2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 1 INTRODUZIONE

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1 2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 INTRODUZIONE Il problema agli autovalori di un operatore La trattazione del problema agli autovalori di un operatore fatta negli spazi finitodimensionali perde completamente validità negli spazi infinitodimensionali, poiché in questi spazi non esiste alcun analogo dell equazione secolare e conseguentemente un operatore (anche limitato) può non avere alcun autovalore. Il problema deve quindi essere affrontato in modo completamente diverso. La trattazione che segue ha carattere euristico e prende le mosse dalla considerazione di esempi. Vedremo che esistono classi di operatori, che risulteranno di importanza fondamentale in meccanica quantistica, che non hanno alcun autovalore e corrispondente autovettore nel senso proprio dei termini e per i quali tuttavia si può enunciare un teorema sulla completezza degli autovettori dopo averne opportunamente generalizzato il concetto. Il concetto di sottospazio invariante Il concetto di sottospazio invariante di un operatore, pur non avendo alcuna utilità ai fini della trattazione del problema agli autovalori, è tuttavia, come vedremo, di notevole importanza concettuale in meccanica quantistica e sarà discusso alla fine del fascicolo.

2 2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 2 L operatore i d dx Nello spazio L 2 (R) delle funzioni di x consideriamo l operatore k op = i d dx ESEMPI Si dimostra subito che l operatore k op è hermitiano. Infatti, per f(x), g(x) S (R), risulta g, k op f = dx g (x) ( i d dx f(x)) = L equazione agli autovalori di k op è nel dominio ovunque denso S (R). () i d v(x) = k v(x), dx dove intendiamo che v(x) appartenga a S (R) e quindi a L 2 (R). Tralasciando per il momento questa condizione, scelto k qualsiasi, la soluzione generale dell equazione differenziale () è data da dx ( i d [ ] dx g(x)) f(x) i g + (x)f(x) = k op g, f. } {{ } = 0 (2) v k (x) = a k exp(ikx), a k arbitrario. Per k complesso, v k (x) diverge esponenzialmente per x + o x e non appartiene a L 2 (R). Per k reale, v k (x) è un esponenziale oscillante, non diverge, ma v k (x) 2 è di nuovo non integrabile su R. Tuttavia, pur non appartenendo v k (x) a L 2 (R), per ogni ψ(x) L 2 (R) possiamo scrivere (3) ψ(x) = dk ψ(k) a k exp(ikx) (dove risulta ψ(k) a k L 2 (R) delle funzioni di k). In questo senso le funzioni a k exp(ikx), pur non appartenenti a L 2 (R), sono un sistema completo in L 2 (R). Domanda Ci chiediamo se, scegliendo opportunamente i fattori a k, le funzioni a k exp(ikx) possono anche essere considerate, in qualche senso, un sistema ortonormale.

3 2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 3 Ortonormalità delle funzioni {v k (x)} Scegliendo a k = / le equazioni (2) e (3) diventano (4) v k (x) = exp(ikx), (5) ψ(x) = dk ψ(k) exp(ikx). Introduciamo un prodotto scalare generalizzato per mezzo della definizione (6) v k, ψ gen : = dx v k(x) ψ(x) Allora assumendo per v k (x) l espressione (4) risulta v k, ψ gen = dx exp( ikx)ψ(x). Dallo sviluppo (5), per il teorema sulla trasformata inversa di Fourier, si ha e quindi ψ(k) = dx exp( ikx) ψ(x) (7) ψ(k) = vk, ψ gen. Lo stesso risultato si ottiene usando, invece del teorema sulla trasformata inversa di Fourier, la relazione che lo traduce in termini della funzione delta di Dirac. Definendo un ulteriore prodotto scalare generalizzato (8) v k, v k GEN : = l espressione (4) dà il risultato (9) v k, v k GEN = Allora, posto (0) ψ(x) = si ottiene immediatamente dalla definizione (6) dx v k (x) v k(x), dx exp ( i(k k )x ) = δ(k k ). dk ψ(k) v k (x), v k, ψ gen = dx dk ψ(k ) v k(x) v k (x) = dk ψ(k ) δ(k k ) = ψ(k) cioè la (7).

