Piano inclinato senza attrito: vale il principio di sovrapposizione per cui il corpo si muoverà secondo la II legge di Newton: Ricavo quindi:

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1 Piano inclinato senza attrito: vale il principio di sovrapposizione per cui il corpo si muoverà secondo la II legge di Newton: Ricavo quindi: Pano inclinato con attrito: Ricavo quindi: Se invece sfruttiamo il teorema delle forze vive: Pendolo semplice: Sul corpo agiscono la forza peso e la tensione della fune. Il moto è circolare uniforme, quindi la risultante delle forze deve avere direzione centripeta. La tensione della fune si ricava dalla seconda legge della dinamica: dove l angolo indica la posizione del pendolo. Entrambi i termini al secondo membro sono massimi per. La velocità della sfera è infatti massima nel punto di minimo dell energia potenziale, quando il filo è verticale, in, poiché tutta l energia potenziale gravitazionale posseduta dal corpo nel punto di massima altezza si è trasformata in energia cinetica. In questa posizione la tensione del filo si ricava dalla seconda legge della dinamica:. T non compie lavoro perché è sempre perpendicolare alla traiettoria. L energia meccanica si conserva (perché forze conservative). La velocità massima si calcola in funzione dell angolo, posizione da cui la sfera viene lasciata libera di muoversi, utilizzando il principio di conservazione dell energia:. Da questa si ricava il valore della tensione del filo in funzione del, uguagliando al carico di rottura della fune si ricava:. Nel punto più alto della traiettoria la velocità è nulla. Pertanto la risultante delle forze sul filo =0. Supponiamo che l energia meccanica si conservi:. Il periodo del pendolo risulta: Pendolo conico: Sul corpo agiscono la forza peso e la tensione della fune. Il moto è circolare uniforme, quindi la risultante delle forze deve avere direzione centripeta. Scomponiamo lungo la verticale e lungo l orizzontale:. Otteniamo: e valore di rottura:. Per ricavate il periodo, osserviamo:. L angolo massimo viene raggiunto quando la tensione del filo raggiunge il Pendolo con molla: Il moto della pallina è circolare uniforme, ne consegue che la forza applicata alla pallina deve essere centripeta, ovvero orizzontale. Ne consegue che la forza peso agente sulla pallina deve essere compensata dalla componente verticale della forza elastica della molla:. Come detto sopra, la forza totale deve essere orizzontale e centripeta. Il modulo corrisponde al valore della componente orizzontale della forza elastica della molla:. Il modulo della velocità della pallina si ottiene utilizzando le leggi del moto circolare uniforme: Urto anelastico: Si conserva solo la quantità di moto: - Piano inclinato liscio: Le forze applicate sono conservative e l energia meccanica si conserva. Quando le loro masse raggiungono la massima quota la loro energia cinetica si annulla: - Piano inclinato scabro: la variazione della somma dell energia potenziale gravitazionale e dell energia cinetica uguaglia il lavoro delle forze non conservative: Urto elastico: si conserva: Attrito: Fissiamo un asse di riferimento parallelo al piano inclinato, diretto verso l alto e con origine nella posizione iniziale del corpo. Valgono le seguenti relazioni: Il corpo si ferma dopo un intervallo di tempo della durata: Dopo essersi fermato, il corpo rimane in quiete se la statico è sufficiente a bilanciare la componente della forza peso parallela all asse x, soddisfacendo:. Il corpo rimane quindi in quiete se: ovvero. La potenza richiesta alla forza è data dal prodotto scalare tra forza stessa e velocità del blocco (la forza dovuta all attrito è opposta alla velocità): Carrucola: La carrucola è priva di massa, per cui la tensione si trasmette inalterata dal carrello alla massa lungo il filo. Sino all istante t0 la massa sospesa rimane ferma, per cui il suo peso è equilibrato dalla tensione (statica) del filo:. Quando il carrello è lasciato libero di muoversi, la tensione è ora dinamica, e si ottiene:. Giro della morte: La velocità del carrello in funzione della quota si calcola applicando il principio della conservazione dell energia meccanica:. Affinché non ci sia distacco nemmeno nel punto alla massima quota, verticale (y=2r):. Eguagliando le due velocità trovate, ottengo:. Nel punto in cui la forza peso è tangente alla traiettoria,. Costanti esercizi Terra raggio Terra: ; massa Terra:

