Alcuni esercizi: funzioni di due variabili e superfici

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Alcuni esercizi: funzioni di due variabili e superfici"

Transcript

1 ANALISI MATEMATICA T- (C.d.L. Ing. per l ambiente e il territorio) - COMPL. DI ANALISI MATEMATICA (A-K) (C.d.L. Ing. Civile) A.A Prof. G.Cupini Alcuni esercizi: funzioni di due variabili e superfici (Grazie agli studenti del corso che comunicheranno eventuali errori) Esercizio. Determinare e rappresentare graficamente il dominio A delle funzioni qui sotto elencate. Dire se tali insiemi sono aperti, chiusi, itati, connessi e individuare la chiusura di A (= Ā). Distinguere infine i punti isolati, interni, di frontiera, di accumulazione. Esercizio. ) log ( ) y x +, ) y x y log(y x + x), x + y x y. Calcolare, se esiste, il ite per (x, y) (0, 0) delle seguenti funzioni: ) x sin x + y x + y ; ) log ( x y ) ( ) x y ; 3) log ; y + ( ) x 4) log ; 5) e x y + x y ; 7) log ( + x + y 4 ) x + y 4 ; 8) 0) ( ) x 6) sin ; x + y x y y + x ; 9) x y (x + y ) ; x 3 y (x + y ) ; ) exy log y ; ) arctan xy ; 3) arctan xy ; 4) x y + x ; 5) x y + x ; 6) e xy+(xy) ; 7) sin(x y ) x + y. 4

2 Esercizio 3. Studiare il dominio, le curve di livello, il segno di f e la continuità, la derivabilità e la differenziabiltà di f in (0, 0) e in (, ). Se in (0, 0) o in (, ) la funzione risulta differenziabile, determinare il piano tangente al grafico in tale punto. Esercizio 4. f(x, y) = 3 (y x). Studiare la continuità, la derivabilità e la differenziabiltà in (0, 0): Esercizio 5. f(x, y) = x y 4 x 6 (x + y ) se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0). Studiare il dominio, il segno di f e, in (0, 0), la continuità, la derivabilità e la differenziabiltà di f: Esercizio 6. f(x, y) = (y x) 3 x + y + x y se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0). Calcolare il gradiente e la matrice hessiana delle seguenti funzioni: Esercizio 7. ) x y, ) e xy y, 3) x arctan y x. Determinare il dominio e i punti di derivabilità di f(x, y) = y e (x +y ). Esercizio 8. Determinare il dominio e i punti di derivabilità di f(x, y) = x + y x.

3 Esercizio 9. Determinare i punti di massimo e di minimo relativi di Esercizio 0. f(x, y) = x + xy + y. Data la funzione f : R R, f(x, y) = x 4 + y 4 (x y), deteminare i punti critici di f, e, tra questi, i punti di massimo e di minimo relativi. Esercizio. Si consideri la funzione f(x, y) = 3 x3 y yx + 3 y. Determinare le derivate direzionali e i punti di massimo e di minimo relativi. Esercizio. Si consideri la funzione f(x, y) = arctan y x. Determinare il dominio e i punti di massimo e di minimo relativi. Esercizio 3. Data la funzione f : R R, f(x, y) = x (y ), (a) determinare le curve di livello di f e disegnarle su un piano cartesiano, (b) studiare il segno di f, (c) deteminare i punti critici di f, e, tra questi, i punti di massimo e di minimo relativi. (d) studiare la continuità, la differenziabilità di f, (e) determinare le derivate direzionali f (x λ 0, y 0 ), per (x 0, y 0 ) R e per qualunque direzione λ, (f) determinare il piano tangente al grafico nel punto (,, f(, )) Esercizio 4. Sia A = {(x, y) R : x + y }, f : A R, Determinare f(a). f(x, y) := x y.

4 Esercizio 5. Sia A = {(x, y) R : 0 x, x y (x ) }, f : A R, f(x, y) := xy x. Determinare i punti i massimo e di minimo assoluti e l immagine f(a). Esercizio 6. Siano A = {(x, y) R : x + y 4} e f : A R, x f(x, y) := x + y. Determinare i punti i massimo e di minimo assoluti e l immagine f(a). Esercizio 7. Siano A = {(x, y) R : x 0, y 0, 3 x + y 0} e f : A R, f(x, y) := x + x(y ) + y + y. Determinare i punti i massimo e di minimo assoluti e l immagine f(a). Esercizio 8. Sia A = {(x, y) R : (x ) + y = }, f : A R, f(x, y) := x + y. Usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, determinare i punti di massimo e di minimo assoluti e f(a). Esercizio 9. Sia A = {(x, y) R : x + y }, f : A R, f(x, y) := x y. Determinare i punti di massimo e di minimo assoluti e f(a). Esercizio 0. Siano f : R R e g : R R derivabili. Derivare le seguenti funzioni composte rispetto alla variabile t: ) f(t, t 3 ), ) f(log t, sin t), 3) f(g(t), t ), 4) f( t, g (t)), 5) f(cos(g(t)), arctan t), 6) f(g(t), g (t)), 7) f( + g( + 3t), g( t) ), 8) f(t + g(t), log t).

5 Esercizio. Classificare e disegnare le seguenti superfici: ) x + y = z, ) z x 9y = 0, 3) z = x + y, 4) x y + z = 0, 5) x + 4y =, 6) x + y + z =, 7) x = y + z, 8) x = y z, 9) x + y + z = 3. Esercizio. [Sol.: ) {(x, y) : x < 3 ) {(x, y) : x x < y }, 3) Suggerimenti e/o soluzioni, x + < y < x } {(x, y) : x > + 3, x + < y < x } {(x, y) : 3 < x < + 3, x < y < x + }, {(x, y) : x +y, x < y < x } {(x, y) : x +y, y > x } {(x, y) : x +y, y < x }. Esercizio. [Sugg.: ) funzione itata per infinitesima; ) porre t = x y, 3) 0 x y y + x ; 4) restringersi alle parabole y = mx x ; 5) restringersi alle rette y = mx; 6) 0 x ; 7) porre t = x +y x + y 4 ; 8) 0 x y y + x x, 9) restringersi alle rette y = mx; 0) passare in coordinate polari; ) y log y 0 per ite notevole; ) restringersi alle rette y = x e y = x; 3) xy + ; 4) restringersi all asse x e fare iti per x 0 + e per x 0 x ; 5) 0 x ; 6) restringersi alle rette y = x e y + x / y = x; 7) Usando il ite notevole sin t/t per t 0 si ha Osservare poi che sin(x y ) (x,y) (0,0) x y 0 x y x + y 4 = x y x + y 4 = (x,y) (0,0) x x + y 4 y y.] x y x + y 4. [Sol.: ) [0]; ) [ ]; 3) [ ]; 4) [ ]; 5) [ ]; 6) [0]; 7) []; 8) [0]; 9) [ ]; 0) [0]; ) []; ) [ ]; 3) [ π ]; 4) [ ]; 5) [0]; 6) [ ]; 7) [0].]

