16. Derivate di ordine superiore.

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1 6. Derivate di ordie superiore. Fiora abbiamo visto due livelli di approssimazioe Livello uzioi cotiue ()=( )+ε () co ε () ε ( ) Livello uzioi diereziabili ()=( )+ ( ) (- )+ε () co Ci si chiede se è possibile migliorare il livello di approssimazioe. L idea che si può seguire è la seguete: al livello si è approssimata la uzioe co il miglior poliomio di grado possibile, e cioè co la costate ( ); al livello si è scelta come uzioe approssimate il miglior poliomio di grado, cioè ( )+ ( ) (- ), dove il termie migliore sigiica che, usado u qualsiasi altro poliomio di grado, il resto sarebbe adato a come e o più velocemete. Tuttavia approssimare co u poliomio di primo grado, che graicamete corrispode a ua retta, ci permette di avere iormazioi sul crescere e decrescere (locale) della uzioe, ma o sul atto che il suo graico sia cocavo verso l alto o verso il basso (le rette iatti o presetao cocavità ). Ci si chiede allora se si possoo estedere questi risultati usado come uzioe approssimate u poliomio di grado superiore al primo, i modo da avere più iormazioi. Suppoiamo che la uzioe sia diereziabile i tutti i puti di u certo itervallo I; allora i ogi puto di I esiste la derivata (): si è duque costruita ua uova uzioe su I che assega ad ogi puto il corrispodete valore della derivata di e ci si può chiedere se questa uova uzioe sia a sua volta diereziabile. Se la risposta è aermativa si dirà che la uzioe è due volte diereziabile i I e la derivata della derivata si chiamerà derivata secoda di e si porrà ( ) ()= (). Chiaramete si può ripetere il discorso e parlare di derivata della derivata secoda, cioè di derivata terza (( ) ()= ()) e così via (come otazioe per le derivate di ordie si usa porre l ordie di derivazioe come apice i umeri arabi, posti etro paretesi per evitare cousioi co le poteze; così per la derivata quarta si idica () ). Esempi di questo procedimeto: ()= ()= ()=6 ()=6 () ()= ()=e ()= e ()= e ()= e () ()=e ()= ()= log ()= log ()= log () ()= log ()=si ()= cos ()= si ()= cos () ()= si ()=cos ()= si ()= cos ()= si () ()= cos ()=log ()= ()= ()= () 6 ()= Se ua uzioe è cotiua su u itervallo I si usa dire che è di classe C-zero:C. Se ivece è diereziabile co derivata prima cotiua si dice che è di classe C-uo:C e così via C, C, C. Ua uzioe si dice covessa (cocava) su u itervallo I se il suo graico preseta la cocavità verso l alto (risp. verso il basso), cioè se comuque scelti due puti e i I, ell itervallo di estremi e il graico di sta sotto (risp. sopra) la retta cogiugete i due puti (, ( )), (, ( )) (ua uzioe covessa o cocava è ecessariamete cotiua) Se è derivabile la deiizioe di covessità (risp. cocavità) è equivalete a richiedere che comuque scelti 5

2 u puto i I, il graico di stia, ell itervallo I, sopra (risp. sotto) la retta tagete al graico el puto (, ( )). Osserviamo ora che data ua geerica parabola di equazioe y=a +b+c, il suo graico preseta la cocavità verso l alto o il basso a secoda che il sego di a sia positivo oppure egativo. Ioltre la derivata secoda di ()= a +b+c è ()=a. Potremmo quidi aermare che per le parabole la cocavità è rivolta verso l alto o il basso a secoda che la derivata secoda sia positiva o egativa, Questo atto ha validità geerale: Se è derivabile due volte i I la deiizioe di covessità (risp. cocavità) è equivalete a richiedere che () ( () ) i ogi puto i I. Co le derivate secode si può arrivare ad u secodo livello di approssimazioe, iatti se la uzioe è derivabile due volte el puto si ha che ( ) ()=( )+ ( ) (- )+ ( ) +ε () co ε ( ) ( ) A questo puto il poliomio approssimate di secodo grado rappreseta la parabola che più si avvicia al comportameto del graico della uzioe ei pressi del puto (, ( )), ed è caratterizzato dall avere, el puto, lo stesso valore, la stessa derivata prima e la stessa derivata secoda della uzioe. È quidi aturale che le proprietà di covessità di tale parabola si rilettao sulle aaloghe proprietà della uzioe. I particolare se la uzioe ha derivata prima ( ) ulla i e derivata secoda positiva, il poliomio approssimate diviee ( )+ ( ), il cui graico è ua parabola co il miimo proprio i ; è aturale riteere che ache preseti u puto di miimo relativo i e iatti Proposizioe. Sia ua uzioe deiita i u itervallo I e derivabile due volte all itero di I. Se è u puto itero ad I i cui ( )= e ( )>, allora il puto è di miimo relativo per i I; se ivece ( )= ma ( )<, allora il puto è di massimo relativo per i I. Esempio. Cerchiamo i puti di massimo e di miimo relativo della uzioe ()= log. L isieme di deiizioe è dato dalla positività dell argometo del logaritmo: (,+ ). I limiti agli estremi di deiizioe soo: se, l adare a del termie prevale sull adare all iiito del logaritmo, quidi lim log =. Lo si può vedere ache co il teorema di de l Hôpital applicato alla uzioe log ; iatti il rapporto delle derivate vale = che tede a e quidi ache la uzioe di parteza tede a. se +, il limite è + i quato prodotto di due uzioi che tedoo a +. 5