2 Anello carico: scomponiamo l anello in segmenti infinitesimi ds, per ognuno di questi ve n è un altro simmetrico rispetto al centro dell anello. Le componenti lungo l asse x si sommano e quelle ortogonali si elidono: adesso integriamo per tutte le componenti dell anello: L unica grandezza variabile è la carica infinitesima dq quindi:. L anello presenta una distribuzione lineare di carica λ, ed ogni tratto elementare ds dell anello possiede una carica elementare.calcoliamo: nostro caso uniassiale:. Ricaviamo nel. Sfruttando la prima legge di Laplace, calcoliamo il campo creato da un tratto infinitesimo di corrente, e poi integriamo su tutta la spira:. Con A area della spira, definiamo momento di dipolo magnetico: che approssimato con Disco carico: scomponiamo in tanti piccoli anelli infinitesimi, ognuno di raggio r e spessore dr. La carica infinitesima dell anello vale:,che da una forza infinitesima:. La carica muovendosi causa la rotazione del disco e crea una corrente infinitesima: Filo carico: Il teorema di Gauss afferma che il flusso del vettore campo elettrico, relativamente ad una superficie chiusa, è proporzionale tramite un fattore alla carica che si trova all interno della superficie scelta:.la superficie scelta è il cilindro e per simmetria notiamo: - il campo elettrico sulla superficie deve avere direzione ortogonale alla superficie scelta; - deve avere lo stesso valore in ogni punto della stessa, in quanto si trova sempre alla stessa distanza dal filo; - il campo elettrico è parallelo alle basi del cilindro, in quanto diretto radialmente al filo ->. Calcoliamo la carica all interno del cilindro: Ricaviamo il potenziale:. Ambito magnetico: il filo genera intorno a sé un campo magnetico, il cui andamento è dettato dalla legge di Biot-Savart: in modulo. Per calcolare il flusso attraverso la sezione quadrata, definiamo che il campo sarà ortogonale in ogni punto alla sezione, ma avrà valore variabile con r secondo:. Scomponiamo la sezione quadrata in tante superfici infinitesime dove valutare il campo, prendiamo quindi delle striscioline verticali alte a e larghe dr, in ognuna il campo risulta costante e integrando:. Il coefficiente di mutua induttanza è pari al rapporto tra il flusso relativo alla spira e la corrente che scorre nel filo: Cilindro carico: vista la simmetria del sistema risolvo con il teorema di Gauss, considerando intorno al cilindro un cilindro ipotetico alto h ed avente raggio r. Il flusso del campo elettrico vale:. Due casi: - se : la carica contenuta nel cilindro di Gauss è tutta quella contenuta nella porzione di cilindro alta h, per cui: ; - se : la carica contenuta è inferiore, devo prendere una porzione del cilindro alta h, ma di raggio r, poiché la restante parte di cilindro è esterna alla superficie di Gauss:. Per il calcolo del campo magnetico applichiamo il teorema di Ampere: costruiamo una linea circolare di raggio r, coassiale al cilindro. La circuitazione del campo è la stessa per i casi di :. Due casi: - se : la corrente concatenata è tutta quella che scorre nel cilindro, per cui: ; - se : la carica concatenata è inferiore, devo quindi prendere una porzione del cilindro di raggio r, poiché la restante parte di cilindro è esterna alla linea, sfrutto quindi la definizione di densità di corrente, essendo uniforme:. In questo caso, distinguiamo le tra regioni: - se : nel cilindro di Gauss non è contenuta carica, per cui: ; - se : la carica contenuta nel cilindro di Gauss è tutta quella contenuta nella porzione di cilindro interno alta h, per cui: λ densità lineare, mentre ; - se : nel cilindro di Gauss è contenuta