TEOREMI FONDAMENTALI DI GEOMETRIA ELEMENTARE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "TEOREMI FONDAMENTALI DI GEOMETRIA ELEMENTARE"

Transcript

1 uthor: Ing, Giulio De Meo GEOMETRIA TEOREMI FONDAMENTALI DI GEOMETRIA ELEMENTARE L somm degli ngoli interni di un poligono di n lti è (n - ) 180. L somm degli ngoli esterni di un qulsisi poligono vle teorem di Euclide: AB = BH BC teorem di Euclide: AH = BH HC Teorem di Tlete: AB : BC = A B : B C Teorem delle Corde: AE : DE = CE : EB Teorem delle Secnti: PA : PD = PC : PB Rggio circonferenz inscritt in un tringolo qulsisi: Lunghezz di un Arco di Circonferenz: 18

2 uthor: Ing, Giulio De Meo AREA DI FIGURE PIANE Prllelogrmmo: A = h h Trpezio: A = ( B + ) h h B A Romo: A = D d = ( A B CD ) C D Tringolo: l re di un tringolo qulsisi di cui si conosce l misur dei tre lti si può determinre con l Formul di Erone: B semiperimetro p = + + c p ( p - ) ( p - ) ( p - c) Are = = ½ ( c h ) h c Risoluzione di un Tringolo Rettngolo: Se di un tringolo rettngolo si conosce l relzione tr lti o tr ngoli, si può risolvere utilizzndo i teoremi di Pitgor e di Euclide e l proporzione nell incognit x. esempio: se AC = ¾ AB e l loro somm è 49cm per risolvere st porre : AC= 3x; AB= 4x; quindi AC+AB= 7x = 49cm; llor x=7cm; AC = 3x =1cm; AB = 4x = 8cm; Are= ½ AC AB = 94cm ; 3x C A h 4x B Poligono Regolre: A= prodotto del Semiperimetro p moltiplicto l potem : p = P A = p Qudrto: Are = lto ; Digonle = lto ; 19

3 uthor: Ing, Giulio De Meo GEOMETRIA PIANA Distnz tr punti A( x, y ) e (, ) 1 1 B x y : AB = (x x 1 ) + (y y 1 ) 1 1 Punto medio: x + x, y + M y. Eq. implicit di un rett: x + y + c =0 ; Eq. esplicit rett: y = mx + q ; m= /; q = c/; Coeff ngolre rett pssnte per punti: m = (y y 1 ) / ( x x 1 ) ; Eq rett di coefficiente ngolre m e pssnte per un punto P(x 0,y 0 ) Anche eq. fscio proprio di rette di centro (x 0, y 0 ): y y = m( x x ) 0 0 y y1 x x1 Rett pssnte per due punti A(x 1,y 1 ), B(x,y ): = y y x x 1 1 x0 + y0 + c Distnz di un punto P(x 0,y 0 ) d un rett: d = + Luoghi Geometrici: equzione dell isettrice di due rette:. x + y + c = ± 1 x + 1 y+ c 1 ( + ) ( ) Quesiti su un Tringolo di vertici A(x 1,y 1 ), B(x,y ) C(x 3,y 3 ) Coordinte del Bricentro del tringolo : Are del Tringolo noti i vertici (regol di Srrus): 0

4 uthor: Ing, Giulio De Meo Punti Notevoli di un TRIANGOLO Altezz: segmento congiungente un vertice ed il suo lto opposto che incide perpendicolrmente (cioè form un ngolo di 90 ); Ortocentro: punto di incontro delle Altezze. Medin: segmento congiungente un vertice ed il punto medio del lto opposto. Bricentro: punto di incontro delle medine; inoltre si h: AG = GM ; BG = M ; CG = M c ; Bisettrice: rett congiungente un lto ed il vertice opposto che divide il suo ngolo in ngoli uguli. Incentro: punto di incontro delle Bisettrici, coincidente con il centro dell circonferenz inscritt nel tringolo. Asse: segmento perpendicolre d un lto e pssnte per il suo punto medio M Circocentro: punto di incontro degli ssi coincidente con il centro dell circonferenz circoscritt l tringolo. 1

5 uthor: Ing, Giulio De Meo CONICHE Un conic è un curv ottenut dll intersezione di un cono circolre retto con un pino. Anlizzimo lcuni tipi di coniche reli: Circonferenz, Ellisse, Prol ed Iperole. Circonferenz L circonferenz è il luogo dei punti del pino equidistnti d un punto fisso detto centro. x y x y c = 0. ( x α ) + ( y β ) = r centro: C ( α, β ) ; = - α ; = -β ; c = α + β r Lunghezz del rggio: r = + - c 4 Ellisse L ellisse è il luogo geometrico dei punti del pino per i quli è costnte l somm delle distnze d due punti fissi detti fuochi. Considerimo dpprim il cso di un ellisse con Fuochi sull sse X centrto in O: > : - F 1 F c = Eccentricità : x y + = 1 F 1 ( - c, 0 ) ; F ( c, 0 ) ; c e = < 1 Considerimo desso il cso di un ellisse con Fuochi sull sse Y centrto in O: F < : - F 1 ( 0, - c ) ; F ( 0, c) ; c = ; = <1 F 1 - Nel cso in cui l ellisse si centrto in un punto P( xo,yo) diverso dll origine, l su equzione è ( x xo ) + ( y yo ) = 1

6 uthor: Ing, Giulio De Meo Prol L prol è il luogo dei punti del pino equidistnti d un punto fisso detto fuoco e d un rett fiss dett direttrice. Un prol con sse di simmetri prllelo ll sse Y h equzione: y = x + x + c Vertice : V ( - /, - /4 ) eq. sse di simmetri: X = -/ ; fuoco: 1 F, Eq. direttrice: 1 y =. 4 4 se > 0 concvità verso l lto se < 0 concvità verso il sso Un PARABOLA con sse di simmetri prllelo ll sse X h equzione: Fuoco : 1 F +, 4 4 x = y + y + c eq. sse di simmetri: Y = -/ ; Vertice: V ( - /4, -/ ) eq direttrice : x = - (1+ ) / 4 ; se > 0 concvità verso destr se < 0 concvità verso sinistr 3

7 uthor: Ing, Giulio De Meo Iperole L iperole è il luogo geometrico dei punti del pino per i quli è costnte (in vlore ssoluto) l differenz delle distnze d due punti fissi detti fuochi. Considerimo dpprim il cso di un iperole con Fuochi sull sse X centrt in O: F 1 - F - F x y = ; 1 eccentricità: Asintoti dell iperole: 1 c = + ; c e = > 1 y = x ; F ( ± c, 0 ); y = x ; Coeff ngolre tngente ll iperole nel punto di sciss xo Equz tngente nel punto P (Xo, Yo) Nel cso in cui l iperole h fuochi sull sse Y o nche, intersec l sse Y: x y c = 1 ; e = > 1 ; c = + ; F ( 0, ± c ); Asintoti dell iperole: y = x ; y = x 4