4 2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 4 Se si considera nello spazio L 2 (R) un ordinaria base ortonormale {e i (x)}, il prodotto scalare tra due elementi della base è dato da () e j, e i = l ortonormalità della base si scrive dx e j (x) e i (x), (2) e j, e i = δ ij, e la completezza della base permette di scrivere per ogni ψ(x) lo sviluppo (3) ψ(x) = j ψ j e j (x). D altra parte, il prodotto scalare tra ψ(x) e e j (x) è (4) e j, ψ = e dall ortonormalità della base si ottiene subito dx e j (x) ψ(x) (5) e j, ψ = ψ j. L analogia tra le equazioni (), (2), (3), (4) e (5) da un lato e le equazioni (8), (9), (0), (6) e (7) dall altro permette di considerare "ortonormale" la base {v k (x)} pur non appartenente allo spazio L 2 (R).

5 2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 5 L operatore d2 dx 2 Poiché evidentemente per f(x) S (R) è k op f(x) S (R), l operatore k 2 op = d2 dx 2 ha per dominio S (R) ed è ivi hermitiano. Gli autovettori di k op sono anche autovettori di k 2 op e il quadrato degli autovalori di k op sono i corrispondenti autovalori di k 2 op, cioè (6) d2 dx 2 v k(x) = k 2 v k (x). A differenza di i d d2 il problema agli autovalori di dx 2 presenta degenerazione, dx poiché v k (x) e v k (x) appartengono al medesimo autovalore k 2. Perciò anche combinazioni lineari arbitrarie di v k (x) e v k (x), ad esempio cos(kx) e sin(kx), sono autofunzioni di d2 dx 2 corrispondenti all autovalore k2.

6 2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 6 L operatore x Consideriamo nel dominio S (R) L 2 (R) l operatore di moltiplicazione per x definito da (7) x op f(x) = xf(x). Si dimostra immediatamente che l operatore x op è hermitiano. Dall equazione agli autovalori (8) x u(x) = x u(x) segue u(x) = 0 per x x, e quindi u(x) è l elemento nullo di L 2 (R). Pertanto non esistono, tra le funzioni ordinarie, soluzioni non nulle dell equazione agli autovalori (8). Tuttavia e quindi, posto si ha x δ(x x) = x δ(x x) u x (x) = δ(x x) x u x (x) = x u x (x). La famiglia di "funzioni" u x (x), non appartenenti a L 2 (R), ha le seguenti proprietà: a) permette di sviluppare qualsiasi elemento di L 2 (R), ψ(x) = d x ψ( x) δ(x x); b) costituisce un sistema ortonormale nel senso del prodotto scalare, GEN, u x, u x GEN = dx δ(x x) δ(x x) = δ( x x). Pertanto le funzioni (9) u x (x) = δ(x x) pur non appartenendo allo spazio L 2 (R) e pur non essendo nemmeno funzioni nel senso ordinario costituiscono una base ortonormale in L 2 (R) nello stesso senso in cui lo sono le funzioni v k (x) = ( / ) exp(ikx).

