Limiti di successioni

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1 Capitolo 5 Limiti di successioni 5.1 Successioni Quando l insieme di definizione di una funzione coincide con l insieme N costituito dagli infiniti numeri naturali 1, 2, 3,... talvolta si considera anche lo zero), si ha una legge che ad ogni numero naturale fa corrispondere un determinato numero reale; in questo caso, invece di usare lotazione y = fx), si usa lotazione { } per indicare il valore assunto dalla funzione in corrispondenza del generico numero naturale. Si utilizza la letter per indicare la variabile, ponendola come indice nel simbolo che indica il corrispondente valore assunto dalla funzione. E invece di parlare di una funzione definitell insieme N dei numeri naturali, si parla di una successione di numeri reali, indicandola con a 1, a 2, a 3,...,,... oppure { } n N, oppure { }. 5.1) Con ciò si intende esprimere che esiste una legge che a ciascuno dei numeri naturali 1, 2, 3,..., n,... fa corrispondere un determinato numero reale i cui valori si designano rispettivamente con a 1, a 2, a 3,...,,.... Per definire una successione occorre dare la legge predetta, il che di solito si ottiene con una formula che esprime il valore del termine generico nella forma = fn). 5.2 Definizione di ite Sia data una successione { } e sia l un numero reale. Si dice che la successione { } è convergente al ite l e si scrive = l 5.2) quando, comunque si fissi un numero positivo ε, esiste in corrispondenza ad esso un ν N tale che, per ogni n N che sia maggiore di ν, risulti l ε < < l + ε 5.3) o, ciò che è lo stesso: l < ε 5.4) Si dice che la successione { } è divergente a + ovvero che diverge o tende a + ) e si scrive = + 5.5) 33

2 Capitolo 5. Limiti di successioni quando, comunque si fissi un numero reale k > 0, esiste in corrispondenza ad esso un ν N tale che, per ogni n N che sia maggiore di ν, risulti > k. Analogamente dice che la successione { } è divergente a ovvero che diverge o tende a ) e si scrive = 5.6) quando, comunque si fissi un numero reale k > 0, esiste in corrispondenza ad esso un ν N tale che, per ogni n N che sia maggiore di ν, risulti < k. Le successioni convergenti o divergenti si chiamano complessivamente successioni regolari; si chiamano anche successioni che ammettono un ite determinato finito nel caso delle successioni convergenti; infinito in quello delle successioni divergenti). Le successioni che non ammettono ite si chiamano successioni indeterminate. Esponiamo nel seguito alcuni risultati che conseguono immediatamente dalla definizione di ite. 5.2.I Permanenza del segno) Se la successione { } è regolare ed ha un ite diverso da zero, allora, per n abbastanza grande, i suoi termini hanno lo stesso segno del ite. 5.2.II Se una successione { } è convergente, l insieme costituito dai numeri è itato. Data una successione { } e fissata una qualsiasi successione crescente p 1 < p 2 < p 3 <... di numeri naturali, possiamo considerare la successione { } i cui termini sono così definiti: b 1 = a p1, b 2 = a p2, b 3 = a p3,..., = a pn,... ; essa si chiama una successione parziale o subordinata) della successione data { } e si ha in proposito il seguente risultato: 5.2.III Se la successione { } è regolare, ogni sua successione parziale { } è pure regolare ed ha lo stesso ite della prima. Passando a considerare simultaneamente più successioni, si hanno i seguenti risultati. 5.2.IV Date due successioni { } e { }, supponiamo che da un certo indice in poi sia < oppure. Allora, se le due successioni sono entrambe regolari, si ha. 34

