3x + x 5x = x = = 4 + 3x ; che equivale, moltiplicando entrambi i membri per 2, a risolvere. 4x + 6 x = 4 + 3x.

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1 1 Soluzioni esercizi 1.1 Equazioni di 1 e grado Risolvere le seguenti equazioni di 1 grado: 1) 3x 5x = 1 x. Abbiamo: 3x + x 5x = 1 + x = x = 5. ) x + 3 x = + 3x. Facciamo il m.c.m. : 4x + 6 x = 4 + 3x ; che equivale, moltiplicando entrambi i membri per, a risolvere Si ha 4x + 6 x = 4 + 3x. 4x x 3x = x = 0 = che è impossibile. 3) Abbiamo: x [3 x ( x)] = 6x (1 + 4x). x [3 x +x] = 6x 1 4x x 3+x+ x = 6x 1 4x, quindi x 6x + 4x = x = 0; quest ultima uguaglianza è verificata per ogni x IR. Una tale equazione si dice indeterminata. 1

2 4) (x ) x + 3 = x Sviluppiamo il quadrato e riduciamo entrambi i membri allo stesso denominatore: x +4 4x x+ 3 = x x 6x = + 35 ; 6 moltiplicando entrambi i membri per 6, si ottiene: 4 4x 6x + 9 = x 6x = x = 0 x = 0. Risolvere le seguenti equazioni di 1 grado fratte: 1) 3 x 3 3x x + 3 = 3(6 x ) 4x 9 Scomponiamo i denominatori in fattori primi: x 3; x+3; 4x 9 = (x+3)(x 3) (differenza di quadrati). Si ha m.c.m(x 3, x + 3, 4x 9) = (x 3)(x + 3). Otteniamo 3(x + 3) 3x(x 3) (x 3)(x + 3) = 3(6 x ) (x 3)(x + 3). Moltiplichiamo entrambi i membri per (x 3)(x + 3), richiedendo però che (x 3)(x+3) 0 x 3 0 e x+3 0 x 3 e x 3, si ha: 3(x + 3) 3x(x 3) = 3(6 x ) 6x + 9 6x + 9x = 18 6x 6x + 9x = x = 9 x = 9 15 = 3 5.

3 ) x + 1 3x x x + 1 3x 5x + 6 3x 3 Scomponiamo i denominatori: = 0. 3x 3 = 3(x 1); x + 1; 3x 3 = 3(x 1) = 3(x 1)(x + 1); il m.c.m. è 3(x 1)(x + 1). Abbiamo, riducendo allo stesso denominatore, (x + 1) 3(1 + x)(x 1) (3x 5x + 6) 3(x + 1)(x 1) = 0. Poniamo x ±1 e moltiplichiamo entrambi i membri per 3(x+1)(x 1) otteniamo x + x + 1 (1 + x)(3x 3) 3x + 5x + 6 = 0 x + x + 1 3x + 3 6x + 6x 3x + 5x + 6 = 0 x 3x + 6x 3x = x = x = 1. Tale soluzione non può essere accettata avendo supposto x ±1. Dunque la nostra equazione non ha soluzioni. 3) Abbiamo: 1 x 1 3 x + = 1 x + x. x 1; x + ; x + x = (x 1)(x + ); (per quest ultimo abbiamo applicato la seguente: x + (a + b)x + a b = (x + a)(x + b) con a = e b = 1); inoltre m.c.m.(x 1, x +, x + x ) = (x 1)(x ). Riducendo entrambi i membri allo stesso denominatore si ha: x + 3(x 1) (x 1)(x + ) = 1 (x 1)(x + ). Imponiamo che (x 1)(x ) x 1, e moltiplichiamo per tale quantità otteniamo: x+ 3x+5 = 1 x 3x = 1 3 x = 4 x = 3

