TEORIA SULLE DERIVATE SECONDA. La condizione di continuità di una funzione è condizione necessaria ma non sufficiente per la sua derivabilità.

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1 PROF.SSA MAIOLINO D. TEORIA SULLE DERIVATE SECONDA CONTINUITA DELLE FUNZIONI DERIVABILI Se una unzione y( è derivabile in un punto 0, allora è continua in 0. La condizione di continuità di una unzione è condizione necessaria ma non suiciente per la sua derivabilità. DERIVATE FONDAMENTALI yk y 0 y y y n y n n- y n y -n -n- m n m y n y m m n n ya y a lna ye y e lne e y log a y log a e y log y ln a ysen y cos ycos y -sen TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE TEOREMA: Derivata della somma di due unzioni: la derivata della somma di due unzioni derivabili è uguale alla somma delle derivate delle unzioni stesse: y( ± g( y D( ± Dg( TEOREMA: Derivata del prodotto di due unzioni: la derivata del prodotto di due unzioni derivabili è uguale al prodotto della derivata della prima unzione per la seconda non derivata, più il prodotto dalla prima unzione per la derivata della seconda. y( * g( y D(g(+(Dg( Nel caso sia: yk * ( y k * D( TEOREMA: Derivata del quoziente di due unzioni: la derivata del quoziente di due unzioni derivabili (con la unzione divisore diversa da zero nei punti nei quali si calcola la derivata) è uguale ad una razione che ha per denominatore il quadrato della unzione divisore e per numeratore il prodotto tra la derivata del numeratore ed il divisore meno il prodotto del numeratore per la derivata del denominatore: ( ( g( ( g( g( y y Nel caso sia y y g( g ( g( g (

2 ALTRE DERIVATE ytg y + tg cos ycotg y ( + cot g sen DERIVATA DELLA FUNZIONE COMPOSTA y(g() y (g() g ( DERIVATA DELLA FUNZIONE COMPOSTA ESPONENZIALE y g ( ( y DERIVATA LOGARITMICA y ln ( ( g ( y ( D( ln ( ) g( ln ( + g( ( ( DERIVATA DI UNA FUNZIONE INVERSA Sia y( una unzione invertibile e derivabile in un intervallo I e sia F(y) la sua inversa. Nei punti in cui è ( 0, la unzione inversa è derivabile e la sua derivata è il reciproco della derivata della unzione data. F ( y) ( Ricaviamo le derivate delle unzioni inverse goniometriche di seno e coseno: yarc sen è l inversa di seny, quindi per il teorema precedente D(arcsen D(sen y) cos y sen y yarc cos è l inversa di cosy, quindi per il teorema precedente D(arccos D(cos y) sen y cos y Mentre le derivate delle unzioni inverse di tangente e cotangente sono: D( arc tg D( arc cotg + + DEFINIZIONE DI DIFFERENZIALE Data una unzione ( derivabile e continua in un intervallo I, sia un punto di tale intervallo a cui diamo un incremento h. Se 0 allora y 0 quindi l incremento della unzione e l incremento della variabile sono y ininitesimi simultanei che possiamo conrontare attraverso lim ( ; si possono presentare i 0 seguenti due casi:

3 a) se ( 0 allora e y sono ininitesimi dello stesso ordine se ( 0 allora y è un ininitesimo di ordine superiore a e utilizzando la scrittura y uori dal limite avremo ( + δ ( ) da cui y ( + δ ( ) posto dy d ( ( () detto DIFFERENZIALE della unzione nel punto : Il dierenziale di una unzione in un punto in cui la unzione è derivabile è il prodotto della derivata in quel punto per l incremento della variabile indipendente. Se y( allora ( quindi possiamo scrivere anche d ( d quindi il dierenziale della variabile indipendente coincide con il suo incremento. Sostituendo i risultati ottenuti nella () si ha dy ( d : il dierenziale di una unzione è il prodotto della derivata della unzione per il dierenziale della variabile indipendente. Riprendiamo la scrittura uori dal segno del limite ( + δ ( ) che diventa a questo punto y dy + δ ( ) da cui y dy δ ( ) con δ ( ) 0 e quindi si può aermare che il dierenziale dierisce dall incremento per una quantità ininitesima quindi si può y tranquillamente scrivere y dy. Questa è la caratteristica del dierenziale, quella di approssimare l incremento della unzione trascurando ininitesimi di ordine superiore all incremento della variabile. Per il dierenziale valgono le stesse regole di derivazione ino ad ora studiate. Procediamo quindi spiegando il : SIGNIFICATO GEOMETRICO DEL DIFFERENZIALE y Quando il punto Q tende ad avvicinarsi a P per h che tende a zero si ha che il segmento QT QM - TM è pari a δ ( ) che è un ininitesimo di ordine superiore e che quindi tende molto rapidamente a diventare zero. Quindi il dierenziale può sostituire l incremento della unzione purché Q sia molto vicino a P.