6 Esercizio 3. [Sol.: Dominio: R. Linee di livello: L c = se c < 0, L 0 = {(x, y) : y = x}, L c = {(x, y) : y = x + c 3/ } {(x, y) : y = x c 3/ } se c > 0. f è chiaramente continua in (0, 0) ma non è derivabile in (0, 0), infatti non esiste la derivata parziale rispetto a x, non esistendo il seguente ite f(h, 0) f(0, 0) h /3 = Non essendo derivabile in (0, 0), la f non è neppure differenziabile. = /3. In (, ) la f è di classe C. Ciò implica che f è differenziabile, derivabile, continua. Si ha che f(, ) = ( 3, 3 ). Il piano tangente al grafico di f nel punto (,, f(, )) è z = 3 (x )+ 3 (y ).] Esercizio 4. [Sol.: E continua per il teorema dei carabinieri: 0 x y 4 x 6 (x + y ) x y4 (x + y ) + x 6 (x + y ) = y 4 (x + y ) x + x 4 (x + y ) x x + x e l ultimo membro tende a 0 per x 0. Derivabilità: e f(h, 0) f(0, 0) = Differenziabilità: non è differenziabile, infatti h6 h 4 h 0 h = f h = 0 = (0, 0) h 0 x f(0, k) f(0, 0) = 0 = 0 = f (0, 0). k 0 y f(h, k) [f(0, 0) + f x (0, 0)h + f y (0, 0)k] = (h,k) (0,0) h + k (h,k) (0,0) Scegliendo k = h ottengo: h k 4 h 6 (h +k ) h + k = (h,k) (0,0) h k 4 h 6 (h + k ) 5/. e tale ite non è 0.] h 5 h 6 h 0 5/ h 5 = h 5 ( h ) h 0 5/ h 5 = 5/ Esercizio 5. [Sol.: Dominio: R.

7 La funzione è positiva in e vale 0 in {(x, y) R : y = x}. E continua. Infatti, in coordinate polari: {(x, y) R : y > x} f(r cos θ, r sin θ) = r3 sin θ cos θ 3 r + r 4 (cos θ sin θ) 8r 3 r + r 4 (cos θ sin θ) 8r3 r = 8r. Abbiamo così dimostrato che f(r cos θ, r sin θ) ϕ(r) dove ϕ(r) = 8r è indipendente da θ e ϕ(r) 0 per r 0 +. Dunque (x,y) (0,0) f(x, y) = 0 = f(0, 0). Derivabilità: e f(h, 0) f(0, 0) = h 0 Differenziabilità: non è differenziabile, infatti ( h) 3 h h = = f (0, 0) x k f(0, k) f(0, 0) 3 k = = = f (0, 0) y f(h, k) [f(0, 0) + f x (0, 0)h + f y (0, 0)k] = (h,k) (0,0) h + k (h,k) (0,0) (k h) 3 h +k +h k + h k h + k Tale ite non è 0, anzi non esiste, come si può verificare restringendosi alla retta k = h.] Esercizio 6. [Sol. (solo per i gradienti e senza le semplificazioni finali): ( ) xy ), x ; x y x y ) e xy y ( y, xy ) ; ( ) 3) x arctan y x + x +( y ( y ), x x ) x +( y x ) x.] Esercizio 7. [Sol.: Il dominio è R. I punti di sicura derivabilità di f sono gli (x, y) con y 0. Esaminiamo la derivabilità in (x, 0). Si ha e f(x + h, 0) f(x, 0) 0 0 = f(x, k) f(x, 0) k e (x+k) 0 k e (x+k) = = = 0 = f (x, 0) x = e (x +k k 0 k = k e x

8 e quest ultimo ite non esiste (fare k 0 + e k 0 ). Dunque f non è derivabile in (x, 0) perché manca la derivata parziale rispetto a y.] Esercizio 8. [Sol.: I punti di sicura derivabilità di f sono gli (x, y) con x e y entrambi diversi da 0, cioé non appartenenti agli assi. Esaminiamo la derivabilità in (0, y). Si ha f(h, y) f(0, y) h + y h 0 h = = + y h ; l ultimo ite esiste ed è 0, mentre il penultimo non esiste (fare h 0 + e h 0 ). Dunque f non è derivabile in (0, y) perché manca la derivata parziale rispetto a x. Studiamo ora la derivabilità in (x, 0) supponendo x 0 altrimenti si ha (0, 0) che è incluso nel caso precedente. Si ha f(x, k) f(x, 0) x + k x x = = x k. Ora, questo ite non esiste se x 0. Dunque f non è derivabile rispetto a y in (x, 0) per x 0. Concludendo, f non è derivabile sugli assi.] Esercizio 9. [Sol.: f è derivabile e f(x, y) = (x + y, x + 4y) e quindi l unico punto critico è (0, 0). La matrice hessiana è ( ) D f(x, y) = 4 quindi (per la condizione sufficiente del secondo ordine) (0, 0) è punto di minimo relativo.] Esercizio 0. [Sol.:f è derivabile e f(x, y) = (4x 3 (x y), 4y 3 + (x y)). I punti critici si ottengono risolvendo il sistema { 4x 3 { (x y) = 0 4(x 4y y 3 { ) = 0 x = y + (x y) = 0 4y 3 + (x y) = 0 4y(y ) = 0 e si deduce che i punti critici sono (0, 0), (, ) e (, ). Usando la matrice hessiana (condizione sufficiente del secondo ordine) ( D x f(x, y) = ) y si ottengono: (, ) e (, ) minimi. Per (0, 0) non si può concludere. Tuttavia, f(0, 0) = 0 e dallo studio del segno si ha, restringendosi all asse x, che f(x, 0) = x 4 x = x (x ) < 0 per x (, ) \ {0}, mentre restringendosi alla bisettrice y = x: f(x, x) = x 4 > 0 per x (, ) \ {0}.

9 Dunque: sull asse x il punto (0, 0) è un punto di massimo relativo, mentre sulla bisettrice y = x (0, 0) è un punto di minimo relativo. Si conclude quindi che (0, 0) è un punto di sella.] Esercizio. [Sol.: f(x, y) = (y(x ), 3 x3 x+ 3 y) per cui i punti critici sono (, ), (, ), (0, 0) e (± 3, 0). Dallo studio della matrice hessiana (condizione sufficiente del secondo ordine) risulta che (0, 0) e (± 3, 0) sono punti di sella e che (, ), (, ) sono punti di minimo relativo. Per le derivate direzionali: f è un polinomio, dunque è differenziabile. Ne segue che, posto λ = (α, β), Esercizio. [Sol.: Dominio: A = R \ asse y. f(x, y) = + y x f λ (x, y) = f(x, y), λ = (y(x ), 3 x3 x + y), (α, β) =...] 3 ( y, y x x ). Dunque i punti dell asse x, eccetto l origine che non appartiene ad A, sono i punti critici, cioè i punti critici sono i punti (x, 0) con x 0. Lo studio della matrice hessiana non è utile. Nei punti critici la funzione f vale 0. Studiando il segno di f osserviamo che nel primo e quarto quadrante la funzione f è positiva, nel secondo e terzo è negativa. Dunque, i punti (x, 0) con x > 0 sono punti di minimo relativi e i punti (x, 0) con x < 0 sono punti di massimo relativi.] Esercizio 3. [Sol.: (a) Fissato c R, le curve di livello L c = {(x, y) R : f(x, y) = c} = {(x, y) R : y = + c x }. (b) f(x, y) = 0 se e solo se (x, y) è punto dell asse y o della retta y =. f(x, y) > 0 se e solo se (x, y) è punto del semipiano y > ma non sta sull asse y. f(x, y) < 0 se e solo se (x, y) è punto del semipiano y < ma non sta sull asse y. (c) Il gradiente di f è f(x, y) = (x(y ), x ) che si annulla per x = 0. I punti critici sono tutti e soli i punti dell asse y. Poiché f(0, y) = 0, si deduce dallo studio svolto in (b) che sono punti di minimo relativi i punti sull asse y tali che y > (che sono circondati da punti in cui f(x, y) 0); sono punti di massimo relativi i punti sull assse y tali che y < (che sono circondati da punti in cui f(x, y) 0). Il punto (0, ) è di sella. (d) f è un polinomio e quindi è differenziabile, per cui f è continua, derivabile ed esistono tutte le derivate parziali. (e) Dalla differenziabilità di f segue che, posto λ = (α, β). f λ (x 0, y 0 ) = f(x 0, y 0 ), λ = (x 0 (y 0 ), x 0), (α, β) = αx 0 (y 0 ) + βx 0.

