Corso di Politica Economica Teoria delle votazioni

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1 Corso di Politica Economica Teoria delle votazioni Prof. Paolo Buonanno Università degli Studi di Bergamo

2 Funzione di Benessere Sociale Problema della scelta di un punto socialmente ottimale lungo la frontiera delle utilità A partire dalle preferenze individuali, dobbiamo trovare un criterio che ci consenta di aggregarle per giungere ad una decisione valida per tutta la società Per Funzione di benessere sociale intendiamo un generico meccanismo di aggregazione delle preferenze individuali finalizzato ala costruzione di un ordinamento di preferenza sociale sull insieme delle alternative disponibili.

3 Il Teorema di Arrow Il meccanismo di aggregazione non dovrebbe essere arbitrario, ma dovrebbe godere di quattro proprietà irrinunciabili (secondo Arrow): 1 U: Dominio universale e illimitato: tutti i profili di preferenza individuali sono ammissibili 2 P: Principio di Pareto debole: se tutti gli individui preferiscono in senso stretto un alternativa ad un altra, allora la stessa preferenza deve essere a livello sociale 3 D: Assenza di Dittatore: nessun individuo può determinare la scelta sociale 4 I: Indipendenza dalle alternative irrilevanti

4 Il Teorema di Arrow Non esiste alcuna funzione di benessere sociale che, partendo da preferenze individuali complete e transitive dia inevitabilmente luogo ad una graduazione sociale completa e transitiva che soddisfano U, P, D, I.

5 Votazione: funzione di scelta sociale la votazione è la modalità con la quale, nella pratica, vengono aggregate le preferenze individuali 1 diverse procedure corrispondono a diversi giudizi di valore 2 vi è corrispondenza tra le procedure di voto ed i criteri logici adottati per derivare le funzioni di benessere sociale (FBS) 3 differenza tra: funzione di scelta sociale: seleziona una alternativa funzione di benessere sociale: determina un ordinamento sociale delle preferenze

6 Votazione 1 scelta di chi debba partecipare 2 quanto conta il voto di ogni individuo 3 procedure di votazione quali proposte sono sottoposte a voto (chi può farlo)? modalità della votazione: binaria, multipla ordine della votazione: sequenziale, simultanea 4 modalità per individuare l alternativa vincente: unanimità, maggioranza semplice, etc. ci occuperemo dei sistemi di votazione mettendoli in relazione con gli assiomi del teorema di Arrow, per vedere se qualcuno di questi metodi di scelta può essere una funzione di benessere sociale nel senso di Arrow

7 Modalità di votazione: BINARIA Iniziamo con delle regole di votazione binarie, dove: due alternative sono sottoposte a votazione in caso di più alternative, le alternative vengono votate a coppie in maniera sequenziale questo è il metodo di solito adottato dai parlamenti per le decisioni politiche, in cui le alternative sono due: 1 la legge è bocciata (prevale lo status quo) 2 la legge è approvata

8 Regola di votazione: UNANIMITA soddisfa il criterio paretiano soddisfa tutti gli assiomi del teorema di Arrow, tranne per il fatto che genera un ordinamento sociale incompleto se per n - 1 individui x è preferito a y, e per un individuo y è preferito a x, allora la regola non determina un esito della votazione

9 Critiche alla regola dell UNANIMITA 1 se la scelta è tra status quo e un altra alternativa, la regola dell unanimità favorisce lo status quo 2 non è stabile rispetto all ordine delle votazioni l esito della votazione dipende, date le preferenze individuali, dalla successione delle alternative 3 si presta a manipolazioni strategiche comportamento strategico voto non sincero Teorema di Gibbar-Satterthwaite

10 Regola di votazione: MAGGIORANZA la votazione a maggioranza supera la critica 1, ma soffre delle altre due critiche: instabilità rispetto all ordine delle votazioni, manipolabilità Vari tipi di maggioranza: semplice: è richiesto un numero di voti superiore al 50% + 1 dei votanti assoluta: è richiesto un numero di voti superiore al 50% + 1 degli aventi diritto al voto qualificata: è richiesto un numero di voti non inferiore ad un quorum funzionale fissato in una frazione superiore alla metà del numero totale dei votanti o degli aventi diritto al voto.

