SUCCESSIONI IN R esercizi. R. Argiolas. lim = n

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1 SUCCESSIONI IN R srcizi R. Argiols L?

2 Qust piccol rccolt di srcizi sull succssioi l cmpo di rli è rivolt tutti gli studti dl corso di lisi mtmtic I, m è prcisr fi d or ch possdr svolgr gli srcizi di qust disps o è codizio é cssri é sufficit pr il suprmto dll sm stsso. Qust disps o sostituisc il liro di tsto dottto, sostituisc l srcitzioi svolt dl doct. Qust disps è solo di supporto tutti coloro ch voglio pprofodir l loro prprzio ll sm co ultriori srcizi oltr qulli dl liro di tsto suggrito dl doct. I qust disps soo stti rccolti lcui dgli srcizi svolti lzio ssgti ll prov scritt, soo quidi srcizi ch possoo trovrsi i u qulsisi tsto di lisi mtmtic dl primo o dl corso di studi. Lo scopo dll disps è di forir u guid pr l soluzio dgli srcizi. Risptto ll vrsio prcdt (Succssioi l cmpo rl, o ccdmico 00/00) soo stti ggiuti ch lcui grfici ch vidzio l dmto dll succssio soo stti ggiuti smpi di succssioi d risolvr sfruttdo l stim sitotich. Rigrzio ticiptmt tutti coloro ch vorro sglrmi vtuli rrori prsti ll disps drmi utili suggrimti pr migliorr il mio lvoro. R.A. N.B. Il it di u succssio si clcol SEMPRE pr. Mi soo ccorto ch i divrsi srcizi prsti ll disps ho omsso rromt il sgo dvti l simolo di ifiito, m tutti i iti vo itsi com clcolti pr.

3 Alcui Richimi Torici Oprzioi sui iti di succssioi Sio, du succssioi covrgti rispttivmt, R, llor vlgoo l sguti oprzioi: A. B. - C. D. s 0 Vlgoo ioltr l sguti proprità pr succssioi divrgti:

4 Limiti di succssioi: Dovdo clcolr il it di u succssio ch si prst com poliomio ll vriil è fcil vrificr ch l dmto dll succssio dipd dl trmi co spot mggior.. Clcolr ( ) soluzio ( ) [ ]. Clcolr ( ) soluzio ( ). Clcolr ( 7 8 ) soluzio 7 8 ( 7 8 ) Form idtrmit Ossrvzio Dir ch u dto it prst u form idtrmit o sigific dir ch il it o sist m sigific ch sso o è immditmt clcolil utilizzdo l oprzioi tipich di iti.

5 L form idtrmit: 0 ± Qudo si vuol dtrmir il it dl rpporto tr du succssioi ogu costituit dll somm di potz di, è util, tlvolt, dividr umrtor domitor pr l potz mggior. Si ricordi ioltr ch: α 0 s α > 0 s α 0 s α < 0 Qudo si vuol clcolr il it di u succssio è smpr mglio vrificr prim s prst u form idtrmit. Esrcizi. Clcolr soluzio Vrifichimo prim l prsz di u form idtrmit, pssimo poi l clcolo dl it mttdo i vidz umrtor domitor. 0 0 Ricordimo ch il it di u costt è l costt stss.

6 Il sgut grfico vidzi l dmto dll succssio pr vlori di d Clcolr soluzio Il procdimto è logo ll srcizio prcdt. Si h: Il sgut grfico idic l dmto dll succssio pr vlori di d Clcolr

7 7 soluzio Si h ch: Il sgut grfico idic l dmto dll succssio pr vlori di d Clcolr soluzio Si otti: 8. Clcolr soluzio Si h ch:

8 ( ). Clcolr ( )( ) soluzio Si otti: ( )( ) Il grfico dll succssio pr grdi vlori di Clcolr soluzio Si otti: 8

9 0. Clcolr soluzio Si otti: Il sgut grfico vidzi l dmto dll succssio pr grdi vlori di Clcolr soluzio

10 0 Grfico dll succssio ssgt: Clcolr soluzio 0. Clcolr soluzio. Clcolr soluzio

11 Grfico dll succssio: Ossrvzio U procdimto pr risolvr iti ch si prsto sotto form idtrmit, cosist l fr pssr l umrtor l irrziolità dl domitor vicvrs, co procdimti loghi qulli ch si uso pr rziolizzr l sprssioi lgrich. Ricordimo ch pr rziolizzr l qutità: st moltiplicr umrtor domitor pr l stss qutità cmit di sgo:,. Si procd i modo logo s si vuol rziolizzr il umrtor:

