TRASMISSIONE DEL CALORE

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1 Carola D'Ambros matr Lezone del 30/05/04 ora 4:30-7:30 TASMISSIONE DEL CALOE Irraggamento Conduzone Convezone Isolamento Pseudo legge d Fourer Coeffcente d convezone Geometra clndrca Lastra pana Tubo n accao Parete composta Multstrato Teorema d Buckngham aggo crtco e Pr Numero d Nusselt Gr - -

2 Lezone del 30/05/04 4:30-7:30 Isolamento Parete composta Multstrato Il prmo caso che andamo ad analzzare è quello d una parete multstrato composta, costtuta da uno strato contnuo d'accao a contatto con dell'acqua alla temperatura d 00 C, e uno strato rpettvo dsomogeneo n cu s alternano due materal, cemento (B) e solante (B). S calcol la potenza dsspata attraverso l rvestmento d una caldaa schematzzato dalla fgura seguente: DATI DEL POBLEMA Ta=00 o C Tb=0 o C sa=0.05m sb=0.m S=m S=m a=60 /m B= /m B=0. /m A=accao B=cemento B=solante ha=00 /m hb=0 /m Fgura - Sezone della parete Cò che andamo ad analzzare è qund l blocco tra le due lnee d demarcazone, rpetuto lungo la parete. Ovvamente la quota d flusso d calore è dfferente a seconda dello strato che attraversa, nfatt n entramb cas l flusso attraversa prma lo strato contnuo n accao ma successvamente s trova d fronte a due dvers materal che presentano dversa superfce ma soprattutto dversa conducbltà λ. Schematzzando l crcuto elettrco equvalente al sstema: Fgura - -

3 Lezone del 30/05/04 4:30-7:30 In questo caso le temperature d parete d cemento e solante vengono consderate ugual. è la resstenza alla convezone dell'acqua, la resstenza alla conduzone della parete d accao, 3 e 5 le resstenze alla conduzone delle paret d cemento e d solante, 4 ed 6 le resstenze alla convezone dell'ara. Da una prma osservazone posso constatare che le resstenze e sono trascurabl poché lo spessore dello strato contnuo n accao è molto pccolo, noltre la resstenza d convezone (lato acqua) è molto pù pccola delle resstenze 4 ed 6 d convezone (lato ara) come posso notare da dvers coeffcent d convezone d cascuno de due materal. Per una maggore precsone s dovrebbe consderare l fatto che TB TB, ovvero che le temperature d parete, per cemento ed solante, non sono ugual; questo crea una seconda tpologa d crcuto: Fgura 3 ed 3 sono ora due dverse resstenze n consderazone del fatto che, pur partendo dalla temperatura comune della parete d accao, le temperature d arrvo (per le paret d cemento e solante) sono dverse. Contnuando nello stesso senso è possble dvdere l flusso fn dall'nzo ottenendo la schematzzazone come nella Fg. 4: a b e 00 0 a b e Fgura 4 Anche questa rete però è solo un approssmazone della realtà fsca, non fornsce qund l rsultato reale poché non tene conto, per esempo, della conduzone tra gl strat B e B che andrebbe schematzzato come n Fg. 5 Fgura 5-3 -

4 Lezone del 30/05/04 4:30-7:30 Il modello che offre qund la soluzone pù corretta è quello rappresentato n Fg.. Procedamo qund con lo svluppo de calcol tenendo presente che d tal resstenze, s sommano quelle n sere e vengono sommate le recproche rspettve d ognuno de due materal d quelle n parallelo. Calcolo: esstenza convezone acqua h ( S S ) = a () esstenza conduzone accao = a ( S S ) s a () esstenza conduzone cemento 3 = B S s b (3) esstenza d convezone ara (su cemento) 4 h S = 0. 0 B (4) esstenza d conduzone solante 5 = B S s b (5) esstenza d convezone ara (su solante) 6 h S = B (6) Ora sommo rspettvamente le resstenze d conduzone e convezone d cemento e solante: (7) - 4 -

5 Lezone del 30/05/04 4:30-7: (8) 34 e 56 sono tra loro n parallelo, sommo qund le resstenze recproche: eq eq 0. (9) In questo modo eq è un'unca resstenza n sere a e, posso qund sommarle per ottenere la resstenza totale: 4 tot eq (0) Ottenuta la resstenza totale posso calcolare la potenza dspersa: T 00 Q 730. () 0.37 tot Se calcolo nvece le due potenze dsspate rspettvamente per l ramo del calcestruzzo e per quello dell'solante ottengo: Ta Tb 00 Q 486 () a B e Q Ta Tb 00 8 (3) a B e La potenza totale dsspata Q è qund par a 667 Attraverso questo valore è possble vedere come calcolando la potenza dsspata n un crcuto equvalente n cu fluss sono separat, tale potenza è sottostmata. Con dat del problema posso anche calcolare le vare temperature d parete. Parete calcestruzzo: o T Q 48.6 C (4) h S B Parete solante: o T Q 9.05 C (5) h S B Dat che danno un dea dell mportanza della scelta de materal quando s renda necessaro un solamento termco