una carica netta nulla, somma delle due cariche di segno opposto presenti sulle armature del condensatore, per cui: poiché lo assumiamo nullo all infinito. Per il calcolo della capacità: Cavo coassiale: Il campo magnetico in ogni punto della linea di Ampere sarà diretto come la linea stessa e costante in ogni punto a pari distanza. La circuitazione del campo vale:. Valutiamo le regioni: - : la corrente concatenata è nulla, poiché scorre con pari valore in un verso nel cilindro interno e nel verso opposto sull armatura esterna, per cui: ; - se : la corrente concatenata è tutta e sola quella del cilindro interno, per cui: ; - se : la carica concatenata è inferiore, devo quindi prendere una porzione del cilindro di raggio r, poiché la restante parte di cilindro è esterna alla linea, sfrutto quindi la definizione di densità di corrente, essendo uniforme:. Sfera cava: è carica sulla superficie con densità. Sfruttando il teorema di Gauss ricavo il campo elettrico in ogni punto dello spazio. Vista la simmetria del problema, scelgo come superficie di Gauss una sfera, di raggio r. Per ragioni di simmetria il campo elettrico avrà direzione radiale e avrà lo stesso valore a pari distanza dal centro della sfera. Il flusso del campo elettrico vale:. Studiamo al variare di r: - se : la carica contenuta nel cilindro di Gauss è tutta quella contenuta nella sfera del problema, per cui: : la carica contenuta nella sfera di Gauss è nulla, in quanto distribuita solo sulla superficie, per cui:. Per ricavare il potenziale, integriamo l espressione del campo elettrico all esterno della sfera ponendo carica puntiforme; mentre all interno della sfera, essendo nullo il campo il potenziale si mantiene costante e pari a quello sulla superficie:. La capacità della sfera vale: poiché ; - se, come quello di una

3 Sfera conduttrice: consideriamo una crosta sferica di raggio r, spessore dr e volume dv, all interno della quale la densità vale. La carica infinitesima nella crosta e la carica totale valgono:. Calcoliamo il campo elettrico nei due casi: - se : la carica contenuta nel cilindro di Gauss è tutta quella della sfera, per cui: mentre per il potenziale: ; - se : la carica contenuta nella sfera di Gauss è una frazione della totale e dipende da r, per cui:. Per il potenziale, poniamo V 1 il potenziale all esterno della sfera, V 2 quello all interno, inoltre, imponiamo la continuità nella regione ove r=r, per cui: : Sfera collegata a sfera: le due sfere hanno capacità rispettivamente:. Sono metalliche, quindi conduttrice quindi la carica q si ridistribuirà su tutte e due sino a quando entrambe si saranno portate allo stesso potenziale:. Mettendo a sistema ottengo:. Si possono anche esprimere in funzione della densità superficiale di carica:. L energia elettrostatica prima del collegamento vale: mentre dopo il collegamento vale: Sfera carica lontana da sfera scarica: il lavoro esterno è la variazione dell energia elettrostatica prima e dopo che si siano toccate: La carica finale sarà pari a q/2 per cui: il lavoro è negativo quindi il sistema si porta spontaneamente nella configurazione richiesta. Distribuzione piana: prendiamo come superficie di Gauss un cilindro di base circolare con raggio r, che attraversi il piano di cariche in entrambi i sensi per una certa lunghezza, e che sia ortogonale al piano stesso. Notiamo che: il campo elettrico, vista la simmetria del problema, avrà stesso valore in ogni punto a pari distanza dal piano e sarà uscente ed ortogonale al piano; il flusso sulla superficie laterale del cilindro è nullo, poiché il campo elettrico è parallelo a tale superficie; resta il flusso relativo alle due basi. Per cui: Lastra carica: scegliamo come superficie di Gauss un cilindro posto a cavallo della lastra, ortogonale alla lastra stessa, simmetrico rispetto all asse della lastra e di larghezza pari a 2x. Vista la simmetria del problema, il campo elettrico avrà la direzione dell asse x, e quindi il flusso del campo relativo alla superficie laterale del cilindro