GALLERIA DEL VENTO SCOPI DELL ESPERIENZA

Transcript

1 GALLERIA DEL VENTO SCOPI DELL ESPERIENZA Con la galleria del vento ci si propone: la verifica delle leggi di continuità (o di Leonardo) e di Bernoulli la misura della resistenza aerodinamica di diversi corpi la determinazione del profilo delle velocità attraverso la sezione del canale la determinazione della polare di un ala Dinamica dei fluidi Si potrebbe descrivere il moto di un fluido suddividendo idealmente il fluido stesso in elementi, a cui applicare le leggi della dinamica. Seguire il moto di ciascuna particella sarebbe però un lavoro molto complesso. Si può invece definire, per ogni punto del fluido e per ogni istante di tempo, il valore delle diverse grandezze che servono per descrivere il fluido stesso (ad esempio la densità o la velocità) concentrando così l attenzione sul quanto succede in un dato punto al passare del tempo, invece che seguire il moto del singolo elemento. Il moto del fluido può essere stazionario (quando la velocità del fluido è, in ogni punto, costante nel tempo) o non stazionario. Nel caso di fluido stazionario, ogni particella che arriva, in qualsiasi istante, in un certo punto, assume la stessa velocità, (mentre particelle in punti diversi possono naturalmente assumere velocità diverse). Il moto del fluido può essere rotazionale (se in ogni punto gli elementi di fluido hanno velocità angolare non nulla attorno a quel punto) o irrotazionale. Il fluido può essere comprimibile ( = m/v non costante) o incomprimibile. Il fluido può essere viscoso (con conseguente dissipazione di energia durante il moto) o non viscoso. Nel caso di moto stazionario, seguendo il percorso di una particella troviamo che esso è lo stesso che verrà seguito da qualsiasi altra particella che, in un certo momento, transiterà per quel punto. Possiamo allora pensare di congiungere tutti i punti di questo percorso fisso, ottenendo una linea di flusso, tale che la velocità risulta in ogni punto tangente alla linea di flusso in quel punto. Inoltre due linee di flusso non possono mai incrociarsi. Si determina pertanto una configurazione delimitata dall insieme delle linee di flusso, detta tubo di flusso, che si comporta come un condotto dal quale nessuna particella può uscire durante il moto.

2 La massa m che attraversa in un certo istante una sezione A del tubo di flusso è approssimativamente: m = V = A v t Dove v t rappresenta la lunghezza percorsa nell intervallo di tempo t dall elemento di fluido che si muove con velocità v. Supponendo costante questa massa, per qualsiasi sezione del tubo di flusso possiamo scrivere: A 1 v 1 t = A 2 v 2 t cioè: A v cost Questo risultato esprime il principio della conservazione della massa nella dinamica dei fluidi e viene conosciuto anche come principio di continuità. La grandezza Av, che risulta costante nel caso di fluido a densità costante, è detta portata. Il moto di un punto materiale può essere descritto attraverso la legge di conservazione dell energia meccanica, che lega la variazione di energia cinetica con la contemporanea variazione di energia potenziale. Nel caso del moto di un punto materiale, non dobbiamo considerare altre azioni, perché il punto è un entità a sé, che, in assenza di attrito dell aria, si muove come entità isolata. Quando si considera un fluido, come l aria, ogni elemento di fluido fa parte di un tutt uno che interagisce con gli altri elementi del fluido stesso. Ci si aspetta quindi che questo introduca, nella legge di conservazione dell energia meccanica, un termine aggiuntivo, che esprima proprio questo tipo di legame. Possiamo utilizzare il teorema delle forze vive, o teorema dell energia cinetica, per ricavare questa espressione estesa della legge di conservazione dell energia. Sappiamo quindi che la variazione dell energia cinetica è uguale alla somma dei lavori dovuti alle varie forze in gioco: in particolare alla forza di gravità ed alla forza legata alla pressione. Il lavoro della forza di gravità (forza conservativa), può essere espresso attraverso la differenza fra il valore iniziale ed il valore finale dell energia potenziale gravitazionale. Il lavoro della forza di pressione può essere scritto come pv, dove p è la pressione che agisce sull elemento di fluido nel punto considerato.

