Sviluppo in serie di Fourier. Introduzione e richiami sulle basi di spazi vettoriali. Serie di Fourier di segnali a supporto illimitato

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1 eora de segnal Introduzone a segnal determnat tolo untà Introduzone e rcham sulle bas d spaz vettoral Sere d Fourer d segnal a supporto lmtato Spettro d un segnale Sere d Fourer d segnal a supporto llmtato Poltecnco d orno

2 eora de segnal Introduzone e rcham sulle tolo bas untà d spaz vettoral Sere d Fourer Storcamente: proposta da Joseph Fourer all accadema francese nel 807 Concetto prncpale: è possble costrure un segnale, anche dscontnuo, come somma d nfnte funzon contnue oscllant a frequenze dverse = Poltecnco d orno 2

3 eora de segnal Sere d Fourer Concetto d scomposzone d un segnale n una base Concetto d base trgonometrca e calcolo de coeffcent della scomposzone Concetto d spettro d un segnale Esemp d calcolo 5 Bas d funzon Dalla geometra, un vettore s può scomporre n una base come: dove: v=v 0 s 0 + v s + + v n s n v =<v,s > e <.,.> ndca un prodotto scalare La stessa notazone s può usare per funzon e bas d funzon: vettor dventano funzon del tempo (segnal) Poltecnco d orno 3

4 eora de segnal Bas d funzon Inzamo a consderare uno spazo d funzon complesse ad energa fnta defnte nell ntervallo (-/2,/2) x( t ) 2 2 t 7 Bas d funzon C chedamo se esste una base d questo spazo d funzon un nseme d segnal una defnzone d prodottoscalare La base vene utlzzata per scomporre l segnale come s(t)=v 0 s 0 (t) + v s (t) + + v n s n (t) Poltecnco d orno 4

5 eora de segnal Sere d Fourer Organzzazone: base d Fourer sere d Fourer d un segnale a supporto lmtato concetto d frequenza e spettro sere d Fourer d un segnale a supporto llmtato Segnale a supporto lmtato: è nullo al d fuor d un certo ntervallo. Per esempo: x(t) = 0 per t (-/2,/2) 9 Base trgonometrca Scelta della base per l anals de segnal: le funzon d base devono evdenzare caratterstche mportant del segnale Dverse applcazon possono rchedere dverse defnzon della base anals armonca: base d funzon snusodal compressone: base d funzon con supporto temporale dverso rlevazone d segnal: base progettata n funzone delle caratterstche del segnale da rlevare Poltecnco d orno 5

6 eora de segnal Base trgonometrca Funzon d base: snusod ed esponenzal compless, del tpo s () t = e n j2π nt Prodotto scalare: /2 j2π n t xt (), s () ()e n t = xt dt /2 Osservazon La base trgonometrca contene segnal d durata nfnta contenent una sngola componente d oscllazone a frequenza n/ s () t = e n j2π nt Il prodotto scalare msura quale componente del segnale s n (t) è presente nel segnale Poltecnco d orno 6

7 eora de segnal Sere d Fourerd segnal tolo a supporto untàlmtato Svluppo n sere s 0 s s 2 s3 s 4 Premessa Poltecnco d orno 7

8 eora de segnal Svluppo n sere s 0 s s 2 s3 Premessa s 4 + x 5 Svluppo n sere Premessa s 0 s s 2 s3 s 4 + x( t) Poltecnco d orno 8

9 eora de segnal Svluppo n sere Premessa s 0 s s 2 s3 s 4 7 Svluppo n sere Premessa s 0 s s 2 s3 s Poltecnco d orno 9

10 eora de segnal Svluppo n sere s 0 ( ) Premessa 0. s t 0.5 s s 4 s3 x 9 Svluppo n sere Premessa s 0 s s 2 s3 s x Poltecnco d orno 0

11 eora de segnal Svluppo n sere È possble nvertre l processo? 2 Svluppo n sere È possble nvertre l processo? + x( t) Poltecnco d orno

12 eora de segnal Svluppo n sere È possble nvertre l processo??????????? + x( t) 23 Sere d Fourer Segnale reale nella forma trgonometrca: dove: Poltecnco d orno 2

13 eora de segnal Sere d Fourer Segnale reale nella forma trgonometrca: 2π 2π xt ( ) = a0 + ancos n t + bnsn n t n= dove: t ( 2, + 2 ) 25 Sere d Fourer Segnale reale nella forma trgonometrca: 2π 2π xt ( ) = a0 + ancos n t + bnsn n t n= a dove: 0 /2 t ( 2, + 2 ) /2 = xtdt ( ) 2 2π an = xt ( ) cos n t dt /2 /2 /2 2 2π bn = xt ( ) sn n t dt / Poltecnco d orno 3

14 eora de segnal Sere d Fourer Segnale complesso nella forma esponenzale: dove: nota: 27 Sere d Fourer Segnale complesso nella forma esponenzale: jn t ( ) = µ e t ( 2, + 2) xt dove: + n= n 2π nota: Poltecnco d orno 4