8 uthor: Ing, Giulio De Meo Iperole Equilter: Un iperole si dice equilter qundo i suoi sintoti sono perpendicolri tr loro. ( = ) : x y = oppure Asintoti: y = x ; y = x ; eccentricità: ; fuochi F ( ± c, 0 ) ; Se gli sintoti corrispondono gli ssi llor l equzione generle dell iperole divent: xy = k ; in prticolre, se k > 0 Iperole Equilter riferit gli l iperole è nel 1 e 3 qudrnte, se k < 0 i sintoti: xy = k con Vertici: V, V nel e 4. > 0 ; =, Fuochi:, ;, Funzione OMOGRAFICA : y = x + con,,c,d costnti reli. cx + d se c=0 oppure se c 0 e d = c l funzione è un rett. se c 0 e d c l funzione è un Iperole Equilter Trslt con sintoti x = -d/c ; y = /c che sono le coordinte del nuovo centro O dell iperole equilter trslt. Operndo l trslzione d ssi sotto si ottiene un iperole equilter del tipo xy = k ; 5

9 uthor: Ing, Giulio De Meo CLASSIFICAZIONE E RIDUZIONE DI UNA CONICA Anliticmente un conic è espress d un equzione del ordine coefficienti reli: f(x,y) = 11 x + y + 1 x y + 13 x + 3 y + 33 =0 ed in coordinte omogenee : f(x 1,x,x 3 ) = 11 x 1 + x + 33 x x 1 x + 13 x 1 x x x 3 = 0 d ess si ssoci l mtrice A: se Det(A) = 0 l conic si dice DEGENERE o RIDUCIBILE. Si può clssificre l conic in se l complemento lgerico A 33 dell mtrice: A 33 = 11 ( 1 ) si hnno 3 csi: - A 33 > 0 : l conic è un Ellisse; - A 33 = 0 : l conic è un Prol; - A 33 < 0 : l conic è un Iperole A= RIDUZIONE A FORMA CANONICA L equzione complet dell conic si può semplificre pssndo d un form ridott dett cnonic: st clcolre il determinnte Det(A), il vlore di A 33 e l somm I = Quindi si hnno csi: 1) coniche centro (Ellisse o Iperoli) : equzione ridott x 1 + x + c x 3 = 0; i coefficienti,, c si determinno risolvendo il sistem A 33 c = det ( A ) + = I = A 33 ) Prol: equzione ridott x 1 + x x 3 = 0; i coefficienti e si determinno risolvendo il sistem = I - ( ) = det(a) 6

10 uthor: Ing, Giulio De Meo CLASSIFICAZIONE AFFINE DELLE QUADRICHE L qudric Q : X T A X di equzione: 11 x + y + 33 z + 1 x y + 13 x z + 3 y z + 14 x + 4 y + 34 z + 44 =0 11 x 1 + x + 33 x x x 1 x + 13 x 1 x x x x 1 x x x 4 = 0 e di mtrice simmetric A = si può clssificre in se l DET (A), l vlore di A 44 ed ll Conic impropri C sezione dell qudric con il pino improprio X 4 = 0. L conic C si determin dll equzione Q dell qudric eliminnndo i termini di X, Y, Z e noto. C è riduciile se il determinnte dell su mtrice è nullo; C è rele se il discriminnte dell su equz. 0 ; è dett immginri nel cso contrrio. 1) DET(A) 0 - QUADRICA GENERALE: (Ellissoide, Proloide o Iperoloide): se A 44 0 e C = immginri det(a) > 0 Ellissoide Immginrio det(a) < 0 Ellissoide Rele punti ellittici se A 44 0 e C = rele non degenere det(a) > 0 Iperoloide d 1 fld punti Iperolici det(a) < 0 Iperoloide flde e punti Ellittici se A 44 = 0 e C = degenere det(a) > 0 Proloide iperolico sell punti iperolici det(a) < 0 Proloide ellittico punti ellittici ) DET(A) = 0 QUADRICA SPECIALIZZATA : (Cilindro o Cono): se Det (A) = 0 e Rngo (A) = 3 se A 44 0 e C = immginri : se A 44 0 e C = rele non degenere: Cono Immginrio; Cono Rele se A 44 = 0 e C = riduciile in rette reli e distinte: Cilindro Iperolico rette reli e coincidenti: Cilindro Prolico rette complesse coniugte: Cilindro Ellittico se Det (A) = 0 e Rngo (A) < 3 se Rngo(A) = - Qudric riduciile compost d Pini distinti: se Rngo(A) = 1 - Qudric riduciile compost d Pini coincidenti: 7

11 uthor: Ing, Giulio De Meo FASCI DI RETTE Fscio Proprio: insieme di tutte le rette del pino che pssno per un punto comune detto Centro. Se il centro è C (x 0, y 0 ) l eq del fscio è: y - y 0 = m ( x - x 0 ) che equivle ll equzione (x + y + c) + k (1 x + 1 y + c1 ) = 0 ; (*) le due rette entro prentesi sono le genertrici del fscio. Se si conosce l eq del fscio, per ricvrne il Centro st fre Sistem tr qulsisi rette del fscio. Se si conoscono rette, st scrivererle nell form (*) per determinre il fscio. Dto il fscio, l rett pssnte per un punto dto l si determin sostituendo le coordinte del punto nell equzione del fscio (*). Fscio Improprio: x + y + k = 0 insieme delle rette del pino prllele d un rett dt. FASCI DI CIRCONFERENZE Si dt l equzione del fscio generico come cominzione linere di circonferenze: ( x + y + 1 x + 1 y + c1 ) + k ( x + y + x + y + c ) = 0 ; (*) Si determin il Centro del fscio portndo l equzione del fscio in form implicit: x + y + x + y + c = 0 ; o fcendo sistem tr le equzioni delle circonf. dte. Distinguimo 4 tipi di Fscio: 1) Fscio di circoli Secnti: Tutte le circonferenze si intersecno in punti A e B (punti se) L rett AB è dett sse rdicle (circonf. degenere di rggio ). L sse del segmento AB su gui gicciono i centri delle circonferenze è detto sse centrle. ) Fscio di circoli Tngenti: Tutte le circonferenze sono tr loro tngenti in un solo punto T L sse rdicle è l rett r pssnte per T (x 0, y 0 ) l equz del fscio si può scrivere come c.l. dell equzione dell rett r: [ ( x x0 ) + ( y y0 ) ] + k (x + y + c) = 0 T 3) Fscio di circoli concentrici: x + y + x + y + k = 0 tutte I circoli sono concentrici. 8

