Calcolo combinatorio n

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1 1. Permutazioi semplici di oggetti Calcolo combiatorio Dato u isieme di oggetti, ad esempio lettere, si vuol sapere quati soo i possibili modi i cui esse possoo essere ordiate i ua fila. Il umero complessivo di questi modi viee detto permutazioi semplici di oggetti e lo idicheremo co il simbolo P. Immagiiamo di disporre gli oggetti etro delle caselle umerate: A B C D E F Per sapere quate soo le file costituite dagli stessi oggetti, ma che differiscoo solo per l ordie, comiceremo co il posizioare uo qualuque di essi ella prima casella. Abbiamo evidetemete scelte possibili per esso: Procededo co la scelta dell oggetto che dovrà adare elle secoda casella, avremo ora solo i rimaeti 1 oggetti fra cui sceglierlo: Fermiamoci u mometo a domadarci i quati modi differeti possiamo fare queste due semplici operazioi successive. Per ogua delle scelte del primo oggetto vi soo le corrispodeti 1 scelte del secodo. Complessivamete ci soo quidi ( 1) modi i cui posso predere u oggetto qualuque da u isieme di e poi affiacare ad esso u altro scelto fra i rimaeti. Adiamo avati: per la terza casella ci rimagoo 2 scelte, per la quarta 3 : Siamo così giuti alla quarta casella ed il umero di modi possibili è cresciuto fio a ( 1)( 2)( 3). Più i geerale, si capisce ormai che se co idichiamo il umero di casella, quado saremo giuti ad essa saremo rimasti co solo 1 oggetti fra i quali scegliere. Il processo cotiua fio alla casella umero, dove la scelta sarà obbligata essedo ormai rimasto u solo oggetto. Se si ha ifatti A questo puto è chiaro che il umero complessivo possibile di modi di ordiare gli oggetti è dato da: ( 1)( 2)( 3)...1 ua tale espressioe prede il ome di fattoriale di e si idica co la scrittura!. Abbiamo così dimostrato che: 1

2 P! ( 1)( 2)( 3)...1 Esempio 1 I quati modi differeti può essere mescolato u mazzo di 40 carte? Si tratta di calcolare le possibili file ordiate di 40 carte. La risposta è evidetemete umero, come si vede, eorme ! , u Esempio 2 I quati modi differeti 15 studeti possoo occupare i posti i u aula? Ache i questo caso la risposta è data dal umero di permutazioi di 15 studeti, cioè 15! Esempio 3 Quate soo le fuzioi biettive f : A B? Esistoo fuzioi biiettive solo se la cardialità dei due isiemi è la stessa, altrimeti o è possibile che ogi elemeto di B sia immagie di uo ed u solo elemeto di A. Detto card( A) card( B) il umero di fuzioi biiettive è dato dal umero di modi i cui gli elemeti di B possoo essere associati agli elemeti di A, cioè il umero di modi i cui possoo essere ordiati, vale a dire le loro permutazioi:! 2. Disposizioi semplici di oggetti i classe U caso particolare delle permutazioi semplici di oggetti si ha quado se e vuole ordiare solamete u sottoisieme costituito da elemeti. La domada alla quale rispoderemo è duque: dato u isieme ad esempio di 27 oggetti, quati sottogruppi ordiati, ad esempio di 6 di essi, possiamo formare? Chiameremo il umero di tali sottogruppi ordiati disposizioi semplici di oggetti i classe e lo idicheremo co il simbolo D,. Notiamo che: 1. Si deve avere sempre 2. Due sottogruppi potrao differire per l ordie degli oggetti al loro itero ma ache perché hao almeo u elemeto diverso Il calcolo umerico si effettua immediatamete cosiderato che dobbiamo solo ripetere la costruzioe fatta per le permutazioi semplici, solo che adesso bisogerà fermarsi alla casella umero : I accordo co quato abbiamo già osservato, il umero di modi i cui questo può essere fatto vale ( 1)( 2)( 3)...( 1), e quidi le possibili disposizioi semplici di oggetti i classe soo: D, ( 1)( 2)( 3)...( 1) Esempio 4 I quati modi differeti si possoo scegliere 6 studeti da ua classe di 27 per madarli ad assistere ad uo spettacolo teatrale co dei posti a sedere umerati? Visto che i posti soo umerati, l ordie co il quale vegoo scelti gli studeti è importate. Si tratta pertato di calcolare quate soo le file ordiate di 6 elemeti scelti da u isieme di 27, e cioè di calcolare le disposizioi 2

