Momento di forza su una spira immersa in un campo di induzione magnetica: il momento magnetico.

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1 Momento d forza su una spra mmersa n un campo d nduzone magnetca: l momento magnetco. In precedenza abbamo vsto che la forza totale agente su una spra percorsa da una corrente mmersa n un campo d nduzone magnetca unforme è nulla pochè contrbut elementar agent su sngol element nfntesm d spra tendono a controblancars. La spra, però, rsulta spesso soggetta ad un momento d forza τ che tende a farla ruotare. Per ottenere l'espressone del momento d forza consderamo l caso partcolarmente semplce d una spra quadrata d lato L percorsa da una corrente e gacente nel pano - come mostrato schematcamente nella fgura 1. La spra è mmersa n un campo unforme che gace nel pano -z e fa un angolo θ con la normale n alla spra. Pochè l verso della normale non è unvocamente defnto, è mportante stablre una convenzone per la scelta del verso. La convenzone è la seguente: scelto arbtraramente l verso postvo della corrente nella spra, allora l verso della normale n è quello che s ottene applcando la seguente regola della mano destra. Se s pone l palmo della mano destra n modo da segure l moto della corrente, l verso della normale n è quello ndvduato dal dto pollce. Lo studente verfch per eserczo che con questa defnzone s ottene propro l verso d n mostrato n fgura. z n θ 1 b 4 3 θ Fgura 1 Le forze eserctate dal campo su sngol lat della spra sono applcate al centro d cascuna spra ( lo studente dmostr questa asserzone) e sono tutte ugual n modulo a L. Inoltre, le forze su ram 1 e 3 e su ram e 4 sono ugual ed opposte, dunque la forza totale è nulla come avevamo gà dmostrato n precedenza. Le forze su sngol ram sono rappresentate da vettor applcat su centr de lat ndcat n fgura. E' evdente dalla fgura che le forze su ram e 4 rappresentano una coppa d forze con bracco nullo, dunque non danno orgne a nessun momento d forza. Al contraro, le forze su ram 1 e formano una coppa con bracco b dverso da zero che tende a far ruotare la spra nel verso tale da allneare n a. Dalla fgura s deduce b = L snθ e, dunque, l momento d forza della coppa ha modulo τ = L snθ ed è dretto lungo l'asse nel verso postvo. Dunque, l momento d forza può essere scrtto nella forma vettorale: τ = L snθ j (1) dove j è l versore dell'asse. La relazone (1) puo' essere scrtta n un modo molto pù generale se s defnsce un nuovo vettore momento magnetco µ assocato con una spra percorsa da corrente par a: 1

2 µ = A n () dove A è l'area racchusa dalla spra. Dunque, l momento magnetco µ è un vettore che ha come modulo l prodotto A ed è dretto come la normale alla spra ( defnta con la regola della mano destra). Con questa defnzone, la (1) può essere scrtta nella forma vettorale τ = µ (3) L'espressone (1) è stata ottenuta nel caso partcolare d una spra quadrata e d un campo magnetco gacente nel pano -z. Tuttava, è possble dmostrare che l'espressone (3) nseme alla defnzone () sono molto pù general e valgono per qualunque spra pana d forma arbtrara e per qualunque orentazone del campo magnetco purchè l campo magnetco sa unforme nella regone occupata dalla spra. Dunque, l momento d forza agente su una generca spra pana d area A percorsa da una corrente con la normale che fa un angolo θ con l campo è par a A snθ ed è dretto perpendcolarmente al pano ndvduato dalla normale n alla spra e dal campo d nduzone magnetca. Questo momento d forza è, percò, nullo per θ =0 ( normale parallela al campo) e θ = π ( normale antparallela al campo). Come vedremo nel seguto, l'orentazone θ = 0 corrsponde ad un'orentazone d equlbro stable, mentre l'altra corrsponde ad un equlbro nstable. Energa d un momento magnetco n un campo d nduzone magnetca unforme. S può dmostrare che un momento magnetco mmerso n un campo d nduzone magnetca possede anche un'energa potenzale U dovuta all'nterazone del campo con l momento. Per defnzone, l'energa potenzale corrsponde al lavoro fatto dalle forze del campo per spostare l dpolo magnetco dalla sua poszone attuale ad una poszone d energa nulla. In analoga con l caso elettrco, assumeremo per convenzone che l'energa sa nulla quando l dpolo sa a dstanza nfnta dove non è presente nessun campo. Dunque, l'energa del dpolo sarà data da O U = F ds (4) m dove F m è la forza magnetca agente sul dpolo ed O ndca la poszone del dpolo. Per trovare l'espressone generale dell'energa consderamo ancora l caso partcolarmente semplce d una spra quadrata d lato L percorsa dalla corrente. Ora, come abbamo vsto n precedenza, la forza totale F m agente su un crcuto mmerso n un campo unforme è zero, dunque lo studente potrebbe erroneamente concludere che l'ntegrale n eq.(4) ha un rsultato nullo. In realtà, anche se l campo è unforme nella regone dove è posta la spra, l campo non può restare unforme n tutto lo spazo ma dventerà certamente nullo a dstanza nfnta dalle sorgent del campo. Dunque, quando la spra vene spostata dalla sua poszone attuale fno a dstanza nfnta essa dovrà necessaramente attraversare regon dove l campo vara apprezzablmente e dove la forza agente sulla spra è dversa da zero. Dunque, l rsultato della (4) non sarà, n generale, nullo. Per semplfcare calcol, consderamo l caso partcolare d un campo d nduzone magnetca dretto dovunque lungo l'asse z e varable lungo l'asse, coè = () k e che sa unforme nella regone occupata nzalmente dalla spra. Supponamo che la spra quadrata sa dsposta come n fg. con la normale n che fa un angolo θ con. z