1 COORDINATE CARTESIANE

1 COORDINATE CARTESIANE 1 COORDINATE CARTESIANE In un sistem di ssi crtesini (,) un punto P è identificto dll su sciss e dll su ordint : Asciss : distnz di P dll sse delle ordinte Ordint :distnz di P dll sse delle scisse P(-4,4)

Dettagli

Corso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU)

Corso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU) Corso di Lure in Scienze e Tecnologie Agrrie Corso Integrto: Mtemtic e Sttistic Modulo: Mtemtic (6 CFU) ( CFU Lezioni CFU Esercitzioni) Corso di Lure in Tutel e Gestione del territorio e del Pesggio Agro-Forestle

Dettagli

Risoluzione verifica di matematica 3C del 17/12/2013

Risoluzione verifica di matematica 3C del 17/12/2013 Problem 1 Risoluzione verific di mtemtic C del 17/1/01 Si clcolno le intersezioni tr le rette generiche del fscio proprio y x y 1, risolvendo il sistem: x y 1 y mx Si ottengono i punti di coordinte espresse

Dettagli

LICEO SCIENTIFICO CLASSICO SCIENZE UMANE MARCONI DELPINO

LICEO SCIENTIFICO CLASSICO SCIENZE UMANE MARCONI DELPINO LICEO SCIENTIFICO CLASSICO SCIENZE UMANE MARCONI DELPINO RECUPERO ESTIVO PER LE CLASSI ^D- E SCIENTIFICO Argomenti d rivedere: I QUADRIMESTRE: ) Equzioni di secondo grdo e relzioni tr coefficienti e rdici

Dettagli

Geometria Analitica Domande, Risposte & Esercizi

Geometria Analitica Domande, Risposte & Esercizi Geometri Anlitic Domnde, Risposte & Esercizi. Dre l definizione di iperole come luogo di punti. L iperole è un luogo di punti, è cioè un insieme di punti del pino le cui distnze d due punti fissi F e F

Dettagli

{ } 3 [ ] [ ] [ ] [ ] Esercizi per il precorso ( )( ) Prof. Margherita Fochi. 1.- Esercizi sui polinomi. + x. x R. ( )( ) + R. ( )( )( ) a.

{ } 3 [ ] [ ] [ ] [ ] Esercizi per il precorso ( )( ) Prof. Margherita Fochi. 1.- Esercizi sui polinomi. + x. x R. ( )( ) + R. ( )( )( ) a. Prof. Mrgherit Fochi Esercizi per il precorso.- Esercizi sui polinomi Semplificre le seguenti espressioni utilizzndo i prodotti notevoli:. ) ) ) ) ) 8 [ ] 8. ) ) ) ) ] [. ) ) ) [ ] { } y y y y y [ ] 8

Dettagli

Teoremi di geometria piana

Teoremi di geometria piana l congruenz teoremi sugli ngoli γ teorem sugli ngoli complementri Se due ngoli sono complementri di uno stesso ngolo α β In generle: Se due ngoli sono complementri di due ngoli congruenti α γ β teorem

Dettagli

Il teorema di classificazione delle curve del secondo ordine

Il teorema di classificazione delle curve del secondo ordine Geometri nlitic e lger linere, nno ccdemico 009/10 Lezione del 14 gennio 10 Il teorem di clssificzione delle curve del secondo ordine Ponimo X T = (,). Un equzione di secondo grdo T T T XAX + BX+ c = 0,

Dettagli

Ellisse riferita al centro degli assi

Ellisse riferita al centro degli assi Appunti delle lezioni tenute in clsse: ellisse e iperole Ellisse riferit l centro degli ssi Dti due punti F ed F detti fuochi, l ellisse è il luogo geometrico dei punti P del pino per cui è costnte l somm

Dettagli

Si noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'. Figura 1

Si noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'. Figura 1 APITOLO 3 LE SIMMETRIE 3. Richimi di teori Definizione. Si dto un punto del pino; si chim simmetri centrle di centro (che si indic con il simbolo s ) l corrispondenz dl pino in sé che d ogni punto P del

Dettagli

Maturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria 2000-2001

Maturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria 2000-2001 Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone Mturità scientific, corso di ordinmento, sessione ordinri 000-001 PROBLEMA 1 Si consideri l seguente relzione tr le vribili reli x, y: 1 1 1 +

Dettagli

ellisse parabola iperbole

ellisse parabola iperbole Geometri linere e ffine Geometri nlitic,.. 007/008 Note su qudriche e loro seioni pine Superfici del secondo ordine e loro seioni pine. Tglindo con un pino un cono circolre (infinito) si ottengono qusi

Dettagli

Quadriche in E 3 (C) L equazione cartesiana di una quadrica in coordinate non omogenee (x,y,z)

Quadriche in E 3 (C) L equazione cartesiana di una quadrica in coordinate non omogenee (x,y,z) Qudriche in E (C) L equione crtesin di un qudric in coordinte non omogenee (,,) Q:, +, +, +, +, +, +,4 + +,4 +,4 + 4,4. in coordinte omogenee (,,, 4 ) Q:, +, +, +, +, +, + +,4 4 + +,4 4 +,4 4 + 4,4 4.

Dettagli

U.D. N 15 Funzioni e loro rappresentazione grafica

U.D. N 15 Funzioni e loro rappresentazione grafica 54 Unità Didttic N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic U.D. N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic ) Le coordinte crtesine ) L distnz tr due punti 3) Coordinte del punto medio di un segmento 4) Le

Dettagli

LAVORO PER IL RECUPERO DEL DEBITO MATEMATICA CLASSI 3 S.M. DA CONSEGNARE IL PRIMO GIORNO DI ATTIVITA DI SPORTELLO

LAVORO PER IL RECUPERO DEL DEBITO MATEMATICA CLASSI 3 S.M. DA CONSEGNARE IL PRIMO GIORNO DI ATTIVITA DI SPORTELLO LAVORO PER IL RECUPERO DEL DEBITO MATEMATICA CLAI.M. DA CONEGNARE IL PRIMO GIORNO DI ATTIVITA DI PORTELLO DEVI RIOLVERE PRIMA DI TUTTO I PROBLEMI E GLI EERCIZI QUI ELENCATI. TERMINATI QUETI, RIOLVI ALCUNI