3 La derivata ()= log + =log + si aulla se log =, cioè se = ; e ()=( ) ()=, che è positiva el puto,5,5 ()= log = e e duque tale puto è di miimo (i altro modo, si poteva osservare che ()> se e solo se log +> ovvero se -,5 > e ; quidi prima la uzioe è decrescete e poi crescete: e segue che il puto e è di miimo). Esempio. Cerchiamo i puti di massimo e di miimo relativo della uzioe ()= L isieme di deiizioe è tutto l asse reale e i limiti al tedere di a + e, soo, rispettivamete + e. Ioltre ()=6-8+=6( -+) che si aulla per = e =-. Iie ()=-8 e ()=6>, (-)=-< da cui si deduce che = è puto di miimo, metre =- è puto di massimo (relativo). Esempio. Cerchiamo i puti di massimo e di miimo relativo della uzioe ()=(-) e - L isieme di deiizioe è acora tutto l asse reale e i limiti al tedere di a + e, soo, i quato l espoeziale tede a (quado il suo argometo va all iiito) più velocemete di qualsiasi poteza (del suo argometo, che è, a sua volta, ua poteza). La derivata prima vale ()= e - -(-) e - =- e - ( --) e si aulla solo se = di questi due puti (massimo o miimo), piuttosto che calcolare la derivata secoda coviee ricordare che è positiva per valori iteri all itervallo delle radici e 7 duque prima decresce io a, poi cresce, per + 7 decrescere iie dopo : il primo dei due puti è di miimo relativo, il secodo di massimo (i ogi caso la derivata secoda è ()=-[( e - ) ( --)+ e - ( --) ] = - e - ( )) ± 7. Per determiare la atura,5 - -,5 - -,5 Come si può osservare ella igura di iaco, il massimo relativo è appea acceato (il suo valore è circa.56 quidi meo di u cetesimo del valore assoluto del miimo). Ritorado all argometo pricipale, l approssimazioe tramite poliomi, quello che si è detto per il livello, si può dire per u qualsiasi livello di approssimazioe purchè la uzioe a cui si applica il processo di approssimazioe abbia u suiciete umero di derivate. Il risultato pricipale è euciato dalla ormula di Taylor. - -,5 - -,5 5

4 Formula di Taylor. Sia ua uzioe deiita su u itervallo I e sia u puto di I i cui è diereziabile almeo volte. Allora ( ) ()=( )+ ( ) (- )+ ( ) + + () ( ( ) ) ε ( ) +ε () co!! ( ) Il poliomio ( ) T ()= ( )+ ( ) (- )+ ( ) + + () ( ( ) ) k ( k ) ( ) = ( )!! k = k! Si chiama poliomio di Taylor di grado della uzioe relativo al puto, il poliomio di grado che meglio approssima la uzioe vicio al puto. Esso è caratterizzato dall avere i comue co la uzioe il valore di tutte le derivate io all ordie el puto : ( ) = T ( ), ( )= T ( ), ( )= T ( ),, () ( )= T () ( ). Se, come spesso accade, la uzioe ha derivate di qualsiasi ordie i tutti i puti dell itervallo I, si possoo scrivere i poliomi di Taylor di ogi grado e all aumetare del grado migliora il livello dell approssimazioe (ma, i geere, solo vicio al puto, come vedremo egli esempi). Ioltre, i tal caso, si può orire ua stima umerica dell errore. Più precisamete, esiste u puto c, compreso tra e tale che l errore ε soddisa alla seguete stima ε () () + ( ). ( + )! Esempio. ()=e e = Tutte le derivate soo uguali: () ()=e e () ()= per ogi. ()=e e T k k ( k ) T ()= () = = k = k! k = k! = 5!! = Si ricordi che e(=e = )= lim = + k = k! Esempio. ()=si e = Le derivate: ()=cos, ()= si, ()= cos, () ()= si, (5) ()= cos, (6) ()= si, (7) ()= cos, (8) ()= si, e così via Ne segue che () ()= se è pari, metre vale alterativamete + o se è dispari k + k ( k ) k T + ()= ( ) = ( ) = + + ( ) k = (k + )! k = (k + )!! 5! 7! ( + )! Si osservi che gli uici termii che soo diversi da soo quelli relativi alle poteze dispari (e iatti la uzioe seo è ua uzioe dispari). ()= si e T = π π π π = = =5 =7 =9 5

