LIMITI DI FUNZIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti di funzioni cap3a.pdf 1

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1 LIMITI DI FUNZIONI c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti di funzioni cap3a.pdf 1

2 Intorni Def. Siano 0 R e r R +. Chiamiamo intorno di centro 0 e raggio r l intervallo aperto e limitato I r ( 0 ) = ( 0 r, 0 +r) = { R : 0 < r} r ( ) 0 r 0 r 0 +r R Ricordando che 0 = 0 è la distanza di da 0. 0 < r vuol dire che la distanza di da 0 è minore di r, ovvero I r ( 0 ). c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti di funzioni cap3a.pdf 2

3 Famiglia di intorni Se fisso 0 R e faccio variare r R +, ottengo la famiglia degli intorni di centro 0. In particolare se r 1 < r 2 si ha I r1 ( 0 ) I r2 ( 0 ) r 2 r 2 ( ( ) ) R 0 r 1 r1 Def. a R +, chiamiamo intorno di + di estremo inferiore a, l intervallo aperto e superiormente illimitato I a (+ ) = (a,+ ) = { R : > a} ( a R Analogamente, l intorno di di estremo superiore a è I a ( ) = (, a) = { R : < a} ) a R c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti di funzioni cap3a.pdf 3

4 Intorni destri e sinistri Def. Intorno sinistro di centro 0 e raggio r > 0 è l intervallo semiaperto a sinistra e limitato I r ( 0) = ( 0 r, 0 ] r 0 r 0 Def. Intorno destro di centro 0 e raggio r > 0 è l intervallo semiaperto a destra e limitato I + r ( 0 ) = [ 0, 0 +r) r 0 0 +r c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti di funzioni cap3a.pdf 4

5 Punto di accumulazione Def. Sia A R. Diciamo che 0 R è un punto di accumulazione per A se in ogni intorno di 0 cade almeno un punto di A diverso da 0. A 0 0 è punto di accumulazione per A A 0 0 è punto di accumulazione per A A 0 NON è punto di accumulazione per A 0 R R R c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Punto di accumulazione cap3a.pdf 5

6 Punto di accumulazione A 0 0 è punto di accumulazione per A A 0 0 è punto di accumulazione per A A 0 NON è punto di accumulazione per A 0 R R R Se A = (a,b) è un intervallo aperto di R, allora tutti i punti di accumulazione per A sono in [a,b]. Se A = [a,b] è un intervallo chiuso di R, allora tutti i punti di accumulazione per A sono in [a,b]. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Punto di accumulazione cap3a.pdf 6

7 Se A R, allora un qualsiasi punto 0 R (finito o infinito) è di accumulazione per R. Sia A = N. L unico punto di accumulazione per N è + (Def. Sia A R. Diciamo che 0 R è un punto di accumulazione per A se in ogni intorno di 0 cade almeno un punto di A diverso da 0.) Consideriamo n = 4. Possiamo costruire molti intorni I r (4) che contengono altri numeri naturali, ad esempio: n = 4 I r (4) con r = 1.5 R ma anche altrettanti intorni I r (4) che non contengono alcun altro numero naturale oltre a n = 4, ad esempio: n = 4 I r (4) con r = 0.5 R c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Punto di accumulazione cap3a.pdf 7

8 Punti di accumulazione e punti isolati CONCLUSIONE: n = 4 non è di accumulazione per N. n N, n non può essere di accumulazione per N. Def. Un punto di A R che non è di accumulazione per A è detto punto isolato. Esempio A = (0,1) {2} (2.5,6). = 2 è un punto isolato in A R Quindi: tutti i numeri naturali sono punti isolati in N, l unico punto di accumulazione per N è +. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Punto di accumulazione cap3a.pdf 8

9 Esempio. Sia f() = log(). Determinare l insieme dei punti di accumulazione del dominio di f. A = dom(f) = (0,+ ). L insieme dei punti di accumulazione di A è [0,+ ] = f() = log() c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Punto di accumulazione cap3a.pdf 9

10 Limiti di funzione Sia f : R R, = f(). Sia 0 un punto di accumulazione per dom(f). Scrivere 0 vuol dire che stiamo prendendo dei punti in un intorno di 0 via via sempre più vicini a 0, sia da destra che da sisnistra e si dice tende a = = f() = log() to0 dinamico.m c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Punto di accumulazione cap3a.pdf 10