Dettagli

MATEMATICA Classe Prima

MATEMATICA Classe Prima Liceo Clssico di Treiscce Esercizi per le vcnze estive 0 MATEMATICA Clsse Prim Cpitolo Numeri nturli Primi ogni pgin del cpitolo Cpitolo Numeri nturli Primi ogni pgin del cpitolo Per gli llievi promossi

Dettagli

5 Geometria analitica

5 Geometria analitica 58 Formulrio di mtemtic 5 eometri nlitic 5.1 Punti e rett distnz di due punti d ( ) + ( y y ) 1 1 distnz tr due punti con ugule sciss d y y1 distnz tr due punti con ugule ordint d 1 punto medio di un segmento

Dettagli

corrispondenza dal piano in sé, che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P' in

corrispondenza dal piano in sé, che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P' in Cpitolo 5 Le omotetie 5. Richimi di teori Definizione Sino fissti un punto C del pino ed un numero rele. Si chim omoteti di centro C e rpporto ( che si indic con il simolo O, ) l corrispondenz dl pino

Dettagli

PNI SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1

PNI SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1 www.mtefili.it PNI 2005 - SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO È dto un trpezio rettngolo, in cui le bisettrici degli ngoli dicenti l lto obliquo si intersecno in un punto del lto perpendicolre lle bsi. Dimostrre

Dettagli

Università degli studi di Cagliari CORSO ANALISI II A.A. 2007/2008. Rappresentazione delle CONICHE e QUADRICHE

Università degli studi di Cagliari CORSO ANALISI II A.A. 2007/2008. Rappresentazione delle CONICHE e QUADRICHE Università degli studi di Cgliri CORSO ANALISI II A.A. 007/008 Rppresentzione delle CONICHE e QUADRICHE Rppresentzione delle CONICHE Generlità Si definiscono coniche le curve pine risultto dell intersezione

Dettagli

GEOMETRIA. Studio dei luoghi /relazioni tra due variabili. Studio delle figure (nel piano/spazio) Problemi algebrici sulle figure geometriche

GEOMETRIA. Studio dei luoghi /relazioni tra due variabili. Studio delle figure (nel piano/spazio) Problemi algebrici sulle figure geometriche GEOMETRIA ANALITICA EUCLIDEA Studio dei luoghi /relazioni tra due variabili Studio delle figure (nel piano/spazio) Funzioni elementari Problemi algebrici sulle figure geometriche Grafici al servizio dell

Dettagli

PIANO CARTESIANO E RETTA

PIANO CARTESIANO E RETTA PIANO CATESIANO E ETTA Distanza tra due punti: d(a, B) = (x A x B ) + (y A y B ) Distanza tra due punti su una retta di coefficiente angolare m: d(a, B) = x A x B + m Punto medio di un segmento: M = (

Dettagli

COMPITI PER LE VACANZE ESTIVE DALLA SECONDA ALLA TERZA

COMPITI PER LE VACANZE ESTIVE DALLA SECONDA ALLA TERZA COMPITI PER LE VACANZE ESTIVE DALLA SECONDA ALLA TERZA PROBLEMI DI APPLICAZIONE DELL'ALGEBRA ALLA GEOMETRIA ) Inscrivere in un semicirconferenz di dimetro r un rettngolo ABCD vente il lto AB sul dimetro

Dettagli

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo:

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo: Sistemi lineri Un equzione linere nelle n incognite x 1, x 2, x,, x n è un equzione nell qule le incognite ppiono solo con esponente 1, ossi del tipo: 1 x 1 + 2 x 2 + x +!+ n x n = b con 1, 2,,, n numeri

Dettagli

Classe V E. Geometria

Classe V E. Geometria Postulti di Euclide: Primi postulti: Clsse V E Geometri Lo spzio contiene infiniti punti, infinite rette e infiniti pini, un pino contiene infiniti punti e infinite rette, un rett contiente infiniti punti.

Dettagli

L IPERBOLE. L iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

L IPERBOLE. L iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. prof.ss Cterin Vespi 1 Appunti di geometri nliti L IPERBOLE L iperole è il luogo geometrio dei punti del pino per i quli è ostnte l differenz delle distnze d due punti fissi detti fuohi. Sino F1 e F i

Dettagli

Formulario di Geometria Analitica a.a

Formulario di Geometria Analitica a.a Formulario di Geometria Analitica a.a. 2006-2007 Dott. Simone Zuccher 23 dicembre 2006 Nota. Queste pagine potrebbero contenere degli errori: chi li trova è pregato di segnalarli all autore zuccher@sci.univr.it).

Dettagli

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE DEL PIANO

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE DEL PIANO TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE DEL PIANO INTRODUZIONE Per trsformzione geometric pin si intende un corrispondenz iunivoc fr i punti di un pino, ossi un funzione iiettiv che ssoci d ogni punto P del pino un

Dettagli

Angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale (alterni interni ed esterni, corrispondenti, coniugati).

Angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale (alterni interni ed esterni, corrispondenti, coniugati). ppunti di geometria.s. 013-014 1 Prof. Luigi ai PPUNTI ngoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale (alterni interni ed esterni, corrispondenti, coniugati). In un triangolo l angolo

Dettagli

Sessione Suppletiv PNI 006 Sessione Suppletiv PNI 006 Sessione Suppletiv PNI 006 PROBLEMA ) L prbol di equzione V ' (0,0). y h sse di simmetri prllelo ll sse delle ordinte e vertice in L prbol di equzione

Dettagli

Geometria analitica del piano

Geometria analitica del piano Geometria analitica del piano dott.ssa Vita Leonessa Università degli Studi della Basilicata (27 marzo 2008) (Analisi) Matematica 2 CdL in Chimica, Biotecnologie, Scienze Geologiche Rette Fissato un sistema

Dettagli

Corso di Matematica II

Corso di Matematica II Corso di Matematica II Università degli Studi della Basilicata Dipartimento di Scienze Corso di laurea in Chimica e in Scienze Geologiche A.A. 2014/15 dott.ssa Vita Leonessa Elementi di geometria analitica

Dettagli

Determinanti e caratteristica di una matrice (M.S. Bernabei & H. Thaler

Determinanti e caratteristica di una matrice (M.S. Bernabei & H. Thaler Determinnti e crtteristic di un mtrice (M.S. Bernbei & H. Thler Determinnte Il determinnte può essere definito solmente nel cso di mtrici qudrte Per un mtrice qudrt 11 (del primo ordine) il determinnte

Dettagli

La parabola LA PARABOLA È IL LUOGO DEI PUNTI DEL PIANO EQUIDI- STANTI DA UN PUNTO DETTO FUOCO E DA UNA RETTA CHE NON LO CONTIENE DETTA DIRETTRICE.