3 semplici di 27 oggetti i classe 6, D 27,6. Per poter applicare la formula occorre calcolare quato vale 1. I questo caso: e pertato: D27, Esempio 5 Dato l isieme A (1,2, 3) e l isieme B( h,, l, m) si dica quate soo le fuzioi iiettive f : A B Ricordado che ua fuzioe è iiettiva se ad elemeti diversi di A corrispodoo immagii diverse i B, e che f agisce su tutti gli elemeti di A, solo quado (come i questo caso) la cardialità di B è maggiore di quella di A, e cocludiamo che possoo esistere fuzioi iiettive da A i B. Dobbiamo quidi calcolare il umero di modi i cui, scelti 3 elemeti di B, essi possoo associarsi ai 3 elemeti di A. Si tratta quidi di scegliere sottogruppi di 3 da B teedo coto del loro ordie, e quidi la risposta è data dalle disposizioi semplici di 4 elemeti i classe 3. Abbiamo 4, 3, e da cui: D4, Esempio 6 U fioraio deve piatare lugo il bordo di ua terrazza 5 piate di fiori tutte di colore diverso, da scegliersi fra 10 dispoibili. Quati modi diversi esistoo di adorare il terrazzo? L ordie è esseziale, quidi si tratta di disposizioi semplici 10, 5, , da cui: D10, Esempio 7 Utilizzado le cifre 1, 3, 5, 8, 4 si dica: - Quati umeri di 3 cifre differeti si possoo formare - Quati umeri dispari si possoo formare - Quati umeri di tre cifre miori di 400 si possoo formare - Quati umeri di tre cifre divisibili per 5 si possoo formare I umeri di tre cifre costruibili co 1, 3, 5, 8, 4 soo ua cofigurazioe ordiata, quidi si tratta di disposizioi semplici di 5 elemeti i classe 3: 5, 3, da cui: D5, I umeri dispari costruibili co 1, 3, 5, 8, 4 soo quelli che termiao co 1, co 3 o co 5. Quidi, essedo l ultima cifra fissata, si tratta di calcolare i quati modi si possoo ordiare le 4 rimaeti, vale a dire le permutazioi di 4 elemeti: P4 4! Ed ogua di queste permutazioi può essere associata al 5, al 3 o all`1. I totale esistoo: 24 3 = umeri dispari costruibili co le cifre 1, 3, 5, 8, 4. I umeri di tre cifre miori di 400 costruibili co 1, 3, 5, 8, 4 soo quelli di tre cifre che iiziao co 1 oppure co 3. Quidi, essedo la prima cifra fissata, si tratta di calcolare i quati modi si possoo ordiare le 2 rimaeti, da scegliere fra le altre 4. Soo quidi le disposizioi i classe 2 di 4 elemeti. Essedo + 1 = = 3 risulta: D4, Ed ogua di queste disposizioi può essere associata al 3 o all`1. I totale esistoo: umeri miori di 400 costruibili co le cifre 1, 3, 5, 8, 4. 3