sarà nullo. Valuteremo quindi solo il flusso relativo alle 2 basi di area S; inoltre, il campo elettrico avrà lo stesso valore in modulo su ognuna delle 2 basi, di verso concorde in entrambe alle basi stesse, per cui:. Distinguiamo: - il cilindro sporge dal bordo dell asta ( ): la carica contenuta nel cilindro di Gauss è quella relativa alla porzione di cilindro di larghezza 2d, per cui: ; - il cilindro non sporge dal bordo della lastra ( ): il cilindro di Gauss ha larghezza inferiore al cilindro di cariche, quindi: della particella in moto e la sua posizione al centro della lastra:. Per calcolare il potenziale, sfruttiamo la conservazione dell energia meccanica tra la posizione iniziale. Da cui ricaviamo:. Calcoliamo ora: Condensatore piano: è del tipo a facce piane e parallele, quindi caratterizzato da una capacità (rapporto tra carica presente sul condensatore e differenza di potenziale cui è soggetto, dipendente solo dalla geometria del condensatore):.. Il campo elettrico creato dalla singola armatura è pari a:. Sulla seconda armatura è presente la stessa carica, ma di segno opposto: il campo elettrico creato dalla prima armatura è omogeneo e costante, ricaviamo la forza di Coulomb: di tipo attrattivo. In termini di pressione:. In termini energetici:. Chiamando x la distanza variabile tra le due armature:. Dal legame tra energia e forza: negativa(opposta rispetto a x) quindi attrattiva. Condensatore sferico: pensiamo di porre una carica q sull armatura interna(r 1 ) ed una carica q su quella esterna(r 2 ), il campo elettrico e il potenziale risultano: - se : ; - se : ; - se :. La differenza di potenziale tra le due armature risulta:. Otteniamo quindi la capacità: Particella in campo magnetico: una particella positiva che entra verticalmente tra le lastre subirà una forza elettrica diretta verso destra, ed una magnetica verso sinistra. Se vogliamo che questa passi attraverso le lastre, le due forze devono elidersi:. Il moto è circolare tale che: Solenoide: un solenoide, di lunghezza x e diametro d, percorso da corrente I genera nel centro del suo interno un campo magnetico di valore:. Se approssimiamo, assumiamo che il campo magnetico sia costante in ogni punto del solenoide, per cui il flusso relativamente ad una delle spire risulta:, mentre quello totale:. Dalla definizione di induttanza ricaviamo:.

4 Corpo immerso in acqua: supponendo non vi sia dispersione di calore, il calore viene scambiato esclusivamente tra i due sistemi sino a quando questi si portano alla temperatura d equilibrio: Blocchetto di ghiaccio: il calore che riceverà il ghiaccio servirà inizialmente per scioglierlo, e poi per aumentare la temperatura dell acqua formatasi: dove il ghiaccio sciolto avrà lo stesso calore specifico dell acqua. Uguagliando le due espressioni, corpo e ghiaccio, ricaviamo il calore specifico ignoto e la prima temperatura di equilibrio: e. Passiamo all entropia scambiata:. Mentre per il ghiaccio separiamo il calore scambiato nei termini di fusione e riscaldamento: per cui il sistema complessivo ha subito una variazione di entropia:. Oggetto caldo immerso in acqua: supponiamo non vi siano dispersioni di calore con l ambiente, per cui:. Per entrambi i corpi la variazione di entropia è regolata dalla legge:. Ora il sistema ferro acqua si raffredda, fornendo calore all ambiente, sino a quando la sua temperatura è ritornata a quella ambiente. Nel calcolo della variazione di entropia consideriamo quindi anche l ambiente: Legge dei gas ideali: Conservazione del calore: Gas monoatomico con Q>0 entrante e L>0 uscente Gas biatomico Gas pluriatomico Dove e con Isobara: Adiabatica: Trasformazione Isoterma: A-B Isobara: A-B Isocora: A-B Adiabatica: A-B CICLI: Il rendimento di una macchina termica è definito come il rapporto tra il lavoro ottenuto dalla macchina ed il calore fornito alla macchina: La potenza della macchina risulta:. Per il rendimento di Carnot: (W<0 se il lavoro viene fornito alla macchina)

