LICEO PEDAGOGICO-ARTISTICO G. Pascoli di Bolzano VERIFICA SCRITTA DI MATEMATICA CLASSE 4a P-FILA A 04/11/2010- Tempo 100

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1 LICEO PEDAGOGICO-ARTISTICO G. Pascoli di Bolzano VERIFICA SCRITTA DI MATEMATICA CLASSE 4a P-FILA A 4//- Tempo Ogni risposta ai quesiti va opportunamente motivata (con calcoli, grafici, ecc.) pena la sua esclusione dalla valutazione.. (pt..) Verifica che il triangolo di vertici A(;), B(3;), C(;4) è isoscele. Determinane quindi il perimetro e l area.. (pt.4.) Data l equazione della retta r: -4x+y-6=.a) rappresentala nel piano cartesiano;.b) scrivi l equazione della retta s, parallela ad r e passante per il punto P(-;);.c) scrivi l equazione della retta t, perpendicolare ad r e passante per il punto Q (-;);.d) determina il punto d intersezione M tra la retta t e la retta s ;.e) determina l area del triangolo che ha per vertici il punto d intersezione della retta r con l asse delle ordinate, il punto M e l intersezione della retta s con l asse delle ordinate. 3. (pt.) Scrivi l equazione della retta passante per i punti A(-;/) e B(;) e determina il percorso più breve che collega A alla retta di equazione y-x+3=.

2 LICEO PEDAGOGICO-ARTISTICO G. Pascoli di Bolzano VERIFICA SCRITTA DI MATEMATICA CLASSE 4a P-FILA B 4//- Tempo Ogni risposta ai quesiti va opportunamente motivata (con calcoli, grafici, ecc.) pena la sua esclusione dalla valutazione.. (pt..) Verifica che il triangolo di vertici A(4;), B(3;), C(-3;3) è rettangolo e calcolane il perimetro e l area.. (pt.4.) Data l equazione della retta r: 4x+y-=.a) rappresentala nel piano cartesiano;.b) scrivi l equazione della retta s, parallela ad r e passante per il punto P(;-);.c) scrivi l equazione della retta t, perpendicolare ad r e passante per il punto Q (-;);.d) determina il punto d intersezione M tra la retta t e la retta s ;.e) determina l area del triangolo che ha per vertici il punto d intersezione della retta r con l asse delle ordinate, il punto M e l intersezione della retta s con l asse delle ordinate. 3. (pt.) Scrivi l equazione della retta passante per i punti A(;-/) e B(;-) e determina la lunghezza del percorso più breve che collega A alla retta di equazione y-3x+3=.

3 . 3 + = 4+ = AB= ( ) ( ) = + 9= BC= ( ) ( ) + 4 = + 4= AC= ( ) ( ) Correzione FILA A p= AB+BC+AC= + + = + Poiché AB=AC il triangolo è isoscele sulla base BC; l altezza relativa a BC è anche mediana; il punto medio di BC è M(/;/). AM= 9 + = + = = L area del triangolo è AM BC = =...a) Per rappresentare la retta nel piano cartesiano è sufficiente trovare due punti che le appartengono; a tal fine è opportuno scrivere la forma esplicita della retta rispetto ad y; dopo opportuni passaggi si ha r: y=x+3. Posto x= si ha y=3 per x= si ricava y=; trovati, quindi, i punti A(;3) e B(;) si può disegnare la retta nel piano cartesiano..b) s deve essere parallela ad r e quindi deve avere lo stesso coefficiente angolare; la sua equazione = + q e pertan- sarà del tipo y=x+q; impongo il passaggio per il punto P(-;) e si ha ( ) to q=3; in definitiva la retta s ha equazione y=x+3 cioè r=s..c) t deve essere perpendicolare a r e quindi deve avere il coefficiente angolare uguale all antireci- croco di quello di r; posto m = coefficiente angolare della retta t = =, l equazione delm = / + q e la retta t è della forma y=-(/)x+q; imponendo il passaggio per Q, si ha ( )( ) quindi q=-/. L equazione della retta t è, pertanto, y=(-/)x-/..d) Per trovare il punto M d intersezione delle rette s e t si risolve il seguente sistema y= x+ 3 y= ( / ) x / y= x+ 3 x+ 3= ( / ) x / y= x+ 3 ( / ) x= 7 / x= 7 / y= ( 7 / ) + 3= / Il punto M ha coordinate (-7/; /)..e) Il punto d intersezione di r con l asse y è (;3) che è uguale al punto d intersezione di s con

4 l asse y; pertanto i tre punti sono allineati e il triangolo è degenere e avrà pertanto area nulla. 3. y ya x xa La retta passante per A e per B ha equazione = yb ya xb x. A Si ha sostituendo le coordinate di A e di B y / x+ = / + y = x+ y x = Quindi l equazione della retta è y-x-=. Per trovare la lunghezza del percorso più breve si ha,utilizzando la formula della distanza di un punto da una retta: axa+ bya+ c d(a;r)= = ( )( ) + ( / ) + 3 = = a + b 4+

5 = 9+ = AB= ( ) ( ) = 4= BC= ( ) ( ) AC= ( ) ( ) Correzione FILA B = 49+ = = p= AB+BC+AC= + + = + 3 Per verificare se il triangolo è rettangolo basta verificare il teorema di Pitagora. AB +BC =+4= AC = Quindi AC =AB +BC e quindi AC è l ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono AB e BC. Per trovare l area di un triangolo rettangolo basta moltiplicare i cateti e dividere per : L area del triangolo è AB BC = =...a) Per rappresentare la retta nel piano cartesiano è sufficiente trovare due punti che le appartengono; a tal fine è opportuno scrivere la forma esplicita della retta rispetto ad y; dopo opportuni passaggi si ha r: y=-x+/. Posto x= si ha y=/ e per x= si ricava y=/; trovati, quindi, i punti A(;/) e B(;/) si può disegnare la retta nel piano cartesiano..b) s deve essere parallela ad r e quindi deve avere lo stesso coefficiente angolare; la sua equazione = + q e sarà del tipo y=-x+q; impongo il passaggio per il punto P(-;) e si ha - ( ) q=; in definitiva la retta s ha equazione y=-x+..c) t deve essere perpendicolare a r e quindi deve avere il coefficiente angolare uguale all antireci- croco di quello di r; posto m = coefficiente angolare della retta t = =, l equazione delm = / + q e la retta t è della forma y=(/)x+q; imponendo il passaggio per Q, si ha ( )( ) quindi q=. L equazione della retta t è, pertanto, y=(/)x+.d) Per trovare il punto M d intersezione delle rette s e t si risolve il seguente sistema y= x+ y= ( / ) x+ y= x+ x+ = ( / ) x+ y= x+ ( / ) x= x= y= Il punto M ha coordinate (; )..e) Il punto d intersezione di r con l asse y è (;/), mentre M coincide con il punto d intersezione della retta s con l asse y; pertanto i tre punti sono allineati e il triangolo è degenere e avrà pertanto area nulla.

6 3. y ya x xa La retta passante per A e per B ha equazione = yb ya xb x. A Si ha, sostituendo le coordinate di A e di B,: y+ / x = + (/ ) ( y ) ( / 3) + / = x+ ( / 3) y / 3+ x = y 3+ 3x= 3x y 4= Quindi l equazione della retta è -y+3x-4=. Per trovare la lunghezza del percorso più breve si ha,utilizzando la formula della distanza di un punto da una retta: axa+ bya+ c d(a;r)= = ( 3)( + ) + ( / ) = = a + b

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