5 Esempio. ()=cos e = Le derivate: ()= si, ()= cos, ()= si, () ()= cos, e così via Ne segue che () ()= se è dispari, metre vale alterativamete + o se è pari k k 6 ( k ) k T ()= ( ) = ( ) = + + ( ) k = (k)! k = (k)!!! 6! ()! Si osservi che gli uici termii che soo diversi da soo adesso quelli relativi alle poteze pari (e iatti la uzioe coseo è ua uzioe pari). ()= cos e T π π π π = = = =6 =8 Si può osservare che ei casi io ad ora esamiati, al crescere di o solo migliorava il grado di approssimazioe, ma ache si estedeva la regioe i cui tale approssimazioe era buoa; come vedremo o sempre è così. Esempio. ()= e =! Le derivate: ()=, ()=, ()=, ()! ()=, e così via 5 ( ) ( ) ( ) ( ) Ne segue che ()=, ()=, ()=, ()=!, () ()=!, e k k ( k ) k T ()= ( ) = k! = = k = k! k = k! k = ()=/(+) e T Questo risultato o deve sorpredere: iatti abbiamo già visto che = k 5 lim + se <<. Se si cambia co, si ottiee che il poliomio di Taylor di ()= + è T ()= k ( ) = ( ) k = Come si può vedere dalla igura a lato il grado di approssimazioe peggiora sesibilmete al crescere di quado >. Se ora sostituiamo ell ultima uzioe al posto della variabile, otteiamo che il poliomio di Taylor di ()= è + T ()= k = ( ) k k = ( ) Ache questi poliomi uzioao bee solo se <<. Esempio 5. ()=log(+) e = = = = = = 5

6 Basta osservare che la derivata di questa uzioe è ()=. Quidi ache i sigoli addedi + del poliomio di Taylor di avrao le derivate che coiciderao co i corrispodeti addedi del poliomio di Taylor di, quidi + ()=log(+) e T k + k T + ()= ( ) = ( ) k + + k = Ache i questo caso l approssimazioe è buoa solo ell itervallo (-,]. I particolare el puto = si ottiee k log = lim + ( ) k = k + ache se la covergeza è molto leta. I modo del tutto aalogo si può operare co la uzioe ()=arctg dopo aver osservato che ()= : + k + k T + ()= ( ) = ( ) k k = I questo caso l approssimazioe è buoa ell itervallo [-,]. I particolare el puto = si ottiee - - = = = = =5 π k = arctg = lim + ( ) k = k + La covergeza ache i questo caso è molto leta. I tutti gli esempi cosiderati si è presa l origie come puto iiziale; tali poliomi cetrati ell origie predoo ache il ome di poliomi di McLauri. Nulla vieta, ovviamete, di utilizzare, a secoda delle esigeze, puti diversi dall origie come cetro del poliomio. ()=arctg e T Da quato abbiamo appea visto, se vogliamo approssimare tramite poliomi la uzioe arcotagete o la sua derivata su tutto l itervallo [-,], il poliomio di Taylor o è la migliore soluzioe, perché tale poliomio cessa di orire buoe approssimazioi al di uori dell itervallo [-,]. Si può allora operare i modo diverso: u poliomio di grado ha u espressioe del tipo P ()= a + a a a + a Il poliomio P dipede da + parametri (i coeicieti a k ) e quidi basta richiedere il passaggio per + puti del graico per otteere u poliomio di grado che dovrebbe be approssimare la uzioe su tutto l itervallo i questioe: tale poliomio prede il ome di poliomio iterpolate. Ad esempio el caso della uzioe ()= sull itervallo [-,] si può pesare di determiare + il poliomio di grado due passate per i tre puti corrispodeti a =-, = e =, cioè al poliomio a +b+c il cui graico passa per (-,/5), (,), (,/5) (i realtà, poiché si ha a che are co ua uzioe pari, ache il poliomio iterpolate sarà pari, cioè avrà solo poteze pari: a +c -,5 -,5,5,5 - = = =5 =7 55