11 Proprietà meccanismo di scelta sociale Consideriamo le seguenti proprieàà (assiomi), che una meccanismo di scelta sociale potrebbe possedere: 1 dominio universale 2 anonimità: ogni individuo è trattato in maniera simmetrica rispetto agli altri questo non è il caso nei consigli di amministrazione delle società se vale questo principio non vi può essere un dittatore (quindi, è un assioma più stringente di quello di Arrow) 3 neutralitàà: ogni scelta è trattata in maniera simmetrica rispetto agli altri, ovvero invertendo le preferenze di ogni individuo risulta invertito anche l ordine delle preferenze sociali Esempio: questo principio richiede che la scelta tra due sistemi fiscali sia fatta nello stesso modo della scelta tra introdurre o meno la pena di morte

12 Proprietà meccanismo di scelta sociale 4 risposta positiva alle preferenze individuali (positive responsiveness): dato x i y e il resto della società x i y, se aumenta la preferenza di i rispetto a x x y dato x i y, e il resto della società x i y, se aumenta la preferenza di i rispetto a x x i y ci dice come le preferenze sociali rispondo ad una variazione nelle preferenze di un individuo

13 Teorema di May (1952) la maggioranza semplice è l unica regola di aggregazione delle preferenze che soddisfa questi assiomi: unrestricted domain, anonymity, neutrality, and positive responsivness la maggioranza assoluta non soddisfa l assioma (4), positive responsiveness questo ci dice che la maggioranza semplice è più sensibile alle variazioni nelle preferenze dei componenti della società che maggioranza occorre per approvare una legge dello stato italiano? che maggioranza occorre per approvare una legge costituzionale?

14 La maggioranza semplice è possibile? Q: la maggioranza semplice (funzione di scelta sociale) è una funzione del benessere sociale nel senso di Arrow? La risposta è: NO Infatti, se rispettasse tutti gli assiomi di Arrow, U, P, I, e fornisse un ordinamento completo e transitivo delle preferenze, sarebbe una funzione di benessere sociale non dittatoriale

15 Condorcet Marquis de Condorcet ( ) cerca di individuare il miglior sistema di votazione successione di votazioni binarie opzioni > 2: date m alterative, vince quell alternativa x che batte tutte le altre in confronti di coppia secondo la regola della maggioranza semplice. questa alternativa, se esiste, è chiamata il vincitore di Condorcet. nelle votazioni a maggioranza semplice, quando è consentito a ciascun votante di indicare solamente l alternativa preferita senza pronunciarsi su tutte le altre, si possono ottenere esiti irragionevoli

16 Paradosso di Condorcet Giulio Gaia Anna 1 a scelta x y x 2 a scelta y z z 3 a scelta z x y poniamo in votazione le tre coppie {x, y}, {x, z} e {y, z} secondo la regola di maggioranza semplice, otterremo: x y x z y z l ordinamento di preferenza sociale è x y z il vincitore di Condorcet è l alternativa x

17 Paradosso di Condorcet Ipotizziamo che le preferenze di Anna cambino Giulio Gaia Anna 1 a scelta x y z 2 a scelta y z x 3 a scelta z x y ponendo in votazione le tre coppie {x, y}, {x, z} e {y, z} secondo la regola di maggioranza semplice, otterremo: x y z x y z l ordinamento sociale non è transitivo e, come conseguenza, non c è un alternativa preferita a tutte le altre paradosso di Condorcet

18 Paradosso di Condorcet Pur in presenza di preferenze individuali complete e transitive, il voto a maggioranza può condurre a un ordinamento di preferenza sociale intransitivo la votazione a maggioranza su più di due alternative è un sistema largamente applicato in assemblee locali, nazionali e sovranazionali, quindi l interesse del paradosso è evidente