10 (f) z = f(, ) + f x (, )(x ) + f y (, )(y + ) = 4 8(x ) + (y + ) =... ] Esercizio 4. [Sol.: A è chiuso, itato e connesso. (0, 0) è l unico punto critico interno ad A e i punti estremanti relativi di f ristretta a A sono (±, 0), (0, ±). Si verifica che i punti di massimo assoluto sono (±, 0) e che il valore di massimo assoluto è f(±, 0) = ; analogamente, i punti di minimo assoluto sono (0, ±) e il valore minimo assoluto è f(0, ±) =. Per il Teorema di Weierstrass e per il Teorema dell esistenza dei valori intermedi si ha che f(a) = [, ].] Esercizio 5. [Sol.: A è chiuso, itato e connesso. (0, 0) è l unico punto critico di f come funzione da R ad R, ma siccome non è interno ad A non va considerato. I punti estremanti relativi di f ristretta a A sono ( 3, 3 ), (, 0). Siccome f( 3, 3 ) = > = f(, 0) si ha che il punto di massimo assoluto è ( 3, 3 ) e il punto di minimo assoluto è (, 0). f(a) = [, ].] Esercizio 6. [Sol.: A è chiuso, itato e connesso. f non ha punti critci. Per quel che riguarda i punti estremanti relativi di f ristretta a A essi sono (±, 0) e (±, 0). Confrontando il valore assunto in quei punti dalla f si ottiene che (, 0) è punto di massimo assoluto e che il valore di massimo assoluto è, mentre (, 0) è punto di minimo assoluto e il valore di minimo assoluto è. Dunque, per il Teorema di Weierstrass e per il Teorema dell esistenza dei valori intermedi si ha che f(a) = [, ].] Esercizio 7. [Sol.: A è chiuso, itato e connesso. f ha come unico punto critico (, ) che è interno ad A. I punti estremanti relativi di f ristretta a A sono ( 3, 3 ), (, 0), (0, ) (che sono candidati ad essere punti di minimo assoluto) e i punti (0, 3) (0, 0), (3, 0) (che sono candidati ad essere punti di massimo assoluto). Confrontando il valore assunto in questi punti e nel punto critico da f si ottiene che (0, 3) e (3, 0) sono i punti di massimo assoluti (6 è il valore di massimo assoluto) e (, ) è il punto di minimo assoluto ( è il valore di minimo assoluto). Dunque, per il Teorema di Weierstrass e per il Teorema dell esistenza dei valori intermedi si ha che f(a) = [, 6].] Esercizio 8. [Sol.: A è chiuso, itato e connesso ed f è continua. Dunque, per il Teorema di Weierstrass e per il Teorema dell esistenza dei valori intermedi si ha che f(a) = [valore min, valore max]. Si ha A = {(x, y) R : F (x, y) = 0} dove F (x, y) = (x ) +y. Osserviamo che F (x, y) = ((x ), y), che risulta = (0, 0) se e solo se x = e y = 0, punto che non è appartenente ad A. Possiamo applicare il metodo dei moltiplicatori

11 di Lagrange. Se determiniamo gli (x, y) soluzioni di x = λ(x ) 4y = λy (x ) + y = 0 per qualche λ R otteniamo i candidati ad essere punti di massimo e di minimo relativi. Risolvendo il sistema si ottengono il punto (x, y) = (0, 0) per λ = 0 e il punto (, 0) per λ =. Non ci sono altri candidati. Siccome per il Teorema di Weierstrass esiste un punto di massimo e di minimo assoluto che debbono necessariamente essere tra i punti appena trovati. Si verifica che f(0, 0) = 0 < 4 = f(, 0). Dunque (0, 0) è punto di minimo assoluto, (, 0) è punto di massimo assoluto e f(a) = [0, 4].] Esercizio 9. [Sol.: A è chiuso, itato e connesso ed f è continua. Dunque, per il Teorema di Weierstrass e per il Teorema dell esistenza dei valori intermedi si ha che f(a) = [valore min, valore max]. I punti critici interni ad A sono i punti (0, y) con < y <. Per determinare i candidati ad essere punti di max e min assoluti che giacciono su A usiamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange (l alternativa è studiare f(cos t, sin t) con t [0, π)). Si ha A = {(x, y) : F (x, y) = 0}, dove F (x, y) = x + y. Siccome F (x, y) = (0, 0) solo per x = 0, y = 0 che non e in A possiamo applicare il metodo. Risolvendo xy = λx x = λy x + y = si ottengono: (0, ±) per λ = 0, (± 3, 3 ) per λ = 3 e (± 3, 3 ) per λ = 3. Un confronto tra i valori assunti da f in tutti questi punti e nei punti critici interni ad A permette di affermare che i punti di massimo assoluto sono (± 3, 3 ) e che i punti (± 3, 3 ) sono di minimo assoluto. L immagine è [ 3, 3 3 ]. ] 3 Esercizio 0. [Sol.: ) f x (t, t 3 ) + f y (t, t 3 )3t, ) f x (log t, sin t) t + f y(log t, sin t) cos t, 3) f x (g(t), t )g (t) + f y (g(t), t )( t), 4) f x ( ( ) t, g (t)) + f t y ( t, g (t))g(t)g (t), 5) f x (cos(g(t)), arctan t) ( sin(g(t))g (t)) + f y (cos(g(t)), arctan t) +t, 6) f x (g(t), g (t))g (t) + f y (g(t), g (t))g(t)g (t), 7) f x ( + g( + 3t), g( t) )g ( + 3t)3 + f y ( + g( + 3t), g( t) ) g ( t) g ( t) t, 8) f x (t + g(t), log t)( + g (t)) + f y (t + g(t), log t) t log e.]

12 Esercizio. [Sol.: ) cono del secondo ordine, ) paraboloide ellittico, 3) ellissoide 4) cono circolare retto avente asse y come asse di simmetria, 5) cilindro orientato lungo l asse z, 6) ellissoide, 7) iperboloide a due falde orientato lungo l asse x, 8) paraboloide iperbolico (sella) con asse x perpendicolare alla sella, 9) sfera]

Esercizi sulle funzioni di due variabili: parte II

Esercizi sulle funzioni di due variabili: parte II ANALISI MATEMATICA T- (C.d.L. Ing. per l ambiente e il territorio) A.A.009-00 - Università di Bologna - Prof. G.Cupini Esercizi sulle funzioni di due variabili: parte II (Grazie agli studenti del corso

Dettagli

ANALISI B alcuni esercizi proposti

ANALISI B alcuni esercizi proposti ANALISI B alcuni esercizi proposti G.P. Leonardi Parte II 1 Limiti e continuità per funzioni di 2 variabili Esercizio 1.1 Calcolare xy log(1 + x ) lim (x,y) (0,0) 2x 2 + 5y 2 Esercizio 1.2 Studiare la

Dettagli

Estremi. 5. Determinare le dimensioni di una scatola rettangolare di volume v assegnato, che abbia la superficie minima.

