 7 e I 1 I < 0, anche Γ è un ellisse reale (irriducibile). 17

18 9. Poiché è l intersezione di una quadrica con un piano, Γ è una conica. Sostituendo y = x+1 nella prima equazione, si ottiene 9x 6xz + z + 1x + = 0 Γ : x y + 1 = 0. Pertanto la curva Γ : 9x 6xz + z + 1x + = 0 y = 0 è la proiezione di Γ sul piano xz parallelamente alla direzione data dall asse y. Poiché Γ è una parabola (irriducibile), essendo I 0 e I = 0, anche Γ è una parabola (irriducibile). 0. La curva Γ è una conica, essendo l intersezione di una quadrica con un piano. Sostituendo z = x + 4y + nella prima equazione, si ottiene 4xy + y x + 4y + 1 = 0 Γ : x 4y + z = 0. Pertanto la curva Γ : 4xy + y x + 4y + 1 = 0 z = 0 è la proiezione di Γ sul piano xz parallelamente alla direzione data dall asse y. Poiché Γ è una iperbole (irriducibile), essendo I 0 e I < 0, anche Γ è una iperbole (irriducibile). 1. Poiché è l intersezione di una quadrica con un piano, Γ k è sempre una conica. Sostituendo z = x + ky + 1 nella prima equazione, si ottiene kxy + (k 1)y + x + ky + = 0 Γ k : x + ky z + 1 = 0. Quindi la proiezione di Γ k sul piano xy parallelamente alla direzione data dall asse z è Γ kxy + (k 1)y + x + ky + = 0 k : z = 0. Gli invarianti ortogonali di questa curva sono 0 k 1 I = k k 1 k 1 k = k 1 k 1 k = 1 k, I = 0 k k k 1 = k. Pertanto, essendo dello stesso tipo, Γ k e Γ k sono un iperbole per k 0, ±1, una parabola per k = 0, una conica degenere in due rette reali incidenti per k = ±1. Ci sono esattamente due coniche degeneri, ossia Γ 1 e Γ 1. Per k = 1, si ha xy + x + y + 1 = 0 Γ 1 : x + y z + 1 = 0 ossia Γ 1 : (x + 1)(y + 1) = 0 x + y z + 1 = 0. 18

19 Di conseguenza, Γ 1 si spezza nelle due rette r 1 : x + 1 = 0 x + y z + 1 = 0 e s 1 : y + 1 = 0 x + y z + 1 = 0 che si intersecano nel punto P 1 ( 1, 1, 1). Il piano tangente a Q nel punto P 1 è il piano 1 π 1 : x + y z + 1 = 0. Quindi Γ 1 è la conica degenere che si ottiene intersecando Q con il suo piano tangente in P 1. Per k = 1, si ha xy x + y 1 = 0 Γ 1 : x y z + 1 = 0 ossia Γ 1 : Di conseguenza, Γ 1 si spezza nelle due rette r 1 : x + 1 = 0 x y z + 1 = 0 e s 1 : (x + 1)(y 1) = 0 x y z + 1 = 0. y 1 = 0 x y z + 1 = 0 che si intersecano nel punto P 1 ( 1, 1, 1). Il piano tangente a Q nel punto P 1 è il piano π 1 : x y z + 1 = 0. Quindi Γ 1 è la conica degenere che si ottiene intersecando Q con il suo piano tangente in P 1. In particolare, Γ 1 e Γ 1 si spezzano in due rette reali incidenti perché la quadrica Q è un iperboloide iperbolico (i cui punti sono tutti iperbolici).. Siano Q : y + 4z + 8x 4y 9 = 0 e π : x y + z = 0. La retta r tangente alla conica Γ nel punto P 0 può essere vista come l intersezione del piano π tangente alla quadrica Q nel punto P 0 con il piano π contenente la conica Γ. L equazione del piano π è x [ ] y z = ossia π : 4x y + 4z 7 = 0. Quindi si ha 4x y + 4z 7 = 0 r : x y + z = 0. ossia r : x + z = 0 y = 1. 1 Vedi esercizio