Progamma sintetico. Nozioni preliminari Automi Finiti Macchine di Turing Limiti delle macchine di Turing La tesi di Church-Turing Le classi P e NP

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1 Progamma sintetico Nozioni preliminari Automi Finiti Macchine di Turing Limiti delle macchine di Turing La tesi di Church-Turing Le classi P e NP

2 Un problema classico Un uomo viaggia con un lupo, una pecora ed un cavolo Vuole attraversare un fiume Ha una barca che può contenere solo l uomo più uno dei suoi possedimenti, Il lupo mangia la pecora se soli insieme La pecora mangia il cavolo se soli insieme Come può attraversare fiume senza perdite?

3 Soluzione come Stringa Mosse possono essere rappresentate da simboli Uomo attraversa con lupo (l) Uomo attraversa con pecora (p) Uomo attraversa con cavolo (c) Uomo attraversa con niente (n) Sequenza mosse stringa, Es. soluzione pnlpcnp: Prima attraversa con pecora, poi ritorna con niente, poi attraversa con il lupo,

4 Mosse transizioni di stato Ogni mossa porta puzzle da uno stato ad un altro Es. Mossa p provoca transizione

5 Diagramma delle Transizioni Mosse legali Stati raggiungibili Stato start Stato finale (scopo raggiunto)

6 Linguaggio delle soluzioni Cammino qualche x {l,p,c,n}* diagramma definisce il linguaggio soluzioni: {x {l,p,c,n}* iniziando in stato start e seguendo transizioni di x, terminano nello stato finale} Nota: Linguaggio infinito

7 Per alcune stringhe automa non sa cosa fare Vogliamo automi che sanno sempre cosa fare Es. Usiamo stato addizionale

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9 Automa Completamente Specificato Nel diagramma esattamente una transizione per ogni stato e per ogni lettera in Fornisce procedura computazionale per decidere se una stringa è una soluzione o meno: Parti nello stato start Segui una transizione per ogni simbolo input Se alla fine arrivi in stato obiettivo accetta altrimenti rifiuta

10 AUTOMI FINITI Modello semplice di calcolatore avente una quantità finita di memoria E noto come macchina a stati finiti o automa finito. Idea di base del funzionamento: Input= stringa su un alfabeto Legge i simboli di w da sinistra a destra. Dopo aver letto l ultimo simbolo, l automa indica se accetta o rifiuta la stringa

11 Alla base di importanti tipi di software, es.: Compilatori: realizzazione del parser, analisi lessicale Software per la progettazione di circuiti digitali Strumenti per la specifica e la verifica di sistemi a stati finiti (sistemi biologici, protocolli di comunicazione) Realizzazione di strumenti di elaborazione testuale Ricerca di parole chiave in un file o sul web. 11

12 Automa finito deterministico (DFA) Es: DFA con alfabeto ={a, b}: Stringa arriva in input, DFA legge 1 simbolo alla volta dal primo all ultimo Quindi DFA accetta o rifiuta la stringa

13 Automa finito deterministico (DFA) Es: DFA con alfabeto ={a, b}: a b b a a q1 q1 q2 q2 q3 q2

14 Automa finito deterministico (DFA) Es: DFA con alfabeto ={a, b}: q1, q2, q3 soni gli stati. q1 è lo stato start (ha freccia entrante da esterno) q2 è uno stato accetta (doppio cerchio)

15 archi dicono come muoversi quando l automa si trova in uno stato e simbolo di è letto. Dopo aver letto l ultimo simbolo: Se DFA è in uno stato accetta, allora stringa è accettata, altrimenti è rifiutata. Nell esempio: abaa è accettata aba è rifiutata è rifiutata

16 Def. formale di DFA A automa finito deterministico (DFA) è 5-tupla M = (Q,, f, q 1, F), dove 1. Q è insieme finito di stati. 2. è alfabeto, e il DFA processa stringhe su. 3. f : Q -> Q è la funzione di transizione. 4. q 1 Q è lo stato start. 5. F (sottoins. di Q) è l'insieme di stati accetta (o finali ). Nota: DFA chiamato anche semplic. automa finito (FA).