Estremi. 5. Determinare le dimensioni di una scatola rettangolare di volume v assegnato, che abbia la superficie minima. Estremi 1. Determinare gli estremi relativi di f(x, y) = e x (x 1)(y 1) + (y 1).. Determinare gli estremi relativi di f(x, y) = y (y + 1) cos x. 3. Determinare gli estremi relativi di f(x, y) = xye x +y..

Dettagli

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi:

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DOMINIO E LIMITI Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia insiemi aperti, chiusi, itati, convessi, connessi per archi; punti di frontiera

Dettagli

DERIVATE SUCCESSIVE E MATRICE HESSIANA

DERIVATE SUCCESSIVE E MATRICE HESSIANA FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DERIVATE SUCCESSIVE E MATRICE HESSIANA Derivate parziali seconde e matrice hessiana. Sviluppo di Taylor del secondo ordine. Punti stazionari. Punti di massimo o minimo (locale

Dettagli

Prima parte: DOMINIO E INSIEMI DI LIVELLO

Prima parte: DOMINIO E INSIEMI DI LIVELLO FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 Prima parte: DOMINIO E INSIEMI DI LIVELLO Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi

Dettagli

Limite. Se D non è limitato si può fare il limite di f(x) per x che tende

Limite. Se D non è limitato si può fare il limite di f(x) per x che tende Appunti sul corso di Complementi di Matematica,mod.Analisi, prof. B.Bacchelli - a.a. 200/20. 05 - Limiti continuità: Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3., 3.2. - Esercizi 3., 3.2.

Dettagli

Derivate parziali, derivate direzionali, differenziabilità. a) Calcolare le derivate direzionali e le derivate parziali in (0, 1) di f(x, y) =

Derivate parziali, derivate direzionali, differenziabilità. a) Calcolare le derivate direzionali e le derivate parziali in (0, 1) di f(x, y) = Derivate parziali, derivate direzionali, differenziabilità 1. a) Calcolare le derivate direzionali e le derivate parziali in (0, 1) di f(x, y) = 3 x (y 1) + 1. b) Calcolare D v f(0, 1), dove v è il versore

Dettagli

DIARIO DELLE LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA II Corso di laurea in Ingegneria Gestionale Canale PZ Secondo codocente: Dott. Salvatore Fragapane

DIARIO DELLE LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA II Corso di laurea in Ingegneria Gestionale Canale PZ Secondo codocente: Dott. Salvatore Fragapane DIARIO DELLE LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA II Corso di laurea in Ingegneria Gestionale Canale PZ Secondo codocente: Dott. Salvatore Fragapane Lezione 1-04/10/2016 - Serie Numeriche (1): definizione e successione

Dettagli

Limiti di funzioni di due variabili

Limiti di funzioni di due variabili Limiti di funzioni di due variabili Definizione 1 Sia f : A R 2 R e x 0 = (x 0, y 0 ) punto di accumulazione di A. Diciamo che se e solo se Diciamo che se e solo se f(x) = f(x, y) = L x x 0 (x,y) (x 0,y

Dettagli

Analisi Matematica 1+2

Analisi Matematica 1+2 Università degli Studi di Genova Facoltà di Ingegneria - Polo di Savona via Cadorna 7-700 Savona Tel. +39 09 264555 - Fax +39 09 264558 Ingegneria Gestionale Analisi Matematica +2 A.A 998/99 - Prove parziali

Dettagli

Svolgimento. f y (x, y) = 8 y 2 x. 1 x 2 y = 0. y 2 x = 0. (si poteva anche ricavare la x dalla seconda equazione e sostituire nella prima)

Svolgimento. f y (x, y) = 8 y 2 x. 1 x 2 y = 0. y 2 x = 0. (si poteva anche ricavare la x dalla seconda equazione e sostituire nella prima) Università degli Studi della Basilicata Corsi di Laurea in Chimica / Scienze Geologiche Matematica II A. A. 2013-2014 (dott.ssa Vita Leonessa) Esercizi svolti: Ricerca di massimi e minimi di funzioni a

Dettagli

Corso di Laurea in Informatica/Informatica Multimediale Esercizi Analisi Matematica 2

Corso di Laurea in Informatica/Informatica Multimediale Esercizi Analisi Matematica 2 a.a 2005/06 Corso di Laurea in Informatica/Informatica Multimediale Esercizi Analisi Matematica 2 Funzioni di due variabili a cura di Roberto Pagliarini Vediamo prima di tutto degli esercizi sugli insiemi

Dettagli

Analisi Matematica II (Prof. Paolo Marcellini)

Analisi Matematica II (Prof. Paolo Marcellini) Vero o falso? Analisi Matematica II (Prof. Paolo Marcellini) Università degli Studi di Firenze Corso di laurea in Matematica Esercitazione del 8//205 Michela Eleuteri eleuteri@math.unifi.it web.math.unifi.it/users/eleuteri

Dettagli

Esercitazione n 6. Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (b)f(x, y) = 4y 4 16x 2 y + x

Esercitazione n 6. Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (b)f(x, y) = 4y 4 16x 2 y + x Esercitazione n 6 1 Massimi e minimi di funzioni di più variabili Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (a)f(x, y) = x 3 + y 3 + xy (b)f(x, y) = 4y 4 16x

Dettagli

Analisi Matematica II. Esercizi per le vacanze pasquali

Analisi Matematica II. Esercizi per le vacanze pasquali Analisi Matematica II Esercizi per le vacanze pasquali Corso di laurea in Ingegneria Meccanica. A.A. 2008-2009. Esercizio 1. Stabilire se la funzione reale f di due variabili reali, definita come sin(

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = e (x3 +x) y

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = e (x3 +x) y Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 8--7 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle.

Dettagli

Soluzioni dello scritto di Analisi Matematica II - 10/07/09. C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni

Soluzioni dello scritto di Analisi Matematica II - 10/07/09. C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni Soluzioni dello scritto di Analisi Matematica II - /7/9 C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni Proff. K. Payne, C. Tarsi, M. Calanchi Esercizio. a La funzione f è limitata e essendo lim fx

Dettagli

ESERCIZI DI ANALISI II Ingegneria Civile e dei Trasporti (M-Z) a.a. 2006/2007

ESERCIZI DI ANALISI II Ingegneria Civile e dei Trasporti (M-Z) a.a. 2006/2007 ESERCIZI I ANALISI II Ingegneria Civile e dei Trasporti (M-Z) a.a. 006/007 1 FUNZIONI IN UE VARIABILI (I parte) Insiemi di definizione eterminare gli insiemi di definizione delle seguenti funzioni in due

Dettagli

(a) Le derivate parziali f x. f y = x2 + 2xy + 3 si annullano contemporaneamente in (1, 2) e ( 1, 2). Le derivate seconde di f valgono.