7 2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 7 L operatore i Nello spazio L 2 (R 3 ) delle funzioni di x x, y, z consideriamo l operatore vettoriale k op = i nel dominio ovunque denso S (R 3 ). Si dimostra subito che le tre componenti i x, i y, i z Le funzioni v k (x) = exp(ik x) = exp(ik 3/2 x x) () dell operatore k op sono hermitiane. exp(ik y y) sono autofunzioni simultanee delle tre componenti dell operatore i corrispondenti rispettivamente agli autovalori k x, k y, k z. exp(ik z z) Sinteticamente scriviamo i v k (x) = k v k (x). Le funzioni v k (x) permettono di scrivere, per ogni ψ(x) L 2 (R 3 ), ψ(x) = d 3 k ψ(k) v k (x), dove ψ(k) = v k, ψ gen. avendo definito il prodotto scalare generalizzato v k, ψ gen : = d 3 x v k(x) ψ(x) = () 3/2 d 3 x exp( ik x) ψ(x). Le autofunzioni v k (x) sono ortonormali, v k, v k GEN = δ (3) (k k ), nel senso del prodotto scalare generalizzato v k, v k GEN : = d 3 x vk (x) v k(x) = () 3 d 3 x exp ( i(k k ) x ).

8 2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 8 L operatore Le funzioni v k (x) sono anche autofunzioni dell operatore kop 2 = ( 2 / x / y / z 2) appartenenti all autovalore k 2 = kx 2 + ky 2 + kz, 2 cioè v k (x) = k 2 v k (x). Il problema agli autovalori di presenta degenerazione infinita, poiché tutte le direzioni di k, fissato il suo modulo, corrispondono al medesimo autovalore. L operatore x Consideriamo nel dominio S (R 3 ) L 2 (R 3 ) la terna di operatori x op x op, y op, z op definita da x op f(x) = xf(x), y op f(x) = yf(x), z op f(x) = zf(x), ovvero sinteticamente x op f(x) = xf(x). Si dimostra immediatamente che le tre componenti di x op sono hermitiane. Le funzioni u x (x) = δ (3) (x x) = δ(x x) δ(y ȳ) δ(z z) sono autofunzioni simultanee delle tre componenti x, y, z dell operatore x corrispondenti rispettivamente agli autovalori x, ȳ, z. Sinteticamente scriviamo x u x (x) = x u x (x). La famiglia di "funzioni" u x (x), non appartenenti a L 2 (R 3 ), ha le seguenti proprietà: a) permette di sviluppare qualsiasi elemento di L 2 (R 3 ), ψ(x) = d 3 x ψ( x) δ (3) (x x); b) costituisce un sistema ortonormale nel senso del prodotto scalare, GEN, u x, u x GEN = d 3 x δ (3) (x x) δ (3) (x x) = δ (3) ( x x). Pertanto le funzioni u x (x) = δ (3) (x x) pur non appartenendo allo spazio L 2 (R 3 ) e pur non essendo nemmeno funzioni nel senso ordinario costituiscono una base ortonormale in L 2 (R 3 ) nello stesso senso in cui lo sono le funzioni v k (x) e u x (x) in L 2 (R) e v k (x) in L 2 (R 3 ).

9 2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 9 GENERALIZZAZIONE Le funzioni v k (x) e u x (x) hanno, per ogni finito, le proprietà caratteristiche x + x d x u x (x) = k + k dk v k (x) = d x χ x,x + ( x) u x (x) = dk χ k,k + (k) v k (x) L 2 (R), d x χ x,x + ( x) δ(x x) = χ x,x + (x) L 2 (R) che permettono di sviluppare su di esse qualsiasi ψ(x) L 2 (R). Le funzioni v k (x) e u x (x) hanno proprietà analoghe in L 2 (R 3 ). Sulla base degli esempi esaminati, in uno spazio di Hilbert L 2 (R n ) delle funzioni di x R n, accanto alle autofunzioni a modulo quadrato integrabili w i (x) L 2 (R n ), ammetteremo anche autofunzioni w s (x), eventualmente costruite con funzioni delta, purché la variabile s sia continua e l integrale in s su ogni intervallo di ampiezza finita sia a modulo quadrato integrabile, cioè tali che per ogni finito (20) s+ s ds w s (x) L 2 (R n ). Terminologia Gli autovettori appartenenti a L 2 (R n ) e i corrispondenti autovalori si dicono propri. Gli autovettori nel senso generalizzato descritto sopra e i corrispondenti autovalori si dicono impropri. Nota Gli autovettori impropri (e i corrispondenti autovalori) sono necessariamente individuati da almeno una variabile continua, altrimenti non riusciremmo a rientrare in L 2 (R n ) sommandoli. Un sistema ortonormale di autovettori propri è necessariamente numerabile, cioè i suoi elementi sono individuati da indici discreti. Spettro Per gli operatori delle famiglie che ci interessano, si dice spettro l insieme degli autovalori propri e impropri. In generale un operatore può avere spettro discreto, spettro continuo, spettro discreto e spettro continuo (anche parzialmente sovrapposti).

