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1 Contenuto e scopo presentazione Decisioni tattiche 21/05/ Contenuto vengono discusse alcune problematiche decisionali tattiche tipicamente affrontate dalle aziende di trasporto. Scopo fornire dei modelli possono essere utilizzati per la soluzione di tali problematiche. Raffaele Pesenti 2 Decisioni tattiche I clienti sono interessati a costi, tempi (velocità e rispetto delle date fissate) e qualità (in termini di, e.g., flessibilità, affidabilità, sicurezza). gli ultimi due aspetti penalizzano il ferro rispetto alla gomma. L obiettivo primario di un azienda di trasporto sono i profitti (sul medio lungo termine). Questo implica cercare di raggiungere un giusto equilibrio tra costi e tempi/qualità dei servizi forniti, nel rispetto della normativa vigente. Il livello del servizio fornito è di solito misurato verso l esterno in termini di ritardi nelle consegne, verso l interno nel fattore di utilizzazione dei materiali. Particolari forme contrattuali o metodi di organizzazione aziendale possono però prevedere il rispetto o il raggiungimento di determinati obiettivi (e.g., carte servizi delle poste, ferrovie, compagnie aeree). Decisioni tattiche Determinare il giusto equilibrio richiede di risolvere un problema di service network design in cui: il supply side richiede la riduzione dei costi tramite una visione integrata e coordinata di tutte le operazioni nella rete. In particolare per quanto riguarda, da una parte, le operazioni di consolidamento e di rottura dei carichi nei terminali e, dall altra, la selezione, il routing e lo scheduling dei servizi (di trasporto) forniti; il demand side richiede una gestione delle rotte e delle tempistiche dei servizi nella rete in modo da garantire un trasporto affidabile e puntuale nel rispetto degli obblighi contrattuali e degli obiettivi fissati. 3 4

2 Decisioni tattiche Decisioni tattiche Esempio: si seleziona il tipo di servizio, i.e., si decide come collegare i terminali A e B collegamento diretto con veicoli dedicati collegamento diretto con fermate intermedi per effettuare carichi e scarichi collegamento indiretto attraverso il terminale C dove la merce da A viene consolidata con altro materiale proveniente da altri luoghi collegamento indiretto attraverso il terminale C dove avviene la rottura del carico della merce da A per selezionare quella per B, che viene a sua volta consolidata con altra merce proveniente da altre origini... ad ogni decisione corrispondono costi, tempi e rischi diversi. A livello strategico si è deciso quale domanda servire A livello tattico si decide l itinerario che dovrà seguire il flusso che soddisfa una data domanda il servizio che viene attuato per il collegamento tra terminali frequenza e scheduling dei servizi politiche di gestione dei terminali, in particolare la distribuzione dei carichi di lavoro, orari di apertura,... politiche di gestione dei veicoli vuoti, i.e., gestione dei ritorni a vuoto, ridistribuitone sul territorio,... Nei lucidi successivi vengono presentati dei modelli per alcuni problemi tattici 5 6 Frequency Service Network Design Dati e variabili Descrizione del problema. obiettivo: minimizzare somma costi fissi e variabili di trasporto vincoli: la domanda deve essere soddisfatta limiti strutturali del sistema (e.g., di capacità e di velocità dei mezzi) devono essere rispettati leve decisionali: la frequenza dei servizi dati tecnologici: costi funzione del numero y di trasporti effettuati per unità di tempo costi funzione della quantità di merce di tipo p trasportata lungo l itinerario l con frequenza 1/y pl 7 Dati p P: prodotti considerati L p 2 A : insieme dei percorsi ammissibili per il prodotto p d p domanda prodotto p G(y): costi funzione del numero y di trasporti effettuati per unità di tempo H pl (y pl,h pl ): costi funzione della quantità di merce di tipo p trasportata lungo l itinerario l con frequenza 1/y pl K(y,h) =0: vincoli strutturali del sistema Variabili h pl : flusso del prodotto p lungo il percorso l y pl : numero di trasporti di prodotto p lungo il percorso l per unità di tempo 8