11 Mi interessa sapere come si comporta la funzione f() (ovvero come si comportano i valori = f()) quando limite= = Paola Gervasio limite log dinamico.m = f() = log() c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Punto di accumulazione cap3a.pdf 11

12 Altri esempi. 2 1 limite= inf =0 3 =f()=log() Paola Gervasio Per 0 + (cioè 0 da d), f() = log() limite log 0 dinamico.m c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Punto di accumulazione cap3a.pdf 12

13 Altri esempi = f() = sin()/ 1 limite= dom(f) = (,0) (0, ). f() non è definita in 0 = 0, tuttavia posso vedere come si comporta f() quando 0. Per 0, f() = sin() 1 limite sinsu dinamico.m c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Punto di accumulazione cap3a.pdf 13

14 { ( 1) g() = 2 +2 < 1 +2 > 1, non è definita in 0 = limite s= limite d= Paola Gervasio Per 0 +, g() 1, per 0 (cioè 0 da s), g() 2. limite fsalto dinamico.m c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Punto di accumulazione cap3a.pdf 14

15 Altri esempi. Posso anche chiedermi come si comporta f() quando =f()=sqrt() Per +, f() = + limite sqrt infinito.m c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Punto di accumulazione cap3a.pdf 15

16 Altri esempi. Mi chiedo come si comporta g() = sin(2π) quando = g() = sin(2π) Per +, g() non tende ad alcun valore, ma continua ad oscillare limite sin infinito.m c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Punto di accumulazione cap3a.pdf 16

17 Sia f() = sin() definita in A = ( 2π,0) {π/2} (π,2π). 0 = π/2 è punto isolato per A. Non ha senso chiedersi cosa succede alla funzione quando π/2 perchè f non è definita in un intorno di 0 = π/2 2 0 = π/2 punto isolato in A = ( 2π,0) {π/2} (π,2π) 1.5 f() = sin() in A Qui non posso valutare f() Non ha senso calcolare lim f() π/ CONCLUSIONE: ha senso studiare il comportamento di f() per 0 solo se 0 è un punto di accumulazione per il dom(f). limiti7.m c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Punto di accumulazione cap3a.pdf 17

18 Limite di funzione al finito Sia f una funzione definita in un intorno di 0 R tranne eventualmente nel punto 0. (cioè 0 è punto di acc. per dom(f)) Def. Si dice che f ha limite finito l R (o tende ad l) per tendente a 0 e si scrive lim f() = l 0 se ε > 0, δ > 0 : dom(f) : 0 < 0 < δ f() l < ε. l+ε f() l l ε = f() 0 δ 0 +δ 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti di funzioni cap3a.pdf 18

19 N.B. Mi disinteresso del valore di f() nel punto 0. Nel punto 0 la f potrebbe assumere qualsiasi valore o potrebbe non essere definita (cioè 0 può non appartenere a dom(f)). Sto guardando cosa succede per molto prossimo a 0. Secondo la terminologia degli intorni la definizione di lim 0 f() = l è: I ε (l) I δ ( 0 ) : dom(f) I δ ( 0 )\{ 0 } f() I ε (l) La def. data prima si può anche scrivere come segue: ε > 0, δ > 0 : dom(f) : 0 < 0 < δ f() l < ε c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti di funzioni cap3a.pdf 19

20 Limite destro e limite sinistro Consideriamo la funzione: { se 0 f() = +1 se > 0 dom(f) = R 1 f() Per 0 le ordinate = f() tendono a 0, per 0 + le ordinate = f() tendono a 1 cosa è lim 0 f()? Non si può parlare di lim 0 f(). Bisogna specificare se 0 (da sinistra) o 0 + (da destra). limite def.m c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti di funzioni cap3a.pdf 20

21 Limite sinistro Def. Sia f una funzione definita in un intorno sinistro di 0, tranne eventualmente in 0 ( 0 è punto di accumulazione per dom(f)). f ha limite sinistro in 0 uguale a l se lim 0 f() = l ε > 0 δ > 0 : dom(f), 0 < 0 < δ f() l < ε oppure se I ε (l) I δ ( 0) : dom(f), I δ ( 0)\{ 0 } f() I ε (l) L intorno completo I δ ( 0 ) della definizione originaria di limite è qui sostituito dall intorno sinistro I δ ( 0). c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti di funzioni cap3a.pdf 21