5 Barrette cilindriche: Detta l area della sezione delle due barrette, dalla seconda legge di Ohm si ricavano le rispettive resistenze R 1 ed R 2 : così per R 2 L intensità di corrente I che percorre le due barrette è data dall integrale della densità di corrente J sulla sezione delle barrette: Ricordando la prima legge di Ohm si ottengono le differenze di potenziale V AB e V BC : La potenza totale W dissipata dalla resistenza R vale: I campi elettrici E 1 ed E 2 all interno rispettivamente delle barrette 1 e 2 valgono:. Applicando il teorema di Gauss si ottiene si ottiene il valore della densità di carica sulla superficie B: Condensatore ad armature piane e parallele: Con il generatore collegato, rimane costante la differenza di potenziale fra le due armature. Si calcoli la capacità C del condensatore con e senza dielettrico: La Q sulle armature del condensatore prima e dopo l inserimento del dielettrico vale quindi: Con il generatore scollegato, resta costante la. La prima e dopo l inserimento del dielettrico vale: Lo spazio fra le armature del condensatore è solo parzialmente occupato dal dielettrico. Sia d la distanza fra le due armature e la distanza iniziale, pari allo spessore del dielettrico. Questo caso può essere descritto come serie fra due condensatori, uno caratterizzato da una distanza fra le due armature pari a ed interamente riempito da dielettrico, l altro, con distanza fra le due armature pari a privo di dielettrico. La capacità Ricordando che: e che rimane costante, si ottiene il grafico di in funzione di. Particelle in moto: Applicando il principio di conservazione dell energia delle particelle: si ottiene:. All istante iniziale le particelle cariche hanno, da cui si ricava che di ogni particella carica che raggiunge con v la regione in cui è presente il campo magnetico vale:. Nella regione in cui è presente il campo magnetico, essendo B perpendicolare alla velocità, il moto delle particella è circolare uniforme, con costante ottenuta dall espressione della forza di Lorentz:. La forza di Lorentz non compie lavoro sulla particella, quindi non ne modifica l energia cinetica e il modulo della velocità. L di un corpo in moto circolare uniforme è legata al raggio R dell orbita: per cui si ottiene: Per far compiere a particelle cariche negativamente la stessa traiettoria indicata nella figura bisogna utilizzare un negativo e un campo magnetico B entrante nel piano del foglio. Sfera conduttrice: Il campo elettrostatico E all interno e all esterno della sfera di raggio R A deve essere, per ragioni di simmetria, radiale ed assumere lo stesso valore in ogni punto di una generica sfera concentrica ad essa. Applicando il teorema di Gauss: dove q è la carica portata sulla sfera dal generatore (la quale per le proprietà dei conduttori si distribuisce uniformemente sulla superficie). Questa distribuzione di campo radiale è identica a quella generata da una carica puntiforme posta nel centro della sfera. Per ottenere tale carica si utilizza la condizione sul potenziale della sfera rispetto all infinito(massa): Il lavoro necessario per caricare la sfera viene compiuto dal generatore ed è opposto a quello compiuto dalla forza elettrostatica: Caso: sfera dentro conduttore cavo: Anche in questo caso, il campo elettrostatico E deve essere per ragioni di simmetria radiale ed assumere lo stesso valore in ogni punto di una generica sfera concentrica alle sfere di conduttore. La seconda sfera subisce induzione completa ed accumula sulla sua superficie interna una carica pari in modulo ed opposta in segno a quella sulla sfera di raggio : Striscia di conduttore: Dalla prima legge di Laplace si ottiene che: All equilibrio stazionario la forza elettrostatica compensa quella di Lorentz: dove q è la carica del singolo portatore, v è la velocità di deriva, E e B sono il campo elettrostatico all interno del conduttore e B è il campo magnetico. Da qui: Ricordando il legame tra J e le grandezze elettriche macroscopiche:. Otteniamo per elettroni: La differenza di potenziale rappresentata in figura ha i seguenti segni: