UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTA DI SCIENZE DELLA FORMAZIONE CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DELLA FORMAZIONE PRIMARIA Indirizzo Scuola primaria

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTA DI SCIENZE DELLA FORMAZIONE CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DELLA FORMAZIONE PRIMARIA Indirizzo Scuola primaria Tesi di laurea di Alessia Amato Relatore: Chiar.mo Prof. Filippo Spagnolo Anno Accademico 2007/2008

2 OBIETTIVO Il presente lavoro ha l obiettivo di indagare quali sono le concezioni spontanee e le misconcezioni riguardo le frazioni e i numeri decimali. IPOTESI DI LAVORO Se gli insegnanti utilizzano vari approcci alla frazione e ai numeri decimali, nel rispetto delle misconcezioni della Prof.ssa Martha I. F. Pinilla, si avranno migliori risultati con gli allievi. SPERIMENTAZIONE CAMPIONE L indagine è stata rivolta a: * 44 insegnanti durante il corso della SISSIS di Palermo abilitante della classe 47 (Matematica nelle scuole secondarie superiori), 48 (Matematica Applicata nelle scuole secondarie superiori). Il corso, annuale, era rivolto a futuri insegnanti di tutta la regione Sicilia che per effetto della legge 143 seguivano il corso annuale invece di biennale. * 73 futuri insegnanti del corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, dell Università di Palermo del secondo anno accademico 2007/2008. * 59 alunni delle classi 5 di Scuola Primaria della Scuola F. RACITI del quartiere Borgonuovo di Palermo. STRUMENTI IMPIEGATI gli strumenti utilizzati per la sperimentazione sono stati: * un questionario composto da 9 item. Ogni item contiene vari esercizi e problemi aperti sulle frazioni e sui numeri decimali. * l analisi a priori che mi ha permesso di analizzare le possibili risposte degli alunni, corrette e non. METODOLOGIA

3 Inizialmente in classe ho condotto delle lezioni frontali per valutare la preparazione degli allievi e capire quale fosse la loro concezione di frazione e numero decimale. Successivamente ho somministrato un questionario, da me ideato, contenente vari esercizi e problemi aperti. Lo stesso questionario è stato somministrato agli insegnanti di Scuola Superiore e anche ai futuri insegnanti di Scienze della Formazione Primaria (N.B. il questionario che ho dato agli alunni di Scuola Primaria è stato modificato in quanto non avevano ancora trattato alcuni argomenti). ERRORI TIPICI NELL APPRENDIMENTO DELLE FRAZIONI Il seguente schema, da me realizzato, mette ben in evidenza alcune tra le problematiche che sembrano emergere con più forza negli ultimi anni nella scuola e che si sono consolidate come elementi di ricerca in didattica della matematica.

4 I QUESTIONARI Per la realizzazione di questo mio progetto sperimentale ho ideato un questionario. Esso è composto da 9 item (cioè dalla lettera A alla lettera I). Per ogni item ci sono due o più esercizi o problemi aperti. Di grande aiuto è stato il libro Le frazioni, aspetti concettuali e didattici della Professoressa Martha Isabel Fandiòo Pinilla, che è stata una vera guida durante tutto questo percorso di sperimentazione. Ogni item riguarda una difficoltà nell apprendimento dei numeri razionali. Il questionario è stato somministrato agli insegnanti di Scuola Superiore, ai futuri insegnanti del corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria e agli alunni di una classe 5 primaria (a questi ultimi ho dovuto cambiare degli esercizi in quanto non avevano ancora svolto l intero programma riguardante i numeri razionali, vedi ). Questionario A Confronta le seguenti frazioni e mettile in ordine crescente, motivando tutti i passaggi.. Confronta le seguenti coppie di numeri decimali e metti il segno > = <, motivando tutti i passaggi. 1,2 1,15 3,5 3,23 0,3 0,35 2,1 2,10 6,21 6,20 78,536 78,539 Colora la frazione che vale di più e dai una motivazione.

5 Questionario B Calcola le seguenti operazioni con le frazioni eseguendo tutti i passaggi. Calcola le seguenti operazioni con i numeri decimali e metti in colonna spiegando ogni passaggio. 245, ,27 = 569,45 57,32 = 2,38 x 100 = 16,3 : 12 = 25, ,283 = 137,8 48,326 11,1 = 2,35 x 4,8 = 184 : 1,2 = 3,56 x 24 = 86,45 : 3,7 = 1,5 : 10 = 245, ,27 = 569,45 57,32 = 2,38 x 100 = 16,3 : 12 = 25, ,283 = 137,8 48,326 = 2,35 x 4,8 = 184 : 1,2 = 3,56 x 24 = 86,45 : 3,7 = 1,5 : 10 = Risolvi il seguente problema mettendo in evidenza le operazioni che utilizzi per risolverlo. Mario sta leggendo un libro di 250 pagine. Ha già letto i. Quante pagine deve ancora leggere?