4 I umeri divisibili per 5 costruibili co 1, 3, 5, 8, 4 soo solamete quelli che termiao per 5. Quidi, essedo l ultima cifra fissata, si tratta di calcolare i quati modi si possoo ordiare le 4 rimaeti. Soo quidi le permutazioi di 4 elemeti. P4 4! Ci soo quidi 24 umeri divisibili per 5 fra quelli costruibili co le cifre 1, 3, 5, 8, 4 3. Combiazioi semplici di oggetti i classe Dato u umero complessivo di oggetti ci cocetreremo ora sulla possibilità di estrarre da essi elemeti seza riguardo per l ordie di estrazioe. Cosidereremo quidi diversi due sottogruppi di elemeti che differiscoo per almeo u oggetto, ma li diremo uguali se differiscoo solo per l ordie. Chiameremo il umero di tali sottogruppi o ordiati le combiazioi semplici di oggetti i classe e lo idicheremo co il simbolo C,. Le combiazioi i classe 3 soo 4 Ci soo 3! permutazioi per ogi combiazioe ABC ACB BAC CBA BCA CAB ABD ADB BAD DBA BDA DAB ACD ADC CAD DCA CDA DAC BCD BDC CBD DCB DBC CDB D4,3 C 4,3 P Ogua di queste coloe è ua sola combiazioe, ma 6 permutazioi Notiamo subito che dati oggetti, il umero delle loro disposizioi i classe è sempre maggiore del umero delle loro combiazioi i classe. Ifatti, scegliere ua combiazioe i classe sigifica semplicemete scegliere u sottoisieme di degli oggetti, ma poi questi possoo essere riordiati i molti modi differeti. Quati ordiameti differeti ci soo già lo sappiamo, si tratta del umero delle loro permutazioi, e cioè esistoo P! ordiameti differeti del sottoisieme scelto. Poiché questo si può fare per ciascua delle combiazioi i classe, vale allora la semplice relazioe: D C P,, Vediamo, a chiarimeto di quato detto, le disposizioi e le combiazioi i classe 3 delle 4 lettere ABCD. Seza fare uso di formule, si vede facilmete che esistoo solo 4 modi di predere 3 elemeti dalle lettere date, ed essi soo ABC, ACD, BCD, ABD. Si ha quidi C4,3 4. Ciascuo di tali modi è passibile di tati riordiameti quato vale il umero permutazioi, cioè si possoo fare P3 3! 6 file ordiate per ogi combiazioe, e quidi si hao i tutto D4,3 C4,3 P disposizioi semplici. Chiaramete già sapevamo come calcolare le disposizioi semplici e quidi o è questo il risultato utile. L utilità appare chiara se ivertiamo la formula ricavado le combiazioi a partire dalle disposizioi: C, D, ( 1)( 2)...( 1) P! 4

5 Osserviamo a questo puto ua semplice proprietà del fattoriale:! ( 1)! ad esempio si ha 7! 76! 7 6 5! e così via. Più i geerale:!! ( 1)...( 1) ( )! ( 1)...( 1) ( )! che iserito ella formula sopra forisce u espressioe alterativa per C, : C, ( 1)( 2)...( 1)( )( 1)...1!!( )!!( )! A secoda della miore complessità dei calcoli si sceglierà di volta i volta quale delle due espressioi equivaleti coviee usare. Per le combiazioi di elemeti i classe si usa ache il simbolo sitetico: che si legge su. C,. Esempio 8 U barma ha a disposizioe 5 liquori. Quati coctails differeti può otteere mescoladoe 4 alla volta? Si tratta di scegliere 4 liquori da u gruppo di 5 seza che coti il loro ordie, quidi dobbiamo calcolare le combiazioi di 5 oggetti i classe 4: 5 5! 5 4! C 5, !(5 4)! 4! Esempio 9 Quate ciquie si possoo fare a tombola? Dobbiamo predere 5 umeri su 90 totali seza riguardo per l ordie, quidi essedo 1 86 : C 90, ! si oti che la formula adoperata ell esempio 4 avrebbe richiesto il calcolo di 90! Per evitare di lavorare co umeri così gradi coviee i questo caso l espressioe alterativa. Esempio 10 Nel gioco del poer si dao 5 carte ciascuo da u mazzo di 32. I quati modi differeti può essere servito u giocatore? Essedo 1 28 abbiamo: C 32, ! 5