10 2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 0 RAPPRESENTAZIONI La rappresentazione x in L 2 (R) La autofunzioni improprie u x (x) = δ(x x) dell operatore x costituiscono una base ortonormale, (2) u x,u x GEN = dx δ(x x) δ(x x) = δ( x x), nello spazio L 2 (R) delle funzioni di x. Se ψ = ψ(x) è un elemento del nostro spazio L 2 (R), la relazione (22) ψ( x) = dx δ(x x) ψ(x) = u x,ψ gen permette di considerare ψ( x) come il rappresentativo dell elemento ψ nella rappresentazione definita dalla base dei vettori u x (x) il cui rappresentativo è δ(x x), che è detta rappresentazione x. La relazione (22) mostra che il rappresentativo di ψ(x) è la stessa funzione ψ( x), cioè la rappresentazione x è l autorappresentazione dello spazio L 2 (R) delle funzioni di x. Nella rappresentazione x, per la loro stessa definizione, l operatore x è rappresentato dalla moltiplicazione per la variabile x e l operatore i d è rappresentato dalla derivazione rispetto a x moltiplicata per i. dx Se L è un operatore lineare tale che ϕ = Lψ, la sua azione può essere scritta ϕ(x) = dx L(x, x ) ψ(x ) in termini dei rappresentativi ψ(x) e ϕ(x) di ψ e ϕ e del rappresentativo L(x, x ) come nucleo integrale di L nella rappresentazione x. I rappresentativi come nucleo integrale dell identità, dell operatore x, dell operatore i d dx sono rispettivamente δ(x x ), x δ(x x ) e i δ (x x). Queste espressioni, oltre che essere evidenti, possono essere ottenute formalmente dalla relazione L(x, x ) = u x, Lu x GEN = d x u x( x) L u x ( x).

11 2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 La rappresentazione k in L 2 (R) Le autofunzioni improprie v k (x) = exp(ikx) dell operatore i d dx costituiscono una base ortonormale, (23) v k, v k GEN = dx exp( ik x) exp(ikx) = δ(k k ) nello spazio L 2 (R) delle funzioni di x. Se ψ = ψ(x) è un elemento del nostro spazio L 2 (R), la relazione (24) ψ(k) = dx exp( ikx) ψ(x) = v k, ψ gen definisce il rappresentativo ψ(k) dell elemento ψ nella rappresentazione definita dalla base dei vettori v k (x), che è detta rappresentazione k. Il teorema sulla trasformata inversa di Fourier fornisce la relazione inversa alla (24) (25) ψ(x) = dk ψ(k) exp(ikx). Dalle relazioni (25) e (23) segue l espressione del prodotto scalare ψ 2, ψ in termini dei rappresentativi ψ (k) e ψ 2 (k), (26) ψ 2, ψ = dx ψ2(x) ψ (x) = dx dk ψ 2(k) exp( ikx) ψ (x) = dk ψ 2(k) ψ (k). Posto ϕ(x) = x ψ(x) risulta ϕ(k) = dx exp( ikx)xψ(x) = dx i d exp( ikx) ψ(x) = i d }{{} dk dk ψ(k), cioè l operatore x è rappresentato dalla derivazione rispetto a k moltiplicata per i. Posto ϕ(x) = i d ψ(x), usando la formula di integrazione per parti, risulta dx ϕ(k) = dx exp( ikx)( i) d dx ψ(x) = dx k exp( ikx) ψ(x) = k ψ(k), cioè l operatore i d dx è rappresentato dalla moltiplicazione per k. I rappresentativi come nucleo integrale L(k, k ) dell identità, dell operatore x, dell operatore i d dx sono rispettivamente δ(k k ), i δ (k k) e k δ(k k ).