6 Lezone del 30/05/04 4:30-7:30 Geometra clndrca: tubo n accao Il secondo caso che andamo ad analzzare è lo studo d una geometra clndrca, ad esempo l flusso d calore che entra ed esce dal tubo n accao d Fg.6. T Te r re Fgura 6 Dove: T è la temperatura nterna del tubo T e è la temperatura all esterno del tubo, la temperatura ambente r l raggo nterno del tubo r e l raggo esterno del tubo L la lunghezza del tubo Supponendo che l fenomeno sa solo convettvo, coè potzzo che non c sa rraggamento, questo sstema può qund essere schematzzato come tre resstenze termche poste n sere: T conv, cond,t conv,e Te Fgura 7 Not coeffcent d convezone nterno, h, esterno, h e, e la conducbltà termca del tubo, λ, è possble calcolare la potenza dsspata: T T T Q (6) TOT e conv, cond, t conv, e - 6 -

7 Lezone del 30/05/04 4:30-7:30 Occorre qund determnare valor delle tre resstenze termche: esstenza convezone nterna conv, (7) h S dove S, prendendo un tratto d tubo lungo L vale S L d r L (8) E qund sosttuendo conv, (9) h r L esstenza conduzone tubo cond re ln L r (0) esstenza convezone esterna conv e, () h r L e e E' ora suffcente sostture le formule delle tre resstenze n quella della potenza dsspata Q per ottenerne l valore

8 Lezone del 30/05/04 4:30-7:30 aggo crtco Spesso s può però avere anche la stuazone n cu l tubo è rvestto da uno strato solante con lo scopo d dmnure la dspersone d calore. T Te rg r re Fgura 8 Ora l sstema sarà descrtto da un modello che prevede 4 resstenze termche poste sempre n sere: conv, cond,t cond, conv,e T Te Fgura 9 Qund la potenza termca dspersa nell ambente sarà ora data da T Q TOT T Te r r e g r L h L r L g r ln ln e rg Lh e () Dalla formula possamo notare che l termne r g a numeratore nella formula per l calcolo della resstenza d conduzone dell'solante, fa s che l suo crescere facca aumentare la resstenza termca, ma r g compare anche a denomnatore nel calcolo della resstenza d convezone esterna. In questo caso provoca l'aumento non della resstenza ma della superfce dsperdente

9 Lezone del 30/05/04 4:30-7:30 Esste qund un raggo defnto raggo crtco r c, n questo caso dello strato solante, che porta a massmzzare l'effetto d dspersone del calore. Per comprendere l fenomeno esste un grafco che mette n relazone raggo crtco e resstenza termca. TOT mn 0 re rc r Al crescere d r g la resstenza nzalmente decresce fno a raggungere l valore del raggo crtco dell'solante, r c, n cu s ha la mnma resstenza termca e qund la massma dspersone d calore, dopodchè la resstenza torna a crescere e torno ad avere un effetto solante. Ad esempo usando una guana sottle con valor d conducbltà termca non troppo pccol s può ottenere tale peggoramento, coè che la potenza termca dspersa dopo aver aggunto lo strato solante attorno al tubo, sa maggore d quella precedente. Usando nvece solant molto spess s resce ad oltrepassare l raggo crtco e la consegnuente dspersone d calore. Coeffcente d convezone L'approcco al calcolo del coeffcente d convezone è smle a quello per l calcolo del fattore d'attrto, ξ, all'nterno de condott. cavamo quest'ultmo valore nel dagramma d Moody, che n funzone d due numer pur admensonal, numero d eynolds e scabrezza relatva, rcava l numero puro del coeffcente d'attrto. f e, (3) D Teorema d Buckngham: Tale teorema dce che l numero d parametr admensonal necessaro a descrvere computamente un fenomeno fsco è dato dal numero d varabl fsche del problema dmnuto del numero d relazon - 9 -

10 Lezone del 30/05/04 4:30-7:30 che le legano. L'operazone eseguta è costtuta da una sere d anals d un problema fondate su operazon convolgent grandezze rappresentatve del problema stesso, le qual vengono manpolate n modo da essere rese admensonal (ossa de numer pur). Nelle applcazon sono dunque nat numeros grupp admensonal coè le grandezze numerche che semplfcano la descrzone d base de fenomen natural o artfcal. In termocnetca è possble determnare l coeffcente d convezone attraverso l numero d Nusselt che è funzone de numer d Prandtl eynolds,grashof e del poszonatore o fattore d forma. N x f e, Gr, Pr (4) D u, numero d eynolds w D w D e (5) dove: w è la veloctà meda del fludo D è la dmensone caratterstca è la vscostà cnematca è la vscostà dnamca Il numero d eynolds è preso n esame n caso d convezone forzata. numero d Prandtl Pr (6) dove: è la dffusvtà termca del fludo n esame è la vscostà cnematca c p (7) dove: è la conducbltà del fludo è la denstà del fludo c p è la capactà termca Sosttuendo nella formula precedente ottengo: c p Pr (8) Il numero d Prandtl è qund l rapporto tra attrto e scambo termco, tra la capactà d trasferre forze tangenzal e longtudnal (forze vscose) e la capactà d trasferre calore