3 Funzione obiettivo e vincoli Obiettivo: minimizzazione dei costi complessivi min G(y)+ Σ p P Σ l Lp H pl (y,h pl ) Vincoli: soddisfacimento della domanda Σ l Lp h p,l = g p p P non negatività dei flussi ed interezza numero viaggi h pl 0, y lp Z l L p p P rispetto vincoli strutturali K(y,h) =0 9 Struttura dei costi G(y): esprime sia i costi fissi associati ad ogni singolo trasporto sia i costi di congestione. Questa ultima aumenta tanto sono numerosi i viaggi. Una prima approssimazione di tale costo può essere G(y) = (g 1 + g 2 E{y})y dove g 1, g 2 sono dei vettori costanti ed E{y} indica il valore atteso dei ritardi introdotti dalla congestione H pl (y pl,h pl ): esprime sia i costi variabili di trasporto che i costi di mantenimento della merce. Una prima approssimazione può essere H pl (y,h pl ) = (h 1pl + h 2pl E{y,h pl })h pl dove h 1pl, h 2pl sono dei vettori costanti ed E {y,h pl } indica il valore atteso dei ritardi dovute alle partenze non continue e alla congestione. A volte questo termine tiene conto anche della deviazione standard dei ritardi per introdurre un costo che penalizzi le variazioni dei tempi di servizio. 10 Commenti Il modello presenta analogie con la gestione delle scorte. I vincoli strutturali sono molto difficili da esplicitare e di solito si tiene conto solo di medie o si considerano casi peggiori (ad esempio si impone che la frequenza non possa superare una dato valore tenendo presente la dimensione della flotta, ma non considerando lo schedule effettivo). Per tali motivi generalmente tali vincoli sono rilassati e compaiono come componenti della funzione obiettivo. Problemi di valutazione dei tempi dei ritardi attesi. In generale non si tiene conto delle correlazioni e si usano formule molto semplici basate sulla teoria delle code. Il problema in pratica è semplificato dal fatto che tipicamente vi è una frequenza di base (e.g., un viaggio al giorno) e si ritengono ammissibili solo pochi multipli sottomultipli. Problema risolto con metodi di ricerca locale per le y. A y fissata si risolvono problemi di flusso con funzione obiettivo convessa. Un modello più completo Un modello più completo può considerare: sia trasporti LTL con consolidamento e trasporti diretti TL; i costi di movimentazione dei rimorchi (sia carichi che vuoti) e la gestione del carico dei rimorchi ai terminali di consolidamento; la gestione dei flussi dei rimorchi vuoti