12 ,. Esrcizi. Clcolr soluzio 7. Clcolr soluzio 0 Grfico dll succssio

13 Clcolr ( 7 ) soluzio ( 7 )( 7 ) 7 ( 7 ) ( 7 ) Grfico dll succssio ssgt: Clcolr soluzio

14 0. Clcolr soluzio

15 Torm di uicità dl it: S il it di u succssio sist, qusto è uico. Si cosidri l succssio, scod dl vlor ssuto d ( d smpio s pri o dispri) l succssio ssum rispttivmt i vlori, quidi il it di tl succssio, o ssdo uico, o sist. Utilizzdo qusto procdimto si può dr stilir s u it sist o mo. Esrcizi Dtrmir qul dll sguti succssioi ho it:. soluzio S il it di u succssio sist qusto dv ssr uico. Studimo quidi il comportmto dll succssio pr diffrti vlori di. pr pri pr dispri il it, o ssdo uico, o sist Grfico dll succssio:

16 soluzio pr pri il it, o ssdo uico, o sist pr dispri Il grfico dll succssio è il sgut: soluzio

17 pr pri pr dispri il it, o ssdo uico, o sist Grfico dll succssio: soluzio pr pri pr dispri il it, o ssdo uico, o sist Il grfico dll succssio è il sgut: 7

18 soluzio pr dispri o sist o ssdo uico, it, il pr pri. 8 7 soluzio pr dispri sist ssdo uico, it, il pr pri

19 Alcui iti otvoli Il umro di Npro x x Ossrvzio Il it otvol, dtto di Npro, così com tutti i iti otvoli, può ssr pplicto qudo l succssio di cui doimo clcolr il it soddisf l codizioi dl it di Npro. Suppoimo si ssgto il sgut srcizio: Esmpio Clcolr: Qusto it, s ricordi il it otvol di Npro, o h l struttur dl it di Npro, iftti l succssio ch si trov domitor (ll itro dll prtsi tod)è diffrt dll succssio ch si trov d spot. No possimo quidi pplicr dirttmt il it di Npro, possimo prò oprr di piccoli trucchi ch ci prmttoo di ricodurr il it ssgto l it otvol di Npro. Pr potr pplicr il it otvol str ch l spot foss, o l succssio, m sì l succssio, possimo llor scrivr, sz modificr il tsto, i qusto modo:

20 0 Clcoldo sprtmt il it dll s il it dll spot si otti: it otvol dsidrto! qusto è proprio il D quto dtto sopr sgu ch: Esmpio Clcolr 0 Svolgimto Covi iizilmt oprr l divisio poliomil tr umrtor domitor 0 0 d cui sgu ch procddo com illustrto ll srcizio prcdt si otti:

21 d cui si ricv: ifi: 8 0 mtr 0 0 il risultto dl it ssgto è: 8 0. Esmpio Clcolr 8 Svolgimto

22 Covi iizilmt oprr l divisio poliomil tr umrtor domitor 8 d cui sgu ch 8 procddo com illustrto ll srcizio prcdt si otti: d cui si ricv: ifi:

23 mtr il risultto dl it ssgto è: 8. Esrcizi Clcolr i sguti iti di succssioi: 7. soluzio si otti: Il grfico dll succssio è il sgut:

24 soluzio. soluzio Si h: 0. soluzio

25 . soluzio 0 0 Grfico dll succssio: Esrcizi Clcolr i sguti iti di succssioi:. soluzio

26 pr dispri pr pri pssdo l it si h ch: it o sist. il pr dispri pr pri. soluzio si h ch: pr dispri pr pri pssdo l it si h ch: it o sist il pr dispri pr pri -.

27 7 soluzio pr dispri pr pri pssdo l it si h ch: pr dispri pr pri - - quidi Si ricordi ch: < > - q s q s 0 q s q s o sist q Il fttoril S è u itro positivo, si dfiisc fttoril si idic co! il prodotto di primi umri itri positivi. I formul k k!:

28 Ioltr, si ssum pr covzio: 0! smpio:!!!! 0 Esrcizi Assgt l succssio clcolr il it dll succssio :!. soluzio Dto il trmi si otti sostitudo co ( )! ( )! ( ) ( )!! ( ).! soluzio ( ) ( )!! 0 7. ( )! soluzio ( ) ( )! ( )! ( ) 0 8

29 8. ( )! soluzio! ( ) ( )! 0. ( )! soluzio! ( )! 0. ( )! soluzio ( ) ( )! ( )!.!! soluzio

30 ( )(! ) ( )!! ( )! ( )( ) Ossrvzio Pr risolvr i sguti iti è util ricordr ch s è u succssio trmii positivi s sist fiito il llor risult: log ( ) log Esrcizi Clcolr i sguti iti di succssioi:. log soluzio: log log log Il sgut grfico vidzi l dmto dll succssio pr grdi vlori di

31 . log soluzio: log log log log. log7 soluzio: log 7 log 7 log 7 log 7. [log ( ) log ( )] soluzio: [log ( ) log ( ) ] [log ] log 0 Grfico dll succssio:

32 Critrio: s è itto 0, llor 0 Esrcizi Clcolr i sguti iti, utilizzdo il critrio sopr ucito: si. soluzio: Poichè si si 0 è itt, iftti si 0, llor si h ch : cos 7. soluzio:

33 Poichè cos cos 0 è itt, iftti cos 0, llor si h ch : cos 8. soluzio: Poichè cos è itt, iftti cos 0, llor si h ch : cos 0 Stim sitotich Spsso clcolr il it di u succssio può ssr prticolrmt difficoltoso. Allor, tlvolt, si crc di smplificr l succssio utilizzdo l rlzio di sitotico. Ricordimo ch dir ch è sitotic scrivrmo s ~.