6 SPECCHIO RIASSUNTIVO Permutazioi di oggetti: umero di file ordiate che si possoo realizzare co oggetti Disposizioi semplici di oggetti i classe : umero di gruppi di elemeti che possoo essere estratti da u isieme di oggetti assumedo che due gruppi siao diversi se differiscoo o per l ordie oppure almeo per u elemeto Combiazioi semplici di oggetti i classe : umero di gruppi di elemeti che possoo essere estratti da u isieme di oggetti assumedo che due gruppi siao diversi se differiscoo almeo per u elemeto 4. Teciche di risoluzioe Vi soo alcui tipi di domade che ricorroo egli esercizi di calcolo combiatorio, vediamole isieme. Domada 1: si trovi i quati modi può aversi ua successioe di eveti idipedeti, di cui il primo si può verificare i a modi diversi, il secodo i b modi diversi, il terzo i c modi diversi e così via Poiché gli eveti soo idipedeti, e quidi qualuque sia il tipo di quelli precedeti che si verifica, o iflueza i successivi, ad oguo degli a modi i cui si verifica il primo possiamo associare tutti gli b modi i cui si verifica il secodo e ad oguo di questi il umero c di modi i cui si verifica il terzo etc. La riposta è quidi a b c... modi modi del modi del modi del... totali primo secodo terzo Esempio 11 U ristorate ha el meù: 4 tipi di atipasto, 5 tipi di primo differeti, 3 tipi di secodo, 2 tipi di dolce. I quati modi possiamo ordiare u prazo completo? Essedo gli eveti idipedeti, il umero di modi i cui la loro successioe può verificarsi è , che coicide co il umero dei possibili prazi completi. Esempio 12 Quati soo i divisori positivi di 12000? Scompoedo i fattori primi si ha Ne cosegue a b c che u divisore di ha la forma 3 2 5, dove ciascuo degli espoeti a, b, c va da zero fio al valore massimo che è quello che compare ella scomposizioe i fattori primi trovata sopra. Ci soo quidi due espoeti possibili per il 3 (cioè 0 e 1), sei per il due (0,1,2, 3, 4, 5) e quattro per il cique (0,1,2, 3). Il prodotto del umero di questi eveti idipedeti dà il totale dei divisori: a1 a2 a3 a I geerale se u umero itero si scompoe i p1 p2 p3... p, allora il umero dei suoi divisori positivi è dato da: ( a1 1)( a2 1)...( a 1). 6

7 Domada 2: si trovi quati soo gli aagrammi (seza sigificato compiuto) di ua parola composta da lettere tutte differeti, e di ua parola composta ache da lettere che si ripetoo. Nel primo caso abbiamo a che fare co delle semplici permutazioi di oggetti. Si vogliao ad esempio trovare gli aagrammi della parola CIELO, composta da 5 lettere. La prima lettera dell aagramma la posso scegliere fra 5, la secoda fra quattro, la terza fra tre, la secoda fra due e per l ultima ho solo ua possibile scelta. Il risultato è di aagrammi. Se ivece alcue delle lettere si ripetoo bisoga teere coto del fatto che il loro scambio di posto o dà luogo ad aagrammi differeti. Calcoliamo il umero di aagrammi della parola BANANA, composta da 6 lettere. Se ripetessi il ragioameto di prima otterrei , u umero molto più alto degli aagrammi effettivamete possibili. E questo perché el coto soo iclusi ache gli scambi di posto fra le 3 lettere A e quelli fra le 2 lettere N. Cosiderato che il umero di modi i cui le tre A possoo scambiarsi di posto è 3! 6 e che per le N è 2! 2, ogi aagramma è stato cotato 6 volte di troppo a causa delle A e 2 volte di troppo a causa delle N. Dividedo per abbiamo il giusto coteggio: I geerale se si ha ua parola di lettere di cui ua ripetuta volte ed u altra ripetuta p volte e così via, il! umero di aagrammi che si possoo fare è:.! p!... Esempio 13 Trovare quati soo gli aagrammi della parola MATEMATICA Ci soo 10 lettere di cui la M si ripete 2 volte, la T 2 volte, la A 3 volte, 10! 10! 10! ! quidi: !2! 3! 4 3! 4! 4! Domada 3: i quati modi posso estrarre oggetti da u isieme di i modo che e cotegao esattamete m co ua caratteristica fissata. Il sottoisieme di oggetti è composto dagli m aveti la caratteristica richiesta e dai restati -m che o l hao. Occorre dapprima calcolare il umero di modi i cui possoo essere presi dal umero complessivo gli m oggetti co le caratteristiche richieste. Queste sarao le combiazioi di i classe m, (oppure le disposizioi se l ordie è importate). Tale umero va poi moltiplicato per le possibili combiazioi (o disposizioi) degli oggetti rimasti (cioè m ) i classe m. Esempio 14 Da ua classe di 28 persoe di cui 15 femmie e 13 maschi si dica i quati modi si può formare ua delegazioe di 5 persoe di cui 3 siao doe. Il umero di modi i cui si possoo predere 3 doe da u gruppo di 15 è dato dalle combiazioi di 15 i 15 classe 3:, visto che l ordie o è esseziale. I restati compoeti della delegazioe devoo 3 13 essere scelti fra i 13 uomii ed il umero di modi di farlo è. Poiché ad ogi sottogruppo di 3 doe può corrispodere uo qualsiasi dei sottogruppi maschili, la risposta al problema sarà il prodotto

