PROBLEMI AGLI AUTOVALORI...1

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1 Indice PBEMI AGI AUVAI... Generalità... Proprietà... Significato fisico dei problemi agli autovalori... 3 ) Sforzi principali e loro orientazione ) Caratteristiche modali di un sistema dinamico ) Instabilità euleriana di una trave... rasformazione in forma canonica... 6 Metodi di Calcolo... 7 Jacobi... 0 Jacobi generalizzato... 4 rasformazione di Householder... 8 Metodo di Givens... 0

2 PBEMI AGI AUVAI Si precisa che quello che segue non è un trattato di calcolo numerico sul problema della determinazione degli autovalori di una matrice, ma semplicemente una raccolta di informazioni finalizzate alla realizzazione di un codice per il calcolo delle frequenze e dei modi di vibrare di un sistema dinamico discreto. Generalità Un numero reale o complesso λ viene detto autovalore della matrice A se esiste un vettore X non nullo, che chiameremo autovettore, per il quale si ha che A X λ X a definizione della coppia autovettore/autovalore è soddisfatta anche da un vettore ottenuto moltiplicando l'autovettore X per una costante qualsiasi. A (nx) λ (nx) n(a X) n( λ X) A X λ X Possiamo quindi dire che gli autovettori sono noti a meno di una costante moltiplicativa arbitraria: di essi si conosce la forma ma non siamo in grado di specificarne l'ampiezza assoluta. Questa può essere stabilita con criteri arbitrari quali: componente massima unitaria: max (x i ) norma unitaria: normalizzazione rispetto ad una matrice: x x x Bx 'espressione di definizione della coppia può essere vista come un'equazione omogenea (A-diag( λ )) X0 ove con diag( λ ) si indica una matrice diagonale avente tutti i termini diagonali λ ; questa equazione è risolvibile solo se il determinante della matrice (A- I) λ è nullo: det(a-λ I)0 'autovalore λ è quindi soluzione dell'equazione caratteristica di A e giustifica il fatto che una matrice di ordine possiede autovalori: essi corrispondono alle radici del polinomio caratteristico pure di ordine. Questa proprietà può essere sfruttata per impostare il problema di calcolo degli autovalori. Il numero di autovettori/autovalori di una matrice è pari all'ordine della matrice stessa. Gli autovalori di una matrice possono essere reali e/o complessi, indipenti e/o coincidenti. Una matrice A possiede autovalori tutti reali se é simmetrica. Proprietà Esaminiamo alcune delle proprietà principali degli autovalori λ di una matrice A: inearità Se λ è autovalore di A, a λ è autovalore di aa Ax λ Ix a(ax) a( λ Ix) (aa)x Shift (a λ )Ix

3 se λ è autovalore di A, ( λ -a) è autovalore di A-aI Ax λ Ix Ax aix λix aix (A ai)x ( λ ai)ix Potenza se λ è autovalore di A, λ k è autovalore di A k Ax λ Ix (Ax) k ( λ Ix) k Akλ ki In questo caso gli autovettori non sono mantenuti: x k rtogonalità Gli autovettori godono della caratteristica di ortogonalità reciproca x x x i i i x 0 k o xi xj δ ij con δ ij simbolo di Kronecker Potremo scrivere anche che [X] [X][I] Gli autovettori definiti nella forma precedentemente esaminata sono anche noti, per dovere di completezza, come autovettori destri in quanto sono posti a destra della matrice cui si riferiscono: Ax λ Ix Esiste la possibilità di definire autovettori sinistri nella forma A λ I dove Y è un vettore riga. Gli autovalori del problema così posto sono gli stessi della forma destra: infatti il determinante di una matrice e quello della sua trasposta sono uguali. Inoltre autovettori sinistri sono gli autovettori della matrice A trasposta: (A) (λ I) A λ x Quindi autovettori destri e sinistri coincidono nel caso di matrice simmetrica. on esso particolarmente utile per i nostri scopi la loro esistenza è citata a titolo puramente informativo. Un autovalore ed il corrispondente autovettore costituiscono una coppia caratteristica e la loro associazione è univoca nel caso di autovalori distinti. el caso di autovalori coincidenti l'individuazione dell'autovettore corrispondente può presentare qualche problema. oto uno dei due elementi della coppia si può risalire all'altro. el caso sia noto l'autovalore, ricordando la definizione del problema, è possibile porre uguale ad uno una componente qualsiasi dell'autovettore X, partizionare le matrici e risolvere il sistema di ordine n- che ha come coefficienti la matrice ridotta, come incognite le rimanenti componenti dell'autovettore e come termine noto la colonna risultante dalla partizione: data la matrice A di ordine e l'autovalore λ scriviamo la matrice A λ come Aλ A λ I