34 E opportuo ch lo studt coosc l grrchi dgli ifiiti : Ogi ifiito spozil è di ordi suprior ogi ifiito potz, ogi ifiito potz è di ordi suprior ogi ifiito logritmo. Dtto i ltri trmii: L spozil v più vlocmt ll ifiito dll potz, l potz v più vlocmt ll ifiito dl logritmo. Clcolr i sguti iti, utilizzdo l stim sitotich.. soluzio: Il it prcdt prst l form idtrmit ~ 0 l stim umrtor sgu dl ftto ch risptto, qusto prché : è u ifiito di ordi suprior ~ iftti 0 Il grfico dll succssio è il sgut: log log

35 soluzio: 0 quidi ~ log log log log. log log soluzio: 0 log quidi log ~ log log log log. log log 7 soluzio:

36 0 ~ log log 7 log log 7 Grfico dll succssio: soluzio: log ~ log

37 L risoluzio dll srcizio prcdt si s sul ftto ch log ~ iftti ricordimo ch ) log ( ) ~ qudo 0 pr ) log ( ) ~ log qudo pr. 7 log soluzio 7 log ~ 7 quidi : 7 0!. log soluzio 7

38 ! log ~! quidi :! Ossrvzioi Risolvr i iti di succssio utilizzdo l stim sitotich (qudo è possiil!) prmtt o solo di smplificr l succssio stss quidi il clcolo dl suo it, m spsso prmtt di vitr l utilizzo di tcich di risoluzio troppo lort. Vdimo lcui smpi. A pgi dll disps imo clcolto il sgut it: mttdo i vidz umrtor domitor l co grdo mssimo. Lo stsso srcizio potv ssr risolto più smplicmt utilizzdo l stim sitotich, iftti, si h suito ch: ~ quidi ATTENZIONE! Lo studt dv str ttto o commttr l rror sgut! Cosidrimo l srcizio svolto pgi. Clcolr ( ) S si risolvss qust srcizio utilizzdo l stim sitotich si vr ch: 8

39 ~ 0 il risultto dl it quidi sr zro. Il risultto, i qusto cso, è corrtto m il procdimto è cocttulmt scorrtto prché o si posso sostituir trmii sitotici i u somm i cui l prti pricipli si lidoo! L srcizio v risolto rziolizzdo. Si cosidri or l srcizio: Clcolr ( ) Utilizzdo l stim sitotich si trov ch: ~ 0 Risptto ll smpio prcdt, o solo il procdimto è cocttulmt scorrtto, m il risultto è sglito. Lo studt vrifichi, rziolizzdo, ch il risultto dl it è. Si cosidri ivc l srcizio Clcolr ( ) Utilizzdo l stim sitotich si h: ( ) ~ pssdo l it si h ch l succssio divrg. I qusto cso il procdimto è corrtto prch l prti pricipli o si lidoo. Ioltr o è stto cssrio rziolizzr pr clcolr il it (lo studt provi i ogi cso rziolizzr pr vrificr ch il risultto è lo stsso!). Esrcizi: Lo studt riprcorr i vri srcizi prsti ll disps li risolv, qudo è possiil, utilizzdo l stim sitotich vrificdo l sttzz dl risultto.

40 Esrcizi rissutivi. Clcolr ( sugg.: iizilmt oprr l divisio tr umrtor domitor, poi procdr com ll smpio pgi 0, sol. [ ]) 7. Clcolr ( sugg.: iizilmt oprr l divisio tr umrtor domitor, poi procdr com ll smpio pgi 0, sol. ) 8. Clcolr ( sugg.:procdr com ll srcizio, sol. il it o sist). Clcolr ( sugg.:procdr com ll srcizio, sol. il it o sist) 0. Clcolr ( sugg.:procdr com ll srcizio, sol. ) 0

41 . Clcolr ( 7 ) ( sugg.:procdr com ll srcizio 7, sol. [ 0 ]). Clcolr spdo ch ( )! ( sugg.:procdr com ll srcizio, sol. [ 0 ]). Clcolr, utilizzdo l stim sitotich, log 7 ( sugg.:procdr com ll srcizio o 0, sol. [ 0 ]). Clcolr, utilizzdo l stim sitotich, log log ( sugg.:procdr com ll srcizio o 0, sol. [ ] ). Risolvr gli srcizi 0, utilizzdo, qudo è possiil l stim sitotich.