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1 Corso di Aggiornamento per Geometri su Problematiche Strutturali Calcolo agli Stati Limite Aspetti Generali 18 novembre 005 Dr. Daniele Zonta Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Strutturale Università di Trento Riferimenti Iconografici [1] Massonet Ch., Save M., "Calcolo Plastico a rottura delle costruzioni", Clup, [] Ballio G., Mazzolani M., "Strutture in acciaio", HOEPLI, [3] Toniolo G. "Cemento armato. Calcolo agli stati limite (/1)", a Ed., Zanichelli, [4] Leonhardt F., Mönnig E., "C.a. & c.a.p.", Vol. I: "Le basi del dimensionamento nelle costruzioni in cemento armato", Ed. di Scienza e Tecnica, Milano, [5] Leonhardt F., Mönnig E., "C.a. & c.a.p.", Vol. III: "L armatura nelle costruzioni in cemento armato; statica, tecnologia, tipologia", Ed. di Scienza e Tecnica, Milano, [6] Eurocodice - Progettazione delle strutture di calcestruzzo, Parte 1-1: Regole generali e regole per gli edifici, ENV

2 Sommario Il metodo delle tensioni ammissibili Limiti del metodo alle tensioni ammissibili Il metodo semiprobabilistico agli SL nella normativa italiana La combinazione delle azioni La resistenza dei materiali SL per sforzo assiale nel cemento armato Verifica di una struttura Verificare una struttura o un elemento strutturale significa valutare se, per effetto di eventi (azioni) che possono influire sul suo stato (di tensione, di deformazione, di conservazione...), si possa raggiungere una situazione: inacettabile per la sicurezza (pericolosa) inacettabile per l'utilizzo (non funzionale) Questo stato di inacettabilità è detto Stato Limite

3 Il metodo delle Tensioni Ammissibili Nel metodo delle Tensioni Ammissibili questa verifica è fatta in termini di tensione Si ritiene critico (inacettabile) il raggiungimento della tensione di snervamento della struttura f y (si fa riferimento ad uno stato limite elastico) Si inserisce un coefficiente di sicurezza sulla resistenza del materiale I carichi sono considerati agenti con il loro valore nominale nella combinazione più sfavorevole La tensione è calcolata utilizzando un modello elastico Il metodo delle Tensioni Ammissibili σ ( ) σ F k S R f yk σ F k G k + n f Q yk ki σ i 1 γ

4 Limiti Esempio del metodo 1: delle Tensioni Ammissibili 1. Non tutte le condizioni critiche dipendono dalla resistenza del materiale: 1. Deformazione. Equilibrio 3. Durabilità.... Anche quando la condizione critica dipende dalla resistenza del materiale, non sempre dipende dalla tensione (dipende dal meccanismo di rottura). 3. Le combinazioni di carico previste dal metodo delle TA non garantiscono un uguale livello di sicurezza per tutte le condizioni critiche. Limiti di deformabilità CNR 10011/85 le frecce degli elementi delle strutture edilizie devono essere contenute quanto è necessario perchè non ne derivino danni alle opere complementari in genere ed in particolare alle murature di tamponamento e ai relativi intonaci. Indicativamente: travi di solai: la freccia dovuta al solo sovraccarico fq<l/400 travi caricate direttamente o indirettamente da muri o da pilastri: la freccia totale f<l/500 sbalzi: si assume una luce pari a due volte la lunghezza dello sbalzo arcarecci e elementi inflessi dell'orditura minuta delle coperture: freccia totale f<l/00

5 Esempio: 1: Stato Limite di deformazione Q L M Q L 3 σ σ 1 QL L f W 4W 48 EJ 400 Q 4W σ L lim, σ 8J σ hl h 16 per Fe430 Q E h L lim, f 3 Qlim, σ 00 σ L h 46 per Rck300 L 48EJ Q f 400L lim, 0. 1 EJ L Esempio: 1: Stato Limite di ribaltamento Q b Qh G h G b/ O b G M G γ 1.5 M Qh Q

6 Instabilità dell'equilibrio N L 3. 10m L80 8 A 1.3cm i 1. 56cm L λ i 198 L Nω σ σ A adm Fe360 ω N adm σ adm A ω N adm 35850N 5.49 N Fe430 ω 6. 3 π EA N cr λ N adm 36970N 6.3 Legge costitutiva degli acciai da carpenteria Fe510 Fe430 Fe360 [3]