15 eora de segnal Sere d Fourer Segnale complesso nella forma esponenzale: jn t ( ) = µ e t ( 2, + 2) xt dove: + n= µ = n nota: /2 2 π jn t /2 n ( ) x t e 2π dt 29 Sere d Fourer Segnale complesso nella forma esponenzale: jn t ( ) = µ e t ( 2, + 2) xt dove: + n= µ = n nota: /2 2 π jn t /2 n ( ) x t e 2π dt e jα = cosα + jsnα Poltecnco d orno 5

16 eora de segnal Spettro d un segnale tolo untà Svluppo n sere Sere trgonometrca x( t) Poltecnco d orno 6

17 eora de segnal Svluppo n sere Sere trgonometrca calcolo de coeffcent x 33 Svluppo n sere Sere trgonometrca calcolo de coeffcent x s 0( s s2 s3( t ) s4 ) t Poltecnco d orno 7

18 eora de segnal Il concetto d frequenza τ (perodo) 35 Il concetto d frequenza f = τ (frequenza) τ (perodo) Poltecnco d orno 8

19 eora de segnal Il concetto d frequenza contnua = 0 f c fondamentale f = 0 prma armonca f = 2 = 2 f0 seconda armonca f 2 = 3 = 3 f0 terza armonca f 4 = f 3 = 4 0 τ (perodo) f = τ (frequenza) 37 Rappresentazone n frequenza = 0 f c f = 0 f 2 = f = 2 0 f 3 = f 2 = 3 0 f 4 = f 3 = Poltecnco d orno 9

20 eora de segnal Rappresentazone n frequenza = 0 f c f = 0 f 2 = f = 2 0 f 3 = f 2 = 3 0 f 4 = f 3 = fc f0 f f 2 f 3 f 39 Svluppo n sere Fourer x ( t ) = + = e j π µ 2 t µ = µ e f =f 0 jy f0 = Poltecnco d orno 20

21 eora de segnal Svluppo n sere Fourer x ( t ) = + = e j π µ 2 t µ = µ e f =f 0 jy f 0 = pano complesso y 4 Svluppo n sere Fourer x ( t ) = + = e j π µ 2 t µ = µ e f =f 0 jy f 0 = pano complesso y x reale = µ cos( 2πft y) x Poltecnco d orno 2

22 eora de segnal Rappresentazone n frequenza x = j π t µ 2 jy µ = µ e e 43 Rappresentazone n frequenza µ y f f 2 f c 0 0 f fc f0 2 f0 f x = j π t µ 2 jy µ = µ e e Poltecnco d orno 22

23 eora de segnal Rappresentazone n frequenza µ y f f 2 f c 0 0 f fc f0 2 f0 f x = j π t µ 2 jy µ = µ e e 45 Sere d Fourerd segnal tolo a supporto untàllmtato 2005 Poltecnco d orno 23

24 eora de segnal Allargando la fnestra... l segnale =00 rappresentazone n frequenza f = = Allargando la fnestra Poltecnco d orno 24

25 eora de segnal Allargando la fnestra... =00 f = 0.0 =200 f = l segnale nel tempo rappresentazone n frequenza 49 Allargando la fnestra Poltecnco d orno 25

26 eora de segnal Allargando la fnestra... =00 =200 =400 5 Segnal a supporto llmtato Cosa succede se consdero l caso? 2π jn t ( ) = µ e t ( 2, + 2) xt + n= n 2π jn t ( ) = µ e t (, + ) wt + n= n e j 2πn t Le funzon /n. C chedemo se la funzone w(t) sa anch essa perodca, e d che perodo sono perodche d perodo Poltecnco d orno 26

27 eora de segnal Segnal a supporto llmtato S mostra faclmente che w(t) è perodca d perodo : + 2π 2π jn ( t+ ) + jn t j2π n wt ( + ) = µ ne = µ ne e = wt n= n= Nell ntervallo (-/2,/2) w(t)=x(t), e al d fuor contene replche d x(t) spazate d Qund w(t) è un segnale perodczzato a partre da x(t) La sere d Fourer su tutto l asse de temp permette d descrvere segnal perodc () 53 In sntes Spettro: andamento n frequenza del segnale, ovvero descrzone delle sue component armonche Sere d Fourer: descrve lo spettro d un segnale a supporto lmtato; va guardata n (-/2,/2) Sere d Fourer al d fuor dell ntervallo (-/2, /2): descrve un segnale perodco ottenuto replcando l segnale fondamentale n (-/2,/2) Descrzone d un segnale non perodco n (-,+ ): trasformata d Fourer Poltecnco d orno 27

28 eora de segnal Esempo d calcolo supporto lmtato x(t)=p A (t) con A< /2 j2πn t A/2 2 t ()e j πn µ e n = p /2 A t dt dt = = A/2 A na = snc L nvluppo dello spettro è una funzone snc, che descrve var contenut armonc della porta. Alcun d quest coeffcent possono essere null, p. es. se A=/2 Il segnale è d tpo passabasso 55 Esempo d calcolo supporto lmtato x(t)=cos(4πf 0 t) con f 0 =/ µ n 2 = /2 /2 = snc 2 /2 cos(4po0 t)e /2 j4p4pt j4p4pt ( e + e ) 2 j2p2 t e ( 2 n) + snc( 2 + n) dt = j2p2 t dt = Gl unc coeffcent µ n dvers da zero sono per n=±2, corrspondent alle frequenze ±2f Poltecnco d orno 28

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