(a) Le derivate parziali f x. f y = x2 + 2xy + 3 si annullano contemporaneamente in (1, 2) e ( 1, 2). Le derivate seconde di f valgono. Esercizio 1 Si consideri la funzione f(x, y) = x 2 y + xy 2 + y (a) Determinare i punti di massimo e minimo relativo e di sella del grafico di f. (b) Determinare i punti di massimo e minimo assoluto di

Dettagli

y (b) f(x, y) = y log x sin x (c) f(x, y) = tan y (d) f(x, y) = e x y (f) f(x, y) = cos(x 2 + y 2 )

y (b) f(x, y) = y log x sin x (c) f(x, y) = tan y (d) f(x, y) = e x y (f) f(x, y) = cos(x 2 + y 2 ) FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI. Siano date le seguenti funzioni: (a) f(x, y) = 3x + y (c) h(x, y) = x y (b) g(x, y) = xy (d) k(x, y) = x + y Determinare e disegnare nel piano cartesiano il dominio delle funzioni

Dettagli

25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE

25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE 25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE Definizione Sia f una funzione reale di variabile reale. Allora, dati x, y domf con x y, si definisce il rapporto incrementale di f tra x e y come P f (x, y = f(x

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = log(1 + x 2 y) lim x 2 x

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = log(1 + x 2 y) lim x 2 x Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del -7-14 Esercizio 1. (14 punti) Data la funzione = log(1 + x y) i) determinare il dominio e studiare l esistenza del ite (x,y) (,) x x ii)

Dettagli

Estremi vincolati, Teorema del Dini.

Estremi vincolati, Teorema del Dini. Estremi vincolati, Teorema del Dini. 1. Da un cartone di 1m si deve ricavare una scatola rettangolare senza coperchio. Trovare il massimo volume possibile della scatola.. Trovare gli estremi assoluti di

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = tan(2x 2 + 3y 2 )

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = tan(2x 2 + 3y 2 ) Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 7-9- - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle Esercizio

Dettagli

Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti

Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore. Esercizio 1. Determinare i punti di massimo e minimo assoluti

Dettagli

1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x.

1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x. Funzioni derivabili Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: a)2x 5 b) x 3 x 4 c) x + 1 d)x sin x. 2) Scrivere l equazione della retta tangente

Dettagli

Soluzione. Il dominio E consiste nella parte di spazio contenuta nella sfera ma esterna al cono rappresentata in Figura 1. Infatti

Soluzione. Il dominio E consiste nella parte di spazio contenuta nella sfera ma esterna al cono rappresentata in Figura 1. Infatti Esercizio 1 (G. Ziglio). (6 punti) Calcolare il volume della porzione di spazio E interna alla sfera di equazione x 2 + y 2 + z 2 = 1 ed esterna al cono di equazione z 2 = x 2 + y 2 E = (x, y, z) R x 2

Dettagli

Statistica Matematica e Trattamento Informatico dei Dati. Analisi Matematica 3. Esercizi svolti nelle lezioni. V. Del Prete

Statistica Matematica e Trattamento Informatico dei Dati. Analisi Matematica 3. Esercizi svolti nelle lezioni. V. Del Prete Statistica Matematica e Trattamento Informatico dei Dati A.A.00-0 Analisi Matematica 3 Esercizi svolti nelle lezioni V. Del Prete Numeri complessi Argomenti ed esercizi svolti nelle lezioni 30.09.00 e

Dettagli

Esercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.

Esercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio. Esercizi svolti 1. Sia sin(x ) f(x) = x ( 1 + x 1 ) se x > 0 a x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.. Scrivere l equazione della retta tangente nel punto di ascissa

Dettagli

R. Capone Analisi Matematica Calcolo Differenziale Funzioni di due variabili

R. Capone Analisi Matematica Calcolo Differenziale Funzioni di due variabili Richiami teorici Sia una funzione di due variabili definita in un insieme A e sia un punto interno ad A. Se R è un dominio regolare di centro e di dimensioni e la funzione della sola variabile x, risulta

Dettagli

a) Il denominatore dev essere diverso da zero. Studiamo il trinomio x 2 5x + 6. Si ha: x 1,2 = 5 ± se x ], 2[ ]3, + [;

a) Il denominatore dev essere diverso da zero. Studiamo il trinomio x 2 5x + 6. Si ha: x 1,2 = 5 ± se x ], 2[ ]3, + [; ESERCIZIO - Data la funzione f (x) + x2 2x x 2 5x + 6, si chiede di: a) calcolare il dominio di f ; (2 punti) b) studiare la positività e le intersezioni con gli assi; (3 punti) c) stabilire se f ha asintoti

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del A

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del A Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del -7-5 - A Esercizio ( punti Data la funzione f(x, y = x + y + 4xy 8x 4y + 4 i trovare tutti i punti critici e, se possibile, caratterizzarli

Dettagli

Dominio di f ed eventuali simmetrie: Il dominio di f è definito dall insieme degli x R che verificano le condizioni:

Dominio di f ed eventuali simmetrie: Il dominio di f è definito dall insieme degli x R che verificano le condizioni: Studi di funzione 5) Studiare la funzione definita da f() = arcsin ( ) + 3 2 +. Dominio di f ed eventuali simmetrie: Il dominio di f è definito dall insieme degli R che verificano le condizioni: () : +,

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica I

Esercizi di Analisi Matematica I Esercizi di Analisi Matematica I (corso tenuto dal Prof Alessandro Fonda) Università di Trieste, CdL Fisica e Matematica, aa 2012/2013 1 Principio di induzione 1 Dimostrare che per ogni numero naturale

Dettagli

Esercizi svolti. g(x) = sono una l inversa dell altra. Utilizzare la rappresentazione grafica di f e f 1 per risolvere l equazione f(x) = g(x).

Esercizi svolti. g(x) = sono una l inversa dell altra. Utilizzare la rappresentazione grafica di f e f 1 per risolvere l equazione f(x) = g(x). Esercizi svolti. Discutendo graficamente la disequazione > 3 +, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne gli estremi.. Descrivere in forma elementare l insieme { R : + > }. 3.

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica L-B

Esercizi di Analisi Matematica L-B Esercii di Analisi Matematica L-B Marco Alessandrini Gennaio-Maro 7 Indice Funioni di più variabili reali. Calcolo differeniale........................................... Ricerca di massimi e minimi.......................................

Dettagli

Le derivate parziali

Le derivate parziali Sia f(x, y) una funzione definita in un insieme aperto A R 2 e sia P 0 = x 0, y 0 un punto di A. Essendo A un aperto, esiste un intorno I(P 0, δ) A. Preso un punto P(x, y) I(P 0, δ), P P 0, possiamo definire

Dettagli

ESERCIZIO SVOLTO N 1 ESERCIZIO SVOLTO N 2. Determinare e rappresentare graficamente il dominio della funzione

ESERCIZIO SVOLTO N 1 ESERCIZIO SVOLTO N 2. Determinare e rappresentare graficamente il dominio della funzione ESERCIZIO SVOLTO N 1 Determinare e rappresentare graficamente il dominio della funzione f(x, y) = y 2 x 2 Trovare gli eventuali punti stazionari e gli estremi di f Il dominio della funzione è dato da dom

Dettagli

Soluzioni degli esercizi sulle FUNZIONI DI DUE VARIABILI

Soluzioni degli esercizi sulle FUNZIONI DI DUE VARIABILI Soluzioni degli esercizi sulle FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1. Insiemididefinizione: (a) x + èdefinita se il denominatore è diverso da zero, cioè perx 6= : graficamente x significa rimuovere dal piano la

Dettagli

Esercizi 2. e xy x + y = 0. definisce una ed una unica funzione implicita x = φ(y) nell intorno di (0, 0), se ne calcoli

Esercizi 2. e xy x + y = 0. definisce una ed una unica funzione implicita x = φ(y) nell intorno di (0, 0), se ne calcoli I seguenti quesiti ed il relativo svolgimento sono coperti dal diritto d autore, pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale senza autorizzazione esplicita

