Ottimizzazione nella gestione dei progetti

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1 Ottimizzazione nella gestione dei progetti Capitolo 2: Reti di attività CARLO MANNINO Università di Roma La Sapienza Dipartimento di Informatica e Sistemistica

2 Definizioni di ase Il Progetto è costituito di eventi (o pietre miliari) e di attività (o task) che devono essere eseguite rispettando vincoli di precedenza. Ogni attività ha una durata e richiede risorse (eventualmente nulle) Un evento si riferisce a un insieme di attività che devono essere completate in un certo istante di tempo Risorse sono, ad esempio, il credito, la forza lavoro, le macchine, l equipaggiamento, l energia, lo spazio, ecc. Vincoli di precedenza fra attività: il più tipico è il vincolo fine/inizio: un attività non può cominciare prima che un altra sia finita. Altri esempi di relazioni temporali: inizio/inizio, fine/fine, inizio/fine, con o senza intervalli di tempo (time lag). Tempo: il tempo viene tipicamente misurato in unità prestailite (ore, giorni, ). Orizzonte temporale l insieme dei periodi richiesti per l esecuzione del progetto o disponiili a priori se in presenza di scadenze (deadline).

3 Tecniche reticolari Scopi:. Definire lo schedule delle attività, cioè associare a ogni attività un istante iniziale. 2. Permettere l analisi dei ritardi, cioè determinare la durata complessiva del progetto e le attività che la determinano. Input:. L insieme delle attività del progetto 2. La durata di ciascuna attività (certa o incerta) 3. Le precedenze temporali. Metodi classici:. CPM (critical path method): durate certe e relazioni temporali di fine/inizio (certe attività possono cominciare solo dopo che altre sono terminate). 2. MPM (metra potential method): come il CPM, ma con relazioni temporali più complicate (inizio/inizio, fine/fine, inizio/fine) 3. PERT (program evaluation & review techique): come CPM ma durate stocastiche..... GERT, VERT,...)

4 PERT e CPM PERT (Program evaluation & Review Technique) è stato sviluppato dalla marina americana per la pianificazione e il controllo del programma per la costruizione del missile Polaris. L oiettivo principale era quello di terminare il progetto nel più reve tempo possiile. Il PERT può contemplare il caso di incertezze sui tempi di completamento delle singole attività. Grazie a questa tecnica il tempo di completamento dell intero progetto fu ridotto di due anni. CPM (Critical Path Method) è stato sviluppato da Du Pont. L oiettivo è un compromesso (trade-off) fra il costo del progetto e il suo tempo di completamento (è possiile diminuire il tempo di completamento spendendo di più). Gli attuali modelli matematici (e pacchetti applicativi) non distinguono più così nettamente fra PERT e CPM.

5 Input: Identificazione delle attività Warehouse Uffici Warehouse Riparazioni Edifici Strade d accesso Interni Infrastrutture Fondamena Muri e tetti Infrastrutture Rete fognaria Piloni Prefaricati Seratoi Antincendio Cemento Muri portanti Fognature Parcheggi Tetto carico/scaric Strade Pavimento porte Attività Le attività vengono identificate nella fase di pianificazione e rappresentate nella WBS (nelle foglie). Per ogni attività si devono determinare la durata e i rapporti di interdipendenza temporali con le altre attività, e le risorse richieste. Le attività e i rapporti di precedenza vengono rappresentati con un grafo orientato

6 Un esempio Per la produzione di un nuovo prodotto sono state individuate le seguenti attività con relativi tempi di completamento Attività Descrizione Tempo Disegno del prodotto (6 settimane) 2 Disegno della confezione (2 settimane) 3 Ordine e ricezione dei materiali per prodotto (3 settimane) Ordine e ricezione dei materiali per confezione (2 settimane) 5 Assemlaggio dei prodotti ( settimane) 6 Preparazione delle Confezioni ( settimana) Impacchettamento dei prodotti ( settimana) 8 Test di mercato del prodotto (6 settimane) 9 Revisione del prodotto (3 settimane) 0 Revisione della confezione ( settimana) Presentazione dei risultati al CdA ( settimana) Descriviamo le relazioni di precedenza (immediate). deve finire prima che 3 cominci ( < 3). Tutte le relazioni sono di tipo Finish/Start 2 <, 3 < 5, < 6, 5 <, 6 <, < 8, 8 < 9, 8 < 0, 9 <, 0 <.