19 Il superamento dell impossibilità di Arrow rinuncia alla transitività delle preferenze sociali la scelta collettiva non è più indipendente dall ordine in cui vengono sottoposte all approvazione le varie alternative N.B: la transitività consente: che una scelta sia comunque effettuata che la scelta sia indipendente dal sentiero seguito

20 Quando (non) emerge il paradosso di Condorcet? Black (1948) individua due condizioni sufficienti affinchè la regola di votazione maggioritaria su proposte binarie esprima un ordinamento sociale transitivo 1 preferenze unidimensionali: si considera solo un aspetto di un progetto: per esempio, si vota solo sulla costruzione di un bene pubblico (piscina, asilo nido, strada) e non anche sul modo con cui finanziare la spesa. 2 tali preferenze abbiano un solo massimo ( picco ) (single-peaked) queste due condizioni implicano preferenze unimodali: l utilità di un individuo cala se che ci si allontana dall esito che preferisce N.B.: l unimodalità è condizione sufficiente ma non necessaria per l esistenza di un vincitore di Condorcet

21 Quando (non) emerge il paradosso di Condorcet? N.B.: l introduzione dell unimodalità equivale a rinunciare all assioma di dominio universale (i.e. tutti i profili di preferenza individuali sono ammissibili)

22 6 CAPITOLO 1 Preferenze unimodali I A II B III C 0 x y z Posizioni Votanti

23 Preferenze multimodali Le regole di voto: analisi descrittiva 7 I A II B III C 0 x y z Posizioni Votanti A B C

24 Teorema dell elettore mediano Mediana (statistica): è quel valore M tale che almeno metà delle osservazioni sono maggiori o uguali a M, e almeno metà sono minori o uguali a M Elettore mediano (def.): sia dato un insieme di politiche unidimensionali X e un assemblea N composta da n individui; sia x i X la politica ideale di un generico individuo i appartenente all assemblea N e sia X l insieme delle politiche ideali. Si consideri ora un individuo m N, la cui politica ideale è indicata da x m. Sia N R il numero di individui la cui politica ideale è maggiore di x m X e sia N L il numero di individui la cui politica ideale è minore di x m X. L individuo m N è l elettore mediano se e solo se N R n 2 e N L n 2.

25 Teorema dell elettore mediano textbfin altre parole: data un assemblea e un insieme di opzioni rappresentabili lungo una dimensione, si definisce elettore mediano l elettore tale che la metà dei componenti l assemblea preferisce opzioni a sinistra e la metà opzioni a destra rispetto a quella da lui preferita Teorema: dato uno spazio politico unidimensionale e un profilo di preferenze unimodali, la politica ideale dell elettore mediano sarà la politica vincente con la regola della maggioranza implicazione (politica): nei sistemi democratici le decisioni di centro dello schieramento politico svolgono un ruolo cruciale

26 Teorema dell elettore mediano Se esiste una distribuzione delle alternative per la quale i profili preferenziali di tutti gli individui sono unimodali, l alternativa mediana x m coincide con la scelta preferita a livello sociale (i.e. rinuncia all assioma di dominio universale) Intuizione: Tutti gli elettori a sinistra dell elettore mediano (i.e. quelli la cui alternativa preferita è inferiore a quella dell elettore mediano) preferiscono l alternativa mediana a qualsiasi alternativa scelta dagli elettori alla destra del mediano, e viceversa : il 50% degli elettori preferisce l alternativa mediana a qualsiasi alternativa di livello inferiore (gli elettori alla destra del mediano) e il 50% preferisce l alternativa mediana a qualsiasi alternativa superiore (gli elettori alla sinistra del mediano)