7 Prova di Trazione [] [] [1] Legge costitutiva degli acciai da carpenteria Fe510 Fe430 Fe360 [3]

8 Comportamento Esempio 1: plastico di una struttura isostatica F L Af y x F Lε y Lε t x Comportamento Esempio 1: plastico di una struttura iperstatica k1 F F 1 F k + k 3 1 F L k F F k + k 1 L/ F 3 Af y 3 Af y x F EA k 1 L k EA L L ε y Lε y L ε t x

9 Esempio 1: Coefficienti di sicurezza φ0 314 Fe360 f y 35MPa A 1 mm σ MPa adm 160 L Fadm Aσ adm 50. 4kN L 3 Fadm Aσ adm kN FR Af y kN L/ FR Af y kN x F F γ F R adm f σ y adm 1.47 x F F γ F R adm 4 f y 3 σ adm 1.95 Comportamento Esempio plastico 1: di una struttura a livello di sezione bh M f W 6 e y e f y bh M f W 4 e y p f y [1]

10 Legge Momento-Curvatura Esempio 1: per diverse sezioni bh W e 6 [1] bh W p 4 Legge Momento Esempio 1: Curvatura per un profilo HE [1]

11 Esempio 1: Riserva plastica di un profilo HE HE40B [1] W W xe xp 938cm S W α W xp xe M γ M R adm x cm 1.1 f ywxp σ W adm xe W ye 37cm be 3 Wyp 489cm 4 Wyp α 1.50 W ye M γ M R adm 3 f ywyp σ W adm ye.0 Esempio 1: Concetto di cerniera plastica [1]

12 Esempio 1: Concetto di cerniera plastica [1] Effetto della Esempio plasticità 1: sul livello di sicurezza []

13 Esempio 1: Riserva plastica di una struttura iperstatica [1] Pl γ P adm Pl γ P adm 16 M 1 M R adm 16 M 1 M R adm 16 f ywxp 1 σ W adm xe 16 f ywyp 1 σ W adm ye Esempio 1: Meccanismo plastico di rottura [1]

14 Esempio 1: Meccanismi plastici di rottura [] Esempio 1: Interazione taglio-momento []

15 Esempio 1: Interazione taglio-momento [] Esempio 1: Pressoflessione plastica []

16 Esempio 1: Esempio Esempio 1: Stato Limite Elastico L/ Q L M y M y M y M y f W y e M y Q L y 8 Q 8 f W y e y kn L

17 Esempio 1: Formazione della cerniera plastica x G G σ p σ p τ p φ A W p Esempio 1: Formazione del meccanismo plastico L L/ Q M p M p M p T p T p 8 L Q M p p p p Q T p p p p p W L Q W M 8 σ A Q A T p p p τ 3 p p y f τ σ A W L Q f p p y A W L f Q p y p 3.01kN

18 Esempio 1: Meccanismo post critico L(1+ε u ) Q u L a ε a N u L/+δ/ N u N t f A t N u L a L δ L ( 1+ ε ) ( ε + ε ) L δ δ + Q u a L u ( 1+ ε ) u N t kn Esempio 1: Tensioni ammissibili nel cls Rck (kg/cm) Flessione o pressoflessione Travi - solette - pilastri Flessione o pressoflessione Travi con soletta s>5 cm Fless. o pressofl. solette s<5 cm Compress. media pilastri s>5 cm Compress. media pilastri s0 cm Compress. media pilastri s15 cm Compress. media pilastri s10 cm τco τc1 (solo taglio) τc1 (taglio + torsione)

19 Comportamento al taglio delle travi in C.A. Formula di Jourawski VS τ Ib Sezione omogeneizzata stato I non fessurato [3] me s /E c I i, S i caratteristiche ideali Il massimo valore si raggiunge di norma sulla corda baricentrica. τ V S I b i i V zb con Ii z S i braccio della coppia interna La fessurazione della trave [3] [3]

20 Comportamento al taglio delle travi in C.A. stato II fessurato [3] La tensione tangenziale rimane costante su tutta la zona fessurata del calcestruzzo. V τ zb Comportamento al taglio delle travi in C.A. [4] [4] [4]