La parabola LA PARABOLA È IL LUOGO DEI PUNTI DEL PIANO EQUIDI- STANTI DA UN PUNTO DETTO FUOCO E DA UNA RETTA CHE NON LO CONTIENE DETTA DIRETTRICE. L prol In figur è trccito il grfico di un prol con sse di simmetri verticle. Si vede suito dl grfico ce: l curv è simmetric rispetto l suo sse di simmetri il suo punto più in sso è il vertice il vertice

Dettagli

dr Valerio Curcio Le affinità omologiche Le affinità omologiche

dr Valerio Curcio Le affinità omologiche Le affinità omologiche 1 Le ffinità omologiche 2 Tringoli omologici: Due tringoli si dicono omologici se le rette congiungenti i punti omologhi dei due tringoli si incontrno in un medesimo punto. Principio dei tringoli omologici

Dettagli

Analisi e Geometria 1

Analisi e Geometria 1 Anlisi e Geometri Esercizi sugli integrli Integrli propri. Clcolre i seguenti integrli immediti: I = I = I 5 = ln e e d I = e + e + 6e + e d I = rtg ln ( + ln ) d I 6 = e e + d d rtg + ( + ) ( + ( + )

Dettagli

Definizioni fondamentali

Definizioni fondamentali Definizioni fondmentli Sistem scisse su un rett 1 Un rett si ce orientt qundo su ess è fissto un verso percorrenz Dti due punti qulsisi A e B un rett orientt r, il segmento AB che può essere percorso d

Dettagli

Ellisse ed iperbole. Osservazione. Considereremo sempre ellissi della forma + = 1 le quali hanno tutte centro nell origine degli

Ellisse ed iperbole. Osservazione. Considereremo sempre ellissi della forma + = 1 le quali hanno tutte centro nell origine degli Ellisse ed iperole Ellisse Definizione: si definise ellisse il luogo geometrio dei punti del pino per i quli è ostnte l somm delle distnze d due punti fissi F e F detti fuohi. L equzione noni dell ellisse

Dettagli

Le Coniche Introduzione storica. Apollonio di Perga Keplero Cartesio

Le Coniche Introduzione storica. Apollonio di Perga Keplero Cartesio Le Coniche Introduzione storic. Le coniche sono curve studite sin dll ntichità e molti mtemtici hnno dto il loro contriuto llo studio di tli curve. Semr che per primo Menecmo (375-35.C.), un mtemtico greco

Dettagli

9 Simulazione di prova d Esame di Stato

9 Simulazione di prova d Esame di Stato 9 Simulzione di prov d Esme di Stto Problem 1 Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si rticol il questionrio Si f l funzione rele di equzione y =( )e.. Studire e trccire il grfico di f.

Dettagli

y = Funzioni Lineari : Funzione quadrato: Modulo Funzione omografica (iperbole): Funzioni Potenza: Funzione Esponenziale Funzione Logaritmica

y = Funzioni Lineari : Funzione quadrato: Modulo Funzione omografica (iperbole): Funzioni Potenza: Funzione Esponenziale Funzione Logaritmica Funzioni Lineri : Funzione qudrto: Modulo Funzione omogrfic (iperbole: Funzioni Elementri 1/ y m + q y + b + y y c + + b d c Funzioni Potenz: y Funzione Esponenzile Funzione Logritmic y y log ( Funzioni

Dettagli

ipotenusa cateto adiacente ad α cateto opposto ad α ipotenusa cateto adiacente ad α ipotenusa cateto adiacente ad α

ipotenusa cateto adiacente ad α cateto opposto ad α ipotenusa cateto adiacente ad α ipotenusa cateto adiacente ad α Trigonometri I In quest prim prte dell trigonometri denimo le funzioni trigonometriche seno, coseno e tngente e le loro funzioni inverse. Vedremo nche come utilizzrle nell risoluzione dei tringoli. Comincimo

Dettagli

11. Geometria piana ( ) ( ) 1. Formule fondamentali. Rettangolo. A = b = h = = b h. b = base h = altezza. Quadrato

11. Geometria piana ( ) ( ) 1. Formule fondamentali. Rettangolo. A = b = h = = b h. b = base h = altezza. Quadrato 11. Geometri pin 1. Formule fonmentli Rettngolo = h = h = h p = + h p = + h h= p = p h + ( ) = h = h h= = se = igonle p = perimetro h = ltezz = re p = semiperimetro Qurto = l l = = l l = l = lto = igonle

Dettagli

a monometriche Oxy, l equazione cartesiana di Γ è: y =

a monometriche Oxy, l equazione cartesiana di Γ è: y = Y557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. Tem di: MATEMATICA Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionrio. PROBLEMA Nel pino sono dti: il cerchio γ

Dettagli

( x) a) La simmetrica della parabola rispetto all origine è tale che: La parabola di equazione y = x + ax a ha vertice V = = mentre la parabola y S

( x) a) La simmetrica della parabola rispetto all origine è tale che: La parabola di equazione y = x + ax a ha vertice V = = mentre la parabola y S Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol ) In un pino, riferito d un sistem di ssi crtesini ortogonli (O), sono ssegnte le prbole di equzione:, dove è un numero rele positivo.

Dettagli

APPUNTI DI GEOMETRIA ANALITICA

APPUNTI DI GEOMETRIA ANALITICA Prof. Luigi Ci 1 nno solstio 13-14 PPUNTI DI GEOMETRI NLITIC Rett orientt Un rett r si die orientt qundo: 1. È fissto un punto di riferimento, detto origine;. Dei due possiili versi in ui un punto si può

Dettagli

Geometria analitica. punti, rette, circonferenza, ellisse, iperbole, parabola. ITIS Feltrinelli anno scolastico Il piano cartesiano

Geometria analitica. punti, rette, circonferenza, ellisse, iperbole, parabola. ITIS Feltrinelli anno scolastico Il piano cartesiano Geometri nlitic punti, rette, circonferenz, ellisse, iperbole, prbol ITIS Feltrinelli nno scolstico 007-008 Il pino crtesino Si dice pino crtesino un sistem formto d due rette perpendicolri che si intersecno

Dettagli

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica Nome Cognome cls 5D 18 Mrzo 01 Problem Verific di mtemtic In un sistem di riferimento crtesino Oy, si consideri l funzione: ln f ( > 0 0 e si determini il vlore del prmetro rele in modo tle che l funzione

