Microeconomia lezione 3. Utilità totale. Esempio: U= 2x + y ; x=panini; y=hamburger 28/02/2016. Materiale tratto dal Cap.

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1 Microeconomia lezione 3 Materiale tratto dal Cap. 2 del libro testo Utilità totale E la soddisfazione totale, talvolta indicata da un valore numerico, che si ricava dal consumo di un particolare paniere di beni. Se una persona consuma n beni nelle quantità xr, x2, x3,..., xn; la funzionie di utilità U (xl, x2, x3,..., xn) consente di calcolare l'utilità totale al variare della quantità dei diversi beni. Esempio: U= 2x + y ; x=panini; y=hamburger Ciò significa che una combinazione formata da 4 hamburger e 9 panini le procura un'utilità: U = (2 x 4) + 9 = = 11. Anche una combinazione comprendente 3,5 hamburger e 16 panini equivale a 11 unità di utilità (U= 2 x 3,5 + V16); queste due combinazioni sono indifferenti. Invece un paniere costituito da 5 hamburger e 8 panini è preferibile a entrambe le combinazioni precedenti, perché procura un'utilità pari a 12,8 (U = 2 x 5 + V8 = 12,8). Che rapporto c'è tra l'utilità e le curve di indifferenza? Nella Figura 2.13 consideriamo i punti m e n, che si trovano sulla stessa curva di indifferenza U1. Supponiamo che l'utilità totale corrispondente al paniere m sia 80. In base alla definizione di curva di indifferenza, anche il paniere n procura un'utilità pari a 80, come qualunque altro paniere appartenente alla curva U1.. È quindi naturale associare alla curva di indifferenza U1 il numero 80. Le curve di indifferenza che si trovano più in alto e più a destra rispetto a U1 (es.: U2 =90) sono preferibili a U1, di conseguenza corrisponderanno a un livello di utilità maggiore di 80. Quei numeri stanno solo a indicare che U2 è preferibile a U1, ma non dicono in che misura è preferibile FUNZIONE DI UTILITA ORDINALE (NON CARDINALE) 1

2 2 A 1 Utilita e utilita marginale Per ogni è possibile individuare una funzione di utilità, vale a dire una formula che associa a ciascun paniere di beni un valore numerico indicante l'utilità totale che esso procura. "funzione Cobb-Douglas". U(x, y) = x a y b, dove: a e b sono gli esponenti degli argomenti x e y. Per esempio, supponiamo che la funzione dì utilità di Enrico relativa a hamburger (x) e panini (y) sia: U(x, y) = x 3/4 y 1/4 (a = 3/4 e b = 1/4. ) Se Enrico consuma 16 hamburger e 81 panini, la sua utilità totale sarà: (16) 3/4 x (81) 1/4 = 8 x 3 = 24. Utilita marginale Derivata parziale della funzione di utilita rispetto alla quantita di quel bene Ә U(x, y) / Әx Per enrico l utilita marginale degli hamburgher (x) e : ¾ x -1/4 y -1/4 Ricordando che MRS = valore assoluto pendenza curva di indifferenza possiamo dimostrare che: MRS yx = MU x / MU y dimostrazione: la variazione dell utilita totale che deriva da consumare una unita infinitamente piccola in piu di x e di y e : du = MU x dx + MUy dy Se ci muoviamo lungo LA STESSA curva di indifferenza pero l utilita totale e costante per cui: du=0, da cui: 0= MU x dx + MUy dy - MU y dy = MUx dx - dy/ dx = MU x/ MUy Ma - dy/ dx e l opposto della pendenza della curva di indifferenza, da cui: MRS yx = MUx / MUy 2. Vincolo di bilancio: cosa PUO fare il? Sommatoria spese necessarie per acquisto di un insieme di beni Spesa = prezzo x quantita Vincolo di bilancio = sommatoria delle spese Ipotesi: price-taker 2

3 I panieri cambiano a seconda del prezzo X= hamburgher y= panini Px= prezzo hamburgher Py = prezzo panini I = reddito di Rossana I = px * x + py * y Es: 60= 6x + 3y se Rossana acquista 10 panini, potrà comprare solo 5 hamburger: (6 x 5) + (3 x 10) = 60. se Rossana acquista 6 hamburger, il suo consumo di panini dovrà essere pari a? soluzione 8 unità: (6 x 6) + (3 x 8) = 60. Retta del vincolo di bilancio Pendenza negativa = - p x / p y Area sottostante= insieme opportunita di consumo Intercette Y/pi = max quantita acquistabile di y (asse verticale) o x (asse orizzontale) utilizzando tutto il reddito Sono panieri estremi Figura 2.14 Vincolo di bilancio lineare 3