4 M A, λ A, A, A, A, λ A, A A A λ,,, X U 0 X Q P X W X 0 U U X 0 X W W U A, W S U A, W A UU, λ A, W W A, λ A, A, A, A, λ A, 0 0 A, λ A, X P A A λ X X X X,, U W M A, λ A, A, A, a scelta del termine dell'autovettore da forzare unitario è del tutto arbitraria: è stato scelto l'ultimo elemento per semplicità e chiarezza della notazione matriciale. Poiché viene richiesta la soluzione completa di un sistema lineare di ordine - questa procedura è pesante dal punto di vista computazionale, il numero di operazioni necessarie per calcolare autovettori è dell'ordine di 4; è pertanto da ritenersi l'ultima opzione cui ricorrere per la determinazione degli autovettori. Se fosse invece noto l'autovettore, il calcolo dell'autovalore, in base alla stessa equazione risulterebbe estremamente veloce: λ xa x salvo verifica della diagonalità della matrice prodotto. Significato fisico dei problemi agli autovalori Prima di esaminare le procedure per il calcolo di autovalori ed autovettori di una matrice è opportuno cercare di capire il significato fisico di questi operatori, in relazione ad un problema specifico, e in quali condizioni si ricorre ad un calcolo di questo tipo. In generale la soluzione di un problema è legata alla determinazione di autovalori ed autovettori ogniqualvolta il problema stesso assume una forma omogenea per la quale l'esistenza di una soluzione non banale viene a dipere da un solo parametro. 'individuazione della soluzione in forma non banale è possibile solo dopo aver stabilito il valore di detto parametro per il quale si annulla il determinante della matrice (A λ I). Questi sarà l'autovalore del nostro problema e la soluzione non banale è data dall'autovettore ad esso associato. Esaminiamo alcuni casi. ) Sforzi principali e loro orientazione. Dato un generico stato di sforzo σ ik esiste ed è unico il riferimento nel quale si hanno solo sforzi di trazione per cui lo stato di sforzo è definito da una tensione e dall'orientazione della faccia su cui agisce. 3

5 X σ 3 σ σ (n) X X 3 σ a relazione di Cauch descrive la generica trasformazione dello stato di sforzo da un riferimento ad un altro ruotato rispetto al primo di un angolo assegnato. Se n è il versore della normale ad un pieno nel generico riferimento definito dalla terna x i, n i sono cioè i coseni direttori dell'asse n la relazione di Cauch si scrive come: σ( n) σ n + σ n + σ n σ n 3 3 dove σ i è il vettore delle componenti di sforzo che agiscono sulla faccia di normale i. Per l'equilibrio delle forze applicate all'elemento infinitesimo, le forze agenti sulla faccia di normale n sono date dalla somma delle proiezioni delle forze agenti nel riferimento. Con notazione tensoriale la relazione assume la forma σ i ( n) σ n ik k Per loro definizione gli sforzi principali sono definiti come vettori normali al piano sul quale agiscono. Pertanto possono essere espressi come opportuni moltiplicatori del versore del piano stesso: σ ( n) σ n i p i Eguagliando le due espressioni otteniamo σ ik k n σ n o, in forma matriciale: p [ σ]{ n} σ { n} p i che può facilmente essere posta nella forma canonica di un problema agli autovalori, nel quale gli sforzi principali sono gli autovalori e le direzioni secondo cui agiscono gli autovettori: ([ σ] σ p [ I]){ n} 0 ) Caratteristiche modali di un sistema dinamico Abbiamo già avuto occasione di esaminare le equazioni di equilibrio dinamico: [m]{x}+[k]{x} 0 la ricerca di una soluzione armonica porta all'aaisi MDAE EAE del sistema: infatti ipotizzando una soluzione di questo tipo nella forma {x} {A}cos( ωt) {x}- ω{a}sin( ωt) {x} - ω {A}cos( ωt) la sua sostituzione nell'equazione di equilibrio porta a: (-[m] ω +[k]){a}cos( ωt) 0 (-[m] ω +[k]){a} 0 4