4 dy Dalla relazione dy ( d si ha quindi ( e si vede che la derivata di unzione si può d anche considerare come il rapporto tra il dierenziale della unzione e il dierenziale della variabile indipendente. TEOREMI SULLE FUNZIONI DERIVABILI Teorema di ROLLE ( continua in [a,b] Data ( derivabilein [a, b] c ( a; : (c)0 (a) ( Dal punto di vista geometrico il teorema di Rolle aerma che se valgono le ipotesi del teorema, esiste almeno un punto interno all intervallo [a, b] in cui la tangente alla curva è parallela all asse. Teorema di LAGRANGE o del valor medio ( continua in [a,b] ( (a) Data c ( a; : (c) ( derivabile in (a, b - a Dal punto di vista geometrico il teorema di Lagrange aerma che se valgono le ipotesi del teorema, esiste almeno un punto interno all intervallo [a, b] nel quale la retta tangente risulta parallela alla F( F(a) retta di coeiciente angolare (c) che unisce gli estremi della curva y(. b - a CONSEGUENZE del Teorema di LAGRANGE o del valor medio: se in un intervallo ( a ; una unzione ha sempre derivata nulla allora è costante; se due unzioni hanno la stessa derivata in ( a ; allora dieriscono per una costante; se per una unzione ( deinita in ( a ; si ha: ( 0 ( è crescente in sen so lato in ( a; ( > 0 ( è crescente in sen so stretto o crescente in ( a; ( 0 ( è decrescente in sen so lato in ( a; ( < 0 ( è decrescente in sen so stretto o decrescente in ( a; Teorema di CAUCHY continue in [a,b] Date due unzioni ( e g( derivabili in (a, c ( a; : g ( c)[( (a)] (c)[g( g(a)] g( 0 in (a; Teorema di DE L HOPITAL Siano date due unzioni ( e g( che supponiamo deinite e derivabili in tutti i punti di un intorno I del punto c (inito o ininito), escluso al più c stesso. Supponiamo inoltre che il ( 0 lim sia o ( ) e che g ( 0 in tutti i punti di I escluso al più c. c g 0 ( ( ( In tali ipotesi, se esiste inito o ininito il lim lim lim c g ( c g( c g ( )

5 CRITERIO DI SUFFICIENZA PER LA DERIVABILITA IN UN PUNTO Data ( continua e derivabile in ogni punto di un intorno I di 0 escluso al più 0. Se esiste inito per che tende a 0 il limite di (, allora la unzione ( è derivabile in 0 e risulta ( 0 ) lim (. c MASSIMI, MINIMI E FLESSI Data ( deinita in un intervallo I e sia c un punto di tale intervallo: Si dice che c è un punto di MAX relativo per la unzione ( in un certo intorno di c, se succede che per tutti i punti di tale intorno si ha ( (c). Si dice che c è un punto di min relativo per la unzione ( in un certo intorno di c, se succede che per tutti i punti di tale intorno si ha ( (c) Si dice che c è un punto di Flesso per la unzione ( se in tale punto la curva cambia concavità, ovvero: ) se esiste la retta tangente al graico della unzione nel punto (c;(c)) ) se esiste un intorno di c rispetto al quale il diagramma della unzione stia da parti opposte rispetto alla tangente (tangente inlessionale). Si possono avere lessi a tangente orizzontale ( (c)0), a tangente verticale ( (c)ininito) ed a tangente obliqua ( (c) diverso da 0).

6 TEOREMA SUI MASSIMI E MINIMI RELATIVI condizione necessaria ma non suiciente: Sia y( una unzione deinita in un intervallo I e derivabile nei punti interni ad I. se nel punto c, interno ad I, la unzione ha un massimo o minimo relativo, allora risulta (c)0. cioè c è un punto stazionario. ( 0 la ( 0 ( ( 0 la ( < 0 ( ( 0 la il suo segno a destra ed a sinistra di ( 0 ( unzione CRESCENTE unzione derivata prima è decrescente quindi α è decrescente la concavità è rivolta verso il basso DE CRESCENTE unzione derivata per prima è crescente quindi α è crescente la concavità è rivolta verso l alto 0 ha un eventuale PUNTO DI FLESSO A TANGENTE OBLIQUA se e solo se cambi 0 ed inoltre ( ) 0. CRESCENTE ( d / s) o DECRESCENTE ( d / s) 0 FLESSO ( a tan gente obliqua) Caso particolare: se la derivata prima è ininita vuol dire che c è un lesso a tangente verticale.

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