LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE. Prof Giovanni Ianne

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1 LA ERIVATA I UNA FUNZIONE Pro. Giovanni Ianne /22

2 Come si determina la retta tangente a una curva in un punto P? Per una circonerenza, la tangente è la retta che interseca la curva solo in P. IL PROBLEMA ELLA TANGENTE Ma, in generale, questa deinizione non basta. Un esempio è dato nella igura a destra: la retta t è tangente alla curva nel punto P, ma la interseca anche nel punto P. La tangente dipende dalle proprietà locali della curva in un intorno di P. EFINIZIONE Retta tangente a una curva La retta tangente t a una curva in un punto P è la posizione limite, se esiste, della secante PQ al tendere (sia da destra sia da sinistra) di Q a P. 2/22

3 IL RAPPORTO INCREMENTALE EFINIZIONE Rapporto incrementale ati una unzione y = (), deinita in un intervallo [a; b], e due numeri reali c e c + h interni all intervallo, si chiama rapporto incrementale di (relativo a c) il numero:. Il rapporto incrementale di relativo a c è il coeiciente angolare della retta passante per A e B. 3/22

4 EFINIZIONE LA ERIVATA I UNA FUNZIONE erivata di una unzione ata una unzione y = (), deinita in un intervallo [a; b], si chiama derivata della unzione nel punto c interno all intervallo, e si indica con ' (c), il limite, se esiste ed è inito, per h che tende a, del rapporto incrementale di relativo a c:. c m tg dove è l' angolo ormato dalla retta tangente di equazione y m q nella posizione limite con l' asse delle. La derivata di una unzione in un punto c rappresenta il coeiciente angolare della retta tangente al graico della unzione nel suo punto di ascissa c. 4/22

5 In generale, data la unzione y (), l' equazione della retta tangente al graico di nel punto ( ; y), se tale retta esiste e non è parallela all' asse y, è : y - y ( ) ( ) 5/22

6 Condizione di esistenza della derivata La derivata di esiste in c se: - la unzione è deinita in un intorno di c; - esiste il limite del rapporto incrementale per h tendente a ; - il limite è un numero inito. Rapporto incrementale e derivata Nel processo di limite il rapporto incrementale diventa il coeiciente angolare della retta tangente. 6/22

7 EFINIZIONE erivata destra La derivata destra di una unzione in un punto c è. EFINIZIONE erivata sinistra La derivata sinistra di una unzione in un punto c è. Una unzione è derivabile in c se la derivata destra e la derivata sinistra esistono inite in c e sono uguali. 7/22

8 LA CONTINUITA E LA ERIVABILITA TEOREMA : X R R, X, sia d' accumulazi one per X Se () è derivabile nel punto è continua nel punto Il teorema aerma che la derivabilità di una unzione implica la continuità, mentre il viceversa non vale. Pertanto, la continuità è una condizione necessaria, ma non è suiciente per la derivabilità, poiché una unzione può essere continua in un punto senza che sia derivabile nello stesso punto. Nei punti di discontinuità una unzione non può ammettere derivata. 8/22

9 LE ERIVATE FONAMENTALI Teorema Sia k, dove k è una costante. La derivata di una unzione costante è zero Teorema Sia. La derivata della variabile indipendente è uguale a Teorema Sia k n, con n N -. n n n (erivata di una potenza con esponente intero e positivo) 9/22

10 LE ERIVATE FONAMENTALI Teorema Sia, con R e. (erivata di una potenza con esponente reale) Se n m con n m n n In particolare per n = 2 ed m = risulta: m 2 n n m nm (erivata di una radice) /22

11 LE ERIVATE FONAMENTALI Teorema Sia sen, con espresso in radianti.. sen cos La derivata della unzione seno Teorema Sia cos, cos sen con espresso in La derivata della unzione coseno. radianti. /22

12 Teorema Sia LE ERIVATE FONAMENTALI a, con a e a e R. a a ln a (erivata della unzione esponenziale) In particolare, quando a = e, e e ln e risulta: 2/22

