c 2003 by Maria Giovanna Guarguaglini.

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1 c 003 by Maria Giovanna Guarguaglini.

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3 Appunti di Combinatoria Maria Giovanna Guarguaglini 6 aprile 005

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5 Indice Capitolo 5. Introduzione Palline e Scatole Distinguibili Disposizioni con Ripetizione Esempi Disposizioni Esempi Permutazioni Permutazioni con Ripetizione Esempi Palline Indistinguibili e Scatole Distinguibili Combinazioni Semplici Esempi Insieme delle Parti e Binomio di Newton Combinazioni con Ripetizione Esempi Esercizi di Ricapitolazione Proprietà dei Coefficienti Binomiali Esercizi Tavola Pitagorica del Calcolo Combinatorio Schema di Bernoulli Esempi Altri Esempi

6 4 INDICE

7 Capitolo Capitolo Contenuto. Introduzione Palline e Scatole Distinguibili Disposizioni con Ripetizione Esempi Disposizioni Esempi Permutazioni Permutazioni con Ripetizione Esempi Palline Indistinguibili e Scatole Distinguibili Combinazioni Semplici Esempi Insieme delle Parti e Binomio di Newton Combinazioni con Ripetizione Esempi Esercizi di Ricapitolazione Proprietà dei Coefficienti Binomiali Esercizi Tavola Pitagorica del Calcolo Combinatorio Schema di Bernoulli Esempi Altri Esempi

8 6 Capitolo. Introduzione L argomento è semplice, quasi infantile: abbiamo a disposizione un certo numero di palline da disporre in un insieme di scatole e ci chiediamo quanti modi ci sono per farlo. Affronteremo il problema in alcuni dei casi che si possono presentare considerando certe condizioni di distinguibilità delle palline e delle scatole e certi vincoli sulle condizioni di riempimento delle scatole. Questo semplice paradigma ci consentirà di ottenere una serie di risultati importanti per il Calcolo Combinatorio. Costruiremo poi una vera e propria Tavola Pitagorica, anche se incompleta, del calcolo combinatorio. Lavoreremo sempre, salvo avviso contrario, con numeri finiti di palline e scatole.. Palline e Scatole Distinguibili Abbiamo k palline distinguibili che vanno poste in n scatole distinguibili senza altro vincolo: è chiaro che la prima pallina (ricordiamo che non c è nessun tipo di ordinamento, il numero serve solo a distinguere una pallina dall altra e una scatola dall altra) può essere sistemata in una qualsiasi delle n scatole, cioè in n modi. E la seconda? Poiché non ci sono vincoli anche per la seconda pallina abbiamo a disposizione tutte le n scatole e così per la terza fino alla k esima. Quindi il numero di modi in cui possiamo disporre k palline distinguibili in n scatole distinguibili, senza altri vincoli, è n k. Quanto esposto fin qui è ben evidenziato nella figura seguente: Siano B = {,,... n} e A = {,,... k} rispettivamente gli insiemi delle scatole e delle palline: per ognuno degli assegnamenti considerati si può costruire una funzione da A a B definita ponendo f (p i )=b j ogniqualvolta la pallina p i si trova nella scatola b j, nel modo seguente: f (p )=b f (p )=b f (p )=b f (p )=b f (p )=b f (p )=b 3 f (p )=b f (p )=b f (p )=b f (p )=b f (p )=b f (p )=b 3 f (p )=b 3 f (p )=b f (p )=b 3 f (p )=b f (p )=b 3 f (p )=b 3 L insieme delle funzioni da un generico insieme A a un generico insieme B è spesso indicato con B A ed il numero di funzioni è dato dall elegante formula B A = B A