22 Limite destro Def. Sia f una funzione definita in un intorno destro di 0, tranne eventualmente in 0 ( 0 è punto di accumulazione per dom(f)). f ha limite destro in 0 uguale a l se lim + 0 f() = l ε > 0 δ > 0 : dom(f), 0 < 0 < δ f() l < ε oppure se I ε (l) I + δ ( 0) : dom(f), I + δ ( 0)\{ 0 } f() I ε (l) c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti di funzioni cap3a.pdf 22

23 Proposizione Sia f una funzione definita in un intorno di 0 R, tranne eventualmente nel punto 0 (cioè 0 è punto di accumulazione per dom(f)). La funzione f ha limite l R per 0 se e solo se esistono e sono uguali ad l il limite destro ed il limite sinistro di f in 0, ovvero: lim 0 f(), lim + 0 lim f() = l 0 f() e lim 0 f() = lim + 0 f() = l c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti di funzioni cap3a.pdf 23

24 Esempio. La funzione ha: lim 0 f() = { se 0 +1 se > 0 = 0 lim = 1 lim f() +f() f() 0 0 Abbiamo limite destro, limite sinistro, ma non esiste il limite completo c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti di funzioni cap3a.pdf 24

25 Limiti di funzioni a + Consideriamo una funzione = f() reale a variabile reale, di dominio D R. Sia f definita in un intorno di + (cioè + è punto di accumulazione per dom(f)). Def. La funzione f tende al limite l R per tendente a + e si scrive se (con ε,b R) lim f() = l, + I ε (l), I B (+ ) : dom(f), I B (+ ) f() I ε (l), oppure: ε > 0, B 0 : dom(f) con > B f() l < ε, c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti di funzioni cap3a.pdf 25

26 Sia ancora f definita in un intorno di +. Def. La funzione f tende al limite + per tendente a + e si scrive se (con A,B R) lim f() = +, + I A (+ ), I B (+ ) : dom(f), I B (+ ) f() I A (+ ) oppure A > 0, B 0 : dom(f) con > B f() > A, c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti di funzioni cap3a.pdf 26

27 Sia ancora f definita in un intorno di +. Def. La funzione f tende al limite per tendente a + e si scrive se (con A,B R) lim f() =, + I A ( ), I B (+ ) : dom(f), I B (+ ) f() I A ( ) oppure: A > 0, B 0 : dom(f) con > B f() < A, c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti di funzioni cap3a.pdf 27

28 Sia f una funzione definita in un intorno di. lim f() = l lim f() = + lim f() = c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti di funzioni cap3a.pdf 28

29 lim f() = l I ε (l) I B ( ) : dom(f) I B ( ) f() I ε (l) lim f() = + I A (+ ) I B ( ) : dom(f) I B ( ) f() I A (+ ) lim f() = I A ( ) I B ( ) : dom(f) I B ( ) f() I A ( ) c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti di funzioni cap3a.pdf 29

30 Limiti di funzioni monotone Teorema. Sia f una funzione definita e monotona in un intorno destro I + ( 0 ) del punto 0 R, escluso al più il punto 0 stesso. Allora esiste finito o infinito lim f() e precisamente si ha: + 0 lim + 0 f() = { inf{f() : I + ( 0 ), > 0 } se f è crescente sup{f() : I + ( 0 ), > 0 } se f è decrescente = 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti di funzioni cap3a.pdf 30

31 Limiti di funzioni monotone Teorema. Sia f una funzione definita e monotona in un intorno sinistro I ( 0 ) del punto 0 R, escluso al più il punto 0 stesso. Allora esiste finito o infinito lim f() e precisamente si ha: 0 lim 0 { sup{f() : I f() = ( 0 ), < 0 } se f è crescente inf{f() : I ( 0 ), < 0 } se f è decrescente 1 0 = 0 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti di funzioni cap3a.pdf 31

32 Riferimenti bibliografici Canuto-Tabacco: Sect. 3.1, 3.3.1, 3.3.3, Esercizi Si considerino le funzioni elementari viste finora, valutare graficamente i limiti di tali funzioni agli estremi del dominio. Esempio Sia = f() = 1/. dom(f) = (,0) (0, ). Bisogna valutare lim f(), lim lim 0 f(), 0 +f() e lim f() + osservando il grafico di f(). c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti di funzioni cap3a.pdf 32

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