12 2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 2 Le rappresentazioni x e k in L 2 (R 3 ) Le funzioni costituiscono una base ortonormale, u x (x) = δ(x x)δ(y ȳ)δ(z z) = δ (3) (x x) u x, u x GEN = δ (3) ( x x ), nello spazio L 2 (R 3 ) delle funzioni di x. La relazione (27) ψ( x) = d 3 x δ (3) (x x) ψ(x) = u x,ψ gen permette di considerare ψ( x) come il rappresentativo dell elemento ψ nella rappresentazione definita dalla base dei vettori u x (x) il cui rappresentativo è δ (3) (x x), che è detta rappresentazione x ed è l autorappresentazione dello spazio L 2 (R 3 ) delle funzioni di x. Le funzioni v k (x) = () 3/2 exp(ik xx) exp(ik y y) exp(ik z z) = exp(ik x) 3/2 () costituiscono una base ortonormale, v k, v k GEN = δ(k x k x) δ(k y k y) δ(k z k z) = δ (3) (k k ), nello spazio L 2 (R 3 ) delle funzioni di x. La relazione (28) ψ(k) = d 3 x exp( ik x) ψ(x) = v () 3/2 k,ψ gen definisce il rappresentativo ψ(k) dell elemento ψ = ψ(x) nella rappresentazione definita dalla base dei vettori v k (x), che è detta rappresentazione k. La relazione inversa alla (28) è (29) ψ(x) = d 3 k ψ(k) exp(ik x) () 3/2 Il prodotto scalare ψ 2, ψ in termini dei rappresentativi ψ (k) e ψ 2 (k) è dato da (30) ψ 2, ψ = d 3 k ψ 2(k) ψ (k). Le relazioni (28) e (29) connettono i rappresentativi u x, ψ = ψ(x) e v k, ψ = ψ(k) di un stesso elemento ψ(x) di L 2 (R 3 ) nelle due rappresentazioni.

13 2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 3 Basi improprie in generale e funzione delta Sia {w s (x)} una base impropria la cui ortonormalità, come nei casi fin qui esaminati, sia espressa dalla relazione (3) w s, w s GEN = δ(s s ). L uso dei prodotti scalari generalizzati, gen e, GEN e della funzione delta di Dirac permette di eseguire sulla base {w s (x)} in modo formalmente identico tutte le operazioni che si eseguono sulle basi ortonormali propriamente dette usando il prodotto scalare ordinario e il simbolo delta di Kronecker. Calcolo delle componenti Posto ψ(x) = ds ψ(s) w s (x), segue immediatamente dalla (3) δ(s s ) w s, ψ gen = ds ψ(s) { }} { w s, w s GEN = ψ(s ). Prodotto scalare Da ψ (x) = ds ψ (s) w s (x), ψ 2 (x) = ds ψ 2 (s) w s (x), segue immediatamente ψ 2, ψ = ds ds δ(s s ) ψ 2 (s ) ψ { }} { (s) w s, w s GEN = ds ψ 2(s) ψ (s). Azione di un operatore Considerato un operatore L definito da ϕ(x) = L ψ(x) si può scrivere ϕ(s) = w s, ϕ gen = w s, L ψ gen = w s, L ds ψ(s ) w s gen = ds w s, L w s GEN ψ(s ), dove w s, L w s GEN = dx ws (x) L w s (x) è il rappresentativo come nucleo integrale dell operatore L. Simbologia Nei fascicoli successivi sottintenderemo le specificazioni gen e GEN fin qui apposte ai prodotti scalari generalizzati.