6 Gli autovalori del problema sono i quadrati delle pulsazioni proprie mentre gli autovettori ricavati in questo modo definiscono una trasformazione delle coordinate libere del problema, gli spostamenti fisici, in coordinate generalizzate, le ampiezze dei modi, che sono indipenti tra loro. 3) Instabilità euleriana di una trave Consideriamo un'asta caricata di punta vincolata agli estremi con una cerniera ed un carrello. E,A,I, Per lo studio dell'instabilità euleriana dobbiamo considerare anche i termini non lineari del tensore di deformazione: + + ( ) ε ij s i / j s j / i s k / i s k / j k Gli indici i,j,k variano in generale da a 3; la monodimensionalità dell'asta limita la variazione di i e j al solo valore ; ε s / + ( s / + s / s / + s3 / s3 / ) l'assunzione di un comportamento bidimensionale, nel piano x porta a trascurare il termine con k3 mentre il termine s / risulta essere un infinitesimo di ordine superiore; otteniamo quindi ε s / + s / s / È opportuno riscrivere l'espressione semplificando alcuni indici mediante l'introduzione delle componenti di spostamento u e w ed indicando con ' e " le derivate prime e seconde rispetto all'asse dell'asta: ε u + w Possiamo scrivere la variazione del lavoro virtuale di deformazione come: δ ( δε+ Mδϕ) dx ( δε+ EIϕδϕ) dx D z mentre la variazione di lavoro esterno è data da: δ Pδu Pδu dx E z z la variazione virtuale della deformazione assume la forma: δε δu + w δw per cui ricordando il legame tra curvatura e spostamento laterale (ϕ w ) otteniamo la seguente equazione del PV z z ( ( δu + w δw ) + EIw δw ) dx P δu dx Per l'arbitrarietà delle variazioni virtuali possiamo cominciare a dire che per l'arbitrarietà di δ u si ottiene: z δ u 0 dx P dx che porta alla soluzione nota P. z

7 Per i rimanenti termini occorre ipotizzare uno sviluppo spaziale dello spostamento trasversale: nel caso di doppio appoggio potremo assumere una distribuzione spaziale sinusoidale: F w q sin H G π I x K J alla quale corrispondono le seguenti espressioni di derivata prima e seconda e delle relative variazioni virtuali: π F π w H G I K J q cos x π F π δw H G I K J δ cos x q F w H G πi K J F H G I q sin π K J x F π π δw δ H G I K J F H G I K J sin x q che ci permettono di scrivere la seconda equazione del PV per la variazione arbitraria dell'incognita indipente q: z 4 F I HG K J F H G I K J F + H G I K J F H G I K J 4 F πi π sin x dx EI π π sin HG K J F x H G I K J F + H G I z K J z F H G I K J F π + EI q 0 H G I K J π π sin x EI π π sin x dx q 0 dx q 0 che ammette soluzione non nulla solo se il termine tra parentesi è nullo; si tratta quindi di un problema agli autovalori che vede il carico P come autovalore. Il risultato è rappresentato dalla nota formula del carico critico euleriano: P EI π F H G I K J rasformazione in forma canonica Molto spesso le tecniche di soluzione di problemi agli autovalori fanno riferimento alla forma canonica ([A] λ [I]){X} 0 Per poterle impiegare nel caso di problemi del tipo ([A] λ [B]){X} 0 quale tipicamente quello strutturale con [A] e [B] matrici di rigidezza e di massa, è quindi necessaria una trasformazione delle equazioni per la scrittura del problema in forma canonica. Si potrebbe effettuare una modifica delle equazioni, per esempio pre-moltiplicando per l'inversa della matrice di massa, ma questo non ci permetterebbe di affermare che la trasformazione lascia inalterato il problema in termini di autovalori ed autovettori. Ci sono due forme possibili per la definizione di questa trasformazione: I) Scomposizione della massa II) Scomposizione della rigidezza [k]{x} ω [m]{x} [k]{x} ω [m]{x} [ m] [][] s s [ k] [][] s s [k]{x} ω [][] s s {X} ω [] s {X} [][] s s {X} ω [ m] {X} [] s {X} ω [ m] {X} dove si è definito {X} [] s {X} {X} [] s {X} 6