13 LE ERIVATE FONAMENTALI Teorema Sia log, con a e a e a. log a log a e (erivata della unzione logaritmica) In particolare, quando a = e, ln log e e risulta: 3/22

14 I TEOREMI SUL CALCOLO ELLE ERIVATE Teorema (La derivata del prodotto di una costante per una unzione) La derivata del prodotto di una costante per una unzione derivabile è uguale al prodotto della costante per la derivata della unzione: k k Teorema (La derivata della somma di unzioni) La derivata della somma algebrica di due o più unzioni derivabili è uguale alla somma delle derivate delle unzioni stesse: g( ) g 4/22

15 I TEOREMI SUL CALCOLO ELLE ERIVATE Teorema (La derivata del prodotto di unzioni) La derivata del prodotto di due unzioni derivabili è uguale alla somma della derivata della prima unzione moltiplicata per la seconda non derivata e della derivata della seconda unzione moltiplicata per la prima non derivata: g( ) Teorema (La derivata del reciproco di una unzione) La derivata del reciproco di una unzione derivabile non nulla è uguale a una razione in cui: il numeratore è l opposto della derivata della unzione; il denominatore è il quadrato della unzione. 2, g( ) con () g. 5/22

16 I TEOREMI SUL CALCOLO ELLE ERIVATE Teorema (La derivata del quoziente di due unzioni) La derivata del quoziente di due unzioni derivabili (con unzione divisore non nulla) è uguale a una razione che ha: per numeratore la dierenza ra la derivata del dividendo moltiplicata per il divisore non derivato e il dividendo non derivato moltiplicato per la derivata del divisore; per denominatore il quadrato del divisore. g( ) Casi particolari: tg g( ) g 2 g, con g() oppure tg tg 2 cos 2. 2 cotg 6/22 Pro Giovanni oppure cotg ( cotg ) 2 Ianne sen

17 LA ERIVATA I UNA FUNZIONE COMPOSTA Teorema Se la unzione è derivabile nel punto e la unzione g è derivabile nel punto z = (), allora la unzione composta y = g(()) è derivabile in e la sua derivata è il prodotto delle derivate di g rispetto a z e di rispetto a : g( ) g ( ) 7/22

18 LE ERIVATE ELLE FUNZIONI COMPOSTE La derivata della unzione potenza composta: La derivata della unzione radice composta: n m n m n nm La derivata della unzione seno composta: sen () cos () 8/22

19 LE ERIVATE ELLE FUNZIONI COMPOSTE La derivata della unzione coseno composta: cos () sen () La derivata della unzione tangente composta: tg () tg 2 cos 2 La derivata della unzione cotangente composta: sen 2 cotg () cot g () 2 9/22

20 LE ERIVATE ELLE FUNZIONI COMPOSTE La derivata della unzione esponenziale composta: a a In particolare, quando a = e, e e ln risulta: La derivata della unzione logaritmica composta: log a ln e log a a e In particolare, quando a = e, ln log e e risulta: 2/22

21 TEOREMA SULLE FUNZIONI ERIVABILI TEOREMA I E L HOSPITAL Siano () e g() due unzioni deinite nell intervallo a; b e sia un punto dell intervallo. Supponiamo che siano veriicate le seguenti condizioni: ) () e g() siano derivabili in escluso al più il punto 2) le unzioni si annullino entrambe nel punto, cioè 3) in un intorno di, g( ) e g a; b ) g( ) ( 4) le derivate di () e di g() siano continue 5) esista il lim ( ) g allora esiste anche il limite del rapporto delle due unzioni ed è: lim g lim g 2/22

22 REGOLA I E L HOSPITAL PER IL CALCOLO I ALCUNI LIMITI al teorema di e L Hospital scende la regola di e L Hospital: Il limite del rapporto di due unzioni che si presenta sotto la orma indeterminata del tipo oppure è uguale al limite del rapporto delle loro derivate, nell ipotesi che le due unzioni soddisino alle proprietà precedentemente esposte. 22/22