3 3 θ n 4 -Lcosθ 1 Fgura. Le forze su lat e 4 sono ugual ed opposte pochè per ogn elemento nfntesmo d flo sul lato ce n'è uno smmetrco sul lato 4 dove l campo ha lo stesso valore ( l campo vara solo lungo ). Al contraro, lat 1 e 3 sono ndvduat da valor dvers della coordnata e, dunque, sentono, n generale, valor dvers del campo quando la spra vene traslata lungo l'asse raggungendo regon dove l campo non è unforme ma vara lungo l'asse. Infatt, se 1 è la coordnata del lato 1 ad un dato stante, la coordnata del lato 3 è 3 = 1 - L cosθ. La forza sul lato 1 è dretta lungo l'asse nel verso postvo ed è par a F 1 = L() dove () è l campo agente sul lato 1 quando esso s trova nella poszone ndvduata da ( all'nzo = 0). Il lavoro fatto da tale forza quando l lato s sposta lungo dalla sua poszone nzale =0 fno a dstanza nfnta è: L 1 = F1 d = L( ) d (5) 0 0 Mentre quello fatto per spostare l lato 3 dalla poszone nzale = - Lcosθ ( ved fgura) fno all'nfnto è 3 = F3d = L( ) L cosθ L cosθ L d (6) Il lavoro totale per spostare la spra a dstanza nfnta che corrsponde all'energa potenzale della spra è, percò, par alla somma de lavor L 1 e L 3, coè: U = L( ) d L( ) d = L( ) d = L cosθ 0 L cosθ 0 L cosθ dove abbamo sfruttato l fatto che, per potes, l campo è unforme nella regone occupata nzalmente dalla spra, coè () = = costante nell'ntervallo [- Lcosθ, 0]. Utlzzando l momento magnetco µ = L n, la relazone (7) puo' essere scrtta nella forma generale: U = µ = - µ cosθ (8) Anche la relazone (8) è stata ottenuta nel caso partcolare d una spra quadrata n presenza d un campo che vara solamente lungo l'asse. Comunque, s può dmostrare che la relazone (8) contnua a valere per qualunque tpo d spra pana e per qualunque campo che sa unforme nella regone occupata dalla spra. L'energa U è mnma per θ = 0 e massma per θ = π. Dunque, un momento magnetco tende ad allnears parallelamente al campo magnetco ( θ = 0). Questo è n totale accordo con l fatto che l momento d forza rsulta nullo per θ = 0 e θ = π. Anche la relazone (8) è stata rcavata n un caso partcolare ( spra quadrata n un campo che dpende solo dalla coordnata ) ma è possble dmostrare che tale espressone ha una valdtà del tutto generale (7) 3