3 5.2. Definizione di ite Se si suppone = b costante) si deduce immediatamente il seguente risultato. 5.2.V Data la successione { }, supponiamo che da un certo indice in poi sia < b oppure b. Allora, se la successione è regolare, si ha Analogamente con le disuguaglianze opposte. b. Si ha poi il seguente risultato. 5.2.VI Date le tre successioni { }, { }, {c n }, supponiamo che da un certo indice in poi sia c n. Allora, se le due successioni, sono regolari ed hanno il medesimo ite, anche la c n è regolare con quello stesso ite. Il prossimo risultato riguarda una importante categoria di successioni regolari, le successioni monotone. In analogia a quanto visto per le funzioni, si dirà che la successione { } è non decrescente [non crescente] quando, comunque si prendano due indici m < n, si ha sempre a m [a m ]. 5.2.VII Ogni successione monotona { } è regolare convergente o divergente). Se essa è crescente o non decrescente, il suo ite è finito o + e coincide con l estremo superiore dell insieme dei valori assunti dai termini. Se la successione è decrescente o non crescente, il suo ite è finito o e coincide con l estremo inferiore dell insieme dei valori assunti dai termini. Una immediata applicazione di questo risultato consente di definire il numero e, la costante di Nepero. Consideriamo la successione descritta dalla formula = 1 + n) 1 n 5.7) e dimostriamo che essa è convergente. Faremo cioè vedere che: 1. la successione 5.7) è crescente; 2. l insieme dei numeri è itato superiormente. Per provare che cresce al crescere di n, osserviamo che, per la formula del binomio A.12), si ha n ) ) n 1 k n nn 1)... n k + 1) 1 = = k n k! n k = k=0 n k=0 k=0 1 k! n n n 1 n n 2 n... n k + 1 n 35

4 Capitolo 5. Limiti di successioni vale a dire = n k= ) 1 2 )... 1 k 1 ) ; 5.8) k! n n n il termine viene quindi espresso come somma di n + 1 addendi positivi. Consideriamo ora il termine successivo +1 per il quale si può scrivere +1 = n+1 k=0 ed è somma di n + 2 addendi positivi. Poiché ) 1 2 )... 1 k 1 ) ; 5.9) k! n + 1 n + 1 n n + 1 > 1 1 n, 1 2 n + 1 < 1 2 n,..., si vede che ciascuno degli n + 1 termini della somma 5.8) è minore del corrispondente termine della somma 5.9); inoltre in quest ultima vi è un termine positivo) in più. Dunque è sicuramente < +1 e questo prova che la successione 5.7) è crescente. Ne deriva, fra l altro, che, essendo a 1 = 2 si ha sempre ) Dimostriamo ora che i numeri formano un insieme itato superiormente e precisamente dimostriamo che si ha sempre < ) Infatti dalla 5.8) segue evidentemente < n k=0 1 k! = n ma si ha > = 2 2, > = 2 3,..., cosicché a maggior ragione sarà < n 1 = ) 2 n 2, vale a dire, esprimendo opportunamente il termine in parentesi, < ) 1 n ) = 3 ) 1 n 1 < 3 2 e con ciò è provata la 5.11). La 5.7) è dunque convergente e, per le 5.10) e 5.11), si ha: 2 < 3. 36

5 5.3. Operazioni sui iti. Forme indeterminate Tale ite si indica con la lettera e e si chiama costante di Nepero. definizione e = n. n) Si ha dunque per Si può dimostrare che e è un numero irrazionale; con 15 cifre decimali esatte si ha: e = 2, Si possono considerare i logaritmi in base e; essi prendono il nome di logaritmi naturali, e si suole indicarli semplicemente con log x in luogo di log e x. Vedremo che, da un punto di vista teorico, essi sono i più opportuni. 5.3 Operazioni sui iti. Forme indeterminate Date due successioni { }, { }, restano ovviamente definite le quattro successioni { + }, { }, { }, { / } quest ultima se si ha sempre 0), che si chiamano rispettivamente successione somma, differenza, prodotto, quoziente delle due successioni date. Così pure, data una successione { } di numeri tutti diversi da zero, si può considerare la successione {1/ }, detta successione reciproca della data; se tutti gli sono positivi, si può considerare la successione {log }. Valgono i seguenti risultati. 5.3.I Se le due successioni { }, { } sono convergenti rispettivamente ai iti l, l, anche le due successioni { + }, { }, sono convergenti, la prima al ite l + l, la seconda al ite l l. 5.3.II Se le due successioni { }, { } sono convergenti rispettivamente ai iti l, l, anche la successione prodotto { } è convergente, ed il suo ite vale l l. 5.3.III Sia { } convergente al ite l; se è 0 per ogni n e l 0, allora la successione reciproca {1/ } è convergente al ite 1/l. 5.3.IV Le successioni { }, { } siano convergenti rispettivamente ai iti l, l ; sia inoltre 0 per ogni n e l 0. Allora la successione quoziente { / } è convergente al ite l/l. 5.3.V Sia { } convergente al ite l. Se i suoi termini sono tutti positivi e se l > 0, allora la successione {log } è convergente al ite log l. 5.3.VI Sia { } convergente al ite l. Allora la successione {e } è convergente ed il suo ite vale e l. 37