4 Parametri C ij : costo di trasporto rimorchio (trailer) (pieno o vuoto) dal terminal i al terminal j; CB i : costo di gestione (handling) del carico di un rimorchio (LTL) al terminal i, se il terminal i è un terminale di rottura del carico (breakbulk) (0, altrimenti); CE i : costo di gestione di un rimorchio al terminal destinazione (end-of-line) i funzione del numero delle connessioni dirette (TL) su i (0, se i breakbulk); L: insieme dei percorsi ammissibili; M ij : minima frequenza (numero di rimorchi inviati (dispatched) per periodo), se esiste un trasporto diretto tra i e j; w od : domanda in numero di rimorchi LTL da o a d; u od : domanda in numero di rimorchi TL da o a d; Variabili L: insieme dei percorsi ammissibili; r dij : variabile di flusso ausiliaria; y ij : variabile che assume valore 1 se esiste servizio diretto tra i e j, 0 altrimenti; x dij : volume di traffico LTL su arco (i;j) con destinazione d; x ij = Σ d x dij z dij : volume di traffico TL su arco (i;j) con destinazione d; z ij = Σ d z dij v ij : flussi di rimorchi vuoti da i a j; x i : volume del traffico LTL totale gestito al breakbulk i, traffico originato in i più quello che vi transita; x i = Σ j x ij F ij (x ij ): frequenza di servizio tra i e j;f ij (x ij ) = {max(m ij ;x ij ) se x ij >0, 0 altrimenti) Funzione obiettivo e vincoli Obiettivo: minimizzazione dei costi complessivi min Σ ij C ij [F ij (x ij )y ij +v ij ] + Σ i [CB i x i +CE i (y)w i ] Vincoli: rispetto dei percorsi Σ j r dij = 1, i,d {r dij } L, i,j,d r dij y ij, i,j,d soddisfacimento della domanda LTL e conservazione flussi x dij = (w id +Σ k r dki )r dij, i,j,d conservazione dei flussi dei rimorchi vuoti w i = Σ j v ij -Σ k v ki, i soddisfacimento della domanda TL e conservazione flussi w i = Σ k F ki (x ki ) + Σ o u oi - Σ j F ij (x ij ) - Σ d u id, i, Σ j z ij -Σ k z ki = u id, i d Σ j z ij -Σ k z ki = Σ o u oi, i=d tipologia variabili r dij, y ij {0,1}, x dij, v ij, z ij 0 Commenti Un problema come il precedente è troppo complesso per essere risolto in modo esatto. Può essere affrontato con un euristica gerarchica in cui viene alternata la soluzione di un problema master e la soluzione di sottoproblemi: il problema master è un problema di network design risolvibile con euristiche locali in cui si fissa la configurazione dei percorsi ammissibili per i trasporti; fissati i percorsi ammissibili, due sottoproblemi sono risolti per determinare i costi; il primo sottoproblema determina il routing dei rimorchi LTL con una procedura basata su percorsi minimi; il secondo sottoproblema determina i flussi dei rimorchi vuoti, risolvendo un problema di transshipment

5 Reti spazio-tempo Nei modelli precedenti si è fissata la frequenza delle partenze dei veicoli, ma non lo scheduling effettivo dei mezzi. Possibili modelli per gestire lo scheduling sono le reti spazio-tempo: il tempo è quantizzato (e.g., ogni ora o frazione di giornata); i nodi della rete G=(N,A) corrispondono a i terminali in un dato istante di tempo quantizzato; un arco tra due nodi indica che un trasporto può avvenire nell intervallo di tempo delimitato dagli istanti di tempo associati ai nodi; un arco tra due nodi associati allo stesso terminale indica che si può sostare nel dato terminale per l intervallo di tempo delimitato dagli istanti di tempo associati ai nodi; ad ogni arco possono essere associati dei costi fissi e variabili. Commenti Le reti spazio-tempo sono molto grandi; i problemi ad essi associati possono essere risolti con algoritmi esatti solo se questi sono polinomiali. In pratica solo se i problemi affrontati sono riconducibili a problemi di flusso a costo minimo (non sono presenti costi fissi) o di determinazione di alberi ricoprenti (non sono presenti costi variabili); differenti reti spazio-tempo associano ogni nodo a particolari eventi, e.g., inizio fine di un servizio (vedi VSP) Wagner - Within Wagner - Within Particolare problema modellabile con rete spazio-tempo è il caso con un solo fornitore ed un unico cliente che deve rispondere ad una domanda giornaliera. Si vogliono minimizzare i costi complessivi: costo di acquisto costo proporzionale di trasporto costo fisso di trasporto costo proporzionale di mantenimento (la merce può essere immagazzinata presso il cliente) 19 Descrizione del problema. obiettivo: minimizzare somma costi fissi e variabili di trasporto e di mantenimento vincoli: la domanda deve essere soddisfatta NON vi sono limiti strutturali del sistema (e.g., di capacità mezzi o magazzini) che devono essere rispettati leve decisionali: quanta merce spedire e in che giorni dati tecnologici: lunghezza T dell orizzonte considerato domanda r(i) da soddisfare il giorno i costo fisso di trasporto k costo unitario di trasporto g costo unitario di acquisto p costo unitario di mantenimento per unità di tempo h 20