4 qualunque sa la forma del campo e della spra purchè l campo magnetco sa unforme ( o quas unforme) nella regone occupata dalla spra. Forza su un dpolo magnetco n un campo non unforme. In generale abbamo dmostrato che la forza totale agente su una spra mmersa n un campo magnetco unforme è nulla mentre c s aspetta la presenza d una forza nonnulla se l campo vara spazamente. La relazone (8) permette d calcolare faclmente la forza agente su una spra se l campo non è unforme purchè le varazon relatve del campo nella regone occupata dalla spra sano pccole ( campo quas unforme). Una stuazone d questo tpo s verfca spesso ne cas pratc. Se l campo è quas unforme, l'energa può essere scrtta nella forma (8) pochè l valore del campo è pratcamente lo stesso n tutt punt della spra. D'altra parte, come sappamo dalle legg general della Meccanca, la forza è par a meno l gradente dell'energa potenzale. Dunque: r r F = ( µ ) = ( µ ) (9) dove l smbolo r rappresenta l'operatore vettorale gradente r = (,, ). Per l calcolo z esplcto della forza n eq.(9) dobbamo rcordare che la (9) è una relazone vettorale e corrsponde, n realtà, a 3 equazon scalar dstnte per cascuna componente della forza. In partcolare: F F F z ( µ cosθ ) = ( µ cosθ ) = ( µ cosθ ) = z (9 bs) Se vara al varare della poszone della spra, allora U = µ dventa una funzone della poszone e, d conseguenza c'è una forza rsultante sulla spra. Nel caso, nvece, d un campo completamente unforme, l'energa U è ndpendente dalla poszone della spra e, dunque, la forza totale è nulla come avevamo dmostrato n precedenza. Le formule (3), (8) e (9) sono molto utl quando s debbano calcolare moment d forze e forze su crcut elettrc. Tutte queste formule fanno ntervenre solamente l vettore momento magnetco µ che caratterzza completamente l'nterazone d una spra con un campo se l campo è unforme o quas unforme nella regone occupata dalla spra. La defnzone da no data n eq.() d momento magnetco è applcable solamente a spre che gaccano nteramente su un unco pano ( spre pane). Solo n tale caso, nfatt, è possble defnre n modo non ambguo l'area A della superfce della spra e la normale n alla spra. Infatt, la normale è ndvduata dalla drezone perpendcolare al pano su cu gace la spra. Molto spesso, però, s ha a che fare con spre che non gaccono nteramente su un unco pano. Ad esempo, un avvolgmento elcodale ( solenode) percorso da una corrente con le estremtà fnal poste n contatto non è ovvamente rconducble ad una spra pana. Tuttava, anche n questo caso ( spra non pana) s può dmostrare che le relazon (3), (8) e (9) restano valde purchè s defnsca opportunamente l momento magnetco assocato con la dstrbuzone d corrent ( qu per motv d semplctà non s rporta questa defnzone pù generale d momento magnetco). In generale, un momento magnetco µ può essere assocato a qualunque dstrbuzone d corrent crcolant. Ad esempo, anche una carca elettrca dstrbuta all'nterno d una sfera ruotante attorno ad un asse passante per l centro dà orgne a corrent crcolar e, qund, possede un momento magnetco ben defnto dretto lungo l'asse d rotazone. Per questo motvo anche partcelle elementar come proton ed elettron ( ma anche neutron!!) 4

5 posseggono un momento magnetco e sono soggette a moment d forza e forze del tpo n eq.(3) e (9). Per l calcolo de moment magnetc d spre non pane rsulta utle la seguente propretà: Per quanto rguarda l'nterazone con camp magnetc, una qualunque spra percorsa da una corrente rsulta del tutto equvalente ad un sstema costtuto da o pù spre percorse dalla stessa corrente. S consder, ad esempo, la spra rettangolare percorsa dalla corrente mostrata n fgura 3. La spra può essere mmagnata come la somma d due spre adacent ( ndcate con 1 e n fgura) avent un lato A a comune ( tratteggato) e percorse dalla stessa corrente. A 1 Fgura 3 Come s può faclmente verfcare osservando la fgura, ram non a comune della due spre sono percors da una corrente rsultante par ad e dretta esattamente nello stesso verso della corrente che flusce nella spra grande. Invece, nel lato a comune A tratteggato n fgura, la corrente rsultante è nulla pochè le corrent delle due spre adacent sono ugual ed opposte. Ma allora, la dstrbuzone d corrent rsultante dalla sovrapposzone delle due spre è esattamente la stessa che caratterzza la spra grande. Dunque, anche le forze e moment d forza total agent sulle due spre dovranno essere esattamente ugual alla forza e al momento d forza agente sulla spra grande. Possamo verfcare mmedatamente la valdtà d questo rsultato per quanto rguarda l momento d forza. Il momento d forza agente sulla spra grande rettangolare d area A e normale n è: τ = µ (10) dove µ = A n (11) D' altra parte, l momento d forza totale agente sulle due sprettne d area A 1 e A è τ = µ 1 + µ = (µ 1 + µ ) (1) dove µ 1 = A 1 n e µ = A n (13) Ma A 1 +A = A e, qund, µ 1 +µ = µ = A. Dunque, la (1) è esattamente uguale alla (10). In partcolare, l momento magnetco d una spra percorsa da corrente può essere sempre calcolato come somma de moment delle due spre ( µ = µ 1 + µ ). Lo studente può faclmente verfcare che questo rsultato contnua a valere anche se una spra vene suddvsa dealmente n N sprettne adacent percorse dalla stessa corrente come mostrato schematcamente n fgura 4. Anche n questo caso, l momento magnetco della spra è uguale alla somma de moment magnetc delle N spre, coè: 5