8 Domada 4: i quati modi posso estrarre oggetti da u isieme di i modo che e cotegao almeo m co ua caratteristica fissata. La strategia risolutiva cosiste i questo caso el calcolare il umero di casi sfavorevoli e el sottrarlo al umero dei casi possibili. I casi possibili soo dati dal umero complessivo di modi i cui si possoo predere, seza riguardo per l ordie, oggetti da :. I casi sfavorevoli soo dati dal umero di modi i cui o si hao almeo m oggetti del tipo voluto, e cioè quado se e avrao m 2, m 3 etc. Al totale, allora, si sottrae dapprima il umero di modi i cui si possoo predere esattamete m 1 oggetti co la caratteristica richiesta, scelti el sottoisieme di quelli che fra gli la presetao. Poi si tolgoo i modi i cui se e possoo predere m 2, m 3 fio all ultimo caso i cui el sottoisieme di elemeti o si ha essu oggetto del tipo voluto. Esempio 15 Da ua classe di 28 persoe di cui 15 femmie e 13 maschi si dica i quati modi si può formare ua delegazioe di 5 persoe di cui almeo 2 siao doe. I casi possibili soo complessivamete I casi sfavorevoli soo quelli i cui fra i 5 elemeti della delegazioe o figurao almeo 2 doe, e cioè el caso i cui o ve e sarà essua oppure ve e sarà solo ua. Il umero di modi i cui o è presete essua doa corrispode a quello di tutte le delegazioi 13 di 5 elemeti maschi: 5. Per stimare i casi i cui figura ua sola doa, dobbiamo prima calcolare i 13 possibili isiemi di 4 maschi scelti fra i 13:. Cosiderado poi che ad oguo di tali isiemi si può 4 13 associare ua qualuque delle 15 femmie, dovremo moltiplicare per il umero complessivo delle 4 doe per avere il totale delle delegazioi costituite da 4 maschi ed ua femmia. La risposta sarà allora: delegazioi co almeo 2 doe Esempio 16 Si dica quati soo le ciquie della tombola che hao 5 come MCD (massimo comue divisore). Ua ciquia che ha MCD=5 deve essere formata soltato da multipli di 5. Essedo 90 i umeri della 18 tombola, esistoo duque 90/5=18 umeri fra cui scegliere e quidi esistoo 5 di tali ciquie. Tuttavia ua ciquia di multipli di 5 può ache o avere 5 come MCD, ( si cosideri ad esempio 20, 30, 40, 50, 60 che ha MCD=10). Ma dato che 5 è comuque u divisore di tutti i umeri della ciquia, se il MCD o è 5 allora deve essere u suo multiplo. Gli uici multipli di 5 che a loro volta hao almeo cique multipli miori di 90 (e quidi possoo fare da MCD per ua delle ciquie selezioate) soo 10 e 15: già il umero 20 ammette solo quattro multipli fio a 90. Esistoo 6 multipli di 15 miori od uguali a 90 (15, 30, 45, 60, 75, 8