7 Rete di attività La rete delle attività (rete delle precedenze, grafo dei vincoli) è un grafo orientato che rappresenta le relazioni di precedenza fra attività. Esistono due possiili rappresentazioni: Rete delle attività G = (V, A) Activity-on-arc: gli archi sono attività e i nodi eventi Activity-on-node: i nodi sono attività ed eventi, gli archi rappresentano vincoli di precedenza

8 Activity on arc (AoA) Primo tipo di rappresentazione: attività sugli archi. (Activity on Arc). La prima introdotta, ancora in uso talvolta Scarsa applicailità a prolemi con vincoli di precedenza generali e vincoli sulle risorse Archi rappresentano le attività Nodi rappresentano eventi: in particolare, dato l arco (u,v), la coda u è l evento inizio dell attività, mentre il nodo testa v rappresenta l evento fine dell attività. a Es. 2 attività, {a, }; a deve finire prima che 2 3 cominci (a precede, a < ) Eventi: inizio a, 2 fine a, inizio, 3 fine

9 a 2 3 d c e Proprietà delle reti AoA Activity network con 5 attività: {a,, c, d, e} vincoli di precedenza: {a < c, a < d, < e, c < e}. Un attività può cominciare solo quando tutti i predecessori sono terminati. Si osservi che la relazione di precedenza è transitiva (se a < e < c allora a < c). Proprietà reti AoA: Ogni rete AoA ha un nodo sorgente (il nodo evento inizio progetto) e un nodo pozzo (il nodo evento fine progetto). Tutti gli altri nodi hanno almeno un predecessore e almeno un successore. Fra una coppia di eventi (nodi) c è al più un attività (un arco) grafo semplice I cammini orientati corrispondono ad attività che devono essere eseguite in successione. Le attività che devono rispettare vincoli di precedenza si trovano su uno o più cammini orientati.

10 Attività ed eventi fittizi Per poter costruire una rete AoA associata a un insieme di attività e relative precedenze, rispettando le regole -, talvolta è necessario aggiungere attività o eventi fittizi (dummy) 2 6 a d 3 5 c e Caso : non esiste un unica attività iniziale o finale Attività: {a,, c, d, e} Precedenze: {a < d, a < e, < d, < e, c < d, c < e} 2 6 a d c e Si aggiunge un nodo fittizio (il nodo ) per l evento inizio progetto, e archi fittizi dal nodo ai nodi che rappresentano l inizio delle prime attività (sorgenti). Similmente per la la fine del progetto si collegano i pozzi al nodo fine progetto.

11 Attività ed eventi fittizi Caso 2: presenza di sono archi paralleli Se alcune attività deve essere eseguita in parallelo, e cioè tutte le attività hanno lo stesso evento iniziale e finale, isogna introdurre attività ed eventi fittizi. a c 2 a 2 3 c c a 2 3 Caso 3: rappresentazione dei vincoli di precedenza a c d Sagliato! Implica a < d 5 Quando i vincoli di precedenza coinvolgono più attività. Es: a < c, < c, < d a c d Corretto: < c ma a e d sono inconfrontaili

12 Un algoritmo costruttivo Attività: {a,, c, d} Precedenze: {a < c, < c, < d} Per costruire una rete AoA (non ridotta) si può seguire un semplice algoritmo:. Associa a ogni attività un arco disgiunto (gli estremi rappresentano l inizio e la fine dell attività corrispondente) a 2 6 c d 9 2. Aggiungi archi per rappresentare le relazioni di precedenza tra gli eventi di inizio e fine attività 3. Aggiungi i nodi di inizio e fine progetto e relativi archi fittizi

13 Riduzione La rete può essere ridotta contraendo alcuni archi fittizi a c d Contrazione arco (u,v): rimuovi l arco (u,v); i nodi u e v diventano uno stesso nodo, e la stella entrante (uscente) del nuovo nodo è l unione delle stelle entranti (uscenti) di u e v. Algoritmo: contrai in sequenza archi fittizi la cui contrazione non crea precedenze inesistenti (ovvero: il grafo contratto non deve contenere cammini orientati passanti per due archi a e, se tali archi non appartengono a un cammino orientato nel grafo originale. a c d 9 0