6 µ = µ 1 + µ µ N (14) Fgura 4 Il rsultato (14) rsulta partcolarmente utle quando s ha a che fare con spre non pane per le qual l momento magnetco µ non può essere calcolato utlzzando la relazone (). Se, però, la spra non pana vene suddvsa dealmente n spre pane adacent allora l momento magnetco può essere calcolato utlzando la (14). Come esempo lo studente svolga l'eserczo 1 qu sotto rportato. Eserczo 1: Una spra non pana è percorsa da una corrente come mostrato dalla fgura sottostante. I 6 lat della spra hanno lunghezza L. Un campo d nduzone magnetca unforme d modulo gace nel pano z e fa un angolo θ con l'asse. 1 - S dca per quale valore dell'angolo θ = θ eq la spra s trova n equlbro. - S trov drezone, modulo e verso del momento d forza τ agente sulla spra quando l campo magnetco è dretto lungo l'asse ( θ = 0). z θ L Soluzone: 1 - La spra percorsa da corrente è un momento d dpolo magnetco e, qund, è sottoposta ad una coppa che tende ad orentare l momento parallelamente al campo. Dunque, la spra sarà n equlbro se l campo è dretto lungo l momento magnetco µ della spra. S deve, qund calcolare l momento magnetco della spra e trovare come è orentato. Per far questo non possamo utlzzare l'espressone del momento magnetco d una spra pana. Tuttava, possamo scomporre la spra n due spre quadrate d lato L adacent che hanno 3 lat cascuna a comune con la spra grande e un lato a comune fra d loro gacente sull'asse. Le normal alle due spre sono orentate, rspettvamente, lungo l'asse ( versore ) e l'asse z ( versore k). Il momento magnetco rsultante della spra grande sarà, percò: 6

7 µ = L + L k = L ( + k ) che è un vettore d modulo µ = 1/ L che gace nel pano z e forma un angolo α = π/4 con l'asse. Ma allora, l'orentazone del campo magnetco che garantsce l'equlbro della spra è data da θ eq = α = π/4. - Se l'angolo del campo è θ = 0 allora l momento magnetco forma un angolo α = π/4 con l campo d nduzone magnetca e, qund, la spra è soggetta ad un momento d forza τ dretto lungo l'asse nel verso postvo dell'asse. La componente del momento d forza è ( α ) = L sn( ) L τ = µ sn α = Questo rsultato ha una semplce nterpretazone: come abbamo vsto, la spra può essere pensata come la sovrapposzone d due spre ortogonal con moment d dpolo orentat rspettvamente lungo l'asse parallelo al campo e lungo l'asse z perpendcolare al campo. Entramb moment hanno lo stesso modulo L. Sul momento parallelo al campo non vene eserctato nessun momento d forza ( sn θ = 0), dunque l momento d forza è dovuto solamente al momento perpendcolare al campo ( sn θ = 1) e, qund, l momento rsultante è propro dato dalla relazone precedente. Eserczo - Nello spazo compreso fra due pan ndvduat da = 0 e = h è presente un campo magnetco dretto lungo l'asse come mostrato n fgura e dpendente dal valore della coordnata secondo la legge = γ j dove γ è un coeffcente costante. L'asse z è uscente dal pano della fgura. Un fasco d neutron con momento magnetco µ = µ j e massa m vagga lungo l'asse nel verso postvo con veloctà v = v o. Schermo µ v o 0 h L 1 - S trovno le coordnate e z che ndvduano la poszone de neutron quando escono dal campo ( = h). - S trovno le coordnate e z de neutron quando ncdono su uno schermo perpendcolare all'asse poszonato n = L > h. Soluzone: 1- Pochè l momento magnetco è dretto lungo l campo d nduzone magnetca, l momento d forza agente sul dpolo è nullo e, qund l'orentazone del dpolo s mantene sempre parallela all'asse durante l moto successvo. Il campo magnetco, però, vara lungo e, qund, l'energa del dpolo dpende da secondo la legge: U = - µ = - µ γ. Dunque, è presente una forza par a F = - U che agsce su dpol magnetc quando entrano nel campo. Pochè U dpende solo da, la forza magnetca ha solo componente ( ved eq. (9bs)) par a: 7

