ESERCIZI SU LAVORO ED ENERGIA. Dott.ssa Silvia Rainò

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1 1 SRCIZI SU LAVORO D NRGIA Dott.ssa Silvia Rainò

2 sempio

3 3 a) v=0 k =0 ed p =0 b) v=0, F si sostituisce ad N e aumenta c) F = mg. v=0. k =0, p = mgh => meccanica = k + p = mgh d) Mentre il corpo cade l energia potenziale si riduce e la sua velocità aumenta => aumenta la sua energia cinetica fino a quando arriva al suolo (p=0) Agisce solo la forza peso (= conservativa), dunque l energia meccanica si conserva. meccanica = k + p = ½ mv + mgz = e) Il corpo è tornato al suolo: k + p = ½ mv fin + 0 = ½ mv fin Dalla cinematica : quanto vale la velocità di un corpo che cade verticalmente da un altezza h partendo da fermo?

4 sercizio 1 4 Un corpo di massa M=50kg viene trascinato a velocità costante per d=10m lungo un piano orizzontale da una forza F inclinata di =45 sull orizzontale. Sapendo che il coefficiente di attrito dinamico è d =0.4 calcolare il modulo di F e il lavoro speso da essa. Quanto vale il lavoro della forza di attrito?

5 Soluzione esercizio 1 5 Dati iniziali: M=50kg =45 v=cost F=? L F =? L attr =? L=10m F A R N y F Sul corpo agiscono: forza peso P; reazione normale R N forza di attrito F A forza esterna F P x

6 6 Studiamo le componenti delle forze nelle direzioni orizzontale e verticale: Componente verticale: R N Mg Fsen 0 R Mg Fsen Componente orizzontale: y Fcosθ F A 0 N Fcosθ R d N 0 F A R N F La velocità del corpo è costante quindi a=0 P x

7 7 Sostituendo l espressione della reazione vincolare: R N Mg Fsen MgFsenθ 0 Fcosθ μd Fcosθ μ d Fsenθ μ d Mg F μdmg cosθ μ senθ d kg m s 198N

8 8 Lo spostamento d=10m avviene lungo il piano, perciò il lavoro L F compiuto dalla forza F vale: L F =Fdcos = 198 N10mcos(45 )= 1400 J y R N F F A d P x

9 9 Calcoliamo ora il lavoro L A compiuto dalla forza di attrito F A : L A =F A d=f A dcos = μ d MgFsenθ dcos180 F A e d sono opposti in verso: =180 F A R N P y F d L x A kg 9.8m/s 198N 140N10m( 1) 10m( 1) 1400J Uguale ed opposto al lavoro di F!!!

10 10 Il lavoro compiuto dalla forza peso e dalla reazione vincolare sono nulli poiché le forze sono perpendicolari alla direzione del moto: =90 cos90 =0 L=0 Il lavoro totale compiuto dalla forza F e dalla forza di attrito F A è nullo (perché i due lavori sono uguali ed opposti). Il teorema del lavoro e dell energia cinetica conferma questo risultato: L= k =0 il moto avviene a velocità costante in modulo, quindi anche l energia cinetica rimane costante e k =0

11 sercizio 11 Un punto materiale viene lanciato con velocità iniziale v I = 5 m/s su un piano inclinato rispetto all orizzontale di = 30. Sapendo che il coefficiente di attrito tra il punto materiale ed il piano inclinato è nullo, determinare a quale altezza h, rispetto all orizzontale, arriva il punto materiale e quanta distanza percorre sul piano inclinato prima di fermarsi.

12 Soluzione esercizio 1 v f =0 Dati iniziali: v i =5 m/s =30 v i d =0 piano liscio d h Soluzione Sul corpo agiscono solo forze conservative (forza peso, reazione del piano), si può applicare la conservazione dell energia meccanica: m_in = m_fin k_in + p_in = k_fin + p_fin h=dsen vin g h 1 in mv 0 (5m/s) 1.8m 9.8m/s h 1. 8m d. 56m sen 1 0 mgh

13 sercizio 3 13 Un punto materiale viene lanciato con velocità iniziale v I =4m/s su un piano inclinato rispetto all orizzontale di =30. Sapendo che il coefficiente di attrito tra il punto materiale ed il piano inclinato è = 0., determinare a quale altezza h rispetto all orizzontale, arriva il punto materiale.