Dettagli

Esempio di grafico di una funzione reale di due variabili reali

Esempio di grafico di una funzione reale di due variabili reali Esempio di grafico di una funzione reale di due variabili reali In questo lucido è rappresentato il grafico della funzione reale di due variabili reali definita da: f(x, y) = 1 x y, in particolare in alto

Dettagli

TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I

TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I Corso di laurea quadriennale) in Fisica a.a. 003/04 Prova scritta del 3 aprile 003 ] Siano a, c parametri reali. Studiare l esistenza e, in caso affermativo, calcolare

Dettagli

Esercizi. f(x, y, z) = exp(xz) + zy sin(xyz) + cos(xy 3 )

Esercizi. f(x, y, z) = exp(xz) + zy sin(xyz) + cos(xy 3 ) Esercizi 1. Determinare le derivate parziali di f(x, y, z) = exp(xz) + zy sin(xyz) + cos(xy 3 ) 2. Scrivere l equazione del piano tangente e della retta normale al grafico ln(xy) + cos(x + y) nel punto

Dettagli

Esercizi di Matematica per le Scienze Studio di funzione

Esercizi di Matematica per le Scienze Studio di funzione Esercizi di Matematica per le Scienze Studio di funzione A.M. Bigatti e G. Tamone Esercizi Studio di funzione Esercizio 1. Disegnare il grafico di una funzione continua f che soddisfi tutte le seguenti

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare [cos x] x kπ/ al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prova Scritta di Analisi Matematica 2 del 19/06/2010 A

Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prova Scritta di Analisi Matematica 2 del 19/06/2010 A Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prova Scritta di Analisi Matematica del 9/6/ A ) ata la funzione f(x, y) x y log( + x + y ), a) stabilire dove risulta derivabile parzialmente nel suo

Dettagli

b x 2 + c se x > 1 determinare a, b e c in modo che f sia continua in R, determinare a, b e c in modo che f sia anche derivabile in R

b x 2 + c se x > 1 determinare a, b e c in modo che f sia continua in R, determinare a, b e c in modo che f sia anche derivabile in R 9.. Esercizio. Data la funzione x tg( π x) se x < 4 f(x) = a se x = b x 2 + c se x > ANALISI Soluzione esercizi 9 dicembre 20 determinare a, b e c in modo che f sia continua in R, determinare a, b e c

Dettagli

Analisi Matematica II - Ingegneria Meccanica/Energetica - 29 Gennaio 2018

Analisi Matematica II - Ingegneria Meccanica/Energetica - 29 Gennaio 2018 nalisi Matematica II - Ingegneria Meccanica/Energetica - 29 Gennaio 218 1) ia data la funzione f(x, y, z) = (x 2 + y 2 1) 2 + 8 a) tudiare l esistenza di massimi e minimi assoluti della funzione f nella

Dettagli

Istituzioni di Matematiche Modulo B (SG)

Istituzioni di Matematiche Modulo B (SG) Istituzioni di Matematiche Modulo B (SG) II foglio di esercizi ESERCIZIO 1. Per ciascuna funzione f(, ) calcolare le derivate parziali f (, ) e f (, ) e determinare il relativo dominio di definizione.

Dettagli

Appunti sul corso di Complementi di Matematica mod. Analisi prof. B.Bacchelli - a.a. 2010/2011.

Appunti sul corso di Complementi di Matematica mod. Analisi prof. B.Bacchelli - a.a. 2010/2011. Appunti sul corso di Complementi di Matematica mod. Analisi prof. B.Baccelli - a.a. 2010/2011. 06 - Derivate, differenziabilità, piano tangente, derivate di ordine superiore. Riferimenti: R.Adams, Calcolo

Dettagli

Analisi 4 - SOLUZIONI (compito del 29/09/2011)

Analisi 4 - SOLUZIONI (compito del 29/09/2011) Corso di laurea in Matematica Analisi 4 - SOLUZIONI compito del 9/09/0 Docente: Claudia Anedda Calcolare, tramite uno sviluppo in serie noto, la radice quinta di e la radice cubica di 9 Utilizzando la

Dettagli

Prove scritte dell esame di Analisi Matematica II a.a. 2011/2012

Prove scritte dell esame di Analisi Matematica II a.a. 2011/2012 Prove scritte dell esame di Analisi Matematica II a.a. / C.d.L. in Ingegneria Informatica ed Elettronica - Università degli Studi di Perugia Prova scritta del 7 giugno. ( punti) Disegnare l insieme E (x,

Dettagli

Argomento 6: Derivate Esercizi. I Parte - Derivate

Argomento 6: Derivate Esercizi. I Parte - Derivate 6: Derivate Esercizi I Parte - Derivate E. 6.1 Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: 1) log 5 3 + cos ) + 3 + 4 + 3 3) 5 tan 4) ( + 3e ) sin 5) arctan( + 1) 6) log 7) 10) + + 3 8) 3 3 1 + 16 11)

Dettagli

Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.4, 3.9. Esercizi 3.4, 3.9.

Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.4, 3.9. Esercizi 3.4, 3.9. Appunti sul corso di Complementi di Matematica - mod Analisi prof. B.Baccelli 200/ 07 - Funzioni vettoriali, derivata della funzione composta, formula di Taylor. Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale

Dettagli

Calcolo differenziale per funzioni in più variabili.

Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica 14 dicembre 2014 Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo

Dettagli

Teorema delle Funzioni Implicite

Teorema delle Funzioni Implicite Teorema delle Funzioni Implicite Sia F una funzione di due variabili definita in un opportuno dominio D di R 2. Consideriamo l equazione F (x, y) = 0, questa avrà come soluzioni coppie di valori (x, y)

Dettagli

Polinomi di Taylor. Hynek Kovarik. Analisi A. Università di Brescia. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 1 / 27

Polinomi di Taylor. Hynek Kovarik. Analisi A. Università di Brescia. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 1 / 27 Polinomi di Taylor Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi A Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 1 / 27 Introduzione Sia f : I R e sia x 0 I. Problemi: come approssimare

Dettagli

Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016

Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Prodotti scalari e forme bilineari simmetriche (1) Sia F : R 2 R 2 R un applicazione definita da F (x, y) = x 1 y 1 + 3x 1 y 2 5x 2 y 1 + 2x 2

Dettagli

{ x + 2y = 3 αx + 2y = 1 αx + y = 0. f(x) = e x 2 +3x+4 x 5. f(x) = x 3 e 7x.

{ x + 2y = 3 αx + 2y = 1 αx + y = 0. f(x) = e x 2 +3x+4 x 5. f(x) = x 3 e 7x. 0 Gennaio 006 Teoria: Definizione di derivata puntuale e suo significato geometrico Esercizio Determinare l equazione del piano contenente i vettori u = (,, 3 e v = (,, e passante per P o = (,, Scrivere

Dettagli

Fissiamo nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, z, u.

Fissiamo nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, z, u. Fissiamo nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, z, u. Definizione Una quadriche è il luogo dei punti, propri o impropri, reali o immaginari, che con le loro coordinate omogenee

Dettagli

ESERCIZI DI METODI QUANTITATIVI PER L ECONOMIA DIP. DI ECONOMIA E MANAGEMENT DI FERRARA A.A. 2016/2017. Ottimizzazione libera

ESERCIZI DI METODI QUANTITATIVI PER L ECONOMIA DIP. DI ECONOMIA E MANAGEMENT DI FERRARA A.A. 2016/2017. Ottimizzazione libera ESERCIZI DI METODI QUANTITATIVI PER L ECONOMIA DIP. DI ECONOMIA E MANAGEMENT DI FERRARA A.A. 2016/2017 Ottimizzazione libera Esercizio 1. Si determinino, se esistono, gli estremi delle seguenti funzioni

Dettagli

Analisi Matematica II - INGEGNERIA Gestionale - B 20 luglio 2017 Cognome: Nome: Matricola:

Analisi Matematica II - INGEGNERIA Gestionale - B 20 luglio 2017 Cognome: Nome: Matricola: Analisi Matematica II - INGEGNERIA Gestionale - B luglio 7 Cognome: Nome: Matricola: IMPORTANTE: Giustificare tutte le affermazioni e riportare i calcoli essenziali Esercizio [8 punti] Data la matrice

Dettagli

Corsi di laurea in ingegneria aerospaziale e ingegneria meccanica Prova scritta di Fondamenti di Analisi Matematica II. Padova, 19.9.