17 Funzione di transizione di DFA funzione di transizione f : Q -> Q : per ogni stato e per ogni simbolo di input, la funzione f dice in quale stato spostarsi. Cioè, f(r, a) è lo stato che il DFA occupa quando trovandosi nello stato r legge a, per stato r in Q ed ogni simbolo a in Esiste esattamente un arco uscente da r con label a quindi la macchina è deterministica.

18 Es. di DFA M = (Q,, f, q 1, F) con Q = {q 1, q 2, q 3 } ={a, b} f è descritta da q 1 è lo stato start F = {q 2 }.

19 Come un DFA Computa Riceve in input stringhe di simboli di alfabeto A Inizia in stato start. Legge la stringa un simbolo alla volta, partendo da sinistra il simboli letto determina la sequenza di stati visitati. Processo termina dopo lettura dell ultimo simbolo Dopo aver letto intera stringa input: Se DFA termina in stato accetta, allora stringa è accettata altrimenti, è rifiutata.

20 Definizione formale funzionamento Sia M = (Q,, f, q 0, F) un DFA. Considera stringa w = w 1 w 2 w n su, dove ogni w i in. M accetta w se esiste sequenza stati r 0, r 1,..., r n in Q tali che: 1. r 0 = q 0 (primo stato della sequenza è quello iniziale) 2. r n in F (ultimo stato in sequenza è uno stato accetta) 3. f(r i-1, w i ) = r i, per ogni i = 1, 2,..., n (sequenza di stati corrisponde a transizioni valide per la stringa w).

21 ES. abaa accettata Esiste sequenza stati q1,q1,q2,q3,q2

22 Linguaggio della Machina Def: Se L è l'insieme di tutte le stringhe che la machina M accetta, allora si dice che L è il Linguaggio della machina M, e M riconosce (o accetta) L Scriviamo anche L(M) = L. Def: Un Linguaggio è regolare se è riconosciuto da qualche DFA.

23 ES. L(M) è l insieme di tutte le stringhe sull alfabeto {a,b} della forma {a} * {b}{b,aa,ab} *

24 Es: Si consideri il seguente DFA M 1 con alfabeto ={0, 1} : è accettata, ma 0101 è rifiutata. L(M 1 ) è il Linguaggio di stringhe su in cui il numero totale di 1 è dispari. Esercizio: dare DFA che riconosce il Linguaggio di stringhe su con un numero pari di 1

25 Es: DFA M 2 con alfabeto ={0, 1} : Nota: L(M 2 ) è Linguaggio su A che ha lunghezza 1, cioè L(M 2 ) = {w in A* w = 1} Si ricordi che C(L(M 2 )), il complemento di L(M 2 ), è l'insieme di stringhe su A che non sono in L(M 2 ). Domanda: DFA che riconosce C(L(M 2 ))?

26 Es: Si consideri il seguente DFA M 3 con alfabeto A={0, 1} L(M 3 ) è il Linguaggio su che non ha lunghezza 1, Più di uno stato accetta. Stato start anche stato accetta. DFA accetta sse stato start è anche stato accetta.

27 La funzione di transizione f puo essere estesa a f* che opera su stati e stringhe (invece che su stati e simboli) f*(q,e) = q f*(q,xa) = f(f*(q, x), a) Il linguaggio accettato da M è quindi L ( M ) = { w : f*(q 0,w) F }

28 ESERCIZI Fornire DFA per i seguenti linguaggi sull alfabeto {0, 1}: 1.Insieme di tutte le strighe che terminano con 00 2.Insieme di tutte le stringhe con tre zeri consecutivi 3.Insieme delle stringhe con 011 come sottostringa 4.Insieme delle stringhe che cominciano o finiscono (o entrambe le cose) con 01

29 DFA per Complemento In generale, dato DFA M per Linguaggio L, possiamo costruire DFA M per C(L) da M rendendo tutti gli stati accetta in M non-accetta in M, rendendo tutti stati non-accetta in M stati accetta in M. Più formalmente, Se Linguaggio L su alfabeto ha un DFA M = (Q,, f, q 1, F). allora, DFA per il complemento di L è M = (Q,, f, q 1, Q-F ). Esercizio: Perchè funziona?

30 Es: Si consideri il seguente DFA M 4 con alfabeto ={a, b} : L(M 4 ): Linguaggio di stringhe su che terminano con bb, Cioè L(M 4 ) = {w in w = sbb per qualche stringa s}

31 Es: Si consideri il seguente DFA M 5 con alfabeto ={a, b} L(M 5 ) = {w w = saa o w = sbb per qualche stringa s}.

32 Si consideri il seguente DFA M 6 con alfabeto ={a,b} Accetta tutte le possibili stringhe su, cioè L(M 6 ) = * In generale, ogni DFA in cui tutti stati sono stato accetta riconosce il linguaggio *

33 Si consideri il seguente DFA M6 con alfabeto ={a,b} DFA non accetta stringhe su, cioè L(M7) = In generale, un DFA può non avere stati accetta

34 Es: Si consideri il seguente DFA M 8 con alfabeto ={a, b} : Ogni a muove verso destra o sinistra. Ogni b muove verso l alto o il basso DFA riconosce il Linguaggio di stringhe su con numero pari di a e numero pari di b.

35 Operazioni su linguaggi Siano A e B Linguaggi. Unione: A U B = {w w A o w B }. Concatenazione: AB = { vw v A,w B }. Kleene star: A * = {w 1 w 2 w k k > 0 e ogni w i A}.

36 Una collezione S di oggetti è chiusa per un operazione f se applicando f a membri di S, f restituisce oggetto in S. Es. N = {0, 1, 2,...} chiuso per addizione, non per sottrazione Abbiamo visto che dati DFA M 1 per Linguaggio L, possiamo costruire DFA M 2 per Linguaggio complemento L : Rendi tutti stati accetta in M 1 in non-accetta in M 2. Rendi tutti stati non-accetta in M 1 in accetta in M 2. Quindi L regolare C(L) regolare. Teorema. L insieme dei linguaggi regolari è chiuso per l operazione di complemento.

37 Insieme linguaggi regolari chiuso per l unione Teorema La classe dei linguaggi regolari è chiusa per l unione. cioè, se L 1 e L 2 sono linguaggi regolari, allora lo è anche L 1 U L 2. Dim. Idea: L 1 ha DFA M 1. L 2 ha DFA M 2. w in L 1 UL 2 sse w è accettata da M 1 oppure M 2. Serve DFA M 3 che accetta w sse w accettata da M 1 o M 2. Costruiamo M 3 tale 1.da tener traccia di dove l input sarebbe se fosse contemporaneamente in input a M 1 e M accetta stringa sse M1 oppure M2 accetta.

38 Siano L1 e L2 definiti su stesso alfabeto. DFA M 1 riconosce L 1, dove M 1 = (Q 1,, f 1, q 1, F 1 ). DFA M 2 riconosce L 2, dove M 2 = (Q 2,, f 2, q 2, F 2 ). Costruiamo DFA M3 = (Q 3,, f 3, q 3, F 3 ) : Q 3 = Q 1 Q 2 = { (x, y) x in Q 1, y in Q 2 }. Alfabeto di M 3 è. M3 ha funzione di transizione f 3 : Q 3 -> Q 3 t.c. per ogni x in Q 1, y in Q 2, a in, f 3 ( (x, y),a ) = ( f 1 (x, a), f 2 (y,a ) ). Lo stato start di M 3 è q 3 = (q1, q2) in Q 3. L insieme di stati accetta di M 3 è F 3 = { (x, y) in Q 3 x in F 1 o y in F 2 }

39 M 3 è automa che riconosce UNIONE Perché?

40 M 3 è automa che riconosce UNIONE Poichè Q 3 = Q 1 Q 2, numero di stati in M 3 è Q 3 = Q 1 Q 2. Quindi, Q 3 è finito poichè Q 1 e Q 2 sono finiti M 3 è DFA per UNIONE

41 Es: Si considerino i seguenti DFA e linguaggi su ={a, b} : DFA M1 riconosce linguaggio A1 = L(M1) DFA M2 riconosce linguaggio A2 = L(M2) DFA M1 per A1 DFA M2 per A2 Vogliamo DFA per l unione di A1 e A2.