6 Capitolo 5. Limiti di successioni Questi risultati si riferiscono a successioni convergenti. Risultati simili si hanno quando si prendono in considerazione una o due successioni divergenti. Li elenchiamo qui di seguito. = l, = l, = +, =, = + + ) = +, = + ) =, = + + ) = +, = + ) =. Non è considerato qui il caso in cui = +, In tal caso, infatti, nulla si può dire in generale circa + ), = ; che potrebbe anche non esistere. Si suole esprimere questo fatto dicendo che è una forma indeterminata. Un secondo gruppo di risultati è il seguente. = l, l 0, = l, l 0, = +, = +, =, = + = = = { + l > 0), l < 0), { l > 0), + l < 0), = + = +, = =, = = +. In questo gruppo di teoremi non sono presi in esame i casi = 0, in tali casi, infatti, nulla si può dire in generale circa = ± ;, che potrebbe anche non esistere. Si suole dire che 0 è una forma indeterminata. 38

7 5.3. Operazioni sui iti. Forme indeterminate Si hanno ancora i seguenti risultati. = +, =, = l, = l 0, oppure b a n = ±, 0 n b a n = l, 0, l 0 n = b a n = l, 0, l 0 n = = ±, In questo gruppo non sono presi in esame i casi ) n = ±, n = ±, poiché in tali casi nulla si può dire in generale sul = 0, { + l > 0), l < 0), { l > 0), = 0, 0 a n, = 0, + l < 0), = +. ) = 0 ; che potrebbe anche non esistere. Si suole dire che / e 0/0 sono forme indeterminate. Si hanno poi i seguenti risultati. > 0, > 0, = 0 log =, = + log = +, = +, e = +, =, e = 0. Da quanto precede si vede che, adottando opportune convenzioni di scrittura, è possibile riassumere tutti i risultati elencati dicendo che: il ite di una somma o di un prodotto, o di un quoziente è uguale rispettivamente alla somma, o al prodotto o al quoziente dei iti, a meno che non si presenti una delle forme indeterminate, 0, /, 0/0 giacché alloron è possibile dare alcun risultato generale e la questione va esaminata caso per caso); inoltre il ite di un logaritmo o di un esponenziale) è uguale al logaritmo o all esponenziale) del ite. Da questi risultati se ne possono trarre altri, come ad esempio il seguente: 5.3.VII Se > 0 e a α n = l α. = l > 0, allora, qualunque sia il numero reale α, si ha 39

8 Capitolo 5. Limiti di successioni 5.4 Criterio di convergenza di Cauchy Il criterio di convergenza di Cauchy permette di riconoscere se una data successione { } sia o non sia convergente. Esso si enuncia come segue: 5.4.I Condizione necessaria e sufficiente affinché una data successione { } sia convergente è che, comunque si fissi un numero positivo ε, esista in corrispondenza ad esso un indice ν ε tale che, presi ad arbitrio due indici m, n entrambi maggiori di ν ε, risulti a m < ε. 5.12) 5.5 Infinitesimi ed infiniti Si dice che la successione { } è un infinitesimo quando si ha = 0 per n ; si dice che è un infinito quando si ha = + per n. Quindi, dire che { } è un infinitesimo significa che, dato ad arbitrio ε > 0, si ha < ε per n abbastanza grande; dire che è un infinito significa che, dato ad arbitrio k > 0, si ha > k per n abbastanza grande. Supposto che sia sempre 0, per cui è possibile considerare la successione reciproca {1/ }, si ha: 5.5.I Se { } è un infinitesimo allora {1/ } è un infinito. Se { } è un infinito allora {1/ } è un infinitesimo. Vediamo ora cosa accade con il prodotto di due infinitesimi o di due infiniti. 5.5.II Se { }, { } sono infinitesimi [infiniti], anche la successione prodotto { } è un infinitesimo [un infinito]. Invece il prodotto di un infinitesimo per un infinito dà luogo alla forma indeterminata 0 e nulla si può dire in generale sul ite di esso. 5.5.III Se la successione { } è un infinitesimo e la successione { } è itata, allora il prodotto { } è un infinitesimo. 5.5.IV Se la successione { } è un infinito e i termini della successione { } sono tali che esiste una costante positiva h in modo da aversi h da un certo indice in poi, allora il prodotto { } è un infinito. Circa il quoziente di due infinitesimi o di due infiniti, nulla si può dire in generale perché ci si imbatte nelle forme indeterminate 0/0, /. Vanno però introdotte alcune locuzioni. 40