6 costo fisso d arco costo variabile d arco flusso in uscita flusso in ingresso K, p+g K, p+g Rete spazio-tempo r(1)+r(2)+...+r(t) K, p+g K, p+g nodo fornitore K, p+g T h h h h r(1) r(2) r(3) r(t) nodi cliente (uno per ogni giorno) 21 Commenti Non essendoci costi di mantenimento presso il fornitore è inutile introdurre la temporizzazione nel nodo corrispondente; i costi variabili di acquisto e trasporto sono costanti ed indipendenti dal momento e dalla dimensione dei lotti ordinati: (c+g)(r(1)+r(2)+...+r(t)). Tali costi possono essere trascurati nella fase di ottimizzazione; i soli costi che dipendono dalle decisioni sono quelli fissi di trasporto e i costi di mantenimento; non essendoci vincoli di capacità, non ha senso ordinare un lotto la cui dimensione non soddisfi la domanda di un numero intero di giorni. In caso contrario per il giorno la cui domanda non è completamente soddisfatta si pagherebbe sia il costo di mantenimento dal giorno precedente per parte della merce, sia il costo fisso per effettuare il trasporto della merce necessaria a soddisfare la domanda; il punto precedente che non è limitativo considerare solo un numero finito di dimensioni ammissibili per i lotti da ordinare e che quindi si può trasformare il problema nel seguente problema puramente combinatorio Wagner - Within Sia T la lunghezza dell orizzonte su cui si vuole ottimizzare, si deve determinare la sequenza di costi c(i,j) t.c. sia minima la somma: c(1,i 1 ) + c(i 1,i 2 ) + c(i 2,i 3 ) c(i k,t+1) dove c(i v,i v+1 )= K+ hr(i v +1)+2hr (i v +2)+...+(i v+1-1-i v )hr(i v+1-1) è il costo complessivo in cui si incorre nell ordinare un lotto che soddisfi tutta la domanda dal giorno i v al giorno i v+1 escluso. Tale problema corrisponde a determinare il percorso minimo su una rete aciclica e può essere risolto attraverso la programmazione dinamica. Una rete G(N,A) è costituita da: Reti un insieme N di nodi, in questo caso i nodi sono i giorni dell orizzonte più uno, N = T+1; un insieme A di archi orientati (i,j) con i,j N che esprimono l esistenza di una relazione tra una coppia di nodi, in questo caso gli archi esprimono il fatto che in i si ha a disposizione prodotti per soddisfare tutta e sola la domanda fino a j-1; un insieme C di pesi c(i,j) associati ad ogni singolo arco, in questo caso i pesi sono i costi delle scorte da i a j-1. Una rete ha una ovvia rappresentazione grafica:

7 Percorso a costo minimo Percorso a costo minimo Esempio: si debbano ordinare le sbarre di un motore a gabbia per soddisfare la seguente domanda su T=6 giorni: r(1) =189 r(2) =210 r(3) =252 r(4) =252 r(5) =252 r(6) =252 Sia inoltre K = 1000 e h = 1 nelle opportune unità monetarie. Soluzione: sia f(i) il cost-to-go (costo minimo dal giorno i a T+1) f(7) = 0 f(6) = min{c(6,7) + f(7)} = = 1000 se al sesto giorno si deve ordinare, si ordina solo per il giorno stesso f(5) = min{c(5,6) + f(6), c(5,7) + f(7)}= = min{ , ( ) + 0} = 1252 se al quinto giorno si deve ordinare, conviene ordinare anche per il sesto Percorso a costo minimo f(4) = min{c(4,5) + f(5), c(4,6) + f(6), c(4,7) + f(7)}= = min{ , ( )+ 1000, ( *252) + 0} = 1756 se al quarto giorno si deve ordinare, conviene ordinare anche per rimanenti; f(3) = min{c(3,4) + f(4), c(3,5) + f(5), c(3,6) + f(6), c(3,7) + f(7)}= = min{ , ( )+ 1252, ( *252) , ( * *252) + 0} = 2504 se al terzo giorno si deve ordinare, conviene ordinare anche per il quarto e quindi ricevere la merce di nuovo il quinto giorno; Percorso a costo minimo f(2) = min{c(2,3) + f(3), c(2,4) + f(4), c(2,5) + f(5), c(2,6) + f(6), c(2,7) + f(7)} = min{ , ( )+ 1756, ( *252) , ( * *252) , ( * * *252) + 0} = 3008 se al secondo giorno si deve ordinare, conviene ordinare anche per il terzo e quindi ricevere la merce di nuovo il quarto giorno; f(1) = min{c(1,2) + f(2), c(1,3) + f(3), c(1,4) + f(4), c(1,5) + f(5), } = = min{ , ( )+ 2504, ( *252) , ( * *252) } = 3470 al primo giorno conviene ordinare anche per il secondo e il terzo, quindi ricevere la merce di nuovo il quarto giorno