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43 I linguaggi regolari sono chiusi per l intersezione Teorema La classe dei linguaggi regolari è chiusa per l intersezione. Cioè, se L 1 e L 2 sono linguaggi regolari, allora lo è L 1 L2. Dim. Idea: L 1 ha DFA M 1. L 2 ha DFA M 2. w L sse w è accettato sia da M 1 che da M 2. 1 L 2 Si vuole DFA M 3 che accetta w sse w è accettata da M 1 e M 2. Costruiamo M 3 che contemporaneamente mantiene traccia dello stato in cui si troverebbero sia M 1 che M 2. Accetta stringa sse sia M 1 che M 2 accettano

44 Es.

45 I linguaggi regolari sono chiusi per l intersezione Teorema La classe dei linguaggi regolari è chiusa per l intersezione. Cioè, se L 1 e L 2 sono linguaggi regolari, allora lo è L 1 L2. Dim.: Si vuole DFA M 3 che accetta w sse w è accettata da M 1 e M 2. 1.Fornire la definizione formale di M 3 2.Mostrare che M 3 accetta w sse w è accettata sia da M 1 che da M 2.

46 I linguaggi regolari sono chiusi per Concatenazione Teorema La classe dei linguaggi regolari è chiusa per la concatenazione. Cioè, se A1 e A2 sono linguaggi regolari, allora lo è anche A1 A2. NOTA: E possibile (ma laborioso) costruire un DFA per A1 A2 dati i DFA per A1 e A2. Introduciamo invece un nuovo tipo di macchina

47 Automi finiti non deterministici In DFA, lo stato successivo occupato in corrispondenza di un dato input è unicamente determinato Quindi le macchine sono deterministiche. La funzione di transizione in un DFA è f : Q -> Q. Restituisce sempre un singolo stato

48 Nondeterminismo Automi finiti non deterministici (NFA) permettono più scelte per il prossimo stato per un dato input. Per uno stato q NFA può avere più archi uscenti da q labellati con simbolo a, per i vari a in prendere -edge senza leggere simboli da input. Es.: NFA N 1 con alfabeto A={0, 1}.

49 Se NFA è in stato con più scelte, (Es., in stato q 1 e input è 1) la macchina si divide in più copie di se stessa. ogni copia continua computazione indipendent. da altre NFA può essere in insieme di stati, invece di singolo stato. NFA segue ogni possibile computazione in parallelo, al temine dell input: se una copia giunge in stato accetta, NFA accetta la stringa; se nessun cammino giunge in stato accetta, allora NFA non accetta la stringa input.

50 Se in stato con -transition, senza leggere input, NFA si divide in più copie, ognuna segue una possibile transizione, ogni copia continua indipendentemente da altre copie, NFA segue ogni possibile cammino in parallelo. NFA continua non deterministicamente come prima. Su input 10110?

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52 a r 1 r 3 b a, b a r 2 NFA N accetta stringhe, a, aa, baa, baba,.... NFA N non accetta stringhe b, ba, bb,....

53 Def.di NFA Def.: Per alfabeto, sia ottenuto da aggiungendo Def.: A NFA è 5-tupla (Q,, f, q 0, F), con 1. Q insieme di stati 2 alfabeto 3. f : Q ->P(Q) funzione di transizione 4. q 0 in Q è stato start 5. F insieme di stati accept. Nota: La differenza tra DFA e NFA è nella funzione di transizione f: ammette mosse tipo Restituisce insieme di stati invece di un solo stato.

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56 Computazione di NFA Sia N = (Q,, f, q 0, F) un NFA e w una stringa su A allora N accetta w se w = y 1 y 2 y m, dove ogni y i in, e esiste sequenza di stati r 0, r 1,..., r m in Q t.c. 1. r 0 = q 0 2. r i+1 in f(r i, y i+1 ) per ogni i = 0, 1, 2,..., m r m in F Def.: insieme di stringhe accettate da NFA N è il linguaggio riconosciuto da N ed è denotato con L(N). Nota: ogni DFA è anche un NFA.

57 Es. accetta il linguaggio {x01 : x Σ * }.

58 Equivalenza di DFAs e NFAs Def.: due macchine sono equivalenti se riconoscono lo stesso linguaggio. Teorema Ogni NFA N ha un equivalente DFA M; cioè, se N è un NFA, allora esiste DFA M t.c. L(M) = L(N). Dim. Costruiamo a partire da N, il DFA M equivalente

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60 Sia L = L(N) per NFA N = (Q N,, f N, q N, F N ) Costruiamo DFA D=(Q D,, f D, q D, F D ). Partiamo da D che non considera le -transition: Q P Q N f R,a U f N r,a, r R per ogni R Q e a, q {q N } F R Q R F N