8 pre-moltiplicando per [s]- e ricordando che {X} [] s {X} si ottiene [] s [k] [] s {X} ω {X} e infine [k]{x} ω {X} {X} [] s {X} {X} [] [m] s [] s {X} {X} [ m ] {X} ω el caso di fattorizzazione della massa vengono mantenuti inalterati gli autovalori, mentre in quello di scomposizione della rigidezza si ottengono gli inversi degli autovalori. In entrambi i casi per gli autovettori si re necessario il recupero della forma originale a partire dall'autovettore del problema trasformato: ω {X} [] s {X} {X} l'operazione è banale esso la matrice [s] triangolare. e due forme sono del tutto equivalenti nel caso di matrici di massa e rigidezza definite entrambe positive. a scelta è invece obbligata nel caso in cui una delle due sia solo definita semi-positiva: dovo procedere con la fattorizzazione si dovrà optare per quella definita positiva. Quindi nel caso di una struttura non vincolata, come un velivolo, la fattorizzazione della rigidezza non è possibile, quindi occorre scomporre la matrice di massa. Se però anche questa dovesse essere semidefinita positiva, a causa per esempio della scelta do concentrazione delle masse solo su gradi di libertà di spostamento, neppure questa opzione sembrerebbe praticabile con la conseguente apparente impossibilita di applicare la procedura. In realtà l'assenza di massa su alcuni gradi di libertà ci porta ad affermare che il comportamento di questi è descrivibile solo in termini statici: non esistono infatti forze di inerzia che agiscono su di essi. Allora il problema agli autovalori, trattandosi dell'individuazione di deformate caratterizzate dall'equilibrio di forze elastiche e di inerzia, non deve essere esteso a questi gradi di libertà che dovranno essere rimossi dal problema completo mediante una tecnica di condensazione (vedi par. specifico). Una volta risolto il problema agli autovalori condensato, l'autovettore completo, comprente anche gli spostamenti dei gradi di libertà condensati, viene recuperato con le usuali tecniche applicate all'autovettore del problema ridotto. [] s {X} Metodi di Calcolo I metodi per il calcolo degli autovalori di una matrice possono essere classificati in due categorie principali: Metodi Indiretti Metodi Diretti Con i metodi indiretti gli autovalori sono determinati come soluzione dell'equazione caratteristica. Sono quindi costituiti da un primo algoritmo per il calcolo dei coefficienti del polinomio caratteristico, un secondo per l'individuazione delle radici reali e/o complesse di un polinomio di ordine n e da un ultima procedura per la costruzione degli autovettori. I metodi diretti fanno invece capo a procedure, generalmente iterative, per la determinazione diretta degli autovalori del problema, uno, alcuni o tutti a seconda del metodo specifico. È particolarmente importante l'efficienza della tecnica di soluzione del problema agli autovalori data la pesantezza del calcolo per i grossi modelli. a soluzione completa del problema è comunque proibitiva nel caso di dimensioni rilevanti. ella stragrande maggioranza dei casi non serve la soluzione completa in quanto è sufficiente la conoscenza di un numero di modi che può essere di molto inferiore al numero di autovalori del problema. 7

9 o schema operativo vede l'impiego di tecniche di condensazione di vario genere per la riduzione delle dimensioni del problema. Il problema ridotto viene risolto in forma completa mediante uno dei metodi visti precedentemente. Infine viene ricostruita la soluzione del problema originale. Metodo delle Potenze Il metodo delle potenze consente la determinazione dell'autovalore di modulo massimo e del corrispondente autovettore. Sia A una matrice reale e supponiamo che i suoi autovalori siano tutti distinti, e quindi in particolare che l'autovalore di modulo massimo sia unico. Si tratta però di una limitazione che può essere rimossa. λ i sia la sequenza di autovalori ordinati in maniera decrescente: λ >λ >... λ n- >λ n Il generico vettore, di ordine pari alla matrice A, può essere espresso come una opportuna combinazione lineare degli autovettori X c x + c x + + c x c x Usiamo questo vettore, scelto in maniera arbitraria, per costruire la successione ( k) ( k ) A avo posto (0) Poiché vale la relazione Ax j λ i x i potremo scrivere il primo termine della successione come: () ( 0) i i i i i i i i i i i A A c x c ( Ax ) c λ x allo stesso modo per tutti i successivi termini avremo ( k ) i k i i i c λ x Consideriamo ora il rapporto di due elementi qualsiasi di questo vettore: ( k+ ) ( k) i i k + i xi c λ i c λ x i i k i raccoglio i coefficienti relativi al primo termine delle due sommatorie otteniamo: λ i k+ cx i i ( k+ ) k+ ( ) λ cx i λ cx ( k) k cx λ i k cx λ i i ( ) λ cx i ricordando che gli auovalori sono tutti distinti e che λ >λ >... λ n- >λ n si ha che ( k+ ) lim λ k ( k) infatti i termini in sommatoria tono a zero quando cresce l'esponente i i 8

10 lim k λ ( ) i λ λ ( ) λ i cx cx cx cx i k+ i i i k i i a convergenza del metodo e' tanto più rapida quanto maggiore e' la separazione dei primi due autovalori. el caso che questa sia scarsa e si abbia una conoscenza approssimata dei primi autovalori si può operare uno shift in modo da migliorare la situazione. Per esempio se i primi due autovalori sono 0 e, uno shift negativo di 9 porta ad un problema con autovalori e 3: la separazione e' passata da. a 3. Per evitare la crescita eccessiva dei termini della serie può essere necessario normalizzare il vettore (k) ad ogni iterazione. 0 Dal k-imo termine della serie possiamo recuperare anche l'autovettore: ( k ) k c λ x c λ x + c λ x i k i i i k i i i i metto in evidenza l'autovettore relativo al primo autovalore otteniamo ancora che i termini nella sommatoria tono a zero, quindi, a meno di una costante il rapporto tra il vettore alla k-ima iterazione e la k-ima potenza dell'autovalore danno l'autovettore a meno di una costante: ( k) ciλ k ixi x x k + k c λ c λ i Perché il metodo funzioni correttamente e' solo necessario che il vettore di partenza abbia una componente non nulla nella direzione del primo autovettore, cioè che non sia a sua volta un autovettore relativo ad un altro autovalore. Esempio Faco riferimento alla matrice 0 0 A e pro come punto di partenza della successione un vettore unitario si hanno i seguenti termini: 9. E E6 U W U W U W E ( 0) ( ) ( ) ( 9) ( 0) () ( 0) ( ) () U W U W. 7 ( 9) ( 8) 9. E U W U W ( 0) ( 9) 48. E 4. E U W U W Alla 0-ma iterazione l'autovalore 8 e' approssimato alla terza cifra decimale. In queste cifre e' evidente il problema di crescita dei coefficienti che può rere necessaria la normalizzazione ad ogni passo. In questo caso sono presenti due autovalori nella soluzione in quanto il sistema e' disaccoppiato: normalmente da queste operazioni si ottengono coefficienti della soluzione tutti uguali. % 9