7 e basterà cosiderare i puti co ). Sostituedo ell equazioe y=a +c i valori =, y= e = a + c a = =, y=/5 si ottiee il sistema 5 che ha come soluzioi = c c = 5. Nella prima delle igure a lato si corota l adameto della uzioe (), del poliomio iterpolate di grado (P, - /5 ) e del poliomio di Taylor di grado (T, - ); ella secoda, lo stesso coroto viee operato tra i poliomi di grado (per il poliomio iterpolate (P), /5 + /; per il poliomio di, ,5 - P T - - P T Taylor (T), + ). Si può acilmete vedere che l approssimazioe globale è assai peggiore co Taylor, ache se, ella immediate viciaze di, Taylor rappreseta il miglior poliomio possibile. Si potrebbe pesare che più si a crescere il grado, più l approssimazioe raggiuta co i poliomi iterpolati divega uiormemete buoa, ma i realtà questa aermazioe è solo parzialmete vera. Se iatti corotiamo i poliomi di grado e, P e P, co quello di grado 6, P 6 (la cui espressioe aalitica è assolutamete orripilate: ci accorgiamo che quest ultimo, i viciaza degli estremi e, approssima la uzioe peggio del poliomio di grado. Questo eomeo prede il ome di eomeo di Ruge. Questo atto egativo può essere superato co ua scelta opportua dei puti per cui ar passare il poliomio iterpolate, ma questo esula dagli scopi che ci siamo preissi.,,8,6,, ), = = =6 7. Complemeti sui graici delle uzioi Molto spesso o è possibile determiare i modo esatto le ascisse dei puti i cui ua uzioe si aulla: ad esempio el caso della uzioe ()= + e è immediato che i limiti al tedere di a e + soo rispettivamete e + e che la uzioe è strettamete crescete ( ()= + e >), quidi esiste u uico puto i cui la uzioe si aulla. Ma quato a determiarlo esplicitamete, è tutta u altra questioe; possiamo, localizzarlo u po meglio, tra e, ad esempio, osservado che ( )= + e =.6 e ()= ; possiamo giugere a stabilire quali soo le prime cire decimali del puto i cui la uzioe si aulla, co il metodo di dicotomia itrodotto el teorema degli zeri, ma è u metodo molto leto: ecessita, i questo caso, di passaggi per arrivare a cire decimali esatte! Il ostro primo scopo i questo paragrao sarà di itrodurre metodi assai più eicieti per la determiazioe umerica (approssimata) degli zeri di ua uzioe. 56

8 Etrambi i metodi richiedoo che la uzioe matega lo stesso tipo di covessità ell itervallo preso i cosiderazioe e permettoo i geere di approssimare co molta velocità il puto i cui la uzioe si aulla. Illustreremo per primo il metodo delle secati. Suppoiamo, ad esempio, che la uzioe sia cotiua, covessa e tale che (a)> e (b)<. L equazioe della retta che passa per gli estremi (a,(a)) e (b,(b)) del graico è ( b) ( a) b a y=(a)+ ( a) Tale retta taglia l asse delle i u puto i cui la uzioe assume acora valore <, la cui ascissa si può acilmete trovare, poedo y= ella precedete equazioe, e cioè b a ( b) ( a) =a ( a) A questo puto si ripete l operazioe co la uova coppia di puti (a,(a)) e (,( )) e si ottiee il uovo puto a a ( ) ( a) =a ( ) a ( ) ( a) e si procede i tal modo, otteedo la successioe di puti =a ( a) che tede assai rapidamete al puto i cui si aulla: ella igura sottostate si vedoo i primi tre puti, idicati co,,, della successioe approssimate. Nello stesso modo si opera el caso di cotiua, cocava e tale che (a)< e a b (b)>. Negli altri due casi (cioè cocava e tale che (a)> e (b)< oppure covessa e tale che (a)< e (b)>) si lascia isso il secodo estremo e la successioe che si ottiee è b ( b) ( ) b ( b) ( ) ( b) = - ( ) = b a a b a Cosideriamo ora il caso delle soluzioi dell equazioe ()=+e =. Tale uzioe ha derivata secoda e > e (-)= -+e - < e ()=>: dobbiamo duque applicare la secoda delle due ormule date, teedo come puto isso il secodo estremo. Poiamo duque su u oglio Ecel ella cella B il valore di b, cioè, i C il valore della uzioe =B+EXP(B); ella cella B poiamo il valore di a, cioè, i C il corrispodete valore della uzioe =B+EXP(B) (basta copiare il coteuto della cella C e a b ( a) ( b) icollarlo i C) e iie il valore del uovo puto = b (b) i D, digitado =$B$-$C$*(B-$B$)/(C-$C$) (si oti il doppio dollaro i corrispodeza dei coteuti delle celle $B$ e $C$ i quato questi valori resterao issi i tutte le ormule successive). Per procedere i modo più spedito, coviee ora porre i B il valore del puto digitado =D e copiare il coteuto delle celle b b 57