14 2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 4 PROBLEMA AGLI AUTOVALORI DEGLI OPERATORI AUTOAGGIUNTI E UNITARI Ci chiediamo se, in uno spazio di Hilbert infinitodimensionale H, sia possibile individuare classi di operatori per i quali esista sempre un sistema completo di autovettori propri o impropri. La risposta è affermativa. Teorema Un operatore autoaggiunto o unitario possiede sempre un sistema completo di autovettori propri e impropri. Gli autospazi propri sono sempre mutuamente ortogonali nel senso del prodotto scalare,, gli autospazi propri sono sempre ortogonali a quelli impropri nel senso del prodotto scalare, gen e gli autospazi impropri sono sempre mutuamente ortogonali nel senso del prodotto scalare, GEN. Gli autovalori propri e impropri di un operatore autoaggiunto sono reali. Gli autovalori propri e impropri di un operatore unitario sono numeri complessi di modulo. Basi ortonormali Gli autospazi propri sono individuati da uno o più indici discreti. Gli autospazi impropri sono individuati da uno o più indici di cui almeno uno continuo. Dagli autovettori propri e impropri possono sempre essere estratte basi ortonormali. In caso di degenerazione i vettori di una base ortonormale saranno individuati da ulteriori indici in aggiunta a quelli che individuano gli autospazi. Nel caso degli autospazi propri gli ulteriori indici sono comunque discreti e l ortonormalità nel sottospazio è espressa tramite simboli di Kronecker. Nel caso degli autospazi impropri gli ulteriori indici possono essere discreti o continui (anche per uno stesso operatore) e l ortonormalità nel sottospazio è espressa tramite simboli di Kronecker o funzioni delta di Dirac.

15 2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 5 Proprietà degli operatori considerati Gli operatori k op = i d dx, k2 op = d2 dx 2, x op = x sono tutti hermitiani nel dominio di definizione ovunque denso S (R) L 2 (R). Il loro dominio può essere esteso univocamente in modo che l estensione sia autoaggiunta. Analogamente gli operatori k op = i, kop 2 =, x op = x sono tutti hermitiani nel dominio di definizione ovunque denso S (R 3 ) L 2 (R 3 ). Il loro dominio può essere esteso univocamente in modo che l estensione sia autoaggiunta. La completezza degli autovettori, tutti impropri, di questi operatori, che abbiamo stabilito con argomenti euristici, è in realtà la completezza degli autovettori della loro estensione autoaggiunta che discende dal teorema dianzi enunciato.

16 2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 6 Risoluzioni dell identità e di un operatore Considerati gli autovettori propri e impropri ortonormalizzati di un operatore autoaggiunto (o eventualmente unitario), A w nl = a n w nl, (n π d discreto), si può sempre scrivere f = c nl w nl + dk c km w km, nl m π c A w km = a k w km, (k π c continuo, m discreto), A f = a n c nl w nl + dk a k c km w km, nl m π c dove c nl = w nl, f, c km = w km, f gen. Poiché w nl, f w nl = P nl f, dove P nl è il proiettore sul sottospazio unidimensionale generato da w nl, se lo spettro è puramente discreto si ha f = nl P nlf = n P nf, A f = nl a np nl f = n a np n f, dove P n è il proiettore sull autospazio appartenente all autovalore a n. In termini di operatori le ultime relazioni si scrivono = n P n, A = n a np n. Se lo spettro non è puramente discreto, per la parte continua scriviamo formalmente w km, f gen w km = P km f, m P km = P k, anche se P km e P k non sono operatori con risultato in H. Allora f = P nf + dk P k f, A f = a np n f + dk a k P k f, n π n c π c ovvero (32) = P n + dk P k, A = a np n + dk a k P k. n π n c π c (risoluzione dell identità) (risoluzione dell operatore A) Notiamo che, anche se P k non ha risultato in H, per ogni finito P k, = k+ k dk P k e A k, = k+ k dk a k P k sono rispettivamente un proiettore e un operatore con risultato in H.