6 Questionario C Dopo aver osservato attentamente il seguente schema motiva la risposta data.? Calcola la parte corrispondente alla frazione; poi controlla colorando opportunamente le figure e dai una tua spiegazione. di 8 Questionario D Dividi questo quadrato in 5 parti uguali e motiva. Dopo aver osservato la figura colorane e dai una motivazione. Questionario E Riempi i posti mancanti eseguendo le corrispettive uguaglianze. Motiva la tua strategia di risoluzione. Completa scrivendo sotto forma di numero decimale o di frazione decimale. Motiva tutti i passaggi.

7 7,5 = 0,4 = 0,19 = =, =, =, Questionario F Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni fornendo una motivazione ad ogni passaggio.. Trova la frazione equivalente e spiega i passaggi... Questionario G Trova i di ciascuna di queste figure e dai una tua motivazione. Scrivi in cifre e in lettere le frazioni che corrispondono alle parti colorate e dai una breve spiegazione. Questionario H

8 Ecco i di una unità; trova l unità di partenza e dai una breve spiegazione. Trova l unità partendo dalla frazione. 20 equivale a di 60 equivale a di Risolvi il seguente problema descrivendo tutti i passaggi. I 9 alunni di 5 B che prendono il pulmino per venire a scuola corrispondono ai degli alunni dell intera classe. Quanti sono gli alunni della classe? Questionario I Calcolare i di 12, utilizzando lo schema o il diagramma che conosci. Completa la tabella e disegna i cartellini sulla linea dei numeri.

9 RISULTATI A CONFRONTO QUEST. A ALUNNI: Il 20% individua la frazione che vale di più in base al valore del denominatore. Se è < del numeratore allora il valore della frazione aumenta; Il 24% non riesce (o ha difficoltà) a mettere in ordine i numeri decimali. F.P.: Il 16% individua la frazione che vale di più ma non dà una spiegazione; Il 18% dei futuri insegnanti di Scienze della Formazione Primaria confronta ed ordina i numeri decimali. INSEGNANTI: Il 17% individua la frazione che vale di più ma non da una spiegazione; Il 30% degli insegnanti confronta ed ordina i numeri decimali. QUEST. B ALUNNI: L 11% degli alunni ha difficoltà (o non sa eseguire) operazioni tra frazioni con denominatore uguale; L 8% degli alunni risolve operazioni con i numeri decimali, mettendo in colonna; Il 13% individua la frazione delle pagine lette. F.P.: L 8% risolve operazioni con le frazioni trovando il m.c.m. del denominatore; Il 6% non esegue la consegna; Il 12% utilizza gli elementi del testo per scoprire quale operazione occorre per svolgere il problema. INSEGNANTI: Il 13% risolve operazioni con le frazioni trovando il m.c.m. del denominatore; Il 17% Utilizza gli elementi del testo per scoprire quale operazione occorre per svolgere il problema. QUEST. C ALUNNI: Il 38% degli alunni riesce a dare il giusto valore agli elementi presenti nello schema dell insieme, ma non motiva la risposta data; Il 22% colora opportunamente i quadratini corrispondenti alla parte di frazione richiesta, ma non motiva la risposta data. F.P.: Il 34% riesce a dare il giusto valore agli elementi presenti nello schema dell insieme, motivando la risposta data;

10 Il 36% colora la parte di frazione richiesta dando una spiegazione alla risposta data (o facendo vedere tutti i passaggi). INSEGNANTI: Il 24% riesce a dare il giusto valore agli elementi presenti nello schema dell insieme, motivando la risposta data; Il 24% colora opportunamente i quadratini corrispondenti alla parte di frazione richiesta, ma non motiva la risposta data. QUEST. D ALUNNI: Il 24% degli alunni riconosce le unità frazionarie in figure semplici dando una spiegazione ai passaggi eseguiti; Il 30% riconosce l unità frazionaria nelle figure non divise in parti uguali, ma non da una motivazione alla risposta data. F.P.: Il 17% riconosce le unità frazionarie in figure semplici ma non da una spiegazione ai passaggi eseguiti; Il 15% riconosce l unità frazionaria nelle figure non divise in parti uguali, ma non da una motivazione alla risposta data. INSEGNANTI: Il 14% non esegue la consegna del dividere il quadrato in 5 parti uguali ; Il 14% non esegue la seconda consegna. QUEST. E ALUNNI: Il 10% moltiplica per uno stesso numero sia il numeratore che il denominatore, trovando così la frazione equivalente; Il 12% esegue l esercizio trasformando la frazione in numero decimale. F.P.: Il 16% dei futuri insegnanti di Scienze della Formazione Primaria inserisce i dati mancanti ma non motiva la risposta data; Il 17% esegue l esercizio passando il numero decimale nella frazione equivalente. INSEGNANTI: Il 18% degli insegnanti inserisce i dati mancanti ma non motiva la risposta data; Il 16% esegue l esercizio passando il numero decimale nella frazione equivalente e viceversa. QUEST. F ALUNNI: Il 27% degli alunni riduce ai minimi termini le frazioni eseguendo tutti i passaggi; Il 12% moltiplica per uno stesso numero sia il numeratore che il denominatore della frazione di partenza per trovare quella equivalente.