21 Esempio 1: Effetto della combinazione dei carichi [] Esempio 1: Effetto della combinazione dei carichi Q b Qh G G Aσ t h G G A + Qh W σ t b/ O Wσ t h Q

22 Esempio 1: Effetto della combinazione dei carichi N N N ( g) () s ( w) 100kN 00kN 10kN [] N N t c 450kN 50kN N N ( g) + N( s) ( w) N( g) /1.5 N( w) N( g) 1.5* /1.5 Esempio 1: Definizione di Stato Limite Si definisce Stato Limite uno stato raggiunto il quale, la struttura o uno dei suoi elementi costitutivi, non può più assolvere la sua funzione o non soddisfa più le condizioni per cui è stata concepita. Gli stati limite si suddividono in due categorie: a) Stati Limite Ultimi, corrispondenti al valore estremo della capacità portante o comunque al raggiungimento di condizioni estreme; b) Stati Limite di Esercizio, legati alle esigenze di impiego normale e di durata.

23 Esempio 1: Esempi di Stato Limite Ultimo - perdita di equilibrio di una parte o dell'insieme della struttura, considerata come corpo rigido; - rottura localizzata della struttura, per azioni statiche; - collasso per trasformazione della struttura o di una sua parte in meccanismo; - instabilità per deformazione; - rottura localizzata della struttura per fatica; - deformazione plastica o di fluage, o fessurazione o scorrimento di giunti che conducano ad una modifica della geometria, tale da rendere necessaria la sostituzione della struttura o di sue parti fondamentali; - degrado o corrosione che rendano necessaria la sostituzione della struttura o di sue parti fondamentali. [1] Esempio 1: Esempi di Stato Limite Ultimo []

24 Esempio 1: Esempi di Stati Limite di Esercizio - deformazioni eccessive; - fessurazioni premature o eccessive; - degrado o corrosione; - spostamenti eccessivi (senza perdita dell'equilibrio); - vibrazioni eccessive. Affidabilità strutturale Lo stato di sicurezza di una struttura può essere definito in relazione ad una capacità R e una domanda S. La struttura è affidabile quando ZR-S<0 R Z>0 ZR-S0 R e S sono variabili aleatorie. Z è detta funzione stato limite. Z<0 Il problema di base dell'affidabilità strutturale è calcolare la probabilità di collasso cioè la probabilità per cui Z<0. s

25 Basi Esempio probabilistiche 1: della verifica di resistenza [1] Probabilità di collasso P F Se la resistenza R è deterministica: PF P R < S f R ( r ) dr F R ( S Se R e S sono entrambi aleatori: P F oppure: P F f S s ( s ) f R ( r ) dr ds F R ( s ) f S ( s ) ds ( R < S ) f ( s ) ds 1 - F ( R ) PF P S f R R Se la sollecitazione S è deterministica: S ( ) ) ( r ) f S ( s ) ds dr f R ( r ) [ 1 - F S ( r )] ds r 0 S

26 Indice di affidabilità β Se le variabili aleatorie R e S hanno distribuzioni normali, la variabile aleatoria Z R-S avrà anch essa una distribuzione normale con: Z m R m S m ; σ z σ R + σ S Viene definito indice di affidabilità il coefficiente di variazione della funzione stato limite Z: β Z σ m z R σ m R S m + σ R Si dimostra che β è direttamente legato alla probabilità di collasso attraverso: P F Φ( β ) 1 Φ( β ) Quadro normativo MURATURA CA e ACCIAIO AZIONI DM 16 gennaio 1996 Norme tecniche relative ai criteri generali per la verifica di sicurezza delle costruzioni e dei carichi e sovraccarichi Cir. 4 luglio 1996, n. 156 Istruzioni per l'applicazione delle "Norme Tecniche..." OPCM 0 marzo 003, n. 374 Primi elementi in materia di criteri generali per la classificazione sismica del territorio nazionale e di normative tecniche per le costruzioni in zona sismica Legge 1086/71 Norme per la disciplina delle opere di conglomerato cementizio armato, normale e precompresso ed a struttura metallica DM 16 gennaio 1996 Norme tecniche per il calcolo, l esecuzione ed il collaudo delle strutture in cemento armato, normale e precompresso e per le strutture metalliche Parte I: Cemento Armato Parte II: Acciaio DM 0 novembre 1987 Norme tecniche per la progettazione, esecuzione e collaudo degli edifici in muratura e per il loro consolidamento EC0 : Basis of Structural Design EC1 : Actions on structures EC : Design of concrete structures EC3 : Design of steel structures EC4 : Design of composite structures EC5 : Design of timber structures EC6 : Design of masonry structures EC7 : Geotechnical design EC8 : Design of structures for earthquake resistance EC9 : Design of alluminium structures CNR 10011/85 Costruzioni in Acciaio: Instruzioni per il calcolo, l'esecuzione, il collaudo e la manutenzione

