n=0 a n è convergente. x 2

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1 MATERIALE PROPEDEUTICO ALLE LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA PER I CORSI DI LAUREA IN INGEGNERIA ENERGETICA E MECCANICA N-Z DELL UNIVERSITÀ DI BOLOGNA ANNO ACCADEMICO 23/24 DOCENTE: FAUSTO FERRARI Esercizi estratti dalle prove intermedie degli anni precedenti del Prof E Obrecht Integrale generalizzato Serie Calcolo differenziale) ESERCIZIO Sia + n= a n una serie a termini reali positivi Dire quale delle seguenti a) se + allora la successione {a n } n N è decrescente b) se a n c) se a n = o ) d) se n + n2 a n 3 ESERCIZIO 2 3x α ) a) 2 + ) b) R + c) + ) d) ) ESERCIZIO 3 vx y) = e 3xy xy 3 y 3 ) + y 2 Calcolare la matrice jacobiana e il differenziale di v nel punto 2) ESERCIZIO 4 Siano f g C R; R) e poniamo h : R R hx) = gx) ft) dt Dire quale delle seguenti a) se g C ) R; R) allora h C ) R; R) b) se f non è derivabile allora h non è derivabile c) se f C ) R; R) allora h C ) R; R) d) se h C ) R; R) allora f C ) R; R) ESERCIZIO 5 Siano f f 2 C ) R 2 ; R ) e poniamo w : R 3 R wx y z) = f xy + cosxy) f 2 y z)) Calcolare w x y z ) dove x y z ) R 3 ESERCIZIO 6 Facoltativo Il candidato svolga il seguente esercizio in dettaglio in un foglio allegato Determinare + n= ) n β log α n 2 + )

2 2MATERIALE PROPEDEUTICO ALLE LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA PER I CORSI DI LAUREA IN INGEGNERIA EN ESERCIZIO 7 Sia + n= a n una serie a termini reali positivi Dire quale delle seguenti a) se n + n2 a n 4 b) se a n = o ) c) se a n d) se + allora la successione {a n } n N è decrescente ESERCIZIO 8 cos 3x α ) a) R + b) ) 2 c) 2 + ) d) + ) ESERCIZIO 9 vx y) = e 3xy xy 3 y 3 ) + y 2 Calcolare la matrice jacobiana e il differenziale di v nel punto 2) ESERCIZIO Siano f f 2 C ) R 2 ; R ) e poniamo w : R 3 R wx y z) = f xy + cosxy) f 2 y z)) Calcolare w x y z ) dove x y z ) R 3 a) Siano f g C R; R) e poniamo h : R R hx) = gx) ft) dt Dire quale delle seguenti b) se h C ) R; R) allora f C ) R; R) c) se f non è derivabile allora h non è derivabile d) se f C ) R; R) allora h C ) R; R) e) se g C ) R; R) allora h C ) R; R) ESERCIZIO Sia + n= a n una serie a termini reali positivi Dire quale delle seguenti a) se a n b) se + allora la successione {a n } n N è decrescente c) se a n = o ) d) se n + n2 a n 3 ESERCIZIO 2 Facoltativo Il candidato svolga il seguente esercizio in dettaglio in un foglio allegato Determinare + n= ) n β log α n 2 + )

3 MATERIALE PROPEDEUTICO ALLE LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA PER I CORSI DI LAUREA IN INGEGNERIA EN ESERCIZIO 3 vx y) = e 3xy xy 3 y 3 ) + y 2 Calcolare la matrice jacobiana e il differenziale di v nel punto 2 ) ESERCIZIO 4 Siano f g C R; R) e poniamo h : R R hx) = gx) ft) dt Dire quale delle seguenti a) se f non è derivabile allora h non è derivabile b) se f C ) R; R) allora h C ) R; R) c) se h C ) R; R) allora f C ) R; R) d) se g C ) R; R) allora h C ) R; R) ESERCIZIO 5 Siano f f 2 C ) R 2 ; R ) e poniamo w : R 3 R wx y z) = f xz + xy) f 2 y z)) Calcolare w x y z ) dove x y z ) R 3 ESERCIZIO 6 Sia + n= a n una serie a termini reali positivi Dire quale delle seguenti a) se a n b) se + allora la successione {a n } n N è decrescente c) se n + n2 a n 4 d) se a n = o ) ESERCIZIO 7 vx y) = e 5xy xy 5 y 5 ) + y 2 Calcolare la matrice jacobiana e il differenziale di v nel punto 2) ESERCIZIO 8 2x α ) a) ) b) + ) c) 2 + ) d) R + ESERCIZIO 8 Facoltativo Il candidato svolga il seguente esercizio in dettaglio in un foglio allegato Determinare + n= n β ) log α n 2 + ) a) Sia + n= a n una serie a termini reali positivi Dire quale delle seguenti

4 4MATERIALE PROPEDEUTICO ALLE LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA PER I CORSI DI LAUREA IN INGEGNERIA EN b) se n + n2 a n 3 c) se a n = o ) d) se + allora la successione {a n } n N è decrescente e) se a n ESERCIZIO 9 Siano f g C R; R) e poniamo h : R R hx) = gx) ft) dt Dire quale delle seguenti a) se g C ) R; R) allora h C ) R; R) b) se h C ) R; R) allora f C ) R; R) c) se f non è derivabile allora h non è derivabile d) se f C ) R; R) allora h C ) R; R) ESERCIZIO 2 Siano f f 2 C ) R 2 ; R ) e poniamo w : R 3 R wx y z) = f xz + cosxy) f 2 x y)) Calcolare w x y z ) dove x y z ) R 3 ESERCIZIO 2 vx y) = e 7xy xy 7 y 7 ) + y 2 Calcolare la matrice jacobiana e il differenziale di v nel punto 2 ) ESERCIZIO 22 cos 4x α ) a) R + b) 2 + ) c) + ) d) ) 2 ESERCIZIO 23 Facoltativo Il candidato svolga il seguente esercizio in dettaglio in un foglio allegato Determinare + n= ESERCIZIO 24 ) n β log α n 2 + ) cos 3x α ) a) + ) b) R + c) 2 + ) d) 2) ESERCIZIO 25

5 MATERIALE PROPEDEUTICO ALLE LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA PER I CORSI DI LAUREA IN INGEGNERIA EN Siano f g C R; R) e poniamo h : R R hx) = gx) ft) dt Dire quale delle seguenti a) se h C ) R; R) allora f C ) R; R) b) se f C ) R; R) allora h C ) R; R) c) se g C ) R; R) allora h C ) R; R) d) se f non è derivabile allora h non è derivabile