4 4) x x 1 + x + 6 x + x x x + x (x + 1) + 1 = 0. Riduciamo entrambi i membri allo stesso denominatore x 1 = (x 1)(x+1); x +x+1 = (x+1) ; 1 x = (x 1); (x+1) ; m.c.m.(x 1, x + x + 1, 1 x, (x + 1) ) = (x 1)(x + 1) (x )(x + 1) + (x + 6)(x 1) (x + 3)(x + 1) + x(x 1) + (x 1)(x + 1) x 1)(x + 1) = 0. Moltiplichiamo per (x 1)(x + 1) ricordando che x deve essere diverso da ±1 punti in cui si annulla il denominatore, si ha (x )(x+1)+(x+6)(x 1) (x+3)(x +x+1)+x(x 1)+(x 1)(x +x+1) = 0 x + x x + x x + 6x 6 x 3 x x 3x 6x 3+ +x x + x 3 + x + x x x 1 = 0 x x x = x = 1 x =. Ricordiamo per i prossimi esercizi la formula risolutiva per le equazioni di grado, ax + bx + c = 0: Poniamo = b 4ac si ha: x 1, = b ± b 4ac a > 0 abbiamo due soluzioni reali distinte; < 0 abbiamo due soluzioni complesse coniugate; = 0 abbiamo due soluzioni reali coincidenti. Risolvere le seguenti equazioni di grado: 1) Si ha (x 1)(x + x + 1) (x 1) 3 = 0. x 3 + x + x x x 1 (x 3 3x + 3x 1) = 0 4

5 x 3 + x + x x x 1 x 3 + 3x 3x + 1 = 0. Facendo le opportune semplificazioni si ottiene: 3x 3x = 0 3x(x 1) = 0 3x = 0 o x 1 = 0. Abbiamo due soluzioni distinte x = 0 e x = 1. Osserviamo che avremmo potuto usare la formula risolutiva ricordando che in questo caso c = 0. ) ( x ) (x + 1) 10x + x = 0. Sviluppiamo i quadrati e riduciamo allo stesso denominatore otteniamo x x x x x + x 3 4 1x 18x x + 3x 9 = 0 4 1x 18x x + 3x = 0 = 0 3x 5 = 0 x = x = ± 3. Anche in questo caso avremmo potuto applicare la formula risolutiva, notando che b = 0. 3) 5x + 13x + 6 ( x)(x + 1) 4 Riducendo allo stesso denominatore si ha: 5x + 13x + 6 (x + x x) 4 = x 1. 4 = x 1 4 5x + 13x + 6 4x 4 + x + x = x 1 6x + 11x + 3 = 0. 5

6 Applicando la formula risolutiva otteniamo: x 1, = 11 ± = 11 ± 49 1 = 11 ± 7. 1 Dunque abbiamo due soluzioni reali distinte x 1 = 1 3 e x = 3. 4) x x + = 0. Applichiamo la formula risolutiva otteniamo: x 1, = ± 8 8 =. Risolvere le seguenti equazioni di grado fratte: 1) Riducendo al m.c.m otteniamo: x x 1 + x (x 1)( x) = x + (x ). (x )(x ) + x ( x + ) (x 1)(x ) = (x + )(x 1) (x 1)(x ). Imponendo la condizione x 1,, punti in cui si annulla il denominatore la nostra equazione equivale alla seguente: (x )(x 4x + 4) x 3 + x = x x + x ) x 3 4x + 4x x + 8x 8 x 3 + x = x x + x 5x 11x+6 = 0 x 1, = 11 ± x + 1 4x + 4x x 4x + = Scomponiamo i denominatori: x 6x x + 48x + 1. x 1 = 1 e x = x + 4x + 1 = 4(x + x ) = 4(x + 1 ) ; 6x + 3 = 6(x + 1 ); 6

7 4x + = 4(x + 1 ); 48x + 48x + 1 = 48(x + x ) = 48(x + 1 ). Dunque m.c.m(4x + 4x + 1, 6x + 3, 4x +, 48x + 48x + 1) = 48(x + 1 ). Abbiamo 1(x + 1) + 1(x + 1 )(x ) 48(x + 1 = 8x(x + 1) + 5 ) 48(x + 1. ) Poniamo x 1, e moltiplichiamo entrambi i membri per 48(x + 1 ) otteniamo: 1x x 4x + 6x 1 = 8x + 4x + 5 1x + 1x 8x 4x + 6x 4x 5 = 0 16x x 5 = 0 x 1, = ± Quindi abbiamo due soluzioni reali e distinte: x 1 = e x = ) 5x + x 4 + x + x 13x + 5x + 10 = 4x + 3x. 5x 0 Scomponiamo i denominatori: Si ha x 4 = (x )(x + ); x ; 5x + 10 = 5(x + ); 5x 0 = 5(x 4) = 5(x )(x + ) m.c.m(x 4, x, 5x + 10, 5x 0) = 5(x + )(x ). 5(5x + ) + 5(x + ) (13x + )(x ) 5(x + )(x ) 7 = 4x + 3x 5(x + )(x ) ;