11 F.P.: Il 19% dei futuri insegnanti di Scienze della Formazione Primaria riduce ai minimi termini le frazioni eseguendo tutti i passaggi; Il 21% non svolge l esercizio di trovare la frazione equivalente. INSEGNANTI: Il 23% degli insegnanti non svolge l esercizio di trovare la frazione equivalente; Il 15% non esegue l esercizio del ridurre le frazioni ai minimi termini. QUEST. G ALUNNI: Il 16% degli alunni riconosce le frazioni in tutte le figure, ma non da una motivazione; Il 17% individua la frazione colorata in figure non standard, ma non fornisce una spiegazione alla risposta data. F.P.: Il 13% dei futuri insegnanti di Scienze della Formazione Primaria riconosce le frazioni in tutte le figure, ma non da una motivazione; Il 13% individua la frazione colorata in figure non standard, ma non fornisce una spiegazione alla risposta data. INSEGNANTI: Il 30% non svolge il 1 esercizio; Il 35% non svolge il 2 esercizio. QUEST. H ALUNNI: Il 26% degli alunni riconosce situazioni problematiche. Stabilisce le strategie e le risorse necessarie per la loro soluzione; Il 26% risolve il problema trovandosi l unità e partendo dalla frazione di un numero. F.P.: Il 24% non svolge il 1 esercizio; Il 20% non risolve il problema. INSEGNANTI: Il 35% non svolge il 1 esercizio; Il 35% non risolve il problema. QUEST. I ALUNNI: Il 26% degli alunni padroneggia senza alcun problema schemi o diagrammi, calcolando i 5/6 di 2; Il 28% è in grado di distinguere gli elementi della tabella e porli sulla linea dei numeri. F.P.: Il 20% non svolge il 1 esercizio; Il 26% non esegue il 2 esercizio. INSEGNANTI: Il 45% degli insegnanti non svolge il 1 esercizio; Il 43% non esegue il 2 esercizio.

12 IPOTESI DI LAVORO Se l insegnante utilizzerà vari approcci alla frazione nel rispetto delle misconcezioni della Prof.ssa Martha Isabel Fandiňo Pinilla si avranno migliori risultati. CONCLUSIONI E PROBLEMI APERTI L indagine ha dimostrato come molte delle difficoltà degli alunni sono la diretta conseguenza di un incerta spiegazione delle tematiche da affrontare da parte degli insegnanti. Incertezze che si fanno sempre più forti mano a mano che si sale di livello di istruzione degli insegnanti. L osservazione condotta mi ha portato a maturare l idea che la scuola oggi necessita di docenti che non si limitino a catalogare fatti e risultati, ma che partendo da un attenta analisi a priori stimolino gli alunni nelle situazioni problematiche, al dialogo, alla ricerca di nuove e varie soluzioni, e quindi allontanarli dall idea comune di un unica verità/soluzione (cioè quella dell insegnante). Io credo che sia più opportuno: Introdurre e poi utilizzare le frazioni e i numeri decimali nel modo più naturale e spontaneo possibile, usando per molto tempo il linguaggio quotidiano. Per es., se ci sono vendite con sconti, informazioni in TV ecc. Quando si decide di iniziare una didattica delle frazioni è inutile illudersi che la classica definizione di frazione possa andare bene per sempre e in tutti i casi; è bene anzi introdurre man mano i vari tipi di accezione di questo termine in modo problematico, avviando anche discussioni in aula. Per partire si dovrà necessariamente far uso di modelli concreti; ma sarebbe bene spiegare che quel che si sta apprendendo è teorico ed astratto per evitare che lo studente si leghi troppo al modello proposto. Far attenzione all utilizzo dell aggettivo uguale che va interpretato di volta in volta. Utilizzare un linguaggio semplice. L adulto, infatti, tende a non ricordare le difficoltà che ha avuto in passato; per esempio, una volta assunta in modo completo una terminologia tende a non porre più attenzione a questo dettaglio, dandolo per acquisibile con semplicità. Mi è capitato, per esempio, durante la sperimentazione, che molti allievi avevano difficoltà nel

13 comprendere la parola crescente metti in ordine crescente le seguenti frazioni. È necessario fare spesso esercitazioni per così dire contrarie, partendo cioè da una frazione data per arrivare a determinare l intero che l ha generata, scegliendo situazioni e figure diverse. Inoltre è opportuno: Dare sempre l opportunità di esprimere dubbi ed ascoltare le osservazioni. Durante la sperimentazione, ad esempio, è capitato che gli allievi esprimevano dei dubbi sui diversi tipi di scrittura di una frazione: a/b e.