11 % calcolo di autovalori ed autovettori con metodo potenze % clear %ninput('ordine matrice'); %arand(n,n); a[ 0 0; 0 6 4; 0 4 0]; [n nn]size(a); bones(n,); eigvpee(n); ndn; pnones(nd,); nlpnorm(pn); nl0; itera; nit0; while abs(nl-nlp)>.e- nlpnl; nitnit+; pa*pn; for in:nd if pn(in)~0 ll(in)p(in)./pn(in); else ll(in)0; nlnorm(ll); pnp/norm(p); avpotll(); eigvp(:)pn; [avte,avle]eig(a); [ps,idx]sort(diag(avle)); for i: avts(:,i)avte(:,idx(i)); % visualizzazione risultati avpot ps() avts eigvp Jacobi Il metodo di Jacobi consente di determinare tutti gli autovalori di una matrice simmetrica e si basa su di una sequenza di trasformazioni ortogonali di similarità. Si parte dalla considerazione che esiste ed è unica la trasformazione che ortogonalizza una matrice: -A Diag e questa matrice altri non è se non la matrice degli autovettori. Poiché l'individuazione diretta degli autovettori è complessa possiamo pensare di arrivarci per gradi, eseguo una serie di trasformazioni, che manteno gli autovalori e gli autovettori del problema, ci porti alla forma diagonale. Devono essere quindi impiegate trasformazioni ortogonali che mantengano la similarità delle matrici. - - A Diag n n Se si è in grado di generare questa successione di trasformazioni, gli autovettori sono dati dalla produttoria di tutte le matrici di trasformazione necessarie per ottenere la forma diagonale X n i i 0

12 Il metodo si prefigge di ottenere la forma diagonale mediante l'azzeramento dei singoli termini extradiagonali, uno per volta. a singola matrice di trasformazione i ha pertanto lo scopo di annullare un singolo termine extradiagonale. Impono questa condizione si ottiene, anche analiticamente, che i coefficienti della trasformazione sono termini trigonometrici, seni e coseni, che definiscono una rotazione piana. el caso più semplice di una matrice di ordine la matrice di trasformazione è definita come: cos( θ) sin( θ) [] sin( θ) cos( θ) con θ scelto in modo da azzerare contemporaneamente i termini extra diagonali a e a a. In particolare si ottiene a θ a tan a a È possibile dare anche una espressione esplicita dei termini della matrice di trasformazione, infatti: cos( θ) avo definito r ed s come: r + s + s r + s s sin( θ) sign( rs) r + s r + s r a s a a el caso di una matrice di ordine n la struttura della matrice di trasformazione diventa una matrice diagonale unitaria nella quale sono stati modificati in seni e coseni i termini diagonali ed extra diagonali relativi al coefficiente che si vuole azzerare. Se si desidera azzerare il termine a lm la matrice i relativa a questa trasformazione sarà una matrice identità ad eccezione di quattro termini ll cos( θ) ml -sin( θ) mm cos( θ) lm sin( θ ) l m I l 0 cos 0 sin 0 i (, l m) 0 0 I 0 0 m M0 sin 0 cos 0 P I Si deve osservare che l'operazione di azzeramento di una coppia di termini extra-diagonali prevede l'effettuazione di operazioni di combinazione anche su tutti gli altri elementi delle righe/colonne interessate. Questo comporta che termini precedentemente annullati ritornino ad essere diversi da zero; esso però il frutto di operazioni con numeri minori dell'unità (seni e coseni) si avrà che ( k) lim a ij, 0. k Se indichiamo con l'apice (k) la matrice alla trasformazione k-esima avremo quindi che il risultato di una successione di trasformazioni te ad diventare diagonale; il metodo garantisce la convergenza agli autovalori per un numero di trasformazioni infinito: lim ( k A ) λ k Dal punto di vista operativo potremo affermare che i termini diagonali della matrice A (k) corrispondono (k) agli autovalori del problema: A ii λi quando il massimo elemento extra diagonale è sceso al disotto di una soglia di errore prestabilita. Potrà essere utile far dipere questa soglia dal problema, per esempio impiegando un errore relativo al minimo termine diagonale: in questo modo posso pensare di avere ottenuto gli autovalori con una precisione relativa al termine più critico assicurata. a procedura numerica prevede pertanto la ripetizione delle operazioni di trasformazione e potrebbe essere organizzata in modo da azzerare ciclicamente tutti i termini extradiagonali. Si potrebbe pensare

