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1 Lauree in Ing. Gest. dell Inform. e Industr. e Ing. Ambientale A.A. 2010/2011 Corso di Fisica Generale II_con Lab. 28 Gilberto Giugliarelli 4.1 Una sbarretta conduttrice di lunghezza l = 10 cm ruota con velocità angolare ω = 100 rad/s attorno ad un asse perpendicolare alla barretta stessa e passante per un suo estremo, ed è immersa in un campo parallelo all'asse di rotazione. L'altro estremo striscia su una guida circolare conduttrice. Tra un punto dell'asse e uno della guida è inserita una resistenza = 2.0 Ω. Calcolare a) la corrente in, e b) quanta energia meccanica si trasforma in in energia elettrica dopo che nel circuito è passata una carica Q = 2 C. Trascurare tutti gli attriti meccanici e le altre possibili resistenze elettriche. A causa della sua rotazione, un elementino di sbarretta di lunghezza dr a distanza r dall estremo fisso si muove con velocità v =!r perpendicolarmente al campo magnetico. Esso, quindi, diventa sede di una f.e.m. indotta pari a La f.e.m. indotta complessivamente nella sbarretta Z sarà quindi Z l E = de =! rdr = 1 2!l2 = 0:5 V: La corrente i che percorre la resistenza è quindi de = vdr =!rdr: 0 i = E =!l2 = 0:25 A: 2 L energia meccanica che è necessario spendere per mantenere la sbarretta in moto è sempre bilanciata dall energia dissipata nella sbarretta per effetto Joule: quindi se consideriamo l intervallo di tempo t necessario affinché nella resistenza scorra una carica pari a Q, avremo W M = i 2 t = i 2 Q i = iq = EQ = 1:0 J:

2 Lauree in Ing. Gest. dell Inform. e Industr. e Ing. Ambientale A.A. 2010/2011 Corso di Fisica Generale II_con Lab. 29 Gilberto Giugliarelli 4.2 Una spira conduttrice di forma circolare di raggio r = 10 cm e di resistenza elettrica = 100 Ω, ruota con velocità angolare costante ω = 100 rad/s attorno ad un suo diametro perpendicolare alle linee di forza di un campo magnetico uniforme e costante 0 = 1 T. Calcolare l'andamento nel tempo del momento meccanico necessario per mantenere la rotazione. Si trascuri l'induttanza della spira. Si consideri la spira nell istante in cui la sua superficie (piana) è perpendicolare al campo magnetico 0 e si orienti la sua normale n come ~ 0. Si noti che negli istanti successivi, l angolo che n forma con ~ 0 è pari a µ =!t(si è preso t = 0 nell istante in cui θ = 0). Perciò il flusso Z concatenato con la spira Z sarà = ~ 0 nda = 0 cos µ da = ¼r 2 0 cos!t Conseguentemente f.e.m. indotta e corrente nella spira saranno E = d d dt = ¼r 2! 0 sin!t; i = E = ¼r2! 0 sin!t: [I generatori di tensione alternata (alternatori) producono una f.e.m. analoga a quella appena calcolata] La spira assume quindi un momento di dipolo magnetico pari a ¹ = ¼r 2 i = ¼2 r 4! 0 sin!t: A causa del campo magnetico sulla spira si avrà quindi un momento torcente ~ = ~¹ ~ 0 di ampiezza = ¹ 0 sin!t = ¼2 r 4!0 2 sin 2!t: Il momento meccanico esterno deve essere ovviamente uguale ed opposto a quello appena calcolato. Cioè M =

3 Gilberto Giugliarelli Lauree in Ing. Gest. dell Inform. e Industr. e Ing. Ambientale A.A. 2010/2011 Corso di Fisica Generale II_con Lab. 4.3 Tutto è come nel problema 3.9, ma ora abbiamo inserito nel circuito un generatore di f.e.m. ε 0. Si determini a) l`equazione del moto della sbarretta (di resistenza ) e b) la sua velocità finale nell ipotesi che non esca dal campo magnetico. ε 0 30 Si noti che dal momento in cui scorre una corrente i nel circuito in senso antiorario (il verso imposto dal generatore), la sbarretta risentirà di una forza F = il diretta verso sinistra. Quindi la sbarretta prenderà a muoversi verso sinistra (come indicato in figura) e per effetto di tale movimento essa sarà anche sede di una f.e.m. indotta di ampiezza E = vl opposta a quella del generatore (dovendosi opporre alla causa che l ha generata). Perciò, dal punto di vista elettrico, il circuito seguirà l equazione E 0 vl = i! i = E 0 vl : Invece, dal punto di vista meccanico avremo dv mdv dt = il = (E 0 vl)l = E 0L L2 2 v: Quando il secondo membro sarà nullo, e cioè E 0 L L2 2 v = 0 ) v = v lim = E 0 L ; il moto della sbarretta sarà uniforme con velocità υ lim. isolvendo l equazione precedente abbiamo dv E 0 L L2 2 v = dt! ln E 0 Lv = L2 2 E 0 m t! v(t) = E 0 ³1 e L2 2 L che dimostra, ancora una volta, che la sbarretta raggiunge esponenzialmente la velocità finale. t m ³ = v lim 1 e L2 2 t m ;