Corsi di laurea in ingegneria aerospaziale e ingegneria meccanica Prova scritta di Fondamenti di Analisi Matematica II. Padova, 19.9. Corsi di laurea in ingegneria aerospaziale e ingegneria meccanica Prova scritta di Fondamenti di Analisi Matematica II Padova, 19.9.2016 Si svolgano i seguenti esercizi facendo attenzione a giustificare

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Anno Accademico 2012/2013 Analisi Matematica 1

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Anno Accademico 2012/2013 Analisi Matematica 1 Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Anno Accademico 2012/2013 Analisi Matematica 1 Nome... N. Matricola... Ancona, 12 gennaio 2013 1. Sono dati i numeri complessi z 1 = 1 + i; z 2 = 2 3 i; z 3 =

Dettagli

Soluzione della prova scritta di Analisi Matematica II del 15 Aprile 2009 (Ingegneria Edile e Architettura)

Soluzione della prova scritta di Analisi Matematica II del 15 Aprile 2009 (Ingegneria Edile e Architettura) Soluzione della prova scritta di Analisi Matematica II del 5 Aprile 009 Ingegneria Edile e Architettura x. Calcolare J = ds essendo γ la curva ottenuta intersecando γ + y il cilindro di equazione x + y

Dettagli

Fasci di Coniche. Salvino Giuffrida. 2. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per A (1, 0) con tangente

Fasci di Coniche. Salvino Giuffrida. 2. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per A (1, 0) con tangente 1 Fasci di Coniche Salvino Giuffrida 1. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per O = (0, 0), con tangente l asse y, e per i punti (1, 0), (1, ). Determinare vertice e asse della

Dettagli

Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano. A.A. 2017/2018. Prof. M. Bramanti.

Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano. A.A. 2017/2018. Prof. M. Bramanti. Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 07/08. Prof. M. Bramanti Tema n 4 5 6 Tot. Cognome e nome (in stampatello) codice persona (o n

Dettagli

Tutorato di Complementi di Analisi Matematica e Statistica Parte di Analisi 6 e 10 aprile 2017

Tutorato di Complementi di Analisi Matematica e Statistica Parte di Analisi 6 e 10 aprile 2017 Tutorato di Complementi di Analisi Matematica e Statistica Parte di Analisi 6 e 10 aprile 2017 Esercizi: serie di potenze e serie di Taylor 1 Date le serie di potenze a.) n=2 ln(n) n 3 (x 5)n b.) n=2 ln(n)

Dettagli

ANALISI MATEMATICA. Prova scritta del 20/12/ FILA 1

ANALISI MATEMATICA. Prova scritta del 20/12/ FILA 1 ANALISI MATEMATICA CORSO C - CdL INFORMATICA Prova scritta del 0//004 - FILA ESERCIZIO Studiare la funzione f(x) log x log x determinando in particolare a) campo di esistenza ed eventuali asintoti; b)

Dettagli

Corso di Analisi Matematica 1 - professore Alberto Valli

Corso di Analisi Matematica 1 - professore Alberto Valli Università di Trento - Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ingegneria per l Ambiente e il Territorio - 07/8 Corso di Analisi Matematica - professore Alberto Valli 7 foglio di esercizi - 8 novembre 07

Dettagli

variabili. se i limiti esistono e si chiamano rispettivamente derivata parziale rispetto ad x e rispetto ad y.

variabili. se i limiti esistono e si chiamano rispettivamente derivata parziale rispetto ad x e rispetto ad y. Funzioni di più variabili Derivate parziali Qui saranno considerate soltanto funzioni di due variabili, ma non c è nessuna difficoltà ad estendere le nuove nozioni a funzioni di n ( > variabili ( Definizione:

Dettagli

6. Calcolare le derivate parziali prime e seconde, verificando la validità del teorema di Schwarz:

6. Calcolare le derivate parziali prime e seconde, verificando la validità del teorema di Schwarz: FUNZIONI DI PIU VARIABILI Esercizi svolti. Determinare il dominio delle seguenti funzioni e rappresentarlo graficamente : (a) f log( x y ) (b) f log(x + y ) (c) f y x 4 (d) f sin(x + y ) (e) f log(xy +

Dettagli

Funzioni derivabili (V. Casarino)

Funzioni derivabili (V. Casarino) Funzioni derivabili (V. Casarino) Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in = 0 delle funzioni: a) 5 b) 3 4 c) + 1 d) sin. ) Scrivere l equazione della retta tangente

Dettagli

Esercizi su massimi e minimi locali

Esercizi su massimi e minimi locali Esercizi su massimi e minimi locali Determinare i punti di massimo locale, di minimo locale o di sella delle seguenti funzioni: 1. f(x, y = (x 1 2 + y 2 2. f(x, y = (x 1 2 y 2 3. f(x, y = x 2 + xy + y

Dettagli

DERIVATE E LORO APPLICAZIONE

DERIVATE E LORO APPLICAZIONE DERIVATE E LORO APPLICAZIONE SIMONE ALGHISI 1. Applicazione del calcolo differenziale 1 Abbiamo visto a lezione che esiste un importante legame tra la continuità di una funzione y = f(x) in un punto x

Dettagli

Appunti sul corso di Complementi di Matematica mod.analisi prof. B.Bacchelli a.a. 2010/2011

Appunti sul corso di Complementi di Matematica mod.analisi prof. B.Bacchelli a.a. 2010/2011 Appunti sul corso di Complementi di Matematica mod.analisi prof. B.Bacchelli a.a. 2010/2011 08- Estremi: Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 4.1. Esercizi 4.1 Estremi liberi: punti

Dettagli

Facoltà di Architettura Valle Giulia Corso di Laurea Specialistica Quinquennale U.E. 1 CALCOLO INTEGRALE PER LE FUNZIONI DI UNA VARIABILE

Facoltà di Architettura Valle Giulia Corso di Laurea Specialistica Quinquennale U.E. 1 CALCOLO INTEGRALE PER LE FUNZIONI DI UNA VARIABILE Facoltà di Architettura Valle Giulia Corso di Laurea Specialistica Quinquennale U.E. Istituzioni di Matematica 2 a.a. 2007-2008 http://www.dmmm.uniroma.it/persone/capitanelli CALCOLO INTEGRALE PER LE FUNZIONI

Dettagli

10 - Applicazioni del calcolo differenziale

10 - Applicazioni del calcolo differenziale Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviuppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 10 - Applicazioni del calcolo differenziale Anno Accademico 2015/2016

Dettagli

Alcune nozioni di calcolo differenziale

Alcune nozioni di calcolo differenziale Alcune nozioni di calcolo differenziale G. Mastroeni, M. Pappalardo 1 Limiti per funzioni di piu variabili Supporremo noti i principali concetti algebrici e topologici relativi alla struttura dello spazio

