METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA. Lezione n 13

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1 METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA Lezione n 13

2 RELAZIONI DATI E PREVISIONI (MODULO 5)

3 Obiettivi di apprendimento al termine della classe terza della scuola primaria Relazioni, dati e previsioni Classificare numeri, figure, oggetti in base a una o più proprietà, utilizzando rappresentazioni opportune, a seconda dei contesti e dei fini. Argomentare sui criteri che sono stati usati per realizzare classificazioni e ordinamenti assegnati. Leggere e rappresentare relazioni e dati con diagrammi, schemi e tabelle. Misurare grandezze (lunghezze, tempo, ecc.) utilizzando sia unità arbitrarie sia unità e strumenti convenzionali (metro, orologio, ecc.).

4 Obiettivi di apprendimento al termine della classe quinta della scuola primaria Relazioni, dati e previsioni Rappresentare relazioni e dati e, in situazioni significative, utilizzare le rappresentazioni per ricavare informazioni, formulare giudizi e prendere decisioni. Usare le nozioni di frequenza, di moda e di media aritmetica, se adeguata alla tipologia dei dati a disposizione. Rappresentare problemi con tabelle e grafici che ne esprimono la struttura. Utilizzare le principali unità di misura per lunghezze, angoli, aree, volumi/capacità, intervalli temporali, masse, pesi per effettuare misure e stime. Passare da un unità di misura a un altra, limitatamente alle unità di uso più comune, anche nel contesto del sistema monetario. In situazioni concrete, di una coppia di eventi intuire e cominciare ad argomentare qual è il più probabile, dando una prima quantificazione nei casi più semplici, oppure riconoscere se si tratta di eventi ugualmente probabili. Riconoscere e descrivere regolarità in una sequenza di numeri o di figure.

5 OBIETTIVI RELATIVI ALLE MISURE Misurare grandezze (lunghezze, tempo, ecc.) utilizzando sia unità arbitrarie sia unità e strumenti convenzionali (metro, orologio, ecc.) (classe III) Utilizzare le principali unità di misura per lunghezze, angoli, aree, volumi/capacità, intervalli temporali, masse, pesi per effettuare misure e stime. (classe V) Passare da un unità di misura a un altra, limitatamente alle unità di uso più comune, anche nel contesto del sistema monetario. (classe V)

6 LA MISURA

7 La misurazione è quel procedimento che permette di ottenere la descrizione quantitativa di una grandezza fisica cioè il valore numerico del rapporto tra la grandezza incognita e quella omogenea scelta come unità di misura. La scelta della grandezza omogenea avviene tramite la definizione del campione; il valore numerico che risulta dal procedimento di misurazione tra il campione e il misurando viene definito misura.

8 Attenzione alle parole Grandezza fisica: proprietà di un fenomeno, corpo o sostanza, che può essere espressa quantitativamente mediante un numero, ovvero che può essere misurabile. ( terza edizione, del 2007, del "Vocabolario Internazionale di Metrologia" ) Grandezze omogenee: per definire rigorosamente una grandezza, occorre che nell insieme considerato - ad esempio l insieme dei segmenti - esista una relazione di ordine totale che permetta di confrontare qualunque coppia di elementi, e inoltre che esista un operazione di somma (associativa e commutativa) compatibile con la relazione d ordine. In questo caso si può allora dire che l insieme è formato da grandezze omogenee, ed è possibile dare un nome alla classe di grandezze considerate: nel caso di segmenti si parlerà di lunghezza.

9 Misurare una grandezza, dunque, comporta due passaggi che sono due processi di matematizzazione: 1. Si passa da un oggetto concreto a una grandezza ( cioè ad una sua qualità); 2. Si passa dalla grandezza alla sua misura, espressa mediante un numero. Oggetto Grandezza Misura della grandezza Astrazione Si considera una sua qualità Misurazione Si sceglie una unità di misura

10 Esempio 1 Segmento: è l ente geometrico Lunghezza di un segmento: è l insieme dei segmenti totalmente sovrapponibili tra loro (e quindi tra loro congruenti) Misura della lunghezza di un segmento: è il numero che risulta dalla misurazione e che dipende dall unità di misura scelta

11 ESEMPIO 2 Superficie: Ente geometrico a due dimensioni Estensione di una superficie: è l insieme delle superfici equivalenti Area: Misura dell'estensione di una superficie piana

12 I numeri per misurare Il risultato del processo di misura è quindi un numero e il tipo di numero utilizzato dipende da cosa si misura: Se contiamo gli elementi di un insieme discreto usiamo i numeri naturali Se esprimiamo la posizione di un ascensore in un palazzo con seminterrato usiamo i numeri interi relativi Se misuriamo la lunghezza di un tavolo con un metro usiamo i razionali positivi Se misuriamo la temperatura con un termometro usiamo i razionali Se invece vogliamo esprimere in modo rigoroso la misura di una lunghezza,di una massa, di una grandezza continua usiamo i numeri reali.

13 L attività pratica del misurare Se si può eseguire direttamente il confronto tra la grandezza da misurare e la relativa unità di misura parliamo di misura diretta. Se il confronto diretto non è possibile, o se la misura si ottiene tramite una operazione algebrica parliamo di misura indiretta

14 Una fondamentale differenza La misura in fisica è un operazione materiale, che richiede il confronto tra oggetti reali. Da ciò consegue che, se in particolare la grandezza è di tipo continuo, la misura è sempre affetta da errore, qualunque sia la precisione dello strumento di misura; essa viene espressa da un intervallo ( es: 5,0 ± 0,1 cm) e, se approssimata, è espressa da un numero razionale La misura in matematica è un operazione concettuale, ed è quindi espressa sempre esattamente da un numero. L insieme dei numeri reali garantisce tale possibilità

15 «Mentre in fisica è essenziale tenere conto delle operazioni reali con cui si opera una certa misura, e quindi in particolare della sensibilità degli strumenti e dei limiti della percezione, in matematica l interesse è volto alla descrizione del procedimento, prescindendo dalle condizioni concrete in cui esso si realizza. La matematica costruisce modelli ideali, che si rivelano di grande utilità, perché su di essi è più agevole riflettere per comprendere le caratteristiche dei processi reali. In questo modo le formulazioni astratte della matematica permettono di realizzare una grande economia di pensiero, con il frutto di una maggiore chiarezza, almeno per chi non è disturbato dal simbolismo matematico.» Da «La misura, osservazioni, commenti, proposte» Anna Paola Longo di

16 N.B. 1 Nel linguaggio quotidiano il termine misura è usata con molti significati, non tutti perfettamente coincidenti con il termine tecnico. Ad esempio: Mi sono fatta fare delle scarpe su misura Misura le parole! La misura è colma. Non hai il senso della misura. Occorre quindi vigilare su possibili interferenze del senso comune con il significato di misura in ambito scientifico

17 N.B. 2 Gli esempi che si riportano in genere nei testi mostrano quasi sempre l oggetto da misurare più grande dell unità di misura. Una studiosa spagnola di Didattica della matematica, Maria del Carmen Chamorro, segnala che davanti ad un compito in cui l oggetto da misurare è più piccolo dell unità di misura, gli studenti facilmente invertono l operazione, misurando l unità di misura con l oggetto. È importante quindi che gli esempi che si fanno contemplino tutte le possibilità.

18 Le grandezze fondamentali del sistema internazionale

19 Prefissi del Sistema Internazionale

20 Multipli e sottomultipli del metro

21 Multipli e sottomultipli del metro quadrato Multipli km m m 2 hm m m 2 dam m m 2 Unità m 2 1 m m 2 Sottomultipli dm 2 0,01 m m 2 cm 2 0,0001m m 2 mm 2 0, m m 2 Come possiamo notare una qualsiasi unità di Area è uguale: alla CENTESIMA PARTE di quella dell'ordine immediatamente SUPERIORE; a CENTO VOLTE quella dell'ordine immediatamente INFERIORE.

22 Misure di capacità Metro cubo (m 3 ) Litro (l) Relazione tra essi: 1l = 1dm 3

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25 Misure di massa N.B. : nella vita quotidiana usiamo la parola peso, al posto del termine più corretto di massa.

26 SISTEMI DI MISURA NON DECIMALI Sistema sessagesimale Sistema misto Angoli (grado) Intervalli di tempo (secondo)

27 IL GRADO SESSAGESIMALE Sottomultipli del grado sono: -il PRIMO: (simbolo ') che è la sessantesima parte del grado (cioè un grado corrisponde a 60 primi) -il SECONDO (simbolo '') che è la sessantesima parte del primo (cioè un primo sono 60 secondi e un grado corrisponde a 3600 secondi) Un angolo scritto in forma NORMALE si esprime in questo modo ad esempio: dove i primi e i secondi sono sempre numeri minori di 60.

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29 Proviamo a fare le operazioni: 1) α = ; β = Calcolare α + β e β α 2) L angolo α misura 15 più 1 di grado; l angolo 5 β misura i 2 di α; quanto vale la misura di α + β? 3 3) Sono le sette di sera; fra secondi è domani? 4) Fra 4 giorni 19 ore 27 minuti e 49 secondi in che giorno della settimana ci troviamo? Che ora è?

30 Smontiamo le operazioni (1) = N.B.: Il criterio utilizzato è lo stesso delle operazioni in base 10, la differenza è nel fatto che la base è 60

31 Smontiamo le operazioni (4) Nome giorno giorni ore minuti secondi operazione mercoledì lunedì N.B.: vale l osservazione precedente, ma in questo caso la modularità cambia: Per minuti e secondi operiamo in base 60, per le ore in base 24, per i giorni della settimana in base 7.

32 OSSERVAZIONE Nello svolgere le operazioni precedenti: da un punto di vista concettuale non c è cambiamento di metodo; da un punto di vista cognitivo le operazioni sono complesse, perché richiedono un cambiamento di base, un cambiamento multiplo nel caso dell es.4. Ciò significa che l automatismo acquisito nelle operazioni in base 10 deve riemergere come metodo, non necessariamente in modo esplicito. Esercizi di questo tipo sono dunque molto preziosi, soprattutto se graduati, proposti con situazioni concrete e utilizzati per conquistare insieme il metodo di lavoro

33 Ecco un quesito INVALSI per la quinta primaria che richiede conoscenze relative alla misura e capacità di utilizzare tali conoscenze per esprimere valutazioni corrette. Obiettivo Utilizzare le principali unità di misura per lunghezze, angoli, aree, volumi/capacità, intervalli temporali, masse, pesi per effettuare misure e stime.

34 Esercizi 1) In quale giorno della settimana e in quale ora del giorno ci troveremo fra 3 giorni, 37 ore e 120 minuti, considerato che ora è mercoledì, ore 11? 2) In un triangolo due angoli hanno le seguenti misure: α = 67 40, β = ; quanto vale il terzo angolo? 3) Un contenitore a forma di parallelepipedo rettangolo ha le seguenti dimensioni, espresse in cm: ; qual è la sua capacità espressa in litri? Se tale capacità è il 60% di quella di una tanica in plastica, quanti litri contiene la tanica? 4) Se un cm 3 di alluminio ha massa 2,7 g, quanto vale la massa, in kg, di un m 3 di alluminio?