4 Gilberto Giugliarelli Lauree in Ing. Gest. dell Inform. e Industr. e Ing. Ambientale A.A. 2010/2011 Corso di Fisica Generale II_con Lab. 4.4 Tutto è come nel problema 4.1, ma ora abbiamo inserito nel circuito un generatore di f.e.m. ε 0. Si determini l`equazione del moto della sbarretta (di massa m) e la sua velocità angolare limite. ε 0 31 Come per il problema 4.1 dal momento in cui scorre una corrente i nel circuito nel verso imposto dal generatore, la sbarretta risentirà di una forza F = il che la metterà in moto antiorario (visto da sopra). Per effetto di tale movimento essa sarà anche sede di una f.e.m. indotta di ampiezza (vedi problema 4.1) E = 1 2!l2 opposta a quella del generatore (dovendosi opporre alla causa che l ha generata). Dal punto di vista elettrico, il circuito seguirà l equazione E l2! = i! i = 2E 0 l 2! : 2 Invece, dal punto di vista meccanico, avremo d! Id! dt = = l 2 il! 1 3 ml2d! dt = E 0l l4 4!! d! dt = 3E 0 2 2m 3l2 4m!: Quindi la sbarretta raggiungerà una velocità angolare limite ω lim quando il secondo membro sarà nullo, e cioè 3E 0 2m 3l2 2 4m! = 0 )! =! lim = 2E 0 l 2 : Infine, risolvendo l equazione precedente abbiamo d! 3E 0 2m 3l2 2 4m! = dt! ln 2E 0 l2! = 3l2 2 2E 0 4m t!!(t) =! lim ³1 e 3l2 2 t 4m ;

5 Gilberto Giugliarelli Lauree in Ing. Gest. dell Inform. e Industr. e Ing. Ambientale A.A. 2010/2011 Corso di Fisica Generale II_con Lab. 2a 4.5 Una spira quadrata, di lato a = 50.0 cm, massa m = 7.0 g e resistenza = 5.0 Ω, scivola (senza attrito) orizzontalmente con velocità v 0 = 5.0 m/s. All istante t = 0 comincia ad entrare in una regione di larghezza L = 2a dove esiste un campo a magnetico uniforme = 1.0 T. Determinare a) se la spira riesce ad uscire completamente dalla regione con campo magnetico, e b) qual è la velocita minima, v 0,min, necessaria per farlo. v 0 Durante l entrata della spira nel campo magnetico il suo lato destro è sede di una f.e.m. indotta pari a E = av e in essa scorre una corrente i = E= = av= diretta in verso antiorario. Conseguentemente, su tale lato nasce una forza F = ia = µ a 2 2 v= diretta in verso opposto al moto. Applicando il teorema dell energia cinetica abbiamo 1 d 2 mv2 = F vdt! mvdv = a2 2 v vdt! mdv = 2 a2 vdt = 2 a2 dx: Supponendo che la spira entri completamente nel campo, integriamo a secondo membro da x = 0 ed x = a e otteniamo m(v 1 v 0 ) = a3 2! mv 1 = mv 0 a3 2 : Questa relazione ci dice che entrando completamente nel campo la quantità di moto della spira viene ridotta di a 3 2 /. Ovviamente questo potrà essere possibile solo se la quantità di moto iniziale è maggiore di questa. Inoltre, supponendo che ciò si verifichi, una volta entrata essa procederà di moto uniforme (con velocità v 1 ) fino a che il suo lato destro non comincerà ad uscire dalla regione magnetica. Durante l uscita possiamo ripetere gli stessi ragionamenti fatti sopra (ora la corrente circolerà in verso orario), ottenendo che la quantità di moto della spira, ammesso che riesca ad uscire completamente, viene diminuita di un ulteriore a 3 2 /. In definitiva, la spira riuscirà ad attraversare completamente la regione con campo magnetico solo se mv 0 2 a3 2 ) v 0;min 2 a3 2 = 7:14 m=s > v 0: Perciò, nel caso in esame, la velocità della spira non è sufficiente a farle attraversare completamente il campo. Notando che (mv 0 )=(a 3 2 =) = 1:4, possiamo dire che la spira si fermerà a cavallo del bordo destro della zona magnetica. iprendendo la prima equazione, e integrando a destra di quello spazio che riduce a zero la quantità di moto della spira, otteniamo che alla fermata la porzione di spira fuori dal campo è mv 0 = a3 2 (a + x)! x = mv 0 a 2 a = 20:0 cm: 2 32