61 Per ogni stato in f N, se vi è -transition allora dobbiamo considerarla Definiamo E(R)= R U {q q raggiungibile da stato in R con 1 o più archi lab. Q D P Q N f D R,a U E( f N r,a ), per ogni R Q D e a, r R q D E({q N }) F D R Q D R F N

62 Risulta, per ogni x *, D simula N su ogni input x D accetta sse N accetta L = L(N) = L(D) f D * q D,x f N * q N,x Si può provare per induzione Nota f* N (q 0,x) = insieme stati raggiungibili da q 0 su input x f* N (q 0, ) = E({q 0 }) f* N (q 0,xa) =Ur f* N (q 0, x) E(f N (r,a))

63 Mostriamo per induzione su w che f* D ({q 0 },w) = f* N (q 0,w) [poniamo q 0 =q N ] Base: w =. L enunciato segue dalla definizione. Passo: f* D ({q 0 },xa) = f D (f* D ({q 0 },x),a) (def.) = f D (f* N (q 0,x),a) (i.i.) =Ur f* N (q 0, x) E(f N (r,a)) (def.) = f* N (q 0,xa)

64 Linguaggio riconoscuto da NFA Regolare Corollario Linguaggio L è regolare sse esiste NFA che riconosce A. Dim. Se L è regolare, allora esiste DFA ma ogni DFA è anche un NFA, quindi esiste NFA per L. Da Teorema precedente, ogni NFA ha equivalente DFA. Quindi se esiste NFA allora esiste DFA per L

65 Esiste un NFA N con n + 1 stati che non ha nessun DFA equivalente con meno di 2 n stati L(N) = {x1c 2 c 3 c n : x {0,1}, c i {0,1}} Supponiamo esista DFA D equivalente con meno di 2 n stati. D deve ricordare gli ultimi n simboli che ha letto. Ci sono 2 n sequenze di bit a 1 a 2 a n, Mostriamo che q,a 1 a 2 a n,b 1 b 2 b n t.c. q f* (q 0, a 1 a 2 a n ), q f*(q 0, b 1 b 2 b n ), a 1 a 2 a n b 1 b2 b n

66 Mostriamo che q, a 1 a 2 a n, b 1 b 2 b n t.c. q f* (q 0, a 1 a 2 a n ), q f*(q0, b 1 b2 b n ), a 1 a 2 a n b 1 b 2 b n Caso 1. 1 a 2 a n e 0 b 2 b n q dovrebbe essere sia uno stato di accettazione (per a 1 a 2 a n ) che uno stato di non accettazione (per b 1 b2 b n ).

67 Mostriamo che q, a 1 a 2 a n, b 1 b 2 b n t.c. q f* (q 0, a 1 a 2 a n ), q f*(q0, b 1 b2 b n ), a 1 a 2 a n b 1 b 2 b n Caso 2: a 1 a (i 1) 1 a (i+1) a n b 1 b (i 1) 0 b (i+1) b n Ora f*(q 0,a 1 a (i 1) 1 a (i+1) a n 0 i 1 ) =f*(q 0,b 1 b (i 1) 0 b (i+1) b n 0 i 1 ) e f*(q 0, a 1 a (i 1) 1 a (i+1) a n 0 i 1 ) F D f*(q 0, b 1 b (i 1) 0 b (i+1) b n 0 i 1 ) non appartiene ad F D

68 DIMOSTRAZIONE CHIUSURA CONCATENAZIONE AB = { vw v in A, w in B }. Teorema La classe dei linguaggi regolari è chiusa per la concatenazione.

69 Concatenazione scorretta { a n n dispari }. B = { b{b n n n dispari}. n odd} Riconosce abbaab!!

70 Concatenazione Corretta { a n n dispari }. B = {{b b n n dispari}. odd} {xy x A and y B}

71 Dim Idea: NFA N per L1 L2 : w=uv u in L1 AND v in L2

72 Dim Idea: NFA N per L1 L2 : w non in L1L2 Comunque scriviamo w=uv: u non in L1 OR v non in L2

73 L 1 linguaggio riconosciuto da NFA N 1 = (Q 1,, 1, q 1, F 1 ). L 2 linguaggio riconosciuto da NFA N 2 = (Q 2,, 2, q 2, F 2 ). NFA N = (Q,,, q 1, F 2 ) per L 1 L 2 : Q = Q 1 U Q 2 Stato start q 1, stesso di N 1. Stati finali F 2, stessi di N 2. Funzione di transizione:

