Propagazione di errori

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1 Propagazoe d error Gl error e dat possoo essere amplfcat durate calcol. Rspetto alla propagazoe degl error s può dstguere: comportameto del problema - codzoameto del problema: vedere come le perturbazo du dat s trasmettoo su rsultat comportameto dell algortmo - stabltà dell algortmo E stable se le operazo o amplfcao gl error d arrotodameto Per u problema becodzoato esstoo algortm stabl. U problema malcodzoato va rformulato se possble. Buoa poszoe d u problema F d) 0 S dce che l problema è be posto se per u certo dato d la corrspodete soluzoe esste è uca e dpede co cotutà da dat. U esempo d problema malposto è la determazoe del umero d radc real d u polomo. d es. p ) a ) a a ) al varare d a co cotutà ell seme de umer real c è ua varazoe dscotua del umero d radc real. Ifatt ce e soo ase se a [0) essua se a<0

2 CODIZIOMETO DI SISTEMI IERI y y 8 ha soluzoe ). Se troduco ua perturbazoe dell orde d y 8 7 y la uova soluzoe è -7.7.). Il puto d tersezoe delle due rette s è spostato d molto perché la secoda retta e la sua perturbata soo quas parallele e qud ua leve perturbazoe del coeffcete agolare provoca u otevole spostameto del puto d tersezoe. Calcolo delle radc d u polomo ) Questo polomo ha radc cocdet. Itroducamo ua perturbazoe: ) e uove soluzo soo Due soluzo soo complesse cougate. a perturbazoe ha modfcato l campo d apparteeza delle soluzo ed ha trodotto elle radc real ua perturbazoe d u orde d gradezza volte superore. E u problema malcodzoato.

3 Calcolo delle radc d u polomo Matlab ) 8 0 Questo polomo ha radc cocdet. ) Questo polomo ha radc cocdet. Calcolamo le radc col comado roots d Matlab. Soo problem malcodzoat. Dov è la perturbazoe che ha modfcato l campo d apparteeza delle radc? Dffereza tra due umer Perturbamo: 78.0 y 77.0 z-y z - y 78. y 7.9 z Ua perturbazoe sulla oa cfra sgfcatva de dat ha portato ua perturbazoe ella secoda cfra sgfcatva della soluzoe.

4 Errore relatvo su dat ' 0.8*0 y y' 0.8*0 y Errore relatvo su rsultat z z' 0. z S passa da 8 cfre sgfcatve e y ad ua cfra z coè s soo cacellate 7 cfre sgfcatve cacellazoe umerca) 8 8 Studo del codzoameto d rspetto alla soluzoe del sstema leare) b Se s effettua ua perturbazoe su e b qual è l effetto su? δ ) δ ) b δ b ) Studare l codzoameto d questo problema sgfca valutare l errore relatvo δ e cofrotarlo co l errore relatvo su dat

5 Per semplctà perturbamo solo l terme oto b. δ ) b δ b δ δ b δ b ) δ b Suppoamo d utlzzare ua orma d matrce compatble co la orma d vettore δ δ b δ b b b δ δ b b E fe δ K ) δ b b K) è l fattore d amplfcazoe della perturbazoe ed è l dce d codzoameto del problema

6 CODIZIOMETO DI SISTEMI IERI Cosdera seguet comad MTB: >>a[ ] >>b[.8; -.; 8.07] >>a\b Modfca po a) da -.70 a -.70 e rsolv uovamete l sstema: >>a)-.70 >>a\b Commeta. Matrce d Hlbert Matrce d Hlbert d orde << hlb) Rsolvamo esattamete l sstema * ad es. co Mathematca) e po rsolvamolo co l comado lea d Matlab h Table[/-){ }{ }] h.{{}{}{}{}{}}{{}{}

7 7 Calcolamo l dce d codzoameto della matrce d Hlbert. comado cod d Matlab) h h H ) ) K a matrce d Hlbert è ota perché malcodzoata. Verfchamo spermetalmete l malcodzoameto rsolvedo col comado lea d Matlab l seguete sstema leare H b co per... a soluzoe esatta del sstema è b[/p ] H b H / ) ) ) K π << Hhlb) << bh:)/p << H\b Matrc d Vadermode I sstem co queste matrc rsultao malcodzoat per

8 Teorema Per og matrce o sgolare e per og orma d matrce compatble co ua d vettore la quattà /K) rappreseta la dstaza relatva d dall seme d tutte le matrc sgolar d orde coè R K ) B m : B R sgolare } Studare l codzoameto del sstema leare avete la seguete matrce de coeffcet. E 9. E 9 0 Equlbrare po la matrce per rghe e studare uovamete l codzoameto 8

9 Esempo d algortmo stable Cosderamo prm term dello svluppo sere d Mac aur d puto zale 0 della fuzoe espoezale. ) e S )! 0 0! Suppoamo t e valutamo S ) -. co. Il rsultato è 0.*0 - ;l valore esatto arrotodato a cfre sgfcatve è 0.088*0 -. errore relatvo è 0.. E u cattvo rsultato. Perché? e lm > S S ) e! 0 0 )! Valutado e -. ella sere c soo seg alter e s sottraggoo umer vc. S perdoo progressvamete cfre sgfcatve e qud aumeta l errore relatvo. Come otteere u algortmo stable? Osservazoe: e /e - Calcolado e per > 0 s evta la cacellazoe umerca e s ottee u algortmo stable. o s determa a pror; l algortmo terma quado /! s comporta come zero ella somma co S -. 9

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