14 Activity on Nodes (AoN) Nodi rappresentano attività + due nodi fittizi (inizio e fine progetto). Archi rappresentano relazioni di precedenza. Es. 5 attività {a,, c, d, e}: precedenze (semplici) a < c, a < d, < e, c < d, c < e. s a c d e t Gli unici nodi fittizi sono quelli di inizio e fine progetto. Vanno sempre aggiunti e possono essere utilizzati per rappresentare complesse relazioni di precedenza. L attività inizio progetto ha durata nulla e finisce prima dell inizio di qualunque altra attività del progetto L attività fine progetto ha durata nulla e comincia dopo la fine di qualunque altra attività del progetto

15 Altre relazioni di precedenza Finora si è vista solo una sola relazione di precedenza, la cosiddetta Finish/Start ( comincia dopo che a è terminato). Questa è l unica facilmente rappresentaile nello standard AoA. Esistono altre relazioni, più complesse, rappresentaili con AoN: ad esempio, un attività può cominciare un certo tempo dopo che un altra è terminata, oppure deve essere eseguita in parallelo. Finish Start: FS ij l attività j deve cominciare dopo che l attività i è finita. Se è richiesto un tempo t di attesa (time lag) minimo prima che j cominci, ad esempio per il lead time si scrive: FS min ij (t) FS min ij (t) i j Esempio: si può posare il parquet solo dopo un po di tempo che il pavimento è stato completato (per l asciugatura) Altre volte si può aspettare al massimo un certo tempo t, nel qual caso si scrive FS ij max (t) Esempio: il corso di OGP non può cominciare più di un anno dopo che il corso di Progetto e Ottimizzazione di Reti è terminato

16 Altre relazioni di precedenza Start Start: SS ij min (t) l attività j deve cominciare almeno..t unità di tempo dopo che l attività i è cominciata. Analogamente SS ij max (t) significa che j deve cominciare al più t unità di tempo dopo che l attività i ècominciata Esempio: stendere l asfalto e spianarlo: la spianatura deve cominciare un po dopo che si è cominciato a stendere l asfalto ma non troppo dopo (altrimenti l asfalto si raffredda). Finish Finish: FF ij min (t), FF ij max (t), l attività j deve finire dopo che l attività i è finita. Start Finish: SF ij min (t), SF ij max (t), l attività j deve finire dopo l attività i è cominciata. Esempio: un vecchio impianto produttivo può essere fermato solo dopo che quello nuovo ha cominciato a operare.

17 Esempi di relazioni complesse L attività j deve cominciare al massimo dopo 6 settimane (unità di tempo) dopo l inizio del progetto max SS j (6) j L attività j deve cominciare esattamente 5 settimane dopo che l attività i èfinita. i min FS ij (5) j max FS ij (5) Il progetto deve terminare entro e non oltre tre settimane. max SF n (3) n

18 Il grafo delle precedenze Le relazioni di precedenza generalizzate vengono rappresentate mediante il grafo delle precedenze generalizzate H(V,F). V = {,,n} insieme delle attività, inizio progetto, 0 fine progetto. Esempio di grafo di precedenze (generalizzate) (De Reyck (998)) 0 SS min (2) SS min (0) SS min (2) 3 3 FF max (3) SS min () FF max () FS 2 min () 2 FS max (3) FS max (3) SS min (2) 6 FF min (2) 9 SS min () 6 FS 8 min (0) FF min (2) 5 SF min (0) SF min (6) SF max () 5 FS min (2) FS max (3) 0 0 Il grafo delle precedenze generalizzate è l input per la costruzione del grafo dei vincoli.

19 0 SS min (2) SS min (0) SS min (2) Nodi e precedenze fittizie SS min () 3 FF max () 6 FF min (2) 9 FF max (3) SS min () 2 FS min () 6 8 FS min (0) 2 FF min (2) SS min (2) 3 5 SF min (0) SF min (6) 5 SF max () FS max (3) FS max (3) FS min (2) FS max (3) Le relazioni di precedenza fra i nodi fittizi e gli altri nodi del grafo vengono spesso omesse (tranne quelle immediate ) nelle rappresentazioni grafiche. L attività inizio progetto ha durata nulla e finisce prima dell inizio di qualunque altra attività del progetto. Spesso vengono solo rappresentate le relazioni fra in nodo e le attività (riconosciute come) iniziali. L attività fine progetto ha durata nulla e comincia dopo la fine di qualunque altra attività del progetto. Spesso vengono solo rappresentate le relazioni fra le attività riconosciute come finali e il nodo n di fine progetto. In realtà, tutte le relazioni fittizie devono essere considerate negli algoritmi per la costruzione dei piani delle attività. 0 0