13 che procedo con l'identificazione e quindi l'annullamento del termine extradiagonale maggiore determini una convergenza più rapida. Questo è vero in termini di numero di trasformazioni necessarie ma l'operazione è troppo onerosa in quanto occorre effettuare la ricerca su x(-)/ elementi. Indicando con il termine di passaggio una sequenza di azzeramenti pari al numero di termini extra diagonali, si può dire che, mediamente sono richiesti da 6 a 0 passaggi per la convergenza alla soluzione. ccorre poi tenere presente che la trasformazione viene solo formalmente eseguita come prodotto esplicito tra matrici: poiché sono coinvolte nell'operazione solo due righe e colonne, il prodotto dovrà essere programmato in modo da operare solo sui termini coinvolti. Infatti si possono ottenere le espressioni esplicite di questi ultimi; indicando con l'apice i coefficienti della matrice trasformata e con c ed s gli elementi della trasformazione avremo: a ca sa a ca + sa r l r m rl rl rm rm rm rl, ll ll + mm lm mm ll + mm + lm lm ( ll mm ) + ( ) lm 0 a c a s a sca a c a s a sca a sc a a c s a Il metodo si applica a matrici simmetriche e la trasformazione adottata mantiene ad ogni passo la simmetria, quindi le operazioni di trasformazione possono essere convenientemente realizzate su di una meta soltanto della matrice stessa. 'importanza del metodo non è legata a prestazioni particolarmente esaltanti legate ad un suo utilizzo diretto ma al fatto che le trasformazioni ortogonali ideate da Jacobi vengono impiegate in procedure più complesse e potenti. Data la sua semplicità può essere tranquillamente raccomandato per risolvere problemi di dimensioni contenute (qualche decina di termini), quando lo sforzo di calcolo non è eccessivo. 'azzeramento di un coefficiente extra diagonale comporta l'esecuzione di 4 operazioni; teno conto che una serie completa di azzeramenti coinvolge x(-)/ termini e che sono necessari da 6 a 0 cicli di azzeramento, il peso complessivo dell'operazione è da 0 a 0 3 operazioni. Per migliorare le prestazioni è opportuno evitare nei primi cicli di azzeramento di operare su termini minori di una soglia che può definire in funzione della somma dei termini extra diagonali S: non si opera l'azzeramento relativo al termine a ij se: S a ij, < Inoltre a partire dal quarto ciclo se risulta essere apq << app e apq << aqq allora si può forzare a pq 0. Il criterio con cui stabilire il "molto" può essere basato sul numero di cifre significative a disposizione: ( D+ ) per esempio a < 0 a. pq pp Esempio. Consideriamo la matrice di ordine 3: 0 0 A In questo caso è sufficiente una sola trasformazione. I coefficienti della trasformazione si calcolano come: a 6 a 0 a 4 r a 8 s a a 6

14 r + s cos( θ) sin( θ) sign( 86 ) 0 M 0 0 P M A' Q e gli autovettori sono dati dalla matrice di trasformazione: 0 0 X 0 0 M 0 P M 0. P 0 0. el caso della matrice 0 A Q P M 0 0 P M 0 0 dopo l azzeramento del termine a (si lascia al lettore la verifica dei coefficienti della trasformazione) si ottiene: A dove si può notare che il termine a3 è diventato non nullo. Dopo l azzeramento di questo termine (si lascia allo studente la verifica anche di questo passaggio) la matrice diventa: A dove si può apprezzare che ad essere divenuto non nullo è il termine azzerato al passaggio precedente. Dopo quattro cicli di azzeramento dei termini extradiagonali superiori ad una soglia definita come 8 max( abs( diag( A))) 0, con un totale di 7 trasformazioni si ottiene: A k che, nei termini di precisione della rappresentazione adottata, corrisponde alla soluzione ottenuta con la routine eig() di Matlab: Accumulando la produttoria delle matrici di trasformazione si ottiene la seguente matrice di autovettori: k