9 .3 Disposizioni con Ripetizione 7 con A e B, ripetiamolo, insiemi finiti. NOTA Pensare a come spiegare la formula con le matrici Questa formula si presta bene a trattare il caso limite in cui non ci sono palline, ovvero k = 0. Infatti se A = c è una sola funzione tra A eb f : B e infatti si ha n k = n 0 =. Se anche B = c è una funzione sola f : e infatti n k =0 0 =..3 Disposizioni con Ripetizione Tradizionalmente la formula che abbiamo ottenuto corrisponde alle Disposizioni con Ripetizione di n elementi presi a k a k, indicate con il simbolo Dn,k r, con k che può essere maggiore di n. Il tipico esempio è il problema Quante sono le colonne giocabili al Totocalcio? Ci sono 3 elementi (,, X) che possono essere presi a 3 alla volta, naturalmente con ripetizione: è come dover disporre in tre scatole distinguibili ( i risultati, e X, tredici palline distinguibili (le partite). La soluzione del problema è proprio 3 3 e corrisponde al numero di funzioni che si possono costruire tra l insieme delle partite (le palline), che sono tredici, e l insieme dei risultati (le scatole), che sono tre, ed è evidente che un risultato può ripetersi quindi ci sono n k =3 3 = possibili colonne giocabili in una schedina. ( Quanto si spenderebbe se volessimo giocarle tutte?).3. Esempi. Quanti numeri di tre cifre (anche ripetute) si possono ottenere dalle cifre,, 3, 4, 5? Il problema è analogo al problema di inserire tre palline distinguibili in cinque scatole distinguibili quindi, con n = 5 e k = 3, i numeri che si possono costruire sono 5 3 = 5.. Quanti codici di due simboli, anche ripetuti, si possono costruire dai simboli? Si tratta di inserire due palline distinguibili in tre scatole distinguibili quindi i codici sono 3 = Quante sigle di tre simboli, anche ripetuti, si possono costruire dai simboli? Si tratta di inserire tre palline distinguibili in due scatole distinguibili (oppure di disporre, con ripetizione, due elementi a tre a tre) quindi i codici sono 3 = 8..4 Disposizioni Consideriamo ora un primo vincolo sul tipo di riempimento delle scatole stabilendo che in ogni scatola possa esserci al più una pallina. Il problema si può interpretare anche così: come si possono disporre k palline distinguibili in n scatole, inizialmente vuote e distinguibili anche esse, con la regola che in ogni scatola può esserci al più una pallina? Chiameremo iniettivi questi assegnamenti perché ciò corrisponde a considerare solamente funzioni iniettive e naturalmente se il numero di palline supera quello delle scatole, ovvero n<k, non c è alcun assegnamento iniettivo. Se invece n>kpossiamo calcolare quanti sono i possibili assegnamenti iniettivi: la prima pallina può essere piazzata in una qualsiasi delle scatole quindi possiamo scegliere la sua posizione in n modi diversi, la seconda non può essere messa nella scatola in cui è già presente la prima, si violerebbe la regola di assegnamento, quindi potrà essere posta indifferentemente in una delle n scatole che sono rimaste vuote. Anche per la terza le scelte possibili escludono le due scatole già occupate quindi potremo scegliere tra le scatole non occupate, che sono n fino ad arrivare alla pallina k esima,

