Primo Compito di Analisi Matematica Corso di laurea in Informatica, corso B 18 Gennaio Soluzioni

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1 Primo Compito di Analisi Matematica Corso di laurea in Informatica, corso B 8 Gennaio 06 Soluzioni Esercizio Siano z e z due numeri complessi con modulo e argomento rispettivamente (ρ, θ ) e (ρ, θ ) tali che ρ = ρ e θ = θ. Dimostrare che z + z e z z sono numeri reali. Soluzione. Scriviamo la forma trigonometrica dei numeri complessi z, z : z = ρ (cos θ + i sin θ ), z = ρ (cos θ + i sin θ ). Poiché per ipotesi ρ = ρ e θ = θ, i due numeri diventano: z = ρ (cos θ + i sin θ ), z = ρ (cos( θ ) + i sin( θ )). Per le note proprietà di simmetria delle funzioni seno e coseno, abbiamo che z = ρ (cos(θ ) i sin(θ )). Calcoliamo z + z : z + z = ρ (cos θ + i sin θ ) + ρ (cos(θ ) i sin(θ )) = ρ cos θ + iρ sin θ + ρ cos θ iρ sin θ = ρ cos θ, che è reale perché non compare l unità immaginaria. Calcoliamo z z : che è reale per la stessa ragione. z z = ρ (cos θ + i sin θ ) ρ (cos(θ ) i sin(θ )) = ρ (cos θ + i sin θ )(cos θ i sin θ ) = ρ (cos θ + sin θ ) = ρ, Esercizio Sia f la funzione definita da e x x 0 f(x) = + e x x < 0. Determinarne: (a) l insieme di definizione; (b) l insieme di continuità; (c) l insieme di derivabilità; (d) gli intervalli di crescenza e decrescenza; (e) gli intervalli di convessità e concavità;

2 (f) eventuali asintoti. Se ne disegni un grafico qualitativo indicando estremo superiore, estremo inferiore, massimi e minimi relativi e assoluti (se esistono). Soluzione. (a) La funzione è definita per casi, quindi analizziamo il dominio delle due funzioni e x e + e x separatamente. Per quanto riguarda la prima, il suo dominio è R, per cui dall intervallo [0, + ) in cui la funzione f assume questa espressione non dobbiamo escludere alcun valore. La seconda è definita su tutto R tranne x = 0. Poiché l intervallo in cui f vale + e x è (, 0), che non contiene 0, non dobbiamo escludere alcun valore neanche da questo intervallo. Concludiamo che dom f = R. (b) La funzione f è continua separatamente sugli intervalli (0, + ) e (, 0) perché ivi è somma e composizione di funzioni continue. Dobbiamo investigare la continuità in x = 0. Per far ciò, calcoliamo i limiti lim f(x) = lim e x = ; x 0 + x 0 + lim f(x) = lim + e x = + e =. x 0 x 0 Poiché questi due valori sono uguali, e anche f(0) =, allora la funzione è continua anche in 0 e pertanto concludiamo che l insieme di continuità di f è R. (c) Come prima, f è derivabile separatamente su (0, + ) e (, 0) perché in questi due intervalli le funzioni e x e + e x sono rispettivamente derivabili. Dobbiamo investigare la derivabilità in x = 0, quindi dobbiamo calcolare Prima di tutto calcoliamo f (x): I limiti sono: lim f (x) e lim f (x). x 0 + x 0 f (x) = lim f (x) = lim xe x = 0; x 0 + x 0 + xe x x > 0 x e x x < 0. lim f (x) = lim x 0 x 0 x e x = lim y y e y = lim y = 0, y e y dove l ultima uguaglianza vale perché e y è un infinito di ordine superiore a y per y. Ne segue che f è derivabile in x = 0 e la derivata vale 0. (d) Studiamo il segno di f. Per x (0, + ) la derivata è xe x. Poiché xe x > x < 0, allora ne segue che per x (0, + ) la funzione è decrescente. Per x (, 0), la derivata è x e x, che è evidentemente negativa. Quindi anche in (, 0) la funzione è decrescente. Diverso sarebbe stato il caso in cui f era definita come + e x su un intervallo contenente 0: in quel caso certamente avremmo dovuto escludere quel valore dal dominio.

3 y x Figura : Grafico della funzione f(x) (esercizio ). (e) La funzione f è derivabile due volte su R \ 0, quindi possiamo calcolarne la derivata: f e x (x (x) = ) x > 0 x e 4 x (x + ) x < 0. Studiamone il segno. Su (0, + ), ( perciò f è convessa in e x (x ) > 0 x > 0 x < x >, ), + e concava su ( 0, ). Su (, 0), x 4 e x (x + ) > 0 x >, dunque f è convessa su (, 0) e concava su (, ). (f) Essendo continua su R, la funzione non ha asintoti verticali. Controlliamo eventuali asintoti orizzontali: lim f(x) = lim = e = 0; x + x + e x lim f(x) = lim + e x = + e 0 =. x x Concludiamo che f ha come asintoto orizzontale destro y = 0 e come asintoto orizzontale sinistro y =. In figura c è un grafico di f. Vale: sup f = e inf f = 0; f non ha massimi e minimi, né relativi né assoluti. Esercizio 3 Calcolare l integrale indefinito e αx cos(βx)dx 3

4 al variare di α, β R \ 0}. Soluzione. Chiamiamo I := e αx cos(βx)dx e integriamo per parti due volte: I = β α eαx cos(βx) + α eαx sin(βx)dx = [ ] β β α eαx cos(βx) + α eαx sin(βx) α eαx cos(βx)dx = α eαx cos(βx) + β α eαx sin(βx) β α I. Portando a sinistra il termine in I, si ottiene l equazione Ricavando I, I + β α I = α eαx cos(βx) + β α eαx sin(βx). [ I = α α + β eαx α cos(βx) + β ] α sin(βx) = α + β eαx [α cos(βx) + β sin(βx)]. Esercizio 4 Si consideri il sottoinsieme dei numeri reali } n 3 A = n n N, n (, ). (a) Dimostrare che la successione a n = n 3 n è monotona decrescente per n 6; (b) determinare estremo superiore ed inferiore di A e dire, motivando la risposta, se ammette massimo e/o minimo. Soluzione. (a) Scrivendo la condizione di decrescenza per la successione a n, a n+ a n n + 3 (n + ) n 3 n n (n ) (n 3)(n + ) n 3 n n 3 + n + n 3n 6n 3 n 5n 3 0. Risolvendo l equazione di secondo grado x 5x 3 0, questa ha soluzione x 5 37 x Riportando la soluzione sui numeri naturali, questa è n n 6. Poiché consideriamo valori di n maggiori o uguali di, la soluzione è n 6. 4

5 (b) Analizziamo prima la successione a n : essa, per il punto (a) è decrescente per n 6 e quindi crescente per n =,..., 5. Osserviamo che a = e a 6 = 8. Inoltre a n 0 per ogni n 6, per cui la successione a n è confinata tra e /8: a n 8. Unendo a (, ), abbiamo che x < per ogni x A. Ne segue che: è minimo perché A; è estremo superiore perché è estremo dell intervallo (, ) e a n < per ogni n; non è massimo perché / A. 5