Breve introduzione al metodo del Analytic Hierarchy Process (AHP)

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1 Breve introduzione al metodo del Analytic Hierarchy Process (AHP) Massimo Paolucci DIST Università di Genova 2 Il metodo SAW costruisce un peso con cui valutare le alternative come dove di solito n w Si n n w w j jxij j

2 3 I valori x ij si possono interpretare come il punteggio di A i in base al criterio j x j (x j, x 2j,..., x mj ) fornisce quindi l importanza delle alternative rispetto al criterio j w rappresenta il vettore dei pesi che misurano l importanza relativa dei criteri L idea di AHP sta nel derivare (o valutare) l importanza relativa delle alternative rispetto ad i singoli criteri, ossia m xij i j 4 La decisione può essere strutturata secondo una gerarchia Goal w w 2 w n Crit Crit 2 Crit n x x 2 xn xmn A A A m

3 5 Scopo del metodo: definire le priorità relative delle alternative rispetto il goal (il nodo al più alto livello della gerarchia) Il metodo procede bottom-up: si comparano le alternative (livello più basso) tra loro in relazione ad ogni singolo criterio del livello immediatamente superiore e si determina la loro priorità relativa si sale di un livello e si comparano tra loro i criteri (subcriteri) rispetto al goal (ad ogni singolo criterio) a livello superiore e si determina il loro peso relativo si aggregano tutte le priorità della gerarchia calcolando la priorità delle alternative rispetto al goal (decisione) 6 Passi formali di AHP Dati k livelli (k livello delle alternative): Elementi al livello k (alternative): x,...,x k Elementi al livello k- (criteri o subcriteri): y,...,y k- Elementi al livello k-2 (criteri, subcriteri o goal): z,...,z k-2 W k [w yj (x i )] matrice dei pesi relativi delle alternative rispetto ai criteri y j al livello superiore W k- [w zh (y j )] matrice dei pesi relativi dei criteri a livello k- rispetto al criterio (goal) z h al livello superiore La priorità di x i rispetto a z h k wz (xi) wz (yj) wy (xi) h h j

4 7 Passi formali di AHP In forma matriciale: [ wz (xi),i,...,k] Pk [wz (y j), j,...,k ] h Nel caso di 3 livelli (Goal, Criteri, Alternative) Wz P2 W dove: W è il vettore dei pesi dei criteri (al primo livello) rispetto l unico elemento del livello superiore, il goal P 2 è la matrice (alternative x criteri) le cui colonne sono i vettori dei pesi relativi delle alternative rispetto ai criteri W z è il vettore dei pesi (importanza) delle alternative rispetto al goal (la preferenza) h 8 Passi formali di AHP In generale: Wz Pn Pn P2 W y Goal w w 2 w k C C C k SC SC 2 SC..... n x x 2 x n x mn A A A m y k Ad esempio su 4 livelli: w W M wk y L yk P2 M M yn L ynk x L xn P3 M M xm L xnm

5 9 Informazioni assolute e relative Informazioni assolute viene fornita la matrice delle decisioni i pesi dei criteri rispetto ai subcriteri ed al goal sono misure oggettive Informazioni relative non si conoscono misure oggettive ma si comparano le alternative in relazione ad i singoli criteri ed i criteri in relazione al goal o ai sottocriteri possono verificarsi inconsistenze 0 In caso di informazioni assolute il CI0 (consistenza totale) Come viene calcolato? D [xij,i,...,m, j,...,n] Matrice delle decisioni xkj x ej xkj xej MC j [ ake] aek xej xkj ake Matrice di comparazione rispetto al criterio j

6 Così costruita la matrice MC j è perfettamente consistente Il più grande autovalore della matrice MC j è pari al numero delle alternative, mentre gli altri autovalori sono nulli λ max m Nel caso di informazioni relative i rapporti x kj /x ej sono stimati (soggettivi) quindi la matrice di comparazione può non risultare completamente consistente In questi casi il massimo autovalore si discosta da m (ed i restanti possono essere non nulli) ~ max m λ 2 L indice di consistenza è calcolato come λ ~ m CI max m quindi CI0 consistenza completa L indice misura quanto il DM si discosta con i propri giudizi da una situazione di consistenza completa Lo scostamento dovrebbe essere causato da limitate violazioni alla transitività dei giudizi e non da giudizi espressi in maniera del tutto casuale

7 3 Per verificare che un CI non corrisponde a giudizi totalmente randomici si confronta il CI con un Random Index (RI) Gli RI sono misure random tabulate e generate per numeri fissati di alternative Per lo stesso numero m di alternative si calcola il Rapporto di Consistenza (CR) CR Empiricamente una soglia di accettabilità per CR è 0. Per valori superiori si suggerisce al DM di verificare i propri giudizi CI RI 4 CR - implementazioni Poichè il calcolo degli autovalori delle matrici di comparazione risulta non risolubile in maniera esatta per m 5 si adottano dei metodi numerici per la stima di del massimo autovalore

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