8 imponendo x ± la precedente equazione è equivalente a 5x (x x) (13x 6x + x 4) = 4x + 3x 5x x x 13x + 6x x + 4 = 4x + 3x 1x + 66x + 36 = 0 x + 11x + 6 = 0. Applicando la formula risolutiva troviamo due soluzioni reali e distinte, cioè x 1, = 11 ± = 11 ± 13 4 x 1 = 1 e x = 6. 4) ( 4 + Osserviamo che dunque Si ha 11x 16 x 3x + 3x + 5 ) : x 1 + x x 3x + = (x )(x 1), 6 x x + 1 = 0. m.c.m(x 3x +, x ) = (x )(x 1). 4(x 3x + ) + 11x 16 (3x + 5)(x 1) (x )(x 1) x x x + 1 = 0 [4x 1x x 16 3x + 3x + 5x 5] 6 + (x )(x 1) (x 1) = 0. Riducendo allo stesso denominatore si ottiene x 6x 6 + 6(x ) (x )(x 1) = 0 x 18 (x 1) (x ). Dunque ponendo x 1,, punti in cui si annulla il denominatore, abbiamo x 18 = 0 x 9 = 0 x = ±3. 8

9 1. Disequazioni di 1 e grado Risolvere le seguenti disequazioni di 1 grado fratte e non: 1) 3x + 1 x + 3 > + x. 3 4 Riduciamo entrambi i membri allo stesso denominatore, si ha 18x + 6 8x 1 1 > 6 + 3x. 1 Moltiplicando entrambi i membri per 1, si ottiene 10x 6 > 6 + 3x 7x > 1 x > 1 7. ) x 5 8 x > 0. Osserviamo che una frazione è positiva quando numeratore e denominatore sono positivi oppure quando sono entrambi negativi. Dunque studiare la disequazione assegnata equivale a risolvere i seguenti sistemi x 5 > 0 x 5 < 0 8 x > 0 8 x < 0 x > 5 x < 8 x < 5 x > 8 Dunque la nostra disequazione è verificata per 5 < x < 8 (osserviamo che il secondo sistema non ha soluzioni). 3) (x 1)( x) (x + 3)(5 x) 0. Studiamo i singoli fattori separatamente, si ha x 1 0 x 1, x 0 x, 9

10 e x + 3 > 0 x > 3 5 x > 0 x < 5. Notiamo che la x deve essere diversa da 3 e 5, punti in cui si annulla il denominatore. Mettendo insieme i risultati ottenuti si ha che la frazione considerata è positiva, (tutti e quattro i fattori positivi o due negativi e due positivi), quando x < 3 o 1 x o x > 5. 4) Abbiamo x + 1 x 5. x + 1 x + 1 5x x x 0 4x + 11 x Risolvere tale equazione equivale a risolvere i seguenti sistemi 4x x x < 0 x > 0 0. x 11 4 x < x 11 4 x > Dunque la disequazione considerata è risolta quando x < o x Risolvere le seguenti disequazioni di grado fratte e non: 1) x + 4x + 6 0; x 6x + 9 > 0; x 6x + 1 > 0. Applichiamo la formula risolutiva e determiniamo x 1 e x : x 1, = 4 ± = 4 ± 8 4 x 1 = 1 e x = 3. Dunque, essendo a = < 0, si ha che la prima disequazione è verificata per x [ 1, 3]. Per la seconda osserviamo che x 6x + 9 = (x 3), quindi la nostra disequazione è verificata per ogni x 3. Per la terza abbiamo a = 1 > 0 e = < 0, dunque l ultima disequazione è verificata per ogni x IR. 10

11 ) 1x + 4x + 1 < 0; 4x 3x + 1 < 0; 8x 4x Applichiamo la formula risolutiva, otteniamo cioè x 1, = 4 ± x 1 = 1 = 4 ± 64 4 e x = 1 6. = 4 ± 8 4, Poichè a = 1 < 0 e > 0 si ha che la disequazione considerata è verificata per x < 1 6 o x > 1. Per quanto riguarda la seconda si ha a = 4 > 0 e = 7 < 0 dunque la disequazione non è verificata per nessun x R. Per l ultima abbiamo a = 8 > 0 e = 0. Quindi la disequazione assegnata è verificata solo per x = x 1 = x = 3. 3) x x 3 + x 3 x 4 < 19 1x x 7x + 1 ; Troviamo il m.c.m. dei denominatori x 7x+1 = (x 3)(x 4) m.c.m(x 3, x 4, x 7x+1) = (x 3)(x 4). Si ha (x )(x 4) + (x 3) x (x 3)(x 4) < 0 x 4x x x 6x x (x 3)(x 4) x (x 3)(x 4) Studiamo i singoli fattori < 0 < 0 (x 1)(x + 1) (x 3)(x 4) < 0. x 1 > 0 x > 1; x + 1 > 0 x > 1; 11