8 Commenti Metodi euristici Il numero di operazioni che si devono compiere per calcolare il percorso minimo cresce con il quadrato di T, in realtà esistono procedure più efficienti che crescono con TlogT; è possibile evitare alcuni confronti nei minimi (come avvenuto nel calcolo di f(1)) escludendo le situazioni in cui si è certi che i costi di mantenimento eccedono i costi di riordino; il problema diventa immediatamente difficile se ci sono vincoli di capacità; per questo modello e per giungere alla sua soluzione ottima è necessario conoscere esattamente la domanda futura del cliente. Nel caso questo non fosse possibile conviene utilizzare euristiche che prendono decisioni solo in base ad informazioni locali (nel tempo). I metodi euristici ricercano la soddisfazione di almeno una delle condizioni di ottimalità dell EOQ: minimalità locale del costo medio per periodo (Silver-Meal), minimalità del costo per prodotto (least unit cost ), costi di mantenimento uguale ai costi di riordino (part period balancing) Silver - Meal Silver - Meal Siano K: costo fisso ordine h: costo mantenimento in un periodo r i : domanda da soddisfare nel periodo i-mo G(T): costo medio per periodo se si ordina lotto equivalente alla domanda dei seguenti T periodi: G(1) = K, G(2) = (K+ h r 2 )/2, G(3) = (K+ h r h r 3 )/3... G(j) = (K+ h r h r (j-1) h r j )/j si riordina per soddisfare la domanda di j periodi, dove j è il primo minimo locale, i.e., il numero più piccolo t.c.: G(j -1) > G(j ) e G(j ) G(j +1) Esempio: sbarre motore a gabbia, K = 1000, h = 1 G(1) = 1000, G(2) = ( )/2 = 605, G(3) = ( *252)/3 = 571.3, G(4) = ( * *252)/4 = minimo locale in j =3, il giorno 1 devono essere disponibili le sbarre anche per il 2 e il

9 Least unit cost Least unit cost Siano K: costo fisso ordine h: costo mantenimento in un periodo r i : domanda da soddisfare nel periodo i-mo G(T): costo unitario per periodo se si ordina lotto equivalente alla domanda dei seguenti T periodi: G(1) = K/ r 1, G(2) = (K+ h r 2 )/(r 1 +r 2 ), G(3) = (K+ h r h r 3 )/(r 1 +r 2 + r 3 )... G(j) = (K+ h r h r (j-1) h r j )/ (r 1 +r r j ) si riordina per soddisfare la domanda di j periodi, dove j è il primo minimo locale, i.e., il numero più piccolo t.c.: G(j -1) > G(j ) e G(j ) G(j +1) Esempio: sbarre motore a gabbia, K = 1000, h = 1 G(1) = 1000/189=5.3, G(2) = ( )/( ) = 3.0, G(3) = ( *252)/( ) = 2.6, G(4) = ( * *252)/( ) = 2.7, minimo locale in j =3, il giorno 1 devono essere disponibili le sbarre anche per il 2 e il Part period balancing Part period balancing Siano K: costo fisso ordine h: costo mantenimento in un periodo r i : domanda da soddisfare nel periodo i-mo G(T): costo di mantenimento se si ordina lotto equivalente alla domanda dei seguenti T periodi: G(1) =0, G(2) = h r 2, G(3) = h r h r 3... G(j) = h r h r (j-1) h r j si riordina per soddisfare la domanda di j periodi, dove j è il primo minimo locale del valore K- G(j) Esempio: sbarre motore a gabbia, K = 1000, h = 1 G(1) = 0, G(2) = 210, G(3) = *252 = 714, G(4) = * *252 = 1365, minimo locale in j =3, il giorno 1 devono essere disponibili le sbarre anche per il 2 e il