4 Vincolo di bilancio lineare II vincolo di bilancio permette di individuare le combinazioni di beni ottenibili e quelle non ottenibili. La pendenza del vincolo di bilancio indica in che rapporto il mercato consente di scambiare un bene con l'altro. Una pendenza pari a -2, per esempio, indica che il prezzo del bene misurato sull'asse orizzontale è doppio rispetto al prezzo del bene misurato sull'asse verticale. Insieme di panieri ammissibili L insieme dei panieri che rispettano il vincolo di bilancio Figura 2.14 Vincolo di bilancio lineare Figura 2.14 Vincolo di bilancio lineare La pendenza del vincolo di bilancio indica il costo-opportunità di un bene nei termini dell'altro bene, cioè la quantità di un bene a cui il deve rinunciare, per consumare un'ulteriore unità dell'altro. Dal momento che, nel caso specifico, valore assoluto della pendenza del vincolo di bilancio è 2, il costo-opportunità di 1 hamburger è 2 panini. Figura 2.14 Vincolo di bilancio lineare Figura 2.14 Vincolo di bilancio lineare 4

5 Statica comparata 3 condizioni fondamentali statica comparata : 1. Aumento p 2. Riduzione p 3. Variazione Y Riduzione di px coeteris paribus Posso comprare piu x -> intercetta vs destra, ruota vincolo di bilancio con perno su y Grafico Riduzione p1 Riduzione p1 Grafico : La retta di bilancio ruota vs l origine con perno su x Effetto di una variazione del rapporto tra i prezzi sul vincolo di bilancio FIGURA 2.16Un aumento del prezzo di uno dei beni fa spostare l'intercetta del vincolo di bilancio lungo l'asse su cui è misurato il bene. 5

6 Se Y si riduce Il reddito passa da 60 a 30 euro 6x + 3y = 30. L'intercetta verticale di questa retta è 10 e l'intercetta orizzontale è 5. Proprietà dei vincoli di bilancio lineari Pendenza = -px/py Intercetta orizzontale = Reddito/px; intercetta verticale = Reddito/py. Variazione del reddito: il vincolo di bilancio si sposta parallelamente a se stesso. Variazione del prezzo di uno dei beni: spostamento dell'intercetta del vincolo di bilancio sull'asse corrispondente a quel bene Equilibrio del 6

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8 E=Soluzione interna Un paniere, corrispondente a una situazione di equilibrio, che contiene una certa quantità di tutti i beni. equilibrio in corrispondenza del punto di equilibrio, la curva di indifferenza U2 "sfiora appena" il vincolo di bilancio BI; questo perché la consumatrice cerca di raggiungere una curva di indifferenza che si trovi quanto più in alto possibile, senza tuttavia oltrepassare la retta Bl. Tecnicamente si dice che la retta BI è tangente alla curva U2 nel punto e. Ciò significa che nel punto e la pendenza della curva U2 è uguale alla pendenza del vincolo di bilancio Bl. Per definizione, il valore assoluto della pendenza della curva di indifferenza è il saggio marginale di sostituzione di hamburger e panini, MRSyx. il valore assoluto della pendenza del vincolo di bilancio è px/py. nel punto di equilibrio le due pendenze coincidono, vale a dire: MRSyx = Px / Py il saggio marginale di sostituzione indica in che rapporto il è disposto a scambiare un bene con l'altro, mentre la pendenza del vincolo di bilanci indica in che rapporto il può scambiare un bene con l'altro (dati i prezzi di mercato). Affinché vi sia equilibrio, questi due valori devono coincidere. Tuttavia e un errore il fatto di considerare che a uguali prezzi di mercato due consumatori diversi comprino lo stesso paniere. Essi avranno lo stesso MRS pari alla pendenza del vincolo. di bilancio, ma possono preferire panieri diversi. 8

9 Tizio e Caio hanno stesso MRS pari alla pendenza del vincolo. di bilancio, ma l equilibrio e con panieri diversi. TIZIO CAIO l'obiettivo del è quello di massimizzare il valore della propria funzione di utilità, dato il proprio vincolo di bilancio. MUy = utilità marginale di un hamburger = variazione dell'utilità totale conseguente al consumo di un ulteriore unità di panini. (analogamente, utilità marginale di un hamburger e MUx) Sappiamo che: MRS yx = MUx / MUy (1) Sappiamo anche che nel punto di equilibrio le due pendenze coincidono, vale a dire: MRSyx = Px / Py (2) Da cui (1)=(2), ovvero: MU x / MUy = Px / Py (3) Oppure: MU x / Px =MUy / Py (4) MU x / Px = MU y / Py Dividendo l'utilità marginale di un bene per il suo prezzo, si ottiene l'utilità marginale di ogni euro speso per l'acquisto di quel bene. questa equazione indica che il paniere di beni assicura al la massima utilità totale solo se l'utilità marginale dell'ultimo euro speso per l'acquisto di ciascun bene è la stessa Solo quando l'ultimo euro speso per l'acquisto di ciascun bene procura la stessa utilità marginale, comunque si ridistribuisca il reddito tra un bene e l'altro, non è possibile accrescere l'utilità totale. Appendice Metodo di Lagrange 9

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