10 8 Capitolo l ultima, per la quale rimaranno n (k ) = n k + scatole tra cui scegliere. In conclusione il numero dei modi per disporre k palline in n scatole, con le condizioni richieste, è il prodotto del numero di modi in cui possiamo disporre la prima per il numero di modi in cui possiamo disporre la seconda, per il numero di modi in cui possiamo disporre la terza e così via fino alla k esima, ovvero : n (n ) (n ) (n k + ) Questo prodotto è così importante nel Calcolo Combinatorio che ha un suo nome, si chiama di solito Fattoriale Decrescente. Un altro modo di vedere il problema è di chiedersi in quanti modi si possono scegliere k oggetti tra n, con k < n, tenendo conto dell ordine di scelta, infatti gli oggetti sono distinguibili. Il ragionamento si ripete: il primo oggetto può essere scelto tra uno qualsiasi degli n oggetti quindi possiamo sceglierlo in n modi diversi, il secondo oggetto può essere scelto indifferentemente tra uno degli n oggetti che sono rimasti, per il terzo potremo scegliere tra n oggetti fino ad arrivare all oggetto k esimo per il quale rimaranno n k + oggetti tra cui scegliere. La formula ottenuta è la stessa di prima e si indica con D n,k = n (n ) (n ) (n k + ) Il simbolo D n,k si legge D enne kappa ovvero Disposizioni di n oggetti presi a k a k o anche Disposizioni di classe n e ordine k. Questo numero D n,k rappresenta, come abbiamo già anticipato, il numero di Funzioni Iniettive tra l insieme A delle palline e l insieme B delle scatole. In assenza di palline esiste un solo modo in cui possiamo disporle (e quindi una sola funzione), quello in cui tutte le scatole rimangono vuote Esempi. Quanti numeri di tre cifre non ripetute si possono ottenere dalle cifre,, 3, 4, 5? Si tratta di assegnamento di tre palline distinguibili in cinque scatole distinguibili con la regola che in ogni scatola può esserci al più una pallina: i numeri che si possono costruire sono D 5,3 =5 4 3 = 60.. Quanti codici di due simboli diversi si possono costruire dai simboli? Si tratta di disporre due palline distinguibili in tre scatole distinguibili quindi i codici sono D 3, = 3 = Quante bandiere di tre colori si possono costruire avendo a disposizione sette colori? Si tratta di disporre tre palline distinguibili in sette scatole distinguibili (oppure di prendere sette elementi a tre a tre tenendo conto dell ordine) quindi le bandiere sono D 7,3 =7 6 5 = 0..5 Permutazioni Se il numero delle scatole è uguale al numero delle palline le funzioni saranno anche suriettive e quindi biettive; in termini di scelta di oggetti questa eventualità si indica con Permutazioni di n oggetti, in simboli si ha D n,n = P n che è pari al prodotto di n per tutti i numeri che lo precedono fino ad arrivare a (infatti per k = n il termine n k + vale ). Tale prodotto si indica con il simbolo n! e si chiama Fattoriale di n o anche n fattoriale quindi P n = n (n ) (n ) 3 =n! Si può dare anche una definizione ricorsiva del fattoriale { per n =0 n! = n (n )! altrimenti

11 .6 Palline Indistinguibili e Scatole Distinguibili 9 n! Sono proprietà del fattoriale: (n )! = n ; n! =(n )! n Scriviamo ora la cosiddetta formula dei tre fattoriali, facilmente verificabile con la definizione di fattoriale appena introdotta: ( n k ) = n! k!(n k)! Si calcolano con la formula delle permutazioni i problemi del tipo: Quanti anagrammi si possono comporre con la parola ROMA? ovvero gli anagrammi di parole composte da lettere tutte diverse..5. Permutazioni con Ripetizione Quanti anagrammi si possono comporre con la parola MATEMATICA? Alcuni dei dieci elementi da permutare sono ripetuti (due M e due T, tre A) quindi il numero degli anagrammi sarà: 0!!!3! = 500 In generale se gli elementi da permutare sono n di cui k sono tra loro identici, k sono tra loro identici, k m sono tra loro identici il numero delle permutazioni è: P (k ;k ; k m ) n! n = k!k! k m!.5. Esempi. Un byte è un insieme di otto bit che possono assumere il valore 0 oppure il valore. Trova il numero delle possibili configurazioni che può assumere un byte se i quattro dei bit che lo compongono sono uguali a e i rimanenti quattro sono uguali a 0. 8! Sono le permutazioni di 8 elementi di cui 4 uguali e gli altri 4 uguali quindi 4! 4! = 70. In quanti modi si possono sedere cinque persone su cinque sedie allineate? Sono le permutazioni di 5 elementi non ripetuti quindi in 5! = 0 modi Se le cinque sedie dell esempio precedente sono disposte in cerchio i modi per sedersi non sono 5! = 0 ma (5 )! = 4 perché non è individuato un punto di inizio per le sedie: ogni sedia può essere la prima e la scelta della prima sedia si può fare in cinque modi quindi il numero precedentemente trovato va diviso per cinque..6 Palline Indistinguibili e Scatole Distinguibili Occupiamoci ora di k palline indistinguibili da assegnare a n scatole distinguibili in modo iniettivo. Vogliamo utilizzare il risultato D n,k, che rappresenta il numero di funzioni iniettive tra l insieme A delle palline e l insieme B delle scatole. Se rendiamo indistinguibili le palline assegnate alle scatole (per esempio cancellando i numeri che le contraddistinguono) i k! assegnamenti che coinvolgono le stesse scatole ora ci appariranno uguali, infatti non si possono distinguere due permutazioni di oggetti uguali. Possiamo quindi ricavare il numero cercato dal numero già noto D n,k dividendolo per k!.