9 90) e 9 multipli di 10 miori od uguali a 90 (10, 20, 30,90). Si possoo quidi costruire 6 5 ciquie di 9 multipli di 5 che hao MCD=15 e 5 ciquie di multipli di 5 che hao MCD=10. Il loro umero totale va sottratto a quello di tutte le ciquie possibili, per cui la risposta è: Ciquie co MCD = ! Esame di stato Soo dati gli isiemi A 1;2;3; 4 e B a; b; c. Tra le possibili fuzioi di A i B ce e soo di suriettive? Di iiettive? Di biettive? No ci soo certamete fuzioi iiettive dato che il umero degli elemeti di B è iferiore al umero degli elemeti di A. No ci soo emmeo fuzioi biiettive perché queste dovrebbero essere cotemporaeamete iiettive e suriettive, ma ciò o può essere o essedoci le iiettive. Per il calcolo delle biiettive tutti e tre gli elemeti dib devoo essere delle immagii, essuo di loro può restare escluso. Dobbiamo quidi associare a ciascuo degli elemeti dia oguo uo dei tre elemeti di B, pertato ci sarao tre elemeti di A co immagie differete e poi il quarto sarà associato ad u elemeto ripetuto. Il umero di fuzioi è dato quidi dal umero di coppie diverse che si possoo scegliere fra i quattro elemeti di A, moltiplicato per il totale dei tre elemeti di B, a sigificare che scelta la coppia che ha la stessa immagie si può acora scegliere l elemeto che fa da immagie Disposizioi co ripetizioe Vogliamo ora calcolare quate file ordiate di oggetti si possoo formare scegliedo ciascuo di essi all itero dello stesso isieme di elemeti, ma co la possibilità ogi volta di ripetere ua scelta già fatta. Chiameremo il umero di tali file ordiate le disposizioi co ripetizioe di oggetti i classe e lo idicheremo co il simbolo DR,. La domada alla quale rispoderemo è duque: dato u isieme ad esempio di 4 oggetti, quate differeti file ordiate, ad esempio di 6 elemeti, possiamo formare scegliedo solo fra gli? Notiamo che: 1. Essedo autorizzati a ripetere la scelta, si potrà avere ma ache 2. Cosidereremo diverse due file di elemeti che differiscoo per almeo u oggetto o per l ordie. Il calcolo umerico si effettua co ua costruzioe simile a quella delle permutazioi semplici, co la differeza che il umero delle possibili scelte o dimiuisce di 1 passado alla casella successiva, ma è sempre, visto che ogi volta ho oggetti (virtuali) fra cui pescare: 9

10 Il umero di modi i cui questa fila ordiata può essere fatta vale allora:... volte quidi le possibili disposizioi co ripetizioe di oggetti i classe soo: DR, Esempio 17 Quati diversi modi esistoo di fare 13 al totocalcio? Dato che ogi coloa differete è u poteziale 13, la domada chiede di calcolare quate diverse coloe di 13 elemeti si possoo fare utilizzado i 3 simboli 1X2. Si tratta allora delle disposizioi co ripetizioe di 13 3 elemeti i classe 13 : DR3, Esempio 18 Due alui di liceo seguoo u percorso di studi che comprede 11 materie differeti. Calcolare: a) i quati modi diversi può verificarsi l evetualità che etrambi predao l isufficieza i 2 materie a fie ao b) i quati modi diversi può verificarsi l evetualità che etrambi predao u 3 ed u 4 a fie ao L ordie i cui si cosiderao gli studeti o cota, ed ioltre le isufficieze dei due ragazzi soo eveti idipedeti, e quidi come si è visto abbiamo: modi modi del modi del totali primo secodo. a) Se lo studete fosse uo solo la risposta si otterrebbe calcolado i quati modi diversi si possoo 11 scegliere 2 materie isufficieti fra le 11, cioè. Ad oguo di questi può essere associato uo qualuque 2 modi dei modi i cui il secodo studete può avere le 2 isufficieze, pertato: totali 2. 2 b) I questo caso l assegazioe delle isufficieze alle materie diveta u processo ordiato perché vegoo specificati due differeti voti, e ad esempio o è lo stesso avere 3 i Italiao e 4 i Matematica piuttosto che 4 i Italiao e 3 i Matematica. Dovremo quidi fare il prodotto delle disposizioi ordiate di modi 2 11 elemeti i classe 2: D11,2 D11,2 D11,2 totali. Essedo poi abbiamo D11,2 (11 10) 110. Esempio 19 Quate soo le fuzioi f : A B sapedo che card( A) 3 e che card( B) 4? E scambiado le cardialità? 10