15 che, a parte la permutazione corrispondente alla sequenza di estrazione degli autovalori coincide con il risultato di Matlab: [ X ] Si riporta il codice Matlab che implementa questi passaggi: function [Autovalori,Autovettori] Jacobi(A,soglia) % % calcola gli autovalori della matrice simmetrica A con metodo di Jacobi % % soglia rappresenta lo zero del termine extradiagonale per % l'effettuazione della trasformazione % disp(a) nn size(a); count ; cc 0; ee(nn); while disp(sprintf('passaggio %d',count)); ntrasf 0; % contatore trasformazioni per ciclo for i :nn % ciclo sui termini extradiagonali riga for k :i- % colonna if abs(a(i,k))> max(abs(diag(a)))*soglia % costruzione matrice di trasformazione teta 0.*atan(* A(i,k)/(A(i,i)- A(k,k))); t ee(nn); t(i,i) cos(teta); t(k,k) t(i,i); t(i,k) -sin(teta); t(k,i) -t(i,k); disp([i k A(i,k)]) % visualizzazione dati di azzeramento A t'* A *t; % trasformazione * t; % accumulo produttoria trasformazioni ntrasf ntrasf +; % conteggio trasformazioni del ciclo % pause count count +; % aggiornamento contatore cicli cc cc + ntrasf; % aggiornamento contatore trasformazioni if ntrasf 0 % se non sono state effettuate trasformazioni esce break Autovalori diag(a); Autovettori ; return; Jacobi generalizzato el caso di problema in forma non canonica si può procedere per prima cosa alla trasposizione in tale forma mediante la procedura precedentemente esaminata; esiste però una forma alternativa del metodo di Jacobi specifica per questo problema: si tratta del metodo di Jacobi generalizzato. In questo caso vengono azzerati contemporaneamente i termini k lm ed m lm delle matrici di rigidezza e di massa. Viene impiegata una matrice di trasformazione del tipo: 4

16 I α 0 i (, l m ) 0 0 I 0 0 M0 β Anche in questo caso i coefficienti sono determinati impono che si annulli il coefficiente risultato della loro applicazione alla matrice A: αkll, + ( + αβ) Klm, + βk mm, 0 αm + ( + αβ) M + βm 0 ll, lm, mm, I Decomposizione Q Il metodo Q si basa su di una successione di trasformazioni ortogonali A i+ Qi AiQi che te ad una matrice diagonale, quindi alla matrice degli autovalori. a matrice ortogonale Q viene definita attraverso la decomposizione della matrice A nel prodotto A Q i i i dove è una matrice triangolare. Il calcolo della matrice al passo i+ non richiede il doppio prodotto, infatti: A + Q Q Q Q i i i i i i i a decomposizione della matrice A viene ottenuta ricercando una matrice ortogonale che realizza la trasformazione della stessa A in una matrice triangolare mediante una produttoria di matrici a loro volta ortogonali: A i i i con n i j j n n S S S S S vviamente la matrice Q sarà definita come: Q i i Se si utilizzano i coefficienti del metodo di Jacobi ogni prodotto azzera un termine extradiagonale; per una matrice di ordine sono necessari (-)/ passaggi per ottenere la forma triangolare desiderata. Esso la produttoria solo a sinistra non si presentano i problemi di termini già azzerati che "sporcati" dalla moltiplicazione a destra. Questa procedura è però troppo pesante per la sua applicazione a matrici di ordine elevato. Per problemi non troppo grandi, dell'ordine massimo di qualche centinaio di equazioni, si preferisce operare una manipolazione preliminare che ponga la matrice in forma tridiagonale e solo allora applicare il metodo Q: in questo caso con - trasformazioni si ottiene la forma tariangolare Esempio: Ammplichiamo il metodo Q alla matrice del secondo esempio di applicazione del metodo di Jacobi 0 A a costruzione della matrice triangolare avviene con sole trasformazioni a sinistra della matrice A: l azzeramento del termine a e successivamente del termine a 3 (si lascia al lettore la verifica dei coefficienti della trasformazione) avviene con i seguenti passaggi:

17 () () Si nota come il secondo azzeramento, procedo dalle colonne di sinistra verso quelle di destra, non vada a modificare i termini precedentemente azzerati. a matrice Q è data dal prodotto delle singole trasformazioni, quindi; Q e la matrice A per il passo successivo AQ è: A Q a successione A k è da considerarsi a convergenza quando si ottiene una triangolare superiore (esso simmetrica la matrice di partenza è in realtà diagonale) con una soglia di convergenza da valutarsi in percentuale della media dei valori assoluti dei termini diagonali. Gli autovalori del problema sono costituiti dai termini diagonali: Ak diag( λ) Anche in questo caso gli autovettori sono dati dalla produttoria delle matrici di trasformazione Q k. Esempio di programmazione in MAAB (non ottimizzata). Questa routine esegue semplicemente la decomposizione AQ; dovrà essere chiamata all interno di un ciclo che verifichi la convergenza alla forma diagonale/tridiagonale. % % mqr: fattorizzazione Q per matrice tridiagonale % [X,]mqr(A) % % input: matrice quadrata a % output: matrice ortogonale q % matrice triangolare r % function [X,]mqr(A) %inizializzo matrice di scomposizione Q % X A % tttttar % qtttttt A; [n ss]size(a); Xee(n,n); % ciclo di azzeramento termini sottodiagonali for k:n- 6