12 x 4 > 0 x > 4; x 3 > 0 x > 3. mettendo insieme i risultati ottenuti si ha che la disequazione verificata per 1 < x < 1 e 3 < x < 4. 4) x x + 9 x x > 0. Riducendo allo stesso denominatore si ha x + 4 x x + 5 > 0. Poichè x + 4 > 0 per ogni x IR, dobbiamo studiare x x + 5 > 0. Abbiamo a = 1 > 0 e = 16 < 0; quindi la disequazione considerata è verificata per ogni x IR. 5) x 7 x 6x 1 x < x 1 x 3. Facendo opportuni calcoli otteniamo x 7 (x 3) x(x 1) x(x 3) < 0 x 7 x + 6 x + x x(x 3) < 0 x 1 x(x 3) < 0. Dunque essendo x 1 < 0 per ogni x IR la disequazione è soddisfatta quando x(x 3) > 0 cioè x < 0 o x > Equazioni e disequazioni di grado superiore al Risolvere le seguenti equazioni: 1) x 5 x = 0; x 4 16 = 0; 8x = 0; x 3 1 = 0; Scomponiamo il polinomio in fattori primi: x 5 x = x(x 4 1) = x(x 1)(x + 1) = x(x 1)(x + 1)(x + 1). 1

13 Dunque x 5 x = 0 x = 0 o x = 1 o x = 1. Per la seconda procediamo nello stesso modo, si ha x 4 16 = (x 4)(x + 4) = (x )(x + )(x + 4). L equazione è verificata per x =,. Per la terza usiamo la regola che riguarda la somma di cubi, cioè si ha a 3 + b 3 = (a + b)(a ab + b ), 8x = (x + 3)(4x 6x + 9) = 0 x = 3. Per l ultima si ha x 3 1 = (x 1)(x + x + 1) = 0 x = 1. ) x 4 5x + 4 = 0; (x 3) + x (x ) 3 = 0. Le equazioni assegnate in questo esercizio sono biquadratiche. Poniamo y = x otteniamo quindi y 5y + 4 = 0 y 1, = 5 ± 5 16 y 1 = 1 e y = 4. = 5 ± 3, Perciò l equazione di partenza è verificata per x = ±1 o x = ±. Per la seconda si ha x x + x 4 x 3 = 0 x 4 8x + 6 = 0 (x 4 4x + 3) = 0 x 4 4x + 3 = 0. Procedendo come prima, ponendo x = y e risolvendo l equazione di secondo grado otteniamo y = 3 e y = 1. Dunque l equazione assegnata è verificata per x = ± 3 e x = ±1. 13

14 3) x 4 + x 3 + x 9x(x + ) = (x 18)(x + ) + x. x + x + Moltiplichiamo entrambi i membri per x +, e ponendo x, otteniamo x 4 + x 3 + x 9x 18x = x 3 + 4x 18x 36 + x x 4 13x + 36 = 0. Anche in questo caso poniamo y = x, abbiamo y 13y + 36 = 0 (y 9)(y 4) = 0 y = 4 o y = 9, che implica x = ±3 o x = ±, ma la soluzione x = non va accettata avendo posto x. 4) (x x+1) (x x+1) = 0; (x 1) 4 10(x 1) +9 = 0. Per quanto riguarda la prima equazione poniamo y = x x + 1, si ha y y = 0 (y )(y + 1) = 0 y = o y = 1. Dunque x x + 1 = 1 x x + = 0 che non è verificata da nessuna x IR; x x + 1 = x x 1 = 0 x 1, = ± = = ± = 1 ±. Nella seconda poniamo x 1 = y si ha y 4 10y + 9 = 0, questa è una biquadratica, dunque procedendo come nei casi precedenti si ottengono quattro soluzioni y = ±1, ±3. Dunque y = 3 x 1 = 3 x = x = ± ; 14