11 Possiamo trovare tutte le fuzioi calcolado il umero di modi i cui si possoo prelevare 3 elemeti da B, potedoli ripetere (ache tutti e tre uguali). Si tratta quidi delle disposizioi co ripetizioe di 4 elemeti 4 i classe 3: DR. Scambiado le cardialità il umero di fuzioi possibili diviee , I coefficieti biomiali Si voglia otteere la poteza -esima di u biomio, a b. Per defiizioe risulta: a b a ba ba ba b... a b Svolgedo i calcoli si ottiee ua combiazioe lieare 1 di 1 moomi, ciascuo di grado. All itero di essi a e b figurao co tutti gli espoeti da 0 fio ad : volte c 1 1 c3 c 4... c-1 a b a a b a b a b ab b ci propoiamo di calcolare i coefficieti della combiazioe lieare c 1, c 2, c 3,..., c 1, detti coefficieti biomiali. Il geerico moomio della combiazioe lieare ha quidi la forma: a b aaaaaaaa... aa bbbb... bb - volte uo dei modi i cui la moltiplicazioe degli fattori ( a b) fa comparire il termie a b ello sviluppo dei calcoli è prededo il fattore a dai primi biomi della moltiplicazioe, ed il fattore b dai rimaeti : volte a b a ba ba b... a ba ba b... a b - volte volte Questa però o è l uica moltiplicazioe che, svolgedo i calcoli, produce a b. Ifatti è sufficiete predere il fattore a da biomi comuque scelti all itero del prodotto e di cosegueza il fattore b dai restati biomi per otteere lo stesso risultato, come ell esempio seguete: a b a ba ba b... a ba ba b... a b - volte volte È facile calcolare il umero complessivo di modi differeti i cui questo procedimeto può essere compiuto: si tratta di tutte le possibili scelte di elemeti da u isieme di. E visto che ua volta scelti gli biomi da cui si prede il fattore a la scelta dei rimaeti da cui predere b è obbligata, questo 1 Si dice combiazioe lieare dei umeri reali 1, 2, 3,... a coefficieti reali c 1, c 2, c 3,..., c la quatità c1 1 c2 2 c c 11

12 umero è ache uguale a tutte le possibili scelte di elemeti da u totale di, e cioè vale. Nello sviluppo della poteza a b ci soo quidi termii simili a b, e questo per ogi valore di da 0 fio ad. Ne cocludiamo che: a b a b 0 A titolo di esempio calcoliamo lo sviluppo di a b 5 : a b a b a a b a b a b ab b a 5a b 10a b 10a b 5ab b L iterpretazioe data di come coefficieti ello sviluppo di u biomio cosete il calcolo della loro somma dal primo fio all -esimo. Poiamo di voler calcolare lo sviluppo del biomio (1 1) 2 : (1 1) Il triagolo di Tartaglia e la formula di Stifel E possibile evitare l utilizzo della formula C,!!( )! e calcolare i coefficieti biomiali co u semplice procedimeto ricorsivo, detto triagolo di Tartaglia, che a sua volta si basa su di ua proprietà detta formula di Stifel. Cosideriamo quidi il umero di modi differeti i cui si possoo scegliere elemeti di u isieme A costituito da oggetti. Chiamiamo a uo qualuque di questi elemeti e poiamoci le segueti due domade: 1. Quate solo le combiazioi i classe degli oggetti di A che cotegoo a? 2. Quate soo le combiazioi i classe degli oggetti di A che ivece o cotegoo a? La risposta alla prima domada si ottiee cosiderado che se a deve essere coteuto fra i elemeti di ciascua combiazioe, allora abbiamo ua scelta delle che è vicolata, e e rimagoo da scegliere 1 fra gli altri elemeti di A, che tolto a, soo 1. Pertato il umero che cerchiamo è 1. 1 La risposta alla secoda domada si ottiee cosiderado che se a o deve figurare i essua delle combiazioi, allora la scelta dei oggetti è limitata solo a quegli elemeti di A diversi da a, che soo 1 acora 1. Il umero che cerchiamo sarà pertato. A questo puto osserviamo che per ua qualuque combiazioe di elemeti di A vi soo solo due possibilità: o la combiazioe cotiee l oggetto a oppure o cotiee l oggetto a. Ne cocludiamo che 12