12 0 Capitolo.7 Combinazioni Semplici Gli assegnamenti iniettivi di k palline indistinguibili in n scatole distinguibili si indicano con C n,k e prendono il nome di Combinazioni di n oggetti a k a k è D n,k diviso k! e si indica con C n,k : C n,k = D n,k k! ( ) n Osserviamo che il numero C n,k corrisponde al coefficiente binomiale con l uguaglianza: k ( n k ) n! = k!(n k)! Non è una coincidenza: il numero delle combinazioni di classe n e ordine k coincide col numero di sottoinsiemi di k elementi che possono essere estratti da un insieme di n elementi, con n > k. Questo numero può essere visto anche come il numero delle funzioni (strettamente) crescenti tra l insieme A delle palline e l insieme B delle scatole. Infatti per le funzioni iniettive che, a partire da palline numerate (distinguibili), coinvolgono le stesse scatole (e sono, come già visto, k!) si può scegliere quella che dispone le palline in ordine crescente ed assumerla come rappresentante di tutte le k! funzioni di partenza. In questo modo si ricostruiscono proprio le combinazioni e procedendo al conteggio si ottiene naturalmente lo stesso ( risultato. ) ( ) n n Osserviamo che la proprietà dei coefficienti binomiali =, facilmente verificabile k n k con la definizione, ha un interpretazione anche nei problemi di assegnamento, infatti i modi di disporre k palline in n scatole sono uguali ai modi di lasciare vuote n k scatole tra le n scatole disponibili! Notiamo che si può scrivere anche e che D n,k = n! (n k)! n (n ) (n ) (n k + ) =.7. Esempi k (n i + ) i=. Da un mazzo di quaranta carte quante combinazioni di tredici carte si possono ottenere? L ordine non conta quindi si tratta di prendere quaranta elementi a tredici alla volta: i modi sono D 40,3 /3! = ( )/( ) = In quanti modi di possono combinare tre colori avendone a disposizione sette? L ordine non conta quidi si tratta di prendere sette elementi a tre a tre: i modi sono D 7,3 /3! = (7 6 5)/6 = Quante differenti insalate si possono fare con i seguenti tipi: lattuga, scarola, indivia, romana e cicoria? Si può scegliere un insalata su cinque, o due su cinque o cinque su cinque. Il numero richiesto sarà allora C 5, + C 5, + C 5,3 + C 5,4 + C 5,5 = = 3 Osserviamo che per ogni numero intero positivo n C n, + C n, + C n,3 + + C n,n = n NOTA Nello svolgimento di questo esercizio è opportuno calcolare un coefficiente alla volta e successivamente confrontare i valori ottenuti con la quinta riga del Triangolo di Tartaglia e far osservare quanto vale la somma degli elementi della riga, anche riferendosi allo sviluppo di ( + ) 5.