8 U F = = µ γ Dunque, proton vengono accelerat lungo con accelerazone a = µ γ /m. Il moto è qualtatvamente smle a quello d un grave nel campo d gravtà ( moto parabolco). In partcolare, la traettora resta sempre nel pano ( non c'è veloctà o accelerazone lungo z ). Sa t = 0 l'stante n cu un neutrone arrva nell'orgne, allora le coordnate al tempo t saranno: (t) = v o t (t) = µ γ t /( m) Il neutrone raggunge l'uscta dal campo ( = h) al tempo t = t o = h/v o che, sosttuto nell'espressone d (t) fornsce la coordnata d uscta de neutron: = o = µ γ h / ( m v o ) - Una volta usct dal campo, nel punto = h, = o, l neutrone non è pù soggetto a forze e, qund contnua a muovers d moto rettlneo ed unforme lungo la drezone ndvduata dalla veloctà d uscta ( la veloctà raggunta al tempo t = t o = h/v o ). Le component ed d tale veloctà sono v = v o v = µ γ t o / m = µ γ h / (mv o ) Dunque, la traettora dopo l'uscta dal campo è una retta che forma con l'asse l'angolo θ dato da: v µγh tanθ = = v mvo La coordnata s del punto d mpatto su uno schermo posto n = L > h è, percò ( ved fgura): s = o + µγh h L h) tanθ = L mv ( o θ s o Eserczo 3 - Lo studente dmostr che la forza totale agente su un flo rettlneo d lunghezza data percorso da corrente e mmerso n un campo d nduzone magnetca unforme è come se fosse applcata nel punto centrale O del flo. Suggermento: s facca vedere che l momento d forza totale rspetto ad O dovuto alle forze nfntesme agent su sngol element nfntesm d flo è nullo. 8

9 Soluzone: Se la forza totale è applcata nel punto O allora l momento d forza totale rspetto ad O deve essere nullo. Ma l momento d forza totale è par alla somma de moment nfntesm agent su cascun trattno nfntesmo d flo. Sa r l vettore che congunge l punto O con un generco elemento nfntesmo d lunghezza dl ( ved fgura). Pochè l campo è unforme, la forza elementare agente su un generco trattno d flo è df = dl ed ha lo stesso valore n ogn punto del flo (, dl e hanno lo stesso valore n ogn punto). Il momento d forza elementare eserctato su un generco trattno d flo è: dτ = r df dove r è l vettore che congunge l punto O con l trattno d flo. Ora, se consderamo due generc trattn d flo smmetrc rspetto ad O, vettor r relatv a tal trattn sono ugual ed oppost mentre vettor df sono ugual, dunque moment d forza elementar rspetto ad O assocat con trattn d flo smmetrc rspetto ad O sono anch'ess ugual ed oppost. Il momento d forza rsultante dovuto a trattn d flo a destra del punto O è, percò uguale ed opposto a quello dovuto a trattn a snstra. Ne consegue che l momento d forza rsultante rspetto ad O è nullo. Dunque, a tutt gl effett è come se la forza totale fosse applcata nel punto centrale del segmento. r dl O Eserczo da fare a casa: Una spra crcolare d raggo a = 10 cm è percorsa da una corrente = 3 A nel verso ndcato n fgura e gace nel pano. 1- S trovno le component, e z del momento d dpolo magnetco µ della spra. - Se un campo d nduzone magnetca = (,, z ) = ( 1,1,1) T è applcato sulla spra, s calcolno le component, e z del momento d forza agente sulla spra. 3- S calcol l lavoro fatto da un operatore esterno per estrarre la spra dalla regone dove è presente l campo magnetco. 4 - S calcol la forza agente sulla spra. 5 - s dca quale ( o qual) devono essere le drezon del campo applcato se s vuole che l momento d forza agente sulla spra sa dretto lungo l'asse. [ Per le domande 1,,3 e 4 s scrvano le rsposte analtche ( n termn d a,,, e z ) e s calcolno valor numerc] 9

10 Soluzone : 1 - ( 0,0, πa ) = (0,0, 0.094) Am. - ( - πa, πa, 0) =( , 0.094, 0) N m. 3 - L = - U = πa z = J. 4 - F = 0 pochè l campo è unforme. 5 - l campo magnetco deve essere applcato lungo una qualunque drezone nel pano z. 10