15 y = 3 x 1 = 3 x =, che non è mai verificata; y = 1 x 1 = 1 x = 1 x = ±1; e y = 1 x 1 = 1 x = 0 x = 0. Risolvere le seguenti disequazioni: 1) x 4 10x + 9 > 0; 5x 3 1x 1x + 5 0; x 4 6x + 5 < 0. Poniamo y = x, si ha y 10y + 9 > 0 (y 9)(y 1) > 0 (x 9)(x 1) > 0 (x 3)(x + 3)(x 1)(x + 1) > 0. Studiando i singoli fattori e mettendo insieme i risultati ottenuti si ha che la disequazione considerata è soddisfatta per x > 3, o 1 < x < 1 o x < 3. Per la seconda scomponiamo il polinomio con la regola di Ruffini otteniamo 5x 3 1x 1x + 5 = (x + 1)(5x 6x + 5). Applicando la formula risolutiva a 5x 6x + 5 = 0 troviamo x 1 = 5 e x = 1, dunque studiare la disequazione assegnata equivale a studiare 5 la seguente ( (x + 1)(x 5) x 1 ) 0 5 che è verificata per 1 x 1 o x 5. Nell ultima poniamo y = x 5 si ha y 6y + 5 < 0 (y 5)(y 1) < 0 (x 5)(x 1) < 0 (x 5)(x + 5)(x 1)(x + 1) < 0 che è verificata per 5 < x < 1 o 1 < x < 5. 15

16 ) 3) Poniamo y = x abbiamo x 4 8x 9 x + 5 > 0. y 8y 9 = (y 9)(y+1) (x 9)(x +1) = (x 3)(x+3)(x +1). Dunque la disequazione diventa (x 3)(x + 3)(x + 1) (x + 5) > 0. Studiando i singoli fattori e mettendo insieme i risultati ottenuti otteniamo i seguenti risultati 5 < x < 3 o x > 3. x 3 3x 3x + < 0. x Applicando la regola di Ruffini si ha x 3 3x 3x + = (x + 1)(x 5x + ) = (x + 1)(x ) ( x 1 ). Anche in questo caso studiando i singoli fattori della frazione e vedendo quando uno è positivo e l altro è negativo o viceversa, si ottiene che la disequazione è verificata quando 1 < x < 0 o 1 < x <. 4) x 4 5x 3 + 5x x 3 3x 3x + 0. Scomponiamo numeratore e denominatore applicando la regola di Ruffini si ha x 4 5x 3 +5x = (x 1)(x 3 3x 3x+) = (x 1)(x+1)(x 5x+) = = (x 1)(x + 1) (x 5 ) ( x + 1 = (x 1)(x + 1)(x ) x 1 ) e ( x 3 3x 3x + = (x + 1)(x ) x 1 ). Dunque facendo le opportune semplificazioni e ponendo x 1,, 1 otteniamo x 0 x 1 ma x 1,. 16

17 1.4 Sistemi di equazioni e disequazioni Risolvere i seguenti sistemi di equazioni: 1) (x 3y) 4x(x + 1) = 3y(3y 4x + 1) 7 3x y = 1 Facendo opportuni calcoli si ha 4x 3y = 7 3x y = 1 Applichiamo il metodo della sostituzione abbiamo 4x 3y = 7 x = y ( y + 3 3) 1 3y = 7 x = y y 4 3y = x = y y 4 = 1 x = y y = 17 x = y

18 y = 1 x = + 1 = ) 1 x + 4 = 1 1 y 5x 1 + 3y = 1 Ponendo x 4 e y 1, 1 e facendo le opportune semplificazione 3 otteniamo 1 y (x + 4)(1 y) = x + 4 (x + 4)(1 y) 5x 1 + 3y = 1 + 3y 1 + 3y 1 y = x + 4 5x = 1 + 3y Applichiamo il metodo del confronto abbiamo x = 3 y x = 3y y = 3y x = 3 y 15 5y = 3y + 1 x = 3 y 18

19 8y = 16 x = 3 y y = x = 3 + = 1 3) x 1 y = 1 y + = x. Poniamo y 0 e applichiamo il metodo della sostituzione abbiamo x 1 = y x = y + 1 y + = x y + = 4y + x = y + 1 3y = 0 y = 0 x = 1 Tale soluzione non può essere accettata poichè abbiamo posto y 0, dunque tale sistema non ammette soluzioni. 4) x + y = 4 x + y 3x + y 8 = 0. Ricaviamo dalla prima equazione la y e sostituiamo nella seconda in modo da avere un equazione di secondo grado in x. Si ha y = 4 x y = 4 x x + (4 x) 3x + 4 x 8 = 0 x + (16 + 4x 16x) 5x 4 = 0 19