9 C e D icollarlo i C e D. Si ottiee così il uovo puto ; gli altri si trovao semplicemete copiado il coteuto delle tre celle della riga e icolladolo elle corrispodeti celle delle righe successive. Come si vede dalla igura i valori si stabilizzao assai rapidamete: al terzo passo le prime cire decimali soo esatte, al sesto soo già sei (co il metodo di dicotomia servivao rispettivamete e passi per otteere la stessa precisioe). Logicamete molto simile è il metodo delle tageti che, come dice il ome srutta la tagete ivece della secate. Aalogamete al caso precedete, si parte dalla retta tagete al graico el primo estremo se è cotiua, covessa e tale che (a)> e (b)<, oppure cotiua, cocava e tale che (a)< e (b)>. L equazioe della retta tagete è y=(a)+ (a) (-a) la uzioe assume valore >, la cui che taglia l asse delle i u puto i cui ascissa si può acilmete trovare, poedo y= ella precedete equazioe, e cioè =a (a) '( a) A questo puto si ripete l operazioe partedo dalla uova coppia di puti (,( )) e si ottiee il uovo puto ( ) = '( )) e così via, otteedo la successioe di puti = - ( ) '( ) che, come si può osservare i igura coverge i modo estremamete veloce. Negli altri due casi (cioè cocava e tale che (a)> e (b)< oppure covessa e tale che (a)< e (b) '( b) (b)>) si parte dal secodo estremo =b ma poi la ormula coicide: = - Toriamo all equazioe ()=+e =, come già visto dovremo partire dal secodo estremo. Poiamo duque su u oglio Ecel ella cella B il valore di b, cioè, i C il valore della uzioe =B+EXP(B), i D il valore della derivata =+EXP(B) e, iie, ella cella E il valore del uovo puto, digitado - ( ) '( )

10 =B-C/D Come el caso precedete si copia i B il valore del puto digitado =E e il coteuto delle celle C, D e E icollarlo i C, D e E. Si ottiee così il uovo puto ; gli altri si trovao semplicemete copiado il coteuto delle quattro celle della riga e icolladolo elle corrispodeti celle delle righe successive: al quito passo si ottiee praticamete il valore esatto. U altro aspetto iteressate riguarda il comportameto all iiito delle uzioi. Abbiamo visto che lo scopo della ormula di Taylor è essezialmete quello di sostituire, localmete, la uzioe co u poliomio di grado preissato. Evidetemete può essere iteressate approssimare, ache per grade, l espressioe della uzioe co u poliomio, ad esempio di grado. Se la uzioe che vogliamo studiare tede, quado la variabile tede all iiito, a u limite iito (cioè si comporta come u poliomio di grado ), si parla di asitoto orizzotale, se il suo graico si comporta come quello di ua retta o parallela all asse delle, si parla di asitoto obliquo. Suppoiamo duque che sia ua uzioe deiita i u itoro di + (o di ) e che si voglia stabilire se il suo comportameto all iiito sia simile a quello di ua retta di equazioe y=a+b. Chiaramete il problema è come trovare a e b, ammesso che esistao. Cosideriamo il caso di + : per determiare a: a= lim + ( ) se il limite esiste iito, altrimeti o c è asitoto obliquo; per determiare b: b= lim + ( ( ) a) se il limite esiste iito, altrimeti o c è asitoto obliquo. (per il teorema di de l Hôpital, per determiare a si può calcolare lim + '( ) ). Come esempio si cosideri la uzioe ()=(+) e /(-), che è deiita per ogi umero reale diverso da. Poiché e /(-) se + (o ), () + (o ), a secoda che + (o ). Ioltre ( ) + /( ) = /( ) + ± = e e quidi a= e ()-=(+) e /(-) -=(e /(-) -)+ e /(-) Il secodo dei due addedi all ultimo membro tede a. Per il primo addedo si può applicare il /( ) e /( ) e /( ) ( e )' ( ) /( ) ± = = e ' ( ) teorema di de l Hôpital al quoziete = (e /(-) -) e, i deiitiva, ()-, ovvero b= e l asitoto obliquo ha equazioe y=