27 Implementazione dei concetti probabilistici C..1. APPLICAZIONE DEI CONCETTI PROBABILISTICI Il raggiungimento di uno stato limite può essere provocato dall'intervento concomitante di vari fattori di carattere aleatorio derivanti dalle incertezze relative: - alle resistenze dei materiali impiegati rispetto ai valori assunti dal progettista, e ciò anche in relazione alle effettive condizioni realizzate in sito ed ai parametri che influiscono sullo stato limite considerato (carichi di lunga durata, fatica, fragilità, etc.); - all'intensità delle azioni dirette, indirette e di natura chimico-fisica ed alla probabilità della loro coesistenza; - alla geometria della costruzione; - alla divergenza tra gli effetti realmente indotti dai carichi e quelli calcolati. L'obiettivo delle verifiche di sicurezza è di mantenere la probabilità di raggiungimento dello stato limite considerato entro il valore prestabilito in relazione al tipo di costruzione preso in esame, alla sua influenza sulla incolumità delle persone ed alla sua prevista durata di esercizio. Implementazione dei concetti probabilistici Il metodo qui adottato, prevede: a) l'introduzione dei "valori caratteristici" per tutte le grandezze delle quali si vuole mettere in conto il carattere aleatorio, e in ogni caso per: -le resistenze che definiscono le proprietà meccaniche dei materiali; - l'intensità delle azioni; b) la trasformazione di tali valori caratteristici in "valori di calcolo" adeguati allo stato limite considerato, mediante l'applicazione di coefficienti parziali. c) Le dimensioni geometriche di norma sono assunte deterministiche. Le resistenze caratteristiche dei materiali sono, per definizione, i frattili di ordine 0,05 delle rispettive distribuzioni statistiche. Il valore caratteristico delle azioni permanenti è il frattile di ordine 0,95 ovvero quello di ordine 0,05 delle relative distribuzioni statistiche, a seconda che i valori rilevanti ai fini della sicurezza siano quelli più elevati ovvero quelli più bassi.

28 Esempio 1: Valore caratteristico di resistenza [1] Il metodo agli Stati Limite Sd R d γ S S k R γ k R S k ( F ) d R γ m f

29 Esempio 1: Caratteristiche meccaniche Esempio 1: Resistenza di calcolo

30 Esempio 1: SLU: stato limite elastico Esempio 1: SLU: stato limite plastico

31 Esempio 1: Combinazioni allo SLU Esempio 1: Combinazioni allo SLU

32 Esempio 1: Combinazioni agli SLE Esempio 1: Coefficienti di Combinazione

33 SL di fessurazione Scelta degli stati limite di fessurazione. Nel prospetto 7-I sono indicati i criteri di scelta dello stato limite con riferimento alle esigenze sopra riportate. PROSPETTO 7-I Gruppi di esigenze a b c Condizioni ambiente Poco aggressivo Moderatamente aggressivo Molto aggressivo Combinazione di azioni Armatura Sensibile Poco sensibile Stato limite w k Stato limite w k frequente ap. fessure w ap. fessure w 3 quasi decomp. o permanente ap. fessure w 1 ap. fessure w frequente ap. fessure w 1 ap. fessure w quasi permanente decompress. ap. fessure w 1 ap. fessure rara e formaz. w 1 ap. fessure w fessure frequente decompress. ap. fessure w 1 Calcestruzzo: Resistenza cubica R c e cilindrica f c [4]