20 y = 4 x y = 4 x x x 3x 5x 4 = 0 9x 37x + 8 = 0 Abbiamo le seguenti coppie di soluzioni x 1 = 1 x = 8 9 y 1 = 4 = y = = ) x x + y + y x y = 4x x y x + 3y = 6. Applicando il metodo della sostituzione e ponendo y ±x si ha x(x y)+y(x+y) 4x = (x+y)(x y) (x+y)(x y) x xy + xy + y = 4x x = 6 3y x = 6 3y (6 3y) + y = 4(6 3y) x = 6 3y 4y 8 3y + 1 = 0 x = 6 3y (y 3) = 0 x = 6 3y y = y 1 3y + y = 4 4 3y x = 6 3y y 3y + 3 = 0 x = 6 3y x = = 6 3 = 3. 0

21 Risolvere i seguenti sistemi di disequazioni: 1) x + 5 > x 7 Abbiamo x + 1 < 3 x > 1 x < Entrambe le disequazioni sono verificate quando 1 < x <, dunque per questi valori della x il sistema ha soluzioni. ) x 1 x + 8 > 0 x + 7 > x 3 Risolvendo le due disequazioni separatamente otteniamo x < 8 o x > 1 x > 10 Dunque il sistema è verificato quando 10 < x < 8 o x > 1. 3) 14 x + < 0 (x + 10)(8 x) > 0 14 x 0 18 Studiamo le singole singole disequazioni 14 x + < 0 x + < 0 x <. 1

22 (x + 10)(8 x) > 0 x > 10 x < 8 x + 10 > 0 8 x > 0 x < 10 x > 8. x + 10 < 0 8 x < < x < 8. Per la terza si ha 14 x 0 x Le tre disequazioni considerate sono verificate contemporaneamente quando 10 < x <, queste sono le soluzioni del sistema. 4) x x 3 > 0 x + Abbiamo (x 3)(x + 1) > 0 (x+1) < 1 < 1. x > 3 o x < 1 x < 0. Quindi il sistema ha soluzioni quando x < 1. 5) 1 x > 1 x 3 x + 3x 1 < 0 x 6x + 5 > 0. x Studiamo le singole disequazioni: 1 x > 1 x 3 x 3 x x(x 3) > 0

23 3 > 0 x(x 3) < 0 0 < x < 3. x(x 3) Per la seconda applichiamo la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado, otteniamo x 1, = 3 ± = 3 ± 1 4 x 1 = 1 e x = 1. Ora poichè a = < 0 e > 0, le soluzioni della disequazione considerata sono x < 1 o x > 1. La terza è verificata per 0 < x < 1 e x > 5. Dunque il sistema è verificato quando x (0, 1). 1.5 Equazioni e disequazioni irrazionali Ricordiamo che risolvere l equazione irrazionale A(x) = B(x) equivale a risolvere il seguente sistema A(x) = B (x) A(x) 0 B(x) 0 A(x) = B (x) B(x) 0 Risolvere le seguenti equazioni: 1) x x = x + 1. Risolviamo il seguente sistema: x x = (x + 1) x x = 1 x 1 x x = x + x + 1 x x = 1 3 x 1 Dunque l equazione considerata ha la soluzione x =

24 ) x 5 + x 8 x = 0. Abbiamo x 5 + x 8 = x, eleviamo entrambi i membri al quadrato otteniamo x 5+x 8+ (x 5)(x 8) = x (x 5)(x 8) = x+13. Elevando nuovamente al quadrato entrambi i membri si ha 4(x 5)(x 8) = x x 4x 3x 0x+160 = x x 3x 6x 9 = 0 x 1 = 1 3 e x = 9. La prima soluzione non può essere accettata poichè tutte e tre le radici contemporaneamente sono ben definite quando x 8. Dunque abbiamo un unica soluzione x = 9. 3) x = 0. Abbiamo x 1 = 5, dunque non esiste x IR che verifica equazione considerata. 4) x x = 7. Per quest ultima risolviamo il seguente sistema: x + 1 = (7 x) x + 1 = 49 + x 14x 7 x 0 x 7 x 16x 48 = 0 x 7 x 1 = 1 e x = 4 x 7. Quindi l equazione considerata ha un unica soluzione x = 4. 4