13 .8 Insieme delle Parti e Binomio di Newton.8 Insieme delle Parti e Binomio di Newton Riprendiamo gli assegnamenti di k elementi in n scatole e vediamo che cosa accade se ci sono solo due scatole ovvero se l insieme B contiene solo due elementi, per fissare le idee sia B = {0, }. I simboli 0 e possono essere visti come abbreviazioni booleane dei fatti: : l elemento è nella scatola; 0: l elemento non è nella scatola; Per generalizzare chiamiamo U, o insieme universo, l insieme delle k palline. Quante sono le funzioni da U a B? Abbiamo imparato che sono k ma questo numero coincide con il numero di sottoinsiemi di U stesso! Quindi contando il numero di funzioni tra un insieme generico U e l insieme {0, } possiamo considerare l immagine di ognuna delle funzioni come un sottoinsieme di U, e viceversa ognuno dei sottoinsiemi S f di U può essere considerato la controimmagine di secondo una delle possibili funzioni costruibili. Ognuna di queste funzioni prende il nome di Funzione Caratteristica, quindi S f = f () = {u U : f (u) = } Nella nostra metafora S f è costituito da tutte quelle palline che la funzione ha assegnato alla scatola : è come se, per ogni assegnamento andassimo a contare gli elementi contenuti nella scatola. La funzione caratteristica del sottoinsieme vuoto è quella funzione che non assegna alcuna pallina alla scatola ma assegna tutte le palline alla scatola 0 cioè è la funzione costante u U f (u) = 0 La funzione caratteristica dell altro sottoinsieme improprio di U, U stesso, è quella funzione che assegna tutte le palline alla scatola, cioè è la funzione costante u U f (u) = quindi con le funzioni caratteristiche si costruiscono tutti i sottoinsiemi di un insieme dato, compresi l insieme vuoto e l insieme stesso. NOTA Conviene costruire un disegno, alla lavagna o su slide ma eseguito al momento, per illustrare operativamente il procedimento Tutti i sottoinsiemi, propri e impropri, di un insieme S costituiscono a loro volta un insieme, detto Insieme delle Parti o Insieme Potenza di S che viene indicato con P (S) o più frequentemente con S dove, per qualunque insieme finito S, si ha S = S I sottoinsiemi di un insieme possono essere ripartiti secondo il numero degli elementi che contengono. Come esempio consideriamo l insieme delle parti dell insieme {a, b, c} e scriviamolo nel modo seguente: {a, b, c} {a, b} {a, c} {b, c} {a} {b} {c} Notiamo che tra i sottoinsiemi ci sono l insieme vuoto e l insieme stesso, poi i tre sottoinsiemi {a}, {b} e {c} che contengono un solo elemento (e perciò sono chiamati singoletti), i tre sottoinsiemi di ordine che sono {a, b}, {a, c} e {b, c}. La risposta alla domanda di quanti siano i sottoinsiemi, di un insieme, che contengano un dato numero di elementi è fornita dai coefficienti binomiali. Questi

14 Capitolo numeri sono ben noti fin dalla scuola media dove si impara a calcolarli con il Triangolo di Tartaglia (di Pascal per i francesi!). Eccone la prime righe: I valori della quarta riga corrispondono alla ripartizione dei sottoinsiemi di a, b, c che abbiamo appena eseguito. Se ricordiamo lo sviluppo delle potenze di un binomio è facile comprendere l uso della tabella per calcolare (a + b) n. Per esempio si ha (a + b) 0 = (a + b) = a + b (a + b) = a +ab + b (a + b) 3 = a 3 +3a b +3ab + b 3 Si nota una regolarità e si può utilizzare tale regolarità per sviluppare la potenza di un binomio con n qualsiasi. Se indichiamo, in generale, il numero( di sottoinsiemi ) di k elementi che si possono estrarre da un n insieme di n elementi con il simbolo che si legge n-binomiale-k o anche n su k, la tabella k precedente si può anche scrivere in questo modo: ( ) 0 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 3 0 ) ) ( 3 ) ( 4 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 3 3 ) ( 4 ) ( 5 0 ( ) ( 4 4 ) 0 ( ) ( 5 5 ) ( Combinazioni con Ripetizione ) 3 ( 5 4 ) 4 ( 5 5 Continuiamo ad esaminare il caso di palline indistinguibili da assegnare a scatole distinguibili, senza il vincolo dell iniettività, e ricorriamo ad un artificio utile: si attribuisce un ordinamento alle palline, per esempio numerandole in ordine crescente, in modo da poter esaminare la prima pallina, la seconda e così via. Allora la prima pallina si potrà disporre in n modi e la seconda? Per la seconda i modi sono n+ perché oltre alle n scatole rimaste vuote possiamo decidere di porre la pallina nella scatola già occupata e lo possiamo fare in due modi, possiamo metterla a destra o a sinistra della prima pallina, rispettando o meno l ordinamento imposto all inizio. Quindi per due palline ci sono n(n + ) assegnamenti ordinati. Per la terza pallina, se le prime due palline sono state messe in scatole diverse, ci sono n scelte per le scatole rimaste vuote e quattro se si sceglie una delle scatole occupate per un totale di (n + ) oppure, se le prime due palline sono state messe nella stessa scatola, le scelte sono n, come le scatole vuote più tre nel caso che si scelga la scatola occupata dalle due palline precedenti (a destra, a sinistra e in mezzo) per un )