18 % settaggio dimensioni sottocolonna da azzerare % normalmente termine ll; % ciclo di azzeramento con Jacobi: solo termine sinistro del prodotto % t*a for l:ll % costruzione della matrice di trasformazione radicesqrt((k,k)^+(k+l,k)^); c(k,k)/radice; s(k+l,k)/radice; Qee(n,n); Q(k,k+l)s; Q(k+l,k)-s; Q(k,k)c; Q(k+l,k+l)c; % la matrice e' costruita in forma trasposta!!!! % accumulo del prodotto che porta direttamente alla matrice r Q*; %disp(q) %disp() % accumulo delle matrici di trasformazione XQ*X; XX'; % si puo' verificare che q*ra Il codice che segue, sempre in linguaggio Matlab, gestisce la chiamata delle routine mqr verificando la convergenza: for iter :00 [q,r] mqr(a); % calcolo della matrice per la successiva iterazione ar*q; % verifica di convergenza sulla sottodiagonale principale s 0; errore ; for k :n - s s+ a(k +,k)^; s sqrt(s)/n/(n -); ss sum(abs(diag(a)))*.e-6/n; if s < ss errore 0; break disp(sprintf('%d Convergenza %f (%f)',iter,s,ss)) if errore disp(sprintf('errore soddisfatto in %d iterazioni',iter)); else disp(sprintf('errore soddisfatto in %d iterazioni',iter)); % ordinamento dei risultati disp(a) lqr sort(diag(a)); % verifica risultato metodo Q con soluzione iniziale disp(sprintf(' orma errore vettore autovalori %f ',norm(lo-lqr))); autovorig lo' autovqr lqr' 7

19 rasformazione di Householder a trasformazione di Householder è basata su di una trasformazione ortogonale che rappresenta una riflessione rispetto ad un iper-piano tale da annullare alcune componenti di un ipervettore. Consideriamo la matrice di trasformazione definita nel modo seguente: P I ww con w tale per cui w o w w Questa trasformazione ha le seguenti caratteristiche: P P P P I P P P Dimostrazioni P PP ( I ww ) ( I ww ) I 4ww + 4ww ww I 4ww + 4ww I P ( I ww ) I ( w ) w I ww P P P I; PP I P P P P P Una trasformazione di questo tipo è in grado di azzerare una porzione di riga e di colonna della matrice cui viene applicata. Vediamo come. Consideriamo la matrice A simmetrica di ordine. A a a a3 a a a a3 a a3 a3 a33 a a a n n nn Consideriamola partizionata sul termine. n n A B A B C Ipotizziamo una trasformazione basata su di una matrice simmetrica ortogonale avente la seguente struttura: M Q P I 0 P Q P 0 la matrice trasformata sarà: A M Q P M Q P M Q P M I 0 A B I 0 A B P Q P 0 P B C 0 P PB PCP Dimostriamo che il prodotto PB, per una opportuna costruzione del vettore, è nullo e che la matrice trasformata assume la seguente struttura 8

20 A PAP a k k a a3 a 0 a3 a33 0 a a n 0 0 n nn Costruiamo il vettore w come w u u dove a sua volta u viene definito come: u x x e avo scelto come x la porzione di colonna che si desidera azzerare: x [ a a3 a n ] Il vettore e viene invece definito come vettore avente la stessa dimensione di u e composto da coefficienti tutti nulli ad eccezione del primo posto pari ad : e [ 0 0] Se moltiplichiamo la matrice di trasformazione P per il vettore da trasformare x relativo alla sottocolonna della quale si vogliono azzerare i termini otteniamo: u Px I ww x I u uu x I uu u u x x uu ( ) ( u u x ) ( ) u u ( x x e) ( x x e) ( x x x x e x e + x ) ( x x x ) x x x infatti si nota che: x e x uu Px x u u x x u u u u x u Px x uu x x e x x u uu x x x e x x u ( x x x ) ( ) ( ) x x x x u x ( x x e ) ± x e Il risultato del prodotto è quindi un vettore della stessa dimensione del vettore di partenza ma composto da termini nulli ad eccezione del primo. Una sequenza di n- di queste trasformazioni porta una matrice simmetrica ad essere tridiagonale. Esempio di programmazione MAAB: 9

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