14 14 Stesso problema precedente, MA ora il piano inclinato è scabro con coefficiente di attrito d =0. v f =0 Dati iniziali: N v i =5 m/s =30 v i F A h d =0. mg Soluzione: Le forze applicate al corpo sono: la forza peso forza conservativa la forza di attrito forza non conservativa la reazione del piano non produce lavoro (perpendicolare alla direzione del moto)

15 15 La forza di attrito non è conservativa non si può applicare il principio di conservazione dell energia meccanica Valutiamo il lavoro delle forze di attrito cioè il lavoro delle forze non conservative : L NC = m L NC = F A d = - d Nd = - d (mgcos)d μ d mgcos θ h senθ μdmgh tgθ m = m_fin - m_in = ( k + p ) fin - ( k + p ) in =(0+mgh)-(1/mv i +0) v f =0 N v i F A mg h

16 16 Si è trovato: L NC Da L NC = m risulta: μ d mgh tgθ mgh 1 m mv i μdmgh tgθ mgh 1 mv i gh μ tgθ 1 d 1 vi h v i g1 μd tgθ 0.6m v i F A N mg h v f =0

17 sercizio 4 17 Un proiettile di massa m=10kg viene sparato verso l alto da un cannone con velocità iniziale v 0 =40m/s. Supponendo che non ci siano attriti: Calcolare l energia totale del proiettile nel punto di massima altezza Calcolare l altezza raggiunta

18 Soluzione esercizio 4 18 Dati iniziali: v 0 =40 m/s m=10 kg Determinare: h max =? m (h max )=? Sappiamo che vale il teorema del lavoro e dell energia cinetica: L= k Il lavoro compiuto dalla risultante delle forze applicate ad un punto materiale di massa m lungo una traiettoria AB è pari alla variazione di energia cinetica nel passare da A a B L= k-ab = kb - ka = ½ mv B - ½ mv A

19 19 Sul corpo agisce solo la forza di gravità forza conservativa Possiamo introdurre l energia potenziale ed esprimere il lavoro della forza peso come: L=- p =mgy in -mgy fin Inoltre, poiché sul corpo agisce solo la forza peso, l energia meccanica tra la posizione iniziale e la posizione finale si conserva: k-ab = =- p ½ mv fin - ½ mv in = mgy in -mgy fin ½ mv in + mgy in = ½ mv fin +mgy fin = costante

20 0 Nel nostro caso (v 0 =40m/s; y in =0; y fin =h): ½ mv in + mgy in = ½ mv fin +mgy fin 1 mv 0 min mg0 1 mv0 1 m0 mgh mgh mfin Poiché vale la conservazione dell energia meccanica, il valore dell energia totale non dipende dal punto in cui si trova corpo. ssa è costante, cioè è la stessa in OGNI PUNTO della traiettoria m (h) m (0) 1 mv kg (40m/s) J

21 1 Rimane da calcolare l altezza massima raggiunta dal corpo. Sappiamo che: mgh 1 mv 0 h v g m Se provate a rifare l esercizio utilizzando le leggi del moto uniformemente accelerato otterrete lo STSSO RISULTATO!!!!

22 sercizio 5 Un locomotore di massa m=3000kg deve passare dalla velocità di 15m/s alla velocità di 35 m/s. Sapendo che il suo motore sviluppa una potenza costante di 50kW, calcolare, in assenza di attrito, in quanto tempo avviene la variazione di velocità

23 Soluzione esercizio 5 3 Dati iniziali: m=3000 kg v i =15 m/s v f =35 m/s P=50kW Determinare: t=? Il motore applica una forza F per variare la velocità. Poiché non vi sono attriti, la forza F è l unica a compiere lavoro (forza peso e reazione normale sono ortogonali allo spostamento- =90, cos=0- e danno contributo nullo al lavoro)

24 4 Per il teorema dell energia cinetica: L F k k _ fin k 1 1 mv fin mv in _ in 3000kg (35m/s) 3000kg (15m/s) J

25 5 Abbiamo trovato: L F J Applichiamo la definizione di potenza (=lavoro erogato nell unità di tempo): P LF t P 6 LF LF J t 30s 3 t P 5010 W

26 6 sercizio 6

27 7 Dati iniziali: m=100 g h=4 m L=10 m Determinare: v A =? v B =? h max =? Sul corpo agiscono solo: forza peso (freccia rossa) forza conservativa reazione del piano (freccia verde) non compie lavoro perché perpendicolare allo spostamento NON vi sono attriti La forza peso è una forza conservativa e il lavoro compiuto dipende SOLO dalla posizione iniziale (y 0 ) e dalla posizione finale (y A )

28 8 Il lavoro compiuto dalla forza peso dipende SOLO dalla posizione iniziale (y 0 ) e dalla posizione finale (y A ): L Peso mgy0 mgy A A Inoltre, vale il teorema del lavoro e dell energia cinetica L Peso k 1 mv 1 P mv 0

29 9 v A =? ko po ka pa 1 1 mv0 mgy 0 mva mgy 0 mgh 1 mv A v A Poiché non ci sono attriti, l energia meccanica si conserva: 0 M0 MA A gh 8.85m / 1 A mv s mgh

30 30 v B =? Anche nel tratto AB NON vi sono attriti: l energia meccanica si conserva MA MB Osserviamo che y A =y B, quindi l energia potenziale rimane invariata. Ne consegue: 1 1 ka kb mva mvb va v B