10 Vendor Managed Inventory Nella gestione VMI il fornitore assume la gestione delle scorte del cliente; il fornitore decide quanto fornire il cliente e la dimensione del lotto sulla base delle informazioni che riceve dal cliente, direttamente dal mercato e dalle suoi decisori sulle politiche di marketing; il VMI conviene al fornitore, nel caso i costi di trasporto fossero a suo carico, quando riesce a servire più clienti in un solo viaggio in quanto può sfruttare il consolidamento; il VMI non conviene, a meno di una diminuzione dei costi di acquisto, al cliente in quanto perde il controllo dei costi di mantenimento delle sue scorte; nel caso di cliente con più fornitori, se i costi di trasporto sono a carico del cliente, conviene utilizzare la politica diametralmente opposta. Vendor Managed Inventory Approccio risolutivo: il problema presenta fortissime similarità con Wagner-Within (WW). I giorni di rifornimento sono gli stessi per tutti i clienti, che quindi possono essere visti come un unico macrocliente. Il costo fisso di trasporto di WW in questo caso deve comprendere anche il costo legato al percorso da svolgere visitare tutti i clienti (si deve risolvere un problema di TSP) Esercizi 1. Determinare i lotti e le frequenza di riordino ottima per una politica VMI in cui vi siano I clienti. Ogni cliente i è caratterizzato da: un tasso di domanda costante λ i da soddisfare una distanza d i0 dal fornitore una distanza d ij dal generico altro cliente i un costo h i di mantenimento un costo fisso K i di handling del carico una capacità massima Z i del magazzino Il fornitore è caratterizzato da costo fisso K 0 di spedizione costo variabile di spedizione c proporzionale ai km percorsi capacità massima W del veicolo Dovendo soddisfare completamente la domanda si trascurano i costi di acquisto e variabili di trasporto. Risolvere il problema supponendo di avere un unico mezzo a disposizione. [suggerimento: minimizzare i costi logistici complessivi che comunque incidono sul prezzo finale del prodotto, ispirarsi all EOQ] 39 Esercizi 2. Risolvere il problema 1 supponendo di avere più mezzi a disposizione (il problema si complica perché bisogna distribuire i clienti tra i mezzi, vedi lucidi VRP). Infine valutare l incremento dei costi, supponendo di arrotondare la frequenza di riordino e la dimensione dei lotti a numeri interi. 3. Risolvere i problemi precedenti supponendo che le domande siano stocastiche e che ogni cliente sia inoltre caratterizzato da una deviazione standard ν i del tasso della domanda politica di gestione della domanda con backorder penalità p i per ogni unità di domanda non soddisfatta immediatamente per ogni giorno di ritardo. 4. Risolvere il problema 1 supponendo che la domanda futura sia deterministica ma variabile (la presenza di vincoli di capacità complica il problema). 5. Data la soluzione del problema 1. Discute cosa accade quando un altro cliente deve essere aggiunto. In particolare, supponendo che il prezzo dei prodotti non cambi, determinare sotto quale condizioni l inserimento di un nuovo cliente porta un incremento/diminuzione dei costi ad un altro cliente già nel sistema. 40

11 Bibliografia Delorme, L., Roy, J., and Rousseau, J.M. (1988). MotorCarrier Operation Planning Models: A State of the Art. In Bianco, L. and Bella, A. L., editors, Freight Transport Planning and Logistics, pages SpringerVerlag, Berlin. Crainic, T.G. and Roy, J. (1988). O.R. Tools for Tactical Freight Transportation Planning. European Journal of Operational Research, 33(3): Crainic, T.G. and Rousseau, J.M. (1986). Multicommodity, Multimode Freight Transportation: A General Modeling and Algorithmic Framework for the Service Network Design Problem. Transportation Research B: Methodology, 20B:

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