27 Intensità delle preferenze Regola di Borda ordinamento delle preferenze cardinale date N alternative si assegna un punteggio pari a N all alternativa preferita, N-1 alla seconda e così a decrescere fino ad assegnare 1 all n-esima alternativa Il risultato di un alternativa è la somma di tutti i punteggi che le sono stati attribuiti vince l alternativa che ottiene il risultato più alto N.B.: equivale a rinunciare all assioma di indipendenza delle alternative irrilevanti

28 Regola di Borda (esempio) Consideriamo le preferenze di tre agenti {A, B, C} rispetto a 4 alternative {x, y, z, s}: A: x A y A z A s B: y B z B s B x C: z C s C x C y supponiamo che gli agenti abbiano associato alle loro preferenze i seguenti punteggi

29 Regola di Borda (esempio) x y z s A B C Totale l alternativa vincente è z Problemi risente di comportamento strategico non soddisfa il requisito della indipendenza delle alternative irrilevanti: per esempio se cambiamo le preferenze di A: y A x A s A z, il vincitore diviene y ma pur non essendosi modificato l ordine delle preferenze tra y e z, l ordinamento sociale tra le due alternative è mutato

30 Rinuncia all Indipendenza delle alternative irrilevanti Incentivi a manipolare l agenda politica (ossia il numero di alternative su cui votare) Incentivi al voto strategico (ossia non rivelare in modo veritiero le proprie preferenze)

31 Il voto a maggioranza sequenziale una possibile soluzione al paradosso di Condorcet è rappresentata dal voto a maggioranza sequenziale voto a maggioranza su una coppia di alternative l alternativa sconfitta viene eliminata l alternativa vincete viene opposta a un altra questo processo continua fino a quando non sono esaurite le opzioni disponibili un aspetto fondamentale in questa procedura è l ordine di votazione manipolabilità e rischio di voto non sincero

32 Il sistema maggioritario a turno unico si presentano tutte le alternative simultaneamente ciascun votante dichiara la propria alternativa preferita vince quella che riceve il maggior numero di voti non è richiesta la conoscenza dell intero ordinamento di preferenza di ciascun elettore è sufficiente conoscere l insieme delle alternative ideali questo sistema garantisce l esistenza di un vincitore, il quale risulta essere indipendente dall ordine seguito nella votazione

33 Il sistema maggioritario a turno unico (limiti) il vincitore potrebbe non essere il vincitore di Condorcet (i.e. l alternativa che batte tutte le altre in confronti diretti a maggioranza) Esempio 1 n. votanti a scelta x y z 2 a scelta y z y 3 a scelta z x x esito votazione maggioritario a turno unico: x esito voto su coppie di alternative a maggioranza: y vince su z per 10 a 5, z vince su x per 9 a 6, e y vince su x per 9 a 6 alternativa vincente y

34 Il sistema maggioritario a turno unico (limiti) potrebbe risultare vincente l opzione meno preferita dagli elettori Esempio 2 numero votanti a scelta x y z s t 2 a scelta y z y y y 3 a scelta z s s z z 4 a scelta s t t t s 5 a scelta t x x x x esito votazione: x, considerata da 4 elettori come la peggiore il sistema maggioritario a turno unico è indicato nel caso di due alternative

35 Il sistema maggioritario a doppio turno nel primo turno ciascun individuo vota per un unica alternativa se esiste un alternativa con una maggioranza superiore al 50% dei voti, questa è l alternativa vincente altrimenti, si vota una seconda volta a maggioranza semplice per le due opzioni che nel primo turno hanno ottenuto il maggior numero di voti il vincitore di questo secondo turno vince l elezione. il vincitore potrebbe non coincidere con il vincitore di Condorcet

36 Il sistema maggioritario a doppio turno (limiti) Esempio n. votanti a scelta x z y y 2 a scelta y x z x 3 a scelta z y x z primo turno: x e y ricevono il massimo numero di voti; secondo turno: vince x. supponiamo che le preferenze dei due elettori dell ultimo gruppo diventino: x y z primo turno: x e z ricevono il massimo numero di voti; secondo turno: vince z non rispettata monotonicità

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