34 Calcestruzzo: Resistenza cubica e cilindrica [4] Calcestruzzo: Legge costitutiva [3]

35 Calcestruzzo: Dipendenza dalla velocità di carico [3] Calcestruzzo: Dipendenza dal grado di maturazione [3]

36 Calcestruzzo: Legge costitutiva [3] Calcestruzzo: Resistenza a trazione f ct [4]

37 Calcestruzzo: Prova a trazione brasiliana f' ct [4] Calcestruzzo: Resistenza per flessione f ctf [4]

38 Calcestruzzo: Resistenza biassiale [4] Resistenze di calcolo

39 Modelli σ ε semplificati per il calcestruzzo -ε% [3] a) modello parabola-rettangolo. b) modello triangolo-rettangolo. c) modello stress block. 0.83R 0.85 fcd 0.85 γ m ck Fondamenti Calcolo agli di Elementi Stati Limite Strutturali - Aspetti Generali - Muratura Acciai per CA [3]

40 Acciaio in barre liscie Tipo di acciaio Fe B k Fe B 3 k Tensione caratteristica di snervamento f yk N/mm Tensione caratteristica di rottura f tk N/mm Allungamento A s % 4 3 Piegamento a 180 su mandrino avente diametro D Ø 3 Ø Si devono usare barre di diametro compreso tra 5 e 30 mm. Acciaio in barre ad aderenza migliorata Per barre ad aderenza migliorata aventi Ø (*): Tipo di acciaio Allungamento A s % fino a 1 mm oltre 1 mm fino a 18 mm oltre 18 mm fino a 5 mm oltre 5 mm fino a 30 mm (*) Il diametro Ø è quello della barra tonda liscia equipesante Piegamento a 180 su mandrino avente diametro D Piegamento e raddrizzamento su mandrino avente diametro D Prospetto -I Fe B 38 k Tensione caratteristica di snervamento f yk N/mm Tensione caratteristica di rottura f tk N/mm Ø 6 Ø 8 Ø 10 Ø Fe B 44 k 1 4 Ø 8 Ø 10 Ø 1 Ø

41 Modello σ ε per l acciaio 0.01 Modello perfettamente elastico-plastico [3] f sd f γ yk s ε yd f E sd s ε sd 0.01 Fondamenti Calcolo agli di Elementi Stati Limite Strutturali - Aspetti Generali - Muratura Pilastri: meccanismi di collasso [3] [4] pilastro tozzo [4] pilastro snello

42 Ipotesi di base per i calcoli di resistenza [3] 1. Le sezioni traslano e ruotano rimanendo piane (Bernoulli): ε ε 0 +θy.. Perfetta aderenza tra calcestruzzo e acciaio d armatura: ε s ε c. 3. Resistenza a trazione del calcestruzzo trascurabile: f ct 0 ; E ct Legami costitutivi σ-ε del materiale: - calcolo elastico legge di Hooke: σ c E c ε c, σ s E s σ s. - calcolo non lineare diagrammi σ-ε semplificati. Pilastri in cemento armato: deformazione elastica N [3] E c A c + ( 1 nρ ) 1 ε n E E s c A A + na i c s [3] σ c N A i σ s nσ c

43 Pilastri in cemento armato SLU [3] 0.85 f cd A c N ( 1+ ω ) s ε yd 0.% ε N Rd 0.85 f A + f A 0.85 f A 1 cd c yd s cd c ( + ω ) s [3] f yd As ωs 0.85 f A cd c Esempio A c cm A s 4φ14 615mm Rck300 ρ 0.6% FeB44k σ adm 9. 75MPa σ s, adm 60MPa N N σ c 0.7σ adm 6. 85MPa A A + na i c Ai Ac + nas 995mm N adm 0.7σ 0.7σ adm kN s A A + n0.7σ c adm i adm A s f ck 0.83Rck MPa f 0.83Rck γ 1.6 cd 56 m f f γ MPa 1.15 yk yd 9 m 1 N Rd 0.85 fcd Ac + f kN yd A s MPa γ 1.74

44 Staffatura dei pilastri [5] Pilastri: riprese e sovrapposizione [5]

45 Pilastri cerchiati f cc f c + cσ hr [5] Rd n ( fc + c h ) As f yd N A σ + σ w σ h ρ N w V ρw V w c 1+ ωw + ω Rd An fc s n ω s f f yd cd A A s n ω w f f yd cd A A w n Conclusioni Grazie per l'attenzione! Domande?

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