6 Gilberto Giugliarelli Lauree in Ing. Gest. dell Inform. e Industr. e Ing. Ambientale A.A. 2010/2011 Corso di Fisica Generale II_con Lab. 4.6 Una barretta conduttrice di lunghezza L = 10 cm, massa m = 100 g e resistenza = 5 Ω, è appoggiata su due rotaie rettilinee conduttrici collegate fra loro (vedi figura). La barretta viene spostata avanti e indietro lungo le rotaie in modo che la sua posizione segua la legge x(t) = x 0 sinωt con x 0 = 10 cm e ω = 100 rad/s. Il sistema è immerso in un campo magnetico uniforme, di intensità = 0.5 T, perpendicolare al piano delle rotaie (vedi figura). Determinare: a) le ampiezze massime della f.e.m. e della corrente indotte nella barretta; b) il valore massimo della forza magnetica sulla barretta; c) l energia meccanica che deve essere spesa ad ogni oscillazione completa della barretta. La f.e.m. indotta nella barretta ha ampiezza E(t) = Lv(t) = Lx 0! cos!t e quindi la sua ampiezza massima e quella della corrente sono E max = Lx 0! = 0:5 V; i max = E max = Lx 0! = 0:1 A: Conseguentemente, la forza magnetica massima sulla barretta è F ;max = i max L = 2 L 2 x 0! = 5: N Infine, l energia meccanica che viene spesa ad ogni oscillazione completa, è pari all energia dissipata nella resistenza nello stesso tempo. Cioè W = Z 2¼=! 0 i 2 (t)dt = (Lx 0!) 2 Z 2¼=! 0 cos 2!tdt = (Lx 0!) 2 2¼! 1 2 = ¼2 L 2 x 2 0! = 1: J: 33

7 Lauree in Ing. Gest. dell Inform. e Industr. e Ing. Ambientale A.A. 2010/2011 Corso di Fisica Generale II_con Lab. 34 Gilberto Giugliarelli 4.7 Una spira quadrata conduttrice, di lato a = 10.0 cm e resistenza = 0.5 Ω, si trova a distanza d 0 = 10.0 cm da un filo rettilineo indefinito (vedi figura). In tale filo, nell intervallo di tempo 0 t 4 s, scorre una corrente di intensità I(t) = 100 t (4-t) diretta verso l alto. Determinare: a) l epressione della f.e.m. indotta nella spira in funzione del tempo; b) l istante in cui la f.e.m. si annulla; c) gli istanti in cui la forza con cui la spira deve essere trattenuta è massima (in modulo). d 0 a Il campo generato dal filo rettilineo è perpendicolare al piano della spira (entrante) e ha intensità (r) = ¹ 0I 2¼r dove r è la distanza dal filo stesso. ZIl flusso di tale campo concatenato con la spira è quindi = ~ nda = ¹ Z d0 +a 0aI dr 2¼ d 0 r = ¹ 0aI 2¼ ln d 0 + a = ¹ 0a ln 2 d 0 2¼ I Perciò la f.e.m. indotta nella spira è pari a E = d d = ¹ 0a ln 2dI dt 2¼ dt = ¹ 0a ln 2 (4 2t) 2¼ Si noti che è ε = 0 per t = t 0 = 2.0 s. Per 0 < t < t 0 la f.e.m. indotta è negativa e fa ruotare una corrente in verso antiorario; al contrario, per t 0 < t < 4 s la f.e.m. indotta è positiva e fa ruotare una corrente in verso orario. La corrente ha intensità i = E = ¹ 0a ln 2 100(4 2t) 2¼ La forza che deve essere usata per trattenere la spira nella sua posizione sarà uguale ed opposta alla forza netta che agisce sulla spira a causa del fatto che essa è percorsa da corrente e che èimmersa in un campo magnetico non uniforme. Quest ultima è pari alla somma algebrica delle forze sui lati verticali, pari a 1 F = F 1+F 2 = a ¹ 0I ¹ 0 I i a 2¼d 0 2¼(d 0 + a) i = ¹ 0 a 2 2¼d 0 (d 0 + a) Ii = 0a 3 ln ¹2 2¼d 0 (d 0 + a) (4 t)(4 2t)t Negativa (diretta verso destra) per 0 < t < t 0 e positiva (verso sinistra) per t 0 < t < 4 s. Gli istanti in cui tale forza è massima in modulo si ottengono dalle seguenti df dt = 0 ) d dt [(4 t)(4 2t)t] = 16 24t+6t2 = 0 ) t = 6 p ½ 12 1:27 s = 3 3:15 s