13 sommado il umero di combiazioi i classe che cotegoo a co quelle che o lo cotegoo si ha la totalità delle combiazioi i classe di oggetti, e cioè. I formule si ha il risultato: che va sotto il ome di formula di Stifel 2. Questa proprietà cosete di ricavare i coefficieti biomiali costruedo ua struttura triagolare come quella a lato dove, co l eccezioe dei fattori 1 agli estremi, ciascu umero è otteuto sommado i due che ella fila precedete occupao la posizioe ella coloe alla sua siistra ed alla sua destra. riga - 1 riga Cardialità degli isiemi di fuzioi Defiizioe: si dice cardialità di u isieme il umero di elemeti che appartegoo ad esso. La cardialità può essere fiita ma ache ifiita, come el caso dell isieme di umeri pari. Poiamo di avere due isiemi A e B e sia: a card( A) b card( B) i termii elemetari diremmo che l isieme A si compoe di a elemeti metre l isieme B si compoe di b elemeti. Ci chiediamo ora quale sia la cardialità dell isieme costituito dalle fuzioi che vao da A i B. Isieme di fuzioi f : A B Costruiamo la fuzioe geerica, che lo ricordiamo - associa ad ogi elemeto di A u solo elemeto di B immagiado che oguo degli elemeti di A sia ua scatola dove dobbiamo iserire u elemeto di B, potedo ache ripetere la stessa scelta per scatole differeti. Abbiamo u umero totale di a scatole: a 1 2 U espressioe equivalete della formula di Stifel è: 1 13

14 Ho a disposizioe b oggetti da iserire i ciascua scatola: ci soo quidi b diverse possibili scelte per la prima scatola. Dato che ua fuzioe geerica può associare ache tutti gli elemeti di A allo stesso elemeto di B, la scelta già fatta può essere ripetuta: è come se el passare alla successiva casella gli b oggetti o si esaurissero mai. Passado quidi al secodo scomparto ho sempre b diverse possibili scelte, ogua delle quali può essere associata a ciascua delle scelte b della scatola precedete: b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b a Lo stesso umero di scelte vale per le caselle successive. Il totale delle scelte possibili è quidi il prodotto delle diverse possibilità per ciascua casella. Dato che si hao u umero a di caselle: a b b b b b... b b u umero di a volte b b b Quidi la cardialità dell isieme di fuzioi f : A B è: card B ( ) ( ) card A b a Esempio 20 Quate soo le fuzioi f : A B sapedo che A 1;2;3; 4 e che B h; ; l fuzioi f : B A?? E quate soo ivece le Risulta: Ci soo quidi: a card( A) 4 b card( B) 3 a 4 b 3 81 fuzioi : b 3 a 4 64 fuzioi : f A B f B A Isieme di fuzioi iiettive f : A B Ricordiamo che ua fuzioe è iiettiva se ad elemeti diversi di A corrispodoo immagii diverse i B, e che f agisce su tutti gli elemeti di A. Se quidi B cotiee meo elemeti di A o è possibile trovare u immagie per ciascuo degli elemeti di A seza ripetersi. E se ci si ripete, la fuzioe o è iiettiva. Ne cocludiamo che: Possoo esistere fuzioi iiettive da A i B solo se la cardialità di B è maggiore od uguale a quella di A. Torado al modello delle scatole cotrassegate co gli elemeti di A, questa volta dovremo riempirle co elemeti diversi di B, visto che la fuzioe iiettiva o può ripetere ua stessa immagie. Rispetto a prima gli b elemeti i ostro possesso ora dimiuiscoo a mao a mao che li si va posizioado. Abbiamo così b possibili scelte per la prima casella, ma solo b 1 per la secoda, b 2 per la terza e così via. b 1 b-1 2 b-2 3 b-3 4 b-4 5 b-5 6 b-a+1 a 14

15 Come si vede il umero di scelte per ogi casella si ottiee sottraedo a b il umero ordiale della casella e poi sommado 1. Quidi giuti all ultimo oggetto dell isieme A, che avrà il umero d ordie a sarao rimaste b a 1 scelte. Poiché ogua delle scelte di ogi casella è associabile ad ua qualsiasi delle scelte per la casella precedete, il umero totale si ottiee ache i questo caso facedo il prodotto: b( b 1)( b 2)...( b a 1) co b a espressioe che rappreseta la cardialità dell isieme di fuzioi iiettive f : A B. Esempio 21 Dato l isieme A 1;2; 3 e l isieme B h,, l, m si dica quate soo le fuzioi iiettive f : A B e quate soo le fuzioi iiettive f : B A Risulta: a card( A) 3 b card( B) 4 poiché è b a possoo esistere fuzioi iiettive f : B A. Calcoliamo il umero delle fuzioi iiettive f : A B. Dato che risulta: ci soo quidi: fuzioi iiettive f : A B. ( b a 1) b( b 1)( b 2)...( b a 1) 4(4 1)(4 2) 24 15