11 Lezone del 30/05/04 4:30-7:30 3 g L Tp T numero d Grashof Gr dove: g è l accelerazone d gravtà è l coeffcente d dlatazone termca Tp è la temperatura della parete T è la temperatura asntotca è la vscostà cnematca L è la dmensone caratterstca (9) Il numero d Grashof rappresenta la vvactà del moto d galleggamento. E' l rapporto tra l motore (galleggamento) e un freno (vscostà). Il motore costtuto dalle forze d galleggamento è rappresentato dal seguente termne: g ( T T ) p Il numero d Grashof è preso n esame n caso d convezone naturale. poszonatore o fattore d forma dove: x è l'ascssa lungo l'asse del tubo L è la dmensone caratterstca x L (30) Ottenamo qund l coeffcente d convezone admensonalzzato che chamamo numero d Nusselt, coè: h L Nu (3) dove: h è l coeffcente d convezone L è la dmensone caratterstca è la conducbltà del fludo In base al Teorema d Buckngham, Nu sarà funzone de quattro numer pur precedentemente espost: h L Nu fludo x f e, Gr,Pr, L dove f rappresenta un legame funzonale. (3) Dre che esste un legame funzonale equvale a dre che esste un'unca formula algebrca con valor numerc fssat e nvarant che lega funzonalmente 4 nput all unco output. Ad ogn problema fsco esste una determnata soluzone. - -

12 Lezone del 30/05/04 4:30-7:30 Alcune d queste formule sono note; ad esempo per l acqua che scorre dentro un tubo la formula la cu formula vene chamata d Dttus-Boelter e dce che: Nu 0.03 e Pr (33) In tale caso non c è dpendenza dal poszonatore perché s consdera l regme svluppato, coè quando la regone d ngresso è termnata, e non c è dpendenza dal numero d Grashof perché samo n convezone forzata. - -

13 Lezone del 30/05/04 4:30-7:30 Appendce : Tabelle Sezone del condotto Condzon al contorno Flusso d calore alla parete = cost Temperatura della parete = cost Crcolare Quadrata a = b ettangolare a =.4 b a = b a = 3 b a = 4 b a = 8 b a = a = con una superfce solata Trangolare a = b = c Tabella Valor del numero d Nusselt per moto lamnare e profl completamente svluppat. Campo d valdta (e) egme Ingr. Dnamco Ingr. Termco Svluppato Co stante In parete T Q Nu = C. e a. Pr c Autor Note C a c < 300 * 0.89(D/X) / Elser L < 0 D < (D/X) / Seder e X > 0 D Tate < (D/X) / Pohlhaunsn * Böhm * 0.0(D/X) Gulann e altr. D < X X < 0 D > (D/X) / Nusselt > (D/ X) / raussold Lqudo scaldato > (D/X) / raussold Lqudo affreddato > (D/X) /3 7/ 0.33 Elser Teorco > 0000 * Dttus e Boelter Fludo scaldato > 0000 * Dttus e Boelter Fludo raffreddato > 0000 * Seder e Tate Per prodott Petrolfer - 3 -

14 Lezone del 30/05/04 4:30-7: * 0.0(D/De) Monrad e Pelton Ara o acqua sez. anulare sup. esterna solata Tabella Formule spermental per l calcolo del numero d Nusselt: convezone forzata. Stuazone geometrca Superfce clndrca orzzontale Superfce pana o clndrca vertcale Superfce pana orzzontale Superfce pana orzzontale quadrata d lato L Campo d valdtà (a) C B cautor Note Nu=C. Gr b. Pr c < McAdams Nu e Gr cacolat n funzone del.5.5 dametro D McAdams Nu e Gr calcolat.5.5 n funzone della estensone vertcale L Fshenden Flusso d calore.5.5 e verso l alto Saunders Flusso d calore.5.5 verso l basso Sfera Bromham.5.5 e Mayhew Strato vertcale d < 000 Pr 0 0Jakob Nu e Gr calcolat altezza H e spessore L: una parete ( ) Pr 0.8(H/L) -/9 0 0 elazon valde n funzone d L. vertcale pù calda.5 per l ara dell altra ( ) Pr 0.065(H/L) -/ < Emery e Chu (H/L) -/ Tabella 3- Formule spermental per l calcolo d Nusselt: convezone forzata. Nu e Gr calcolat n funzone d L. elazon valde per lqud, con 3 < Pr < Stuazone geometrca Condotto vertcale con sezone crcolare L/D=0 Condotto vertcale con sezone crcolare L/D=50 Campo d Valdtà Nu = C. e a. Gr b. Pr c Autor Note C a b c e > atznger e Johnson 600<e< < e < rschbaum. (D/X) Acqua che scende affreddandos e deve essere Modfcato con l aggunta d un termne correttvo Tabella 4- Formule spermental per l calcolo del numero d Nusselt: convezone msta