8 Una spira a forma di triangolo equilatero, di lato a = 10.0 cm e resistenza elettrica = 2.0 Ω, e` trascinata con velocità costante v 0 = 25.0 m/s nella direzione indicata in figura. All istante t = 0 essa comincia ad entrare in una regione in cui esiste un campo magnetico uniforme e costante = 0.9 T perpendicolare al foglio ed uscente da esso (vedi figura). Determinare: a) l espressione (in funzione del tempo) della f.e.m. indotta nella spira durante il suo ingresso nel campo magnetico e il suo valore massimo; b) la quantita` di carica q che fluisce complessivamente nella v spira durante l entrata nel campo magnetico e il verso in cui essa fluisce. 0 Una spira rettangolare, di lati AD = 10.0 cm, DC = 8.0 cm e resistenza = 1.5 Ω, giace in un piano contenente un filo conduttore rettilineo percorso dalla corrente i = 1 A. Essa viene fatta ruotare di 180 intorno al lato AD, disposto parallelamente al filo alla distanza alla distanza d = 15.0 cm. Calcolare la carica q che percorre la spira durante la rotazione. i d D A C

9 Una spira circolare di rame (resistivita` ρ = Ωm e filo di sezione Σ = 2.0 mm 2 ), di raggio r = 5.0 cm, puo` ruotare senza attrito attorno ad un suo diametro. La spira e` immersa in un campo magnetico uniforme e costante di modulo = 0.7 T ortogonale all asse di rotazione ed e` mantenuta in rotazione ad una velocita` angolare costante ω = 62.8 rad/s. Calcolare l energia dissipata nella spira in un secondo. Una spira quadrata, di lato a = 10 cm e resistenza = 5 Ω, si trova sul bordo di una regione dove esiste un campo magnetico uniforme di intensità = 0.8 T perpendicolare al piano della spira (vedi figura). A partire dall istante t = 0, la spira viene sottoposta a due movimenti in successione: 1) viene fatta entrare nel campo ad una velocità costante v 0 = 20 m/s; 2) viene ruotata di 180 intorno ad un asse verticale (a velocità angolare costante) in un tempo T = 0.1 s. Determinare: a) il lavoro complessivo che si deve compiere per effettuare i due movimenti; b) la carica complessiva che fluisce nella spira nei due movimenti. a x = 0 x

10 Una spira quadrata di lato a = 10 cm e resistenza = 1.5 Ω si trova nei pressi di una regione, in cui esiste un campo magnetico uniforme e costante di ampiezza = 1.5 T perpendicolare al piano della spira ed entrante nel foglio (vedi figura). A partire dall istante t = 0 la spira viene fatta entrare nel campo mediante una rotazione di 90 (con velocita` angolare costante) intorno al suo vertice in basso a destra (vedi figura). Sapendo che la rotazione suddetta avviene in un tempo T = 0.05 s, determinare negli istanti t 1 = T/2 e t 2 = T: a) il valore della f.e.m. indotta nella spira; b) il verso e l intensita` della corrente che fluisce nella spira; a Una sbarra conduttrice di massa M = 30 g scivola con attrito trascurabile lungo due rotaie parallele conduttrici verticali a distanza l = 50 cm l una dall altra. Le due rotaie sono unite alla sommità da un condensatore di capacità C = 50.0 mf e la sbarra, durante la caduta, mantiene sempre il contatto elettrico con le rotaie. Il sistema è immerso in campo magnetico uniforme = 1.5 T, perpendicolare al piano delle rotaie ed entrante nel foglio. Trascurando ogni resistenza, determinare durante la caduta della sbarra: a) l andamento (in funzione del tempo) della f.e.m. indotta nella sbarra; b) il segno delle cariche sulle armature del condensatore e l andamento (in funzione del tempo) della d.d.p. ai suoi capi; c) l intensità di corrente nella sbarra. l C

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