74 Si può estendere alla Kleene star: L* = { x 1 x 2 x k k > 0, x i in L}. Teorema La classe dei linguaggi regolari è chiusa per l operazione Kleene-star. DIM IDEA. Se N 1 riconosce L. Costruiamo N da N 1 in cui ogni stato finale è collegato da -transizione allo stato iniziale

75 Espressioni regolari descrivono i linguaggi regolari Un FA (NFA o DFA) è un metodo per costruire una macchina che riconosce linguaggi regolari. Una espressione regolare e un modo dichiarativo per descrivere un linguaggio regolare. Esempio: 01 U 10 Le espressioni regolari sono usate, ad esempio, in comandi UNIX (grep) strumenti per l analisi lessicale di UNIX (Lex (Lexical analyzer generator) e Flex (Fast Lex)).

76 Espressioni regolari Sia A={0, 1}. Per brevità nelle espressioni regolari: 0 indica {0}, 1 indica {1} Es: 0 U 1 indica {0}U{1}, cioè {0, 1}. Es: (0 U 1)0* è {0, 1}{0}* (dove {0}*. = {,0,00,000, }.) cioè l insieme di stringhe binarie che iniziano con 0 oppure 1 e continuano con degli 0 (anche nessuno) Es. (0 U 1)* è {0,1}*, cioè l insieme di tutte stringhe su {0,1}.

77 Espressioni regolari: definizione induttiva BASE: a è espressione regolare per ogni a nell alfabeto; denota l insieme {a} è espressione regolare; denota l insieme { } è espressione regolare; denota l insieme

78 Espressioni regolari: definizione induttiva Siano R1 e R2 espressioni regolari che rappresentano i linguaggi L1 e L2. UNIONE: (R1 U R2) rappresenta l insieme L1 U L2. CONCATENAZIONE: (R1 R2) rappresenta l insieme L1 L2. CHIUSURA DI KLINE: (R1)* rappresenta l insieme L1*.

79 Linguaggio generato da espressioni regolari Def: se R è espressione regolare, allora L(R) denota il linguaggio generato da R.

80 Definizione Induttiva di espressione regolare (e.r.) Base: e sono espressioni regolari: L( ) = { } e L( ) =. Se a in Σ, allora a è un espressione regolare: L(a) ={a}. Passo: Se R1 e R2 sono e.r., allora R1 U R2 è e.r. che rappresenta L(R1) U L(R2). R1R2 è un e.r. che rappresenta L(R1)L(R2). R1 è un e.r. che rappresenta (L(R1)).

81 Nota. Definizione induttiva suggerisce modo generale di provare generico teorema T per ogni e.r. Passo 1: T vero per casi base Passo 2: i.i. T corretto per R 1 e R 2 Mostriamo che T vero per (R 1 U R 2 ), R 1 R 2, (R 1 )* 81

82 Gerarchia di operazioni in espressioni regolari In aritmetica, moltiplicazione ha precedenza su addizione = 14. Parentesi cambiano ordine usuale: (2+3) 4 = 20. Ordine di precedenza per operazioni regolari: 1. Kleene star 2. Concatenazione 3. Unione Parentesi cambiano ordine usuale

83 Gerarchia di operazioni in espressioni regolari Ordine di precedenza per operazioni regolari 1. Kleene star (*) 2. Concatenazione (.) 3. Unione (U) Es.: 01 U 1 è raggruppato in (0(1) ) U 1 Es: 00 U 101* linguaggio formato da stringa 00 e da stringhe inizianti con 10 seguita da zero o più 1.

84 Gerarchia di operazioni in espressioni regolari Ordine di precedenza per operazioni regolari 1. Kleene star (*) 2. Concatenazione () 3. Unione (+) Es: 0(0 U 101)* in linguaggio? ? ? 101?