Dettagli

GEOMETRIA EUCLIDEA PROF. VINCENZO LO PRESTI CONCETTI GEOMETRICI FONDAMENTALI

GEOMETRIA EUCLIDEA PROF. VINCENZO LO PRESTI CONCETTI GEOMETRICI FONDAMENTALI GEOMETRI EUCLIDE PROF. VINCENZO LO PRESTI CONCETTI GEOMETRICI FONDMENTLI 1 GEOMETRI Letterlmente geometri signific misur (metron) dell terr (geo). Lo scopo principle dell geometri è quello di studire e

Dettagli

Formulario di Geometria Analitica

Formulario di Geometria Analitica Formulario di Geometria Analitica Indice degli argomenti Retta Circonferenza Paraola Ellisse Iperole 1 Retta Equazione della retta in forma implicita ax + y + c = 0 a = 0 x = 0 y Se retta parallela all'asse,

Dettagli

Appunti di matematica 3 Indice

Appunti di matematica 3 Indice Appunti di mtemtic Indice. Ripsso di lgebr e geometri del biennio. Geometri nlitic Il pino crtesino Rett Circonferenz Prbol Ellisse Iperbole Complementi di geometri nlitic. Successioni numeriche. Funzione

Dettagli

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le Sched Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI L funzione esponenzile Assegnto un numero rele >0, si dice funzione esponenzile in bse l funzione Grfici dell funzione esponenzile Se = l funzione esponenzile è costnte:

Dettagli

Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009

Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 1) Sono assegnati i punti A(- 1; 3) C(3; 0) M ;1 a) Ricavare le coordinate del simmetrico di A rispetto a M e indicarlo con B. Verificare che il segmento congiungente

Dettagli

30. ESERCIZI SULL ELLISSE (soluzioni alla fine della rassegna)

30. ESERCIZI SULL ELLISSE (soluzioni alla fine della rassegna) 0. ESERCIZI SULL ELLISSE (soluzioni ll fine dell rssegn) A prtire dll equzione di un ellisse stilisci qunto vlgono I. le lunghezze dei semissi orizzontle ( ) e verticle ( ); II. le coordinte dei vertici

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT 00 Sessione strordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PRBLEMA Con riferimento un sistem monometrico

Dettagli

ELEMENTI GEOMETRIA ANALITICA SABO

ELEMENTI GEOMETRIA ANALITICA SABO ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA SABO COORDINATE CARTESIANE Ascisse dei Punti di un Rett Dt un rett orientt (verso di percorrenz positivo d sinistr verso destr per rette orizzontli; dl sso verso l lto per

Dettagli

Antonella Greco, Rosangela Mapelli. E-Matematica. E-Book di Matematica per il triennio. Volume 1

Antonella Greco, Rosangela Mapelli. E-Matematica. E-Book di Matematica per il triennio. Volume 1 Antonell Greco, Rosngel Mpelli E-Mtemtic E-Book di Mtemtic per il triennio Volume COPIA SAGGIO Cmpione grtuito fuori commercio d esclusivo uso dei docenti Grmond 009 Tutti i diritti riservti Vi Tevere,

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione ordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione ordinaria ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Sessione ordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA In un pino, riferito d un sistem

Dettagli

Fissiamo nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, z, u.

Fissiamo nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, z, u. Fissiamo nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, z, u. Definizione Una quadriche è il luogo dei punti, propri o impropri, reali o immaginari, che con le loro coordinate omogenee

Dettagli

Formule Utili Analisi Matematica per Informatici a.a

Formule Utili Analisi Matematica per Informatici a.a Formule Utili Analisi Matematica per Informatici a.a. 006-007 Dott. Simone Zuccher dicembre 006 Nota. Queste pagine potrebbero contenere degli errori: chi li trova è pregato di segnalarli all autore zuccher@sci.univr.it).

Dettagli

24 y. 6. ( 5 A. 1 B. 5 4 C D. 50 Applicando le proprietà delle potenze

24 y. 6. ( 5 A. 1 B. 5 4 C D. 50 Applicando le proprietà delle potenze Alunno/.. Alunno/ Pgin Esercitzione in preprzione ll PROVA d ESAME Buon Lvoro Prof.ss Elen Sper. Il piccolo fermcrte dell figur è relizzto nel seguente modo. Si prende un cubo di lto cm e su un fcci si

Dettagli

1 Espressioni polinomiali

1 Espressioni polinomiali 1 Espressioni polinomili Un monomio è un espressione letterle in un vribile x che contiene un potenz inter (non negtiv, cioè mggiori o uguli zero) di x moltiplict per un numero rele: x n AD ESEMPIO: sono

Dettagli

COMPLEMENTI DEL CORSO DI MATEMATICA Anno Accademico 2012/2013 Prof. Francesca Visentin

COMPLEMENTI DEL CORSO DI MATEMATICA Anno Accademico 2012/2013 Prof. Francesca Visentin COMPLEMENTI DEL CORSO DI MATEMATICA Anno Accademico 0/03 Prof. Francesca Visentin CAPITOLO V ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA Riprendiamo alcune nozioni già date nel Capitolo II.. Coordinate cartesiane

Dettagli

Es1 Es2 Es3 Es4 Es5 tot

Es1 Es2 Es3 Es4 Es5 tot Ottore lsse E Verifi sommtiv Cognome Nome rgomenti: onihe, funzione esponenzile e grfii derivti Tempo disposizione: ore Voto Es Es Es Es Es tot.... Considert l ellisse vente ome sse fole l sse, eentriità

Dettagli

Ottavio Serra. Baricentri

Ottavio Serra. Baricentri Ottvio err Bricentri Bricentro geometrico di un tringolo (All letter, ricentro signific centro del peso Vedremo tr poco il perché di questo nome) L dimostrzione seguente risle Euclide FIG Considero le

Dettagli

L IPERBOLE. x si sviluppano i prodotti notevoli; 25 y 8 si porta un radicale al 2 membro; 25 y si elevano i due membri al quadrato;

L IPERBOLE. x si sviluppano i prodotti notevoli; 25 y 8 si porta un radicale al 2 membro; 25 y si elevano i due membri al quadrato; L IPERBOLE L'IPERBOLE COME LUOGO GEOMETRICO L iperole è il luogo geometrio dei punti P del pino rtesino per i quli è ostnte l differenz delle distnze d due punti fissi, F ed F, detti fuohi. Il punto medio

Dettagli

TEST DI MATEMATICA. Funzioni in una, Funzioni in due variabili Integrali Equazioni differenziali. 1) Il valore del limite seguente. e e. e 1.