Dettagli

ESERCITAZIONE SUI PUNTI STAZIONARI DI FUNZIONI LIBERE E SULLE FUNZIONI OMOGENEE

ESERCITAZIONE SUI PUNTI STAZIONARI DI FUNZIONI LIBERE E SULLE FUNZIONI OMOGENEE ESERCITAZIONE SUI PUNTI STAZIONARI DI FUNZIONI LIBERE E SULLE FUNZIONI OMOGENEE 1 Funzioni libere I punti stazionari di una funzione libera di più variabili si ottengono risolvendo il sistema di equazioni

Dettagli

Continuità e derivabilità. Calcola la derivata delle seguenti funzioni

Continuità e derivabilità. Calcola la derivata delle seguenti funzioni ESERCIZI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE Continuità e derivabilità Si studi la continuità e la derivabilità delle seguenti funzioni nel punto indicato a fianco { Si trovi, se possibile, a e b in modo che le

Dettagli

f(x) = 1 x 2 Per determinare il dominio di f(x) dobbiamo imporre che il determinante sia diverso da zero

f(x) = 1 x 2 Per determinare il dominio di f(x) dobbiamo imporre che il determinante sia diverso da zero . Data la funzione approssimarne il grafico. f() = 2 Per determinare il dominio di f() dobbiamo imporre che il determinante sia diverso da zero 2 0 = 2 = ± perciò il dominio ` D = R \ {, } =], [ ], [ ],

Dettagli

Analisi Matematica I Primo Appello ( ) - Fila 1

Analisi Matematica I Primo Appello ( ) - Fila 1 Analisi Matematica I Primo Appello (4-11-003) - Fila 1 1. Determinare la retta tangente alla funzione f() = (1 + ) 1+ in = 0. R. f(0) = 1, mentre la derivata è f () = ( e (1+) log(1+)) ( ) = e (1+) log(1+)

Dettagli

Esercizi sulle funzioni f : R 2 R. Soluzioni

Esercizi sulle funzioni f : R 2 R. Soluzioni Esercizi sulle funzioni f : R R Soluzioni. Disegnare il grafico della funzione f : R R, nei casi: (a) f(, ) =. La funzione dipende solo dalla coordinata. In questo caso il grafico rappresenta un piano

Dettagli

Gruppo esercizi 1: Vettori e matrici [E.1] Date le due matrici e il vettore

Gruppo esercizi 1: Vettori e matrici [E.1] Date le due matrici e il vettore Gruppo esercizi 1: Vettori e matrici [E.1] Date le due matrici e il vettore A = 1 2 0 0 2 1 B = 2 1 0 1 0 2 u = (1, 2, 1), 3 2 1 1 1 1 [E.2] Date le due matrici e il vettore A = 1 2 0 0 1 0 0 1 3 B = 1

Dettagli

Analisi Matematica 1 (Modulo) Prove Parziali A.A. 1999/2008

Analisi Matematica 1 (Modulo) Prove Parziali A.A. 1999/2008 Analisi 1 Polo di Savona Analisi Matematica 1 (Modulo) Prove Parziali A.A. 1999/2008 1- PrA1.TEX [] Analisi 1 Polo di Savona Prima prova Parziale 21/10/1998 Prima prova Parziale 21/10/1998 Si consideri

Dettagli

Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, de l Hôpital

Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, de l Hôpital Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, de l Hôpital Copyright c 2007 Pasquale Terrecuso Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Teoremi

Dettagli

1 Esercitazioni di Matematica

1 Esercitazioni di Matematica CORSO DI LAUREA IN SPTUPA Corso di Matematica e Statistica applicata anno accademico 2013/2014 Secondo l Eneide, all origine della fondazione di Cartagine sta la soluzione di un problema di natura matematica.

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica B. Massimo Cicognani

Esercizi di Analisi Matematica B. Massimo Cicognani Esercizi di Analisi Matematica B Massimo Cicognani ii Indice Testi. Serie numeriche e serie di potenze.................2 Funzioni di più variabili reali.................. 5.3 Equazioni differenziali......................

Dettagli

1 Successioni di funzioni

1 Successioni di funzioni Successioni di Esercizio.. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di (.) f n (x) = n x Osserviamo che fissato x R f n(x) = + n x x R. x ( n + x ) = pertanto la successione

Dettagli

21 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE

21 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE 21 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE Definizione Sia f una funzione reale di variabile reale. Allora, dati x, y domf con x y, si definisce il rapporto incrementale di f tra x e y come P f (x, y = f(x

Dettagli

Politecnico di Torino II Facoltà di Architettura - 5 Luglio 2011 Esercizio 1. Sono date le matrici 2 1, B = 1 4

Politecnico di Torino II Facoltà di Architettura - 5 Luglio 2011 Esercizio 1. Sono date le matrici 2 1, B = 1 4 A Politecnico di Torino II Facoltà di Architettura - 5 Luglio 20 Esercizio. Sono date le matrici A = ( ) 2, B = 4 ( ). 2 a) Calcolare la matrice A. b) Enunciare ed applicare la regola di Cramer per determinare

Dettagli

Matematica e Statistica

Matematica e Statistica Matematica e Statistica Prova d esame (0/0/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/0/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie

Dettagli

PER LA COMMISSIONE D ESAME 1E 2E 3E 4E 5E Totale

PER LA COMMISSIONE D ESAME 1E 2E 3E 4E 5E Totale Esame di Analisi Matematica Uno 31 Gennaio 2014 Fila: A 1 Università di Padova - Scuola di Ingegneria - Esame di Analisi Matematica Uno Lauree: Chimica e Materiali 31 Gennaio 2014 (Primo appello, a.a.

Dettagli

Simmetrie e quadriche

Simmetrie e quadriche Appendice A Simmetrie e quadriche A.1 Rappresentazione e proprietà degli insiemi nel piano Una delle prime difficoltà che si incontrano nell impostare il calcolo di un integrale doppio consiste nel rappresentare

Dettagli

Funzioni continue in più variabili

Funzioni continue in più variabili Capitolo Funzioni continue in più variabili Esercizio. Studiare la continuità della funzione f : R \ {(,) R : = } {(0,0)} R definita da f(,) = = 0 (,) = (0,0). Esercizio. Studiare la continuità della funzione

Dettagli

Esercizi proposti. x b) f(x) = 2. Determinare i punti di non derivabilità delle funzioni

Esercizi proposti. x b) f(x) = 2. Determinare i punti di non derivabilità delle funzioni Esercizi proposti 1. Calcolare la derivata prima f () per le seguenti funzioni: a) f() = c) f() = ( 1 + 1 b) f() = 1 arctan ) d) f() = cos ( ( + ) 5) e) f() = 1 + sin 1 f) f() = arcsin 1. Determinare i

Dettagli

Esercizi sullo studio di funzione

Esercizi sullo studio di funzione Esercizi sullo studio di funzione Seconda parte Come visto nella prima parte, per poter descrivere una curva, data la sua equazione cartesiana esplicita y f () occorre procedere secondo l ordine seguente:

Dettagli

ESAME DI MATEMATICA I parte Vicenza, 05/06/2017. x log 2 x?

ESAME DI MATEMATICA I parte Vicenza, 05/06/2017. x log 2 x? A. Peretti Svolgimento dei temi d esame di Matematica A.A. 6/7 ESAME DI MATEMATICA I parte Vicenza, 5/6/7 log? Domanda. Per quali valori di è definita l espressione L espressione è definita se l argomento

Dettagli