3 Visto che il moto del fluido è provocato dalla spinta del fluido che sta dietro l elemento il questione (forza parallela al moto) e reso più difficile dalla presenza del fluido che sta oltre l elemento in questione (forza antiparallela al moto), il lavoro viene espresso come differenza dei due termini p i V p f V. Poiché la posizione iniziale e finale sono prese in modo casuale e non determinano, con la loro scelta, la validità del risultato, possiamo raggruppare i termini relativi alla posizione iniziale e quelli relativi alla posizione finale, giungendo ad una espressione che resta costante durante il modo del fluido: mgh + ½ m v 2 + pv = cost Dividendo ogni termine per V e ricordando la definizione di densità = m/v, possiamo riscrivere la relazione precedente (che costituiva una espressione della conservazione dell energia) come una somma di pressioni: gh + ½ v 2 + p = cost L equazione di Bernoulli ha parecchie applicazioni. Ricordiamo ad esempio il caso in cui un condotto orizzontale presenti in strozzatura. Per il principio di continuità nella strozzatura la velocità deve essere maggiore, ma questo implica, per il principio di Bernoulli, che la pressione debba essere minore; questo effetto può essere evidenziato con l applicazione di un manometro differenziale, che viene immerso in un fluido per misurarne la velocità di flusso (tubo di Venturi) Il tubo di Pitot è un dispositivo impiegato per misurare la velocità di flusso di un gas. Per capirne il funzionamento immaginiamo di poter confrontare la pressione in un punto A, in cui il fluido è in quiete, con quella in un punto C in cui il fluido ha velocità v. Supponiamo che l altezza sia la stessa per i due punti.

4 L applicazione del teorema di Bernoulli permette di scrivere: p C + ½ v 2 = p A dove C è un punto in cui la velocità del fluido non è alterata dalla presenza del corpo. Nella disposizione più moderna del tubo di Pitot la pressione non perturbata viene misurata direttamente su un ramo laterale del tubo, dove l imboccatura del ramo destro (b) è perpendicolare rispetto alla direzione del flusso e di conseguenza la velocità si riduce a zero. In a invece il fluido ha velocità v. Applicando l equazione di Bernoulli si ha: p a + ½ v 2 = p b cioè p a < p b. Se h è la differente altezza del liquido manometrico di densità, la differenza di pressione può essere anche espressa come: p b p a = hg a cui è possibile ricavare la velocità del gas: v = (2gh / ) 1/2 Il tubo di Pitot può essere tarato in modo che vi si legga direttamente la velocità del gas. Nella configurazione descritta sopra ricavare la velocità equivale a ricavare la pressione dinamica, cioè quella pressione legata al moto del fluido con velocità v: p din = ½ v 2

5 E importante però ricordare che la densità dell aria non è una costante, ma dipende dalla temperatura e dall umidità dell aria: se necessario, bisogna applicare le opportune correzioni. Viene detta pressione statica quella riferita al punto in cui la velocità è nulla (b, nel caso precedente) e pressione totale la somma p a + ½ v 2 Il manometro differenziale non da direttamente un valore di pressione, ma permette di leggere il valore di una differenza di pressione fra i due punti ai quali il manometro è collegato. Se una estremità del manometro differenziale è libera e l altra è collegata con la boccola perpendicolare della sonda, possiamo leggere la differenza di pressione: p = p amb p b La pressione ambiente può però anche essere letta sul barometro di Fortin e quindi, dal confronto del valore letto, in questa seconda configurazione, sul manometro differenziale e quello letto sul barometro di Fortin si può ottenere p b, cioè la pressione statica. Dalla somma della pressione statica e della pressione dinamica si può infine ottenere anche la pressione totale (essendo i vari punti alla stessa altezza, il termine gh è lo stesso in ogni posizione), il cui valore, secondo la legge di Bernoulli, deve restare costante. La spinta dinamica è una forza che agisce su un corpo in virtù del suo moto all interno di un fluido (la spinta statica è invece quella espressa dalla spinta di Archimede). Anche quando sia il corpo in moto in un fluido fermo risulta spesso comodo considerare il corpo fermo e il fluido in movimento, come è effettivamente nel caso delle esperienze con la galleria del vento. Il comportamento del fluido può essere visualizzato con le linee di flusso, che indicano una velocità maggiore là dove sono più raddensate. pallina ferma, fluido in moto pallina in rotazione somma dei due moti A velocità maggiore corrisponde minore pressione: nel caso dell ala dell aereo, la maggiore velocità si ottiene, per la forma stessa dell ala, sopra ad essa. Ne segue una pressione maggiore sotto l ala che sopra, con una conseguente spinta dell aria sull ala dal basso verso l alto.

6 la forma delle ali viene realizzata i modo tale che la superficie superiore abbia un raggio di curvatura minore di quello della superficie inferiore. L aria che scorre sulla superficie superiore segue un percorso maggiormente incurvato di quello dell aria a contatto con la superficie inferiore. La velocità dell aria che si avvicina è orizzontale, mentre quella che si allontana dal profilo dopo essere fluita lungo l ala ha una componente verso il basso. Vi è stata quindi una forza applicata sull aria, diretta verso il basso; l aria deve esercitare sull ala una forza diretta verso l alto (terza legge di Newton). La componente verticale di questa forza è detta portanza aerodinamica (F a ), la componente orizzontale resistenza (F W ). La portanza dipende da vari fattori: velocità dell aereo, area dell ala, sua curvatura, angolo fra l ala e la direzione orizzontale. A parità degli altri termini, possiamo considerare l effetto della variazione dell angolo : quando quest ultimo aumenta, il flusso turbolento al di sopra dell ala riduce la spinta prevista dall effetto Bernoulli. Il grafico della resistenza in funzione della portanza, per diversi valori dell angolo di attacco, costituisce la polare dell ala. Il moto di un fluido viene detto laminare quando in ogni punto del liquido la velocità si mantiene costantemente parallela ad una direzione fissa ed i diversi strati di liquido fra loro adiacenti, avendo velocità differenti, scorrono uno sull altro senza mescolarsi.

7 Nel moto di un fluido, la viscosità è l analogo dell attrito nel moto dei corpi solidi. Si consideri un fluido tra due piani paralleli. Si applichi una forza F sul piano superiore, in modo da mantenerlo in moto con velocità costante v rispetto al piano inferiore, che invece è in quiete. Si può immaginare il fluido diviso in tanti strati paralleli ai piani. La viscosità non agisce solo tra il piano superiore ed il fluido, ma anche fra ciascuno strato del fluido: la velocità di ciascuno di essi differisce di una quantità dv da quello dello strato adiacente. Lo sforzo tangenziale è definito come F/A, con A area dello strato di fluido. Il fluido reagisce variando la velocità di ogni strato e possiamo esprimere ciò con la quantità dv/dy. La forza necessaria per tenere in moto la lastra superiore con velocità v risulta essere proporzionale alla dimensione della piastra A ed alla velocità ed inversamente proporzionale alla distanza d fra le piastre; il coefficiente di proporzionalità viene chiamato viscosità e la sua unità di misura è Nsm -2 nel sistema SI. Nel sistema CGS l unità di misura prende il nome di poise, essendo 1 poise = 0.1 Nsm -2. Si ha perciò: F/A = v/d In una conduttura cilindrica gli strati di fluido sono sottili anelli cilindrici di raggio variabile, ma il moto è ancora laminare e la velocità di flusso varia con il raggio: sull asse del tubo si ha il valore massimo, mentre il minimo (che si pone uguale a zero) si ha sulle pareti. La velocità sull asse dipende dalla differenza di pressione tra gli estremi della conduttura di lunghezza L. Se si considera il flusso di fluido attraverso ogni anello cilindrico si può mostrare che il flusso totale di massa dm/dt è: dm/dt = ( pr 4 p) / (8 L) dove R è il raggio del condotto (legge di Poiseuille). Conoscendo la differenza di pressione che fa scorrere un fluido in un tubo e misurando il flusso di massa si può determinare la viscosità del fluido stesso. Nei liquidi la viscosità diminuisce con la temperatura, mentre nei gas aumenta. Se delle polveri colorate vengono mescolate ad un liquido in moto laminare lungo un tubo, si vedono i granuli muovesi lungo linee non intersecatesi che sono i tubi di flusso. Se si fa aumentare la velocità di scorrimento del fluido, per un valore critico v c della velocità il moto dei granuli diviene disordinato ed il colore si sparpaglia per tutto il tubo: il moto è diventato turbolento. Le particelle del fluido cominciano a fluttuare in maniera disordinata, generando turbinii e fluttuazioni. A parità di differenza di pressione agli estremi del tubo, la portata risulta assai minore di quella

8 che si avrebbe in regime laminare. Nel moto turbolento la direzione della velocità in un punto cambia di istante in istante e le particelle del fluido possiedono moti rotazionali vorticosi. Si trova sperimentalmente che la velocità critica v c dipende dalla densità del liquido, dal coefficiente di viscosità e dal raggio del tubo nel quale scorre il liquido. Si può quindi impostare una equazione dimensionale, trovando che la velocità critica deve essere proporzionale a / D, con D diametro del tubo. La costante di proporzionalità è un numero puro e viene chiamato numero di Reynolds: R = Dv/ A parità di numero di Reynolds, il flusso avrà lo stesso aspetto, pur variando la velocià e, corrispondentemente, il diametro del cilindro. Questo fatto permette ad esempio di studiare quale sarà il comportamento del flusso d aria su un ala di un aeroplano anche senza costruirlo effettivamente: sarà sufficiente effettuare delle misure in un tunnel aerodinamico con un modellino in scala ridotta, adoperando naturalmente delle velocità che diano lo stesso numero di Reynolds. A questo scopo le gallerie del vento sono costruite in modo che la velocità di ogni strato parallelo all asse sia parallela all asse stesso, non abbia variazioni temporali e non presenti turbolenze. Naturalmente non è possibile realizzare gallerie che soddisfino pienamente questi requisiti e diventa importante chiedersi e verificare a quale livello una particolare galleria soddisfi queste ipotesi. Dal punto di vista fisico, il numero di Reynolds corrisponde al rapporto tra la forza inerziale F i e la forza viscosa F v. Consideriamo un liquido in moto con velocità media v m in una tubatura di diametro D e sezione A. La forza d inerzia si può scrivere: F i = v m dm/dt = v m ( Av m ) = Av m 2 e la forza viscosa: F v = A dv/dt = A( v m) / D Il rapporto è: R= Dv/ Dato che la forza di inerzia è prevalente nel flusso turbolento e quella viscosa nel flusso laminare, i grandi valori del numero di Reynolds possono essere associati alla turbolenza e quelli piccoli al flusso laminare. Quando il numero di Reynolds è dell ordine di 30, il flusso del fluido è ben descritto dalla teoria di Poiseuille. Per numeri di Reynolds più grandi, la teoria di Poiseuille si applica solo ad una certa distanza dall ingresso nella galleria, e solo da lì in poi potrà stabilirsi il caratteristico profilo di velocità parabolico. Indicata con X la distanza alla quale la velocità massima scarta meno del 5% dal valore dato dalla teoria di Poiseuille, si può ricavare che X RD/30, dove R è il numero di Reynolds e D il diametro del condotto. Spesso si verifica la presenza di un moto relativo fa un oggetto ed un fluido: pensiamo ad esempio al moto di un aeroplano nell aria o a quello del vento che soffia sulle case. Le situazioni reali sono molto complicate, ma si può cercare di comprendere le caratteristiche del fenomeno usando delle situazioni geometricamente più semplici: possiamo pensare ad esempio all effetto sul moto del fluido della

9 presenza di un cilindro di diametro d, posto con l asse normale al flusso di un fluido che si muove con velocità v (La situazione è poi perfettamente equivalente a quella del moto del cilindro attraverso un fluido fermo). Anche in questo caso le caratteristiche del moto del fluido possono essere classificate in base al valore del numero di Reynolds, definito come R= dv/ essendo d il diametro del cilindro, e rispettivamente la densità e la viscosità del fluido. Anche in questo caso le caratteristiche del flusso saranno le stesse a parità di numero di Reynolds, mentre varieranno al variare del numero stesso. Quando il numero di Reynolds è molto minore di 1 il flusso è simmetrico prima e dopo il corpo immerso, essendo il lato destro copia speculare del lato sinistro. Al crescere del valore del numero di Reynolds questa simmetria svanisce. Dietro al cilindro compaiono alcuni vortici ed il percorso delle particelle del fluido è disturbato dalla presenza del cilindro molto più lontano a valle, piuttosto che a monte del cilindro stesso. Per R > 40 il flusso cambia ancora: uno dei vortici dietro al cilindro diventa così lungo che si rompe e se ne va con la corrente del fluido, mentre nuovi vortici si formano dietro al cilindro. Soprattutto ciò che differenzia le prime due situazioni da quelle successive è che la velocità nelle prime è costante, mentre poi varia nel tempo in ogni punto: il flusso non è più stazionario. Via via che il numero di Reynolds cresce ancora, la vorticità tende a riempire una banda sottile, detta strato limite, nella quale il flusso è caotico ed irregolare Consideriamo la forza di trascinamento che agisce su un corpo di sezione A immerso in un fluido, di densità che si muove con velocità v. Essa risulta F = - ½ C R v 2 A dove C R è noto come coefficiente di resistenza; esso risulta essere dipendente dal valore del numero di Reynolds (che a sua volta è proporzionale alla velocità del fluido, se tutto il resto è mantenuto costante)

10 Nel diagramma è riportato il coefficiente di resistenza in funzione del numero di Reynolds, ottenuto sperimentalmente, per un ostacolo di forma sferica.