15 .9 Combinazioni con Ripetizione 3 totale, ancora, di (n + ). Ci sono allora n(n + )(n + ) assegnamenti ordinati di tre palline in n scatole. Andando avanti, per k palline gli assegnamenti ordinati sono n(n+)(n+) (n+k ) (questo numero si chiama fattoriale crescente. In figura è riportato un esempio, tre palline in due scatole: Non dimentichiamo che le palline sono indistinguibili, quindi dalla situazione in figura arriviamo, cancellando i numeri, alla situazione seguente: L operazione è, ancora una volta, la divisione per k! del fattoriale crescente e si ottiene ( ) ( ) Cn,k r n (n + ) (n + ) (n + k ) n + k n + k = = = k! k n come si può facilmente verificare facendo uso delle proprietà dei coefficienti binomiali. Un esempio può chiarire meglio: supponiamo di dover distribuire tre penne identiche a quattro persone. Si tratta di assegnamenti di tre palline indistinguibili in quattro scatole distinguibili a, b, c, d. Dalla figura (nella slide) si può ancora meglio osservare che questa configurazione corrisponde alle cosiddette Combinazioni con Ripetizione: notiamo infatti che c è la combinazione abc ma non la bca perché cambierebbe solo l ordine, che invece non conta..9. Esempi. Come possono essere distribuite tre caramelle, identiche, ad altrettanti bambini? Si tratta di C 3 3,3 = 0. In quanti modi si può comporre una coppa fatta da due palline di gelato se si hanno a disposizione i gusti ananas, banana, cocco e dattero? Si tratta di C 4, = 0

16 4 Capitolo.0 Esercizi di Ricapitolazione. I corsi TIC di livello A che interessano in questo anno scolastico circa docenti italiani, dalla scuola primaria alla secondaria superiore, sono costituiti da dieci moduli, ognuno di argomento diverso, che ogni corsista può scegliere tra quattordici moduli standard. Quanti sono i tipi di corso TIC che potrebbero essere attuati? Si tratta di C 4,0 = 00 da cui il nome Corsi dalle 00 possibilità. Un cassetto contiene cento bulloni di cui dieci sono difettosi. Devono essere utilizzati sei bulloni e si estragono a caso dal cassetto: (a) qual è il numero delle possibili sestine con due bulloni difettosi? Si tratta di C 90,4 C 0, = (b) qual è il numero delle possibili sestine con almeno due bulloni difettosi? Si tratta di C 90,4 C 0, + C 90,3 C 0,3 + C 90, C 0,4 + C 90, C 0,5 + C 0,6 = (c) qual è il numero delle possibili sestine con al più due bulloni difettosi? Si tratta di C 90,4 C 0, + C 90,5 C 0, + C 90,6 = (d) qual è il numero delle possibili sestine con nessun bullone difettoso? Si tratta di C 90,6 = (e) qual è il numero delle possibili sestine? Si tratta di C 00,6 = Considerando un mazzo di 40 carte calcolare quante possibili coppie si possono formare estraendo: (a) due carte contemporaneamente; Si tratta di C 40, = 40! ! = =! (40 )!! 38! 40 39! = 780 (b) due carte successivamente senza rimettere la prima carta estratta nel mazzo; Si tratta di D 40, = = 560 (c) due carte successivamente rimettendo la prima carta estratta nel mazzo; Si tratta di D r 40, = 40 = Determinare quanti colori si possono ottenere combinando in tutti i modi possibili i sette colori dello spettro (immaginiamo di mescolare quantità uguali di ogni colore). Si tratta di C 7, + C 7, + C 7,3 + C 7,4 + C 7,5 + C 7,6 + C 7,7 = 7 = 8 = 7 5. In quanti modi diversi 5 libri di economia, 4 di statistica e 3 di matematica finanziaria possono essere disposti sullo scaffale di una libreria in modo che i libri che riguardano la medesima materia siano raggruppati tra loro? Si tratta di 3! 5! 4! 3! = = 5900