17 2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 7 Commutatività e diagonalizzazione simultanea di più operatori Due operatori autoaggiunti o unitari A e B commutano quando tutti i proiettori Pn A, Pk, A della risoluzione dell uno commutano con tutti i proiettori Pn B, Pk, B della risoluzione dell altro. Nota Nel caso di operatori limitati il loro commutatore [ A,B ] è ovunque definito e la definizione data sopra equivale all annullarsi del commutatore. Nei capitoli successivi ignoreremo i problemi di dominio e daremo per scontato che due operatori commutino quando il loro commutatore, anche non ovunque definito, sia nullo. Teorema Condizione necessaria e sufficiente affinché gli operatori autoaggiunti o unitari A, B, C,... abbiano un sistema completo di autovettori propri o impropri comuni è che gli operatori commutino a due a due. Funzioni di un sistema di operatori commutanti Il concetto di funzione arbitraria di un sistema di operatori autoaggiunti o unitari commutanti si introduce in modo del tutto analogo al caso degli spazi di Hilbert finitodimensionali. Esponenziazione di un operatore autoaggiunto Sia A un operatore autoaggiunto e sia f(a) = exp(ica) con a numero reale non nullo. Allora l operatore f(a) = exp(ica) è un operatore unitario. Sistemi esaurienti di operatori commutanti Del tutto analogamente al caso degli spazi di Hilbert finitodimensionali diciamo che un sistema di operatori A, B, C,... (autoaggiunti o unitari) commutanti è esauriente se il problema agli autovalori simultaneo del sistema di operatori non presenta degenerazione. Aggiunta a un sistema esauriente di operatori commutanti Se A, B, C è un sistema esauriente di operatori (autoaggiunti o unitari) commutanti e G è un ulteriore operatore (autoaggiunto o unitario) che commuta con A, B e C, G è funzione di A, B, C.

18 2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 8 SOTTOSPAZI INVARIANTI Il concetto di riduzione di un operatore a un sottospazio si trasferisce senza difficoltà al caso degli spazi di Hilbert infinitodimensionali sia pure con qualche ovvia cautela per quanto riguarda i domini nel caso di operatori non limitati. Per quanto riguarda il concetto di sottospazio invariante conviene limitare la definizione agli operatori autoaggiunti o unitari, definendo un sottospazio H invariante per l operatore A quando per tutti i proiettori della risoluzione dell operatore valga la condizione (33) P n P = P P n P, P k, P = P P k, P o equivalentemente (34) P P n P = 0, P P k, P = 0, dove P e P sono rispettivamente i proiettori su H e sul complemento ortogonale H = H H. Dalla (34), essendo i proiettori P n e P k, autoaggiunti, segue immediatamente che anche H è invariante per A. Nota Per un operatore autoaggiunto A la definizione di invarianza di H è equivalente alla (33). AP = PAP Per un operatore unitario U la definizione di invarianza di H UP = P UP è più debole della (33) e non implica l invarianza di H.

d 2 dx ψ + 2 m E V x ψ = 0 V x = V x + a. ψ(x+a) = Q ψ(x). ψ x = e " i k x u k ψ x + a = e " i k x + a u k x + a = e " i k a e " i k x u k

d 2 dx ψ + 2 m E V x ψ = 0 V x = V x + a. ψ(x+a) = Q ψ(x). ψ x = e  i k x u k ψ x + a = e  i k x + a u k x + a = e  i k a e  i k x u k Teorema di Bloch Introduzione (vedi anche Ascroft, dove c è un approccio alternativo) Cominciamo col considerare un solido unidimensionale. Il modello è quello di una particella (l elettrone) in un potenziale

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