TEST DI MATEMATICA. Funzioni in una, Funzioni in due variabili Integrali Equazioni differenziali. 1) Il valore del limite seguente. e e. e 1. TEST DI MATEMATICA Funzioni in un, Funzioni in due vriili Integrli Equzioni differenzili ) Il vlore del limite seguente e e e lim è ) Il vlore del limite seguente 5 lim 5 è : ) L derivt prim dell funzione

Dettagli

Ellisse. Come fa un giardiniere a creare un aiuola di forma ellittica?

Ellisse. Come fa un giardiniere a creare un aiuola di forma ellittica? Ellisse Come fa un giardiniere a creare un aiuola di forma ellittica? Pianta due chiodi, detti fuochi, nel terreno ad una certa distanza. Lega le estremità della corda, la cui lunghezza supera la distanza

Dettagli

Sezione Esercizi ; ; ; 1 4. f ) 13 + g ) , 100, 125; f ) 216; 8 27 ; ; e ) g ) 0; h )

Sezione Esercizi ; ; ; 1 4. f ) 13 + g ) , 100, 125; f ) 216; 8 27 ; ; e ) g ) 0; h ) Sezione Esercizi Esercizi Esercizi dei singoli prgrfi - Rdici Determin le seguenti rdici qudrte rzionli (qundo è possiile clcolrle) 00 l ) m ) n ) o ) 0,0 0,0 0,000 0, Determin le seguenti rdici qudrte

Dettagli

Università degli Studi di Roma - La Sapienza, Facoltà di Architettura Formulario di Matematica *

Università degli Studi di Roma - La Sapienza, Facoltà di Architettura Formulario di Matematica * Università degli Studi di Roma - La Sapienza, Facoltà di Architettura Formulario di Matematica *. Distanza tra due punti A ; ) e B ; ) del piano cartesiano: AB = ) + ) +. Punto medio M del segmento AB

Dettagli

il discriminante uguale a zero; sviluppando i calcoli si ottiene che deve essere

il discriminante uguale a zero; sviluppando i calcoli si ottiene che deve essere Macerata maggio 0 classe M COMPITO DI MATEMATICA RECUPERO ASSENTI QUESITO Considera il fascio di curve di equazione: x y (.) = k + k 6 a) Trova per quali valori di k si hanno delle ellissi. Deve essere

Dettagli

Nome..Cognome.classe 4C 7 Maggio Verifica di Matematica

Nome..Cognome.classe 4C 7 Maggio Verifica di Matematica Noe..Cognoe.clsse 4C 7 Mggio Verific di Mtetic PROBLEMA ( punti In un tringolo ABC il lto BC isur e l ngolo opposto è di. Deterinre in funzione dell piezz di ABC ˆ CH l ndento di f ( essendo CH e bisettrici

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA Nel pino sono dti: il cerchio di dimetro OA,

Dettagli

Teoria di Jourawski. 1. Sezione ad T. Lê2 L Lê2. à Soluzione

Teoria di Jourawski. 1. Sezione ad T. Lê2 L Lê2. à Soluzione eori di Jourwski ü [A.. 0-03 : ultim revisione 4 gennio 03] Si pplic l teori di Jourwski l fine di clcolre l distribuzione di tensioni tngenzili su lcune sezioni soggette sforzo di tglio.. Sezione d ê

Dettagli

Problemi e rappresentazione di problemi di geometria dello spazio - Claudio Cereda febbraio 2001 pag. 1

Problemi e rappresentazione di problemi di geometria dello spazio - Claudio Cereda febbraio 2001 pag. 1 Prolemi e rppresentzione di prolemi di geometri dello spzio - ludio ered ferio 00 pg. onvenzioni di disegno e di rppresentzione Nel corso dell trttzione si dotternno le seguenti convenzioni simoliche:

Dettagli

5 2d x x >12. con a, b, c e d parametri reali. Il grafico di f (x) passa per l origine del sistema di riferimento

5 2d x x >12. con a, b, c e d parametri reali. Il grafico di f (x) passa per l origine del sistema di riferimento Questionrio Risolvi quttro degli otto quesiti: L Città dello sport è un struttur sportiv progettt dll rchitetto Sntigo Cltrv e mi complett, situt sud di Rom Rispetto l sistem di riferimento indicto in

Dettagli

Funzioni Elementari 1/2

Funzioni Elementari 1/2 Funzioni Lineri : Funzione qudrto: Modulo Funzione omogric iperbole: Funzioni Elementri / y m q y y y c b c b d Funzioni Potenz: Funzione Esponenzile Funzione Logritmic y y y log Funzioni trigonometriche

Dettagli

Vettori - Definizione

Vettori - Definizione Vettori - Definizione z Verso Origine Modulo Direzione V y Form geometri x Form nliti Un vettore è un ente geometrio definito d: - Direzione: rett sull qule gie il vettore, he ne indi l orientmento nello

Dettagli

ACCADEMIA NAVALE. Syllabus POLIGRAFICO ACCADEMIA NAVALE LIVORNO

ACCADEMIA NAVALE. Syllabus POLIGRAFICO ACCADEMIA NAVALE LIVORNO ACCADEMIA NAVALE Sllbus POLIGRAFICO ACCADEMIA NAVALE LIVORNO PREFAZIIONE È noto che in tluni ordini dell scuol medi superiore l'insegnmento dell mtemtic non giunge sino ll'ultimo nno, in ltri, lo svolgimento

Dettagli

Angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale (alterni interni ed

Angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale (alterni interni ed ppunti di geometria.s. 14-15 1 Prof. Luigi ai PPUNTI ngoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale (alterni interni ed esterni, corrispondenti, coniugati). In un triangolo l angolo esterno

Dettagli

RELAZIONI e CORRISPONDENZE

RELAZIONI e CORRISPONDENZE RELAZIONI e CORRISPONDENZE Siano X e Y due insiemi non vuoti si chiama relazione tra X e Y un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano: X x Y = {(x,y): x X, y Y} L insieme costituito dai primi (secondi)

Dettagli

Note di geometria analitica nel piano

Note di geometria analitica nel piano Note di geometria analitica nel piano e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria. Novembre 2015. 1 Indice 1 Punti e vettori spiccati dall origine 3 1.1 Coordinate......................................