25 Ricordiamo che risolvere la seguente disequazione irrazionale A(x) B(x) equivale a risolvere il seguente sistema A(x) B (x) B(x) 0 A(x) 0 B(x) < 0 mentre A(x) B(x) equivale a A(x) B (x) A(x) 0 B(x) 0 Risolvere le seguenti disequazioni: 1) 5 x x 1. Dobbiamo risolvere il seguente sistema 5 x (x 1) 5 x x + 1 x 5 x 0 5 x +5 x 1 0 x 1 x x 4 0 x 4 o x 3 5 x +5 5 x +5 x 1 x 1. Dunque la disequazione è verificata per 4 x 5. ) x 3x + x. Le soluzioni della disequazione si trovano risolvendo i seguenti sistemi: x 3x + x x 3x + 0 x 0 x < 0 5

26 x 3 x 0 x o x 1 x < 0 Quindi la disequazione è verificata per x 3. 3) x x + 8 x + 6. Risolviamo il sistema: x x + 8 (x + 6) x x + 8 x x x x x IR x x 6 14x 8 x x IR x IR x 6 x 6. Dunque la disequazione è verificata per x. 4) 9 x x + 1 > x 3. Tale disequazione è equivalente ai sistemi 9 x x+1 > (x 3) x x x+1 0 x 3 < 0 9 x x+1 (x + 9 6x) > 0 x 3 x 3 +5x 4x x+1 > 0 x 3 1 < x < 0 o 1 < x < 4 x 3 1 < x 9 x < 3 1 < x 9 x < 3 1 < x 9 x < 3 Dunque la disequazione è verificata per x [3, 4) ( 1, 3) = ( 1, 4). 6

27 1.6 Equazioni e disequazioni in modulo Risolvere le seguenti equazioni: 1) x + 8 = ; 3 x = 5. Per la prima dobbiamo risolvere le seguenti equazioni e x + 8 = x = 6, (x + 8) = x = 10; Abbiamo due soluzioni x = 6 e x = 10. Per la seconda si hanno le seguenti soluzioni: e 3 x = 5 x = 3 + x = 5 x = 8. ) x x + 1 Si ha x x + 1 = 4 x 4x 4 = 0 x + 1 5x = x = 5 e + x + x 4x 4 = 4 = 0 x + 1 x + 1 3x = 6 x =. 3) x 5x = 6. Risolviamo le due equazioni di secondo grado Per la prima si ha x 5x 6 = 0 e x + 5x 6 = 0. x 1, = 5 ± = 5 ± 49 = 5 ± 7 e cioè x 1 = 6 e x = 1. Per la seconda abbiamo e cioè x 1 = 3 e x =. x 1, = 5 ± = 5 ± 1

28 4) x 3x = x; x + 5x = 6x. Per la prima poniamo x 0 e risolviamo le seguenti equazioni x 3x = x x(x 4) = 0 x = 0 o x = 4 e x + 3x = x x(x ) = 0 x = 0 o x =. Abbiamo dunque tre soluzioni x = 0,, 4. Risolvere le seguenti disequazioni: 1) x + 3x 8 > ; 5 x + x < 4. Poichè x > 0 per ogni x IR \ 0} e x = 0 x = 0 si ha che la prima disequazione è verificata per ogni x IR mentre la seconda non ha soluzioni. ) x + 4 x > 5. Dobbiamo ri solvere due disequazioni Per la prima si ha x + 4 x > 5 e x + 4 x < 5. Per la seconda x + 4 5x x x x x > 0 0 < x < 1 o x > 4. < 0 x < 4 o 1 < x < 0. 3) x 5x 6 > 0. 8 x Studiamo numeratore e denominatore separatamente abbiamo x 5x > 6 8

29 che equivale a risolvere le due disequazioni e x 5x 6 > 0 (x 6)(x + 1) > 0 x > 6 o x < 1 x 5x + 6 < 0 (x 3)(x ) < 0 < x < 3. Per il denominatore si ha 8 x > 0 x < 8. Mettendo insieme i risultati ottenuti si ha che la disequazione assegnata è verificata per x < 1 o < x < 3 o 6 < x < 8. 4) x > x ; x + 1 < x + 1. Poichè x 0 per ogni x IR risolviamo le seguenti disequazioni x + x > 0 x IR e x + x < 0 < x < 1. 9

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