31 31 Quello applicato non è l unico metodo per dimostrare che v A =v B. Si potrebbero applicare le leggi della cinematica: moto rettilineo uniforme notando che non vi sono accelerazioni nella direzione x Si potrebbe anche applicare la seconda legge della dinamica: non vi sono forze che agiscono nella direzione x, quindi il moto tra A e B è rettilineo uniforme. TUTTI I MTODI SONO LGATI FRA LORO

32 3 h fin =? Sul secondo piano inclinato NON vi è attrito. Anche ora si conserva l energia! MB Mfin Applichiamo ancora la conservazione dell energia meccanica: 1 h mv B mgh fin fin vb g h fin h 4m

33 33 d=8m d =? Ora c è attrito sul piano! D L energia meccanica NON si conserva!!! M k p NON è costante!!! Ricordiamo che il lavoro delle forze di attrito (non conservative) è uguale alla variazione dell energia totale. Nel percorso tra A e il punto finale D a distanza d=8m L attr M MD MA kd pd ka pa

34 34 d=8m d =? L attr Mfin MA L energia totale in A vale: Nel punto finale: L attr Mfin MA Mfin MA ka kfin 1 pa 0 mva pfin 1 mv 0 A 0 1 mv A Poiché in questo caso: F attr μ d R N μ d mg L attr F attr d F attr dcos180 μ d mgd

35 35 L L 1 attr mv A attr μ d mgd Mettendo tutto assieme: 1 mv μ A μ va gd d mgd d. 0 5

36 36 sercizio 6

37 Soluzione esercizio 6 37 Inizialmente immaginiamo che il blocco di massa m non ci sia. La molla è a riposo. Indicando con x lo spostamento dalla posizione a riposo, in questo caso si ha: x =0 Sappiamo che l energia potenziale elastica della molla quando viene spostata dalla posizione di equilibrio vale: 1 p_molla k x Perciò, in assenza del blocco, la molla NON possiede energia potenziale che può essere trasformata in lavoro

38 38 Consideriamo i seguenti stati iniziale e finale: INIZIAL: La molla viene estesa e lo scostamento rispetto alla posizione a riposo vale x in FINAL: La molla viene ulteriormente estesa e lo scostamento rispetto alla posizione a riposo vale x fin Ad ogni allontanamento dal punto di riposo corrisponde un energia potenziale accumulata dalla molla che può essere trasformata in lavoro O x

39 39 In generale, il lavoro compiuto dalla forza elastica della molla nello spostamento fra la posizione iniziale e la posizione finale è: L p _ molla p _ in p _ fin 1 k x in x fin Rispetto al sistema di riferimento scelto (asse x), le due posizioni x in, x fin >0. Se avessimo effettuato una compressione della molla, sempre rispetto al sistema scelto, x in, x fin <0 x

40 40 Torniamo alla soluzione dell esercizio. In presenza del blocco la molla viene compressa di x=10cm rispetto alla lunghezza a riposo. Dati iniziali: =30 m=3 kg K=3.9 N/cm x=10 cm Il blocco comprime la molla NO ATTRITO! L energia meccanica si conserva

41 41 Se l energia meccanica si conserva: m k p costante m_in m_fin STATO INIZIAL STATO FINAL Nell istante iniziale e finale l energia cinetica è nulla k =0 perché il corpo è FRMO, perciò m p_in p_fin

42 4 Ora valutiamo quanto vale l energia potenziale nello stato iniziale e nello stato finale STATO INIZIAL STATO FINAL elastica p_in p_fin gravitazionale p_in 1 k x p_fin mgh

43 43 STATO INIZIAL STATO FINAL p_in p_fin h k Δx mg 39 N m 0. 1m 3kg9. 8 m s 1 k Δx m mgh 6. 67cm ATTNZION alle conversioni da centimetri a metri!!! Le unità di misura devono essere UNIFORMI!

44 44 Determiniamo ora lo spostamento del blocco sul piano in presenza di attrito! Dati iniziali: =30 m=3 kg K=3.9 N/cm x=10 cm d =0.15

45 45 Come prima nell istante iniziale e finale il corpo è fermo, quindi l energia cinetica è nulla k =0. Ma ora c è ATTRITO!!! Vale la formula: L attr m m_ fin m_ in

46 46 nergia iniziale e finale sono le stesse del punto precedente: stato iniziale: energia potenziale elastica p_elast =1/kx stato finale: energia potenziale gravitazionale p_grav = mgh La forza di attrito è data da Ove R N mg cosα A R d N A μ mgcos α d

47 47 Valutiamo quindi il lavoro delle forze di attrito: L attr As Ascos180 μdmg cosα s Il segno è negativo perché attrito e spostamento sono OPPOSTI!

48 48 Si ha quindi: in m fin m attr L d Δx k 1 - mgh s cosα mg μ Poiché h=ssen d Δx k 1 senα - mgs s cosα mg μ

49 49 In definitiva vale: mgs senα μ d mg cosα s 1 k Δx s mg k Δx senα μ d cosα cm

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