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2005 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2005 Sessione suppletiva ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 005 Sessione suppletiv Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA Sono dti un pirmide

Dettagli

Esercitazione di Matematica sulle equazioni di secondo grado (o ad esse riconducibili) nel campo reale

Esercitazione di Matematica sulle equazioni di secondo grado (o ad esse riconducibili) nel campo reale Esercitzione di Mtemtic sulle equzioni di secondo grdo (o d esse riconducibili) nel cmpo rele 1. Risolvere, nel cmpo rele, le seguenti equzioni di secondo grdo: () 81x 0; (b) (x 1) 7x ; (c) 7x x 0; (d)

Dettagli

SISTEMA MISTO. Confronto tra le radici di un'equazione parametrica di secondo grado e un numero reale α. Se > 0 si possono verificare i seguenti casi:

SISTEMA MISTO. Confronto tra le radici di un'equazione parametrica di secondo grado e un numero reale α. Se > 0 si possono verificare i seguenti casi: SISTEMA MISTO Chimimo sistem misto un sistem ormto d un'equzione generlmente prmetric e d un o più disequzioni. Le soluzioni del sistem sono dte dlle rdici dell'equzione che veriicno le disequzioni. Tli

Dettagli

MODALITA DIVALUTAZIONE DEGLI STUDENTI CON CARENZE NEL SECONDO QUADRIMESTRE ESITO SOSPESO MATEMATICA BIENNIO. Coordinatrice: Prof. ANTONINA CASTANIOTTO

MODALITA DIVALUTAZIONE DEGLI STUDENTI CON CARENZE NEL SECONDO QUADRIMESTRE ESITO SOSPESO MATEMATICA BIENNIO. Coordinatrice: Prof. ANTONINA CASTANIOTTO LICEO SCIENTICO STATALE LEONARDO DA VINCI GENOVA.s.04-5 MODALITA DIVALUTAZIONE DEGLI STUDENTI CON CARENZE NEL SECONDO QUADRIMESTRE ESITO SOSPESO MATEMATICA BIENNIO Coordintrice: Prof. ANTONINA CASTANIOTTO

Dettagli

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Affinità rte rim Pgin di 7 esy mtemtic di Adolfo Scimone TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Generlità sulle ffinità Chimsi ffinità o trsformzione linere un corrisondenz biunivoc tr due ini o tr unti dello stesso

Dettagli

Il calcolo letterale

Il calcolo letterale Progetto Mtemtic in Rete Il clcolo letterle Finor imo studito gli insiemi numerici (espressioni numeriche). Ν, Ζ, Q, R ed operto con numeri In mtemtic però è molto importnte sper operre con le lettere

Dettagli

Parabola Materia: Matematica Autore: Mario De Leo

Parabola Materia: Matematica Autore: Mario De Leo Prol Definizioni Prol on sse prllelo ll sse Prol on sse prllelo ll sse Prole prtiolri Rppresentzione grfi Esepi di eserizi Rett tngente d un prol Eserizi Mteri: Mteti Autore: Mrio De Leo Definizioni Luogo

Dettagli

7.5. BARICENTRI 99. Esempio 7.18 (Baricentro di una lamina ellissoidale omogenea). Consideriamo la lamina ellissoidale omogenea in figura.

7.5. BARICENTRI 99. Esempio 7.18 (Baricentro di una lamina ellissoidale omogenea). Consideriamo la lamina ellissoidale omogenea in figura. 7.5. BAICENTI 99 P J Q Gli ssi HJ e PQ (che isecno i lti opposti del rettngolo) sono ssi di simmetri mterile. il ricentro dell lmin coincide con l intersezione dei due ssi: G, G H Esempio 7.18 (Bricentro

Dettagli

Nome.Cognome. 18 Dicembre 2008 Classe 4G. VERIFICA di MATEMATICA

Nome.Cognome. 18 Dicembre 2008 Classe 4G. VERIFICA di MATEMATICA Nome.Cognome. 8 Dicembre 008 Clsse G VERIFICA di MATEMATICA A) Risolvi le seguenti disequzioni goniometriche sin ) sin + ) 0 6 tn cos + sin ) 0 (punti:0,5) ) tn + tn > 0 sin 5) sin > cos (punti: ) 6) sin

Dettagli

Triangoli rettangoli

Triangoli rettangoli Tringoli rettngoli Teori in sintesi Teoremi sui tringoli rettngoli Teorem In un tringolo rettngolo l misur di un cteto è ugule quell dellipotenus moltiplict per il coseno dellngolo cuto esso dicente o

Dettagli

Equazione implicita della circonferenza. b= 2 c= 2 2 r 2

Equazione implicita della circonferenza. b= 2 c= 2 2 r 2 FORMULARIO DI GEOMETRIA ANALITICA Punto medio tra due punti. Distanza fra due punti. Baricentro di un triangolo. M = 1, y M = y 1 y d= 1 y y 1 0 = 1 3 3, y 0 = y 1 y y 3 3 Retta per due punti. Retta per

Dettagli

La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto (180 ).

La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto (180 ). Il triangolo (UbiLearning) - 1 Triangoli Un triangolo è un poligono formato da tre lati. Rappresenta la più semplice figura piana formata dal minimo numero di lati utili a chiudere una superficie piana.

Dettagli

Principali Definizioni e Teoremi di Geometria

Principali Definizioni e Teoremi di Geometria Principali Definizioni e Teoremi di Geometria Segmento (definizione) Si dice segmento di estremi A e B l insieme costituito dai punti A e B e da tutti i punti della retta AB compresi tra A e B. Angolo

Dettagli

Lezione 24 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico

Lezione 24 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico CONICHE in A ~ (C) Punti propri (x P,y P ) hanno coordinate omogenee [(x P,y P, )], Punti impropri hanno coordinate omogenee [(l,m, )]. L equazione di una conica in coordinate non omogenee (x,y) C: a,

Dettagli

Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole.

Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole. Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole. Teoria in sintesi Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l intersezione di una superficie conica con un piano. Si possono

Dettagli

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si PROBLEMA Determinare il punto simmetrico di P( ;) rispetto alla retta x y =0 Soluzione Il simmetrico di P rispetto ad una retta r è il punto P che appartiene alla retta passante per P, perpendicolare ad

Dettagli

TRIANGOLI. Proprietà: in ogni triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo lato. CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI

TRIANGOLI. Proprietà: in ogni triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo lato. CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI TRIANGOLI Si dice triangolo un poligono che ha 3 lati e 3 angoli. Proprietà: in ogni triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo lato. a) RISPETTO AI LATI CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI SCALENO:

Dettagli

Soluzione. Si consideri la figura sottostante che raffigura la geometria del problema: = =

Soluzione. Si consideri la figura sottostante che raffigura la geometria del problema: = = Sessione suppletiv LS_ORD 00 di De Ros Nicol PROBLEMA Del tringolo ABC si nno le seguenti informzioni: ABcm; ACcm; CAB 60. Si trcci l isettrice di CAB e se ne indici con D lintersezione con il lto BC.

Dettagli