17 . Proprietà dei Coefficienti Binomiali 5. Proprietà dei Coefficienti Binomiali ( ) n n!. Formula dei tre fattoriali = k k!(n k)! ( ) ( ) n n. Formula delle classi complementari = k n k ( ) ( ) ( ) n n n 3. = ; = n ; = 0 n ( ) ( ) ( ) n n n + 4. Formula di Stifel + = k k + k + ( ) ( ) ( ) n n n o anche = + k k k 5. Formula di ricorrenza: ( ) ( n n = k + k ) n k k +.. Esercizi. Calcolare il valore della somma dei coefficienti binomiali della riga n e sima del Triangolo di Tartaglia. Il valore è n in quanto si può vedere tale somma come lo sviluppo della potenza ( + ) n. Risolvere l equazione: P n = P n + 96 SOLUZIONE quindi n! = (n )! + 96 n! > 96 ovvero n>5 poiché 4! = 4 e 5! = 0. Procedendo per enumerazione si arriva subito alla soluzione, infatti: 5! = 4! =

18 6 Capitolo. Tavola Pitagorica del Calcolo Combinatorio Riassumiamo i risultati in una tabella, che chiameremo Tavola Pitagorica, in cui B è l insieme delle k palline, A è l insieme delle n scatole e le lettere I e D sono le abbreviazioni di Indistinguibili e Distinguibili: Tavola Pitagorica del Calcolo Combinatorio k n indice di occupazione: arbitrario indice di occupazione: 0/ D D D r n,k = n k Disposizioni con ripetizione Numero di funzioni da A a B D n,k = n (n ) (n ) (n k + ) Disposizioni di ordine n e classe k Numero di funzioni iniettive da A a B I D ( ) ( ) Cn,k r n + k n + k = = k n Combinazioni con ripetizione Numero di funzioni non decrescenti da A a B C n,k = D ( ) n,k n = k! k Combinazioni Semplici Numero di funzioni crescenti da A a B Questa tabella fa parte di una Tavola Pitagorica del Calcolo Combinatorio più estesa che si trova nel libro di D Antona intitolato Introduzione alla matematica discreta che comprende i casi di palline distinguibili e scatole indistinguibili e di palline e scatole entrambe indistinguibili nonché indici di occupazione positivi (tutte le scatole devono contenere almeno una pallina).