9 5.5. Infinitesimi ed infiniti Dati due infinitesimi { }, { } e supposto che sia sempre 0 in modo da poter considerare il quoziente { / }, può darsi che esista il / per n ; possono aversi le tre seguenti situazioni: = 0, 5.13) = l > 0, 5.14) = ) Nel caso 5.13) si dice che { } è un infinitesimo di ordine superiore a { }; nel caso 5.14) si dice che { } e { } sono infinitesimi dello stesso ordine; nel caso 5.13) si dice che { } è un infinitesimo di ordine inferiore a { }. Analogamente, se { }, { } sono infiniti, può darsi che esista il / per n ; possono aversi le tre seguenti situazioni: = +, 5.16) = l > 0, 5.17) = ) Nel caso 5.16) si dice che { } è un infinito di ordine superiore a { }; nel caso 5.17) si dice che { } e { } sono infiniti dello stesso ordine; nel caso 5.18) si dice che { } è un infinito di ordine inferiore a { }. Per esprimere che { } è un infinitesimo di ordine superiore a { }, si suole scrivere: = o ) n ). 5.19) È inutile introdurre unotazione apposita per gli infiniti; per esprimere che { } è un infinito di ordine superiore a { }, si può scrivere: ) 1 1 = o n ). 5.20) Diamo un altra locuzione di largo uso. Se {c n } è un infinitesimo [infinito], lo è anche evidentemente { c n α } ove α è un qualunque numero reale positivo. Dato un altro infinitesimo [infinito] { }, può accadere che si riesca a trovare un α > 0 in modo che { } e { c n α } siano 41

10 Capitolo 5. Limiti di successioni infinitesimi [infiniti] dello stesso ordine; si dice allora che { } è un infinitesimo [infinito] di ordine α rispetto all infinitesimo [infinito] principale {c n }. Questo significa che: = l > ) c n α Di regola si assume come infinitesimo principale c n = 1/n e come infinito principale c n = n. Allora, dire che { } è un infinitesimo di ordine α significa che 1/n) α = nα = l > 0; dire che { } è un infinito di ordine α significa che n α = l > 0. Aggiungiamo un osservazione che hotevole importanza pratica. Si debba studiare il ite del rapporto tra due infinitesimi { }, { }. Supponiamo che sia = a n + a n, = b n + b n con {a n } infinitesimo di ordine superiore rispetto a {a n } e {b n } infinitesimo di ordine superiore rispetto a {b n }. Si può allora scrivere = a n + a n b n + b n = a n b n 1 + a n /a n 1 + b n /b n e poiché l ultima frazione ha ite 1 + 0)/1 + 0) = 1, si deduce che lo studio dei iti / e a n /b n sono equivalenti. In altre parole nello studio del ite di / basta tener conto sia umeratore che a denominatore dei termini che hanno ordine di infinitesimo più basso. Analogamente nel caso che { }, { } siano infiniti, si vede immediatamente che in tal caso basta tener conto sia umeratore che a denominatore dei termini che hanno ordine di infinito più alto. Accanto al simbolo o o piccolo) introdotto con la 5.19), sono largamente usati altri due simboli: O o grande), uguaglianza asintotica), i cui significati sono i seguenti. Date due successioni { }, { }, scrivendo: = O ) n ) 5.22) si intende esprimere che 0 e che il rapporto / descrive un insieme itato: esiste cioè una costante K > 0 tale da aversi < K, n. 42

11 5.5. Infinitesimi ed infiniti Con la scrittura ) n ) 5.23) che si legge è asintotica a per n, si intende esprimere che 0 e che = 1. È ovvio che si può anche scrivere = [1 + o1)]. 43

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