85 Es: A={0, 1}, Esempi di espressioni regolari 1. (0 U 1) linguaggio {0, 1} 2. 0*10* linguaggio {w w ha un solo 1 } 3. A*1A* linguaggio {w w almeno un 1 } 4. A*001A* linguaggio {w w ha 001 come sottostringa } 5. (AA)* linguaggio {w w pari } 6. (AAA)* linguaggio {w w multiplo di 3 }

86 Es: Sia EVEN-EVEN su A={a, b} insieme stringhe con numero pari di a e numero pari di b Es, aababbaaababab in EVEN-EVEN. espressione regolare: (aa U bb U (ab U ba) (aa U bb) * (ab U ba)) *

87 Teorema di Kleene Teorema Linguaggio L è regolare sse L ammette una espressione regolare.

88 IDEA DIM. Teorema di Kleene Sappiamo Linguaggio L è regolare L riconociuto da NFA L riconociuto da DFA Si mostra Per ogni DFA A possiamo costruire un e.r. R con L(R) = L(A). Per ogni e.r. R esiste un NFA A, tale che L(A) = L(R). Cioè L riconociuto da DFA L ammette un e.r. Quindi Linguaggio L è regolare L ammette un e.r.

89 L ammette un e.r. L riconociuto da NFA Stage 1: Prove correctness for all basessume correctness for and, and show its 1.Dimostriamo per casi base: a, e, f 2.Assumiamo correttezza per R1 e R2, proviamo per R1 U R2, R1R2, R1*.

90 L ammette un e.r. L riconociuto da NFA Stage 1: Prove correctness for all basessume correctness for and, and show its 1.Dimostriamo per casi base: a,. a: a q 0 q 4 q 4 q 4

91 L ammette un e.r. L riconociuto da NFA Stage 1: Prove correctness for all basessume correctness for and, and show its 1.Dimostriamo per casi base: a, e, f 2.Assumiamo correttezza per R1 e R2, proviamo per R1 U R2, R1R2, R1* Immediato: sappiamo costruire NFA per Unione, concatenazione e Klene star.

92 L ammette un e.r. L riconociuto da NFA 1.Dimostriamo per casi base: a, e, f 2.Assumiamo correttezza per R1 e R2, proviamo per R1 U R2, R1R2, R1* Es. Costruire NFA per ab a * a b * aba

93 Tutti i linguaggi sono regolari? Se tentiamo di costruire DFA che riconosce L a n b n n 0 Ci accorgiamo che ci servono infiniti stati per ricordare il numero di a visti (poi dovremo controllare che che numero di b coincide con quello di a) Nota. Esiste dimostrazione formale

94 Pumping Lemma Applicazione primaria: mostrare che un linguaggio non è regolare Lemma: Per ogni linguaggio regolare L, esiste una costante positiva p tale che per ogni stringa w con in L di lunghezza w >p Esistono stringhe x, y, z t.c. w = xyz che soddisfano: y >0 xy < p xy i in L, per ogni I > 0.

95 Dim. Pumping Lemma (Idea) Per ogni linguaggio regolare L, esiste una costante positiva p tale che per ogni stringa w con in L di lunghezza w >p esistono stringhe x, y, z, t.c. w = xyz, che soddisfano: y >0, xy < p, xy i z in L, per ogni i > 0. Siano: M automa che riconosce L, p=numero stati di M w >p nella computazione esiste stato ripetuto (sia r il primo stato ripetuto) x porta da stato iniziale ad r, y da r ad r, z da r a stato finale xy <p (r primo stato ripetuto), y > 1, xy i z porta da stato iniziale ad r, da r ad r i volte, da r a stato finale

96 Applicazione del Pumping Lemma Teorema: L = insieme di tutte le stringhe su {0, 1} aventi un ugule numero di 0 e di 1. Il linguaggio L non è regolare Dim: Per contraddizione usando il PL. Supponiamo L regolare. Sia p la costante del PL. Consideriamo stringa w = 0 p 1 p PL implica che esistono xyz = 0 p 1 p, tali che xy < p, y non vuota, e xy k z in L per ogni k > 0. xy formata da tutti 0 (perchè?) ed y stringa di almeno uno 0.

97 Applicazione del Pumping Lemma cont. se k >1, allora xy k z e xyz hanno (tra di loro): diverso numero di 0 stesso numero di 1, In xy k z il numero di 0 differisce da quello di 1 xy k z non in L, CONTRADDIZIONE! l assunzione che L è regolare deve essere falsa L NON regolare

98 Applicazione del Pumping Lemma Corollario: Il linguaggio {0 i 1 i i > 0} non è regolare. La dimostrazione è essenzialmente uguale alla precedente