19 .3 Schema di Bernoulli 7.3 Schema di Bernoulli Consideriamo prove ripetute e indipendenti di un esperimento aleatorio con due possibili esiti, uno dei quali tradizionalmente definito Successo e l altro Insuccesso. Sia p la probabilità di Successo e q = p la probabilità di Insuccesso. Se ci interessa il numero dei successi e non anche l ordine in cui si presentano, allora vale il seguente Teorema: La probabilità di ottenere esattamente k successi in n prove ripetute viene indicata e calcolata mediante l espressione ( ) n P (k; n, p) = p k q n k k Si noti che la probabilità che non si verifichi alcun successo è q n e quindi la probabilità che si verifichi almeno un successo è q n. Le situazioni in cui tale formula può essere utilizzata sono molto varie e le stesse parole Successo e Insuccesso possono indicare una vasta gamma di fenomeni: per tali ragioni si parla di Schema di probabilità. Nella formula appare il coefficiente binomiale perciò questo schema di probabilità si chiama Schema binomiale o Schema di Bernoulli..3. Esempi. Viene lanciata sei volte una moneta oppure, il che è equivalente, vengono lanciate sei monete; sia Testa il Successo. Allora n = 6 e p = q =/. La probabilità che si presentino esattamente due Teste (cioè k = ) è: P ( ; 6, ) ( 6 = )( ) ( ) 6 = 5 64 La probabilità di ottenere almeno quattro Teste (cioè k = 4 o k = 5 o k = 6) è: ( P 4; 6, ) ( + P 5; 6, ) ( + P 6; 6, ) ( 6 = 4 = = 3 )( ) 4 ( ) 6 4 ( )( ) 5 ( ) 6 5 ( La probabilità che testa non si presenti affatto (cioè che siano tutti Insuccessi) è: q 6 = ( ) 6 = 64 e quindi la probabilità di ottenere almeno una Testa è: q 6 = 64 = Un dado viene lanciato sette volte; un lancio viene detto un Successo se si presenta un 5 o un 6. Allora n = 7, p =/3 eq = p =/3. La probabilità che si presenti esattamente tre volte un 5 o un 6 (cioè k = 3) è: P ( 3; 7, ) ( 7 = 3 3 )( ) 3 ( ) 7 3 = )( ) 6 ( ) 6 6

20 8 Capitolo La probabilità che non si presenti mai un 5 nè un 6 (cioè che siano tutti Insuccessi) è: q 7 = ( ) 7 = quindi la probabilità che un 5 o un 6 si presenti almeno una volta è: q 7 = 8 87 = Se consideriamo n e p coatanti allora l espressione B (k) =P (k; n, p) è una funzione di k: k 0 ( ) ( ) n n n B (k) q n q n p q n p p n Ricordiamo che è detta Distribuzione Binomiale poiché per k =0,,,,ncorrisponde ai termini successivi dello sviluppo del binomio ( ) ( ) (p + q) n = q n n + q n n p + q n p + + p n Questa distribuzione è detta distribuzione di Bernoulli e le prove indipendenti con due esiti sono dette prove di Bernoulli. Si ricavano le proprietà di questa distribuzione: Distribuzione Binomiale Valor Medio Varianza Scarto quadratico medio µ = np σ = npq σ = npq.3. Altri Esempi. La probabilità che un tiratore faccia centro è /4. Egli spara sette volte: qual è la probabilità che faccia centro almeno due volte?è più semplice trovare la somma delle probabilità che non faccia nessun centro e che ne faccia solo uno e calcolare il complemento a. Quindi quindi P (nessun centro) = ( ) 7 3 = 87 ( ; P ( centro) = P (almeno centri) = = )( )( ) 6 3 = Quante volte deve sparare affinché la probabilità che egli faccia centro almeno una volta sia maggiore di /3? La probabilità di non fare centro è q n. Dobbiamo allora determinare il più piccolo valore di n per il quale q n è minore di /3 = /3, dove q = p = /4 =3/4. Conviene calcolare i successivi valori di q finché non si ottiene q n < /3, ovvero: ( ) 3 = > 3 ; ( ) 3 = > 3 ; ( ) 3 3 = > 3 ; ( ) 4 3 = < 3 in altri termini la risposta cercata è che deve sparare quattro volte.

21 .3 Schema di Bernoulli 9. Una squadra ha probabilità di vittoria /3 ogni volta che gioca. La squadra gioca quattro partite. Qual è la probabilità che essa vinca: ( )( ) ( ) 4 esattamente partite? (P ( vittorie) = = ) ( ) 4 almeno partita? (P ( almeno vittoria) = = ) ( )( ) 3 ( ) 4 più della metà delle partite? (P ( 3 vittorie) + P ( 4 vittorie) = ( )( ) 4 4 = = 6 7 )

22 0 Capitolo

23 Bibliografia