Teoria dei Segnali. La Convoluzione (esercizi) parte prima

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1 Teoria dei Segnali La Convoluzione (esercizi) pare prima 1

2 Si ricorda che la convoluzione ra due segnali x() e y(), reali o complessi, indicaa simbolicamene come: C xy () = x() * y() è daa indifferenemene dalle due espressioni: e C xy ( ) = x() y( )d C xy ( ) = x( ) y()d Dalla prima si passa alla seconda con un semplice cambiameno di variabili. La convoluzione è un operaore lineare, come è facile dimosrare applicando la definizione, per cui se y() = u() + v() si ha: C xy () = x() * (u() + v()) = C xu() + C xv () Quesa proprieà è molo uile per semplificare il calcolo di convoluzioni di segnali decomponibili nella somma di segnali più semplici. E' anche facile dimosrare che se è noa la C xy (), la convoluzione ra x( - 0 ) e y( - 1 ) vale C xy ( ). Infai: C xy ( ) = x( - 0 ) y( + 1 )d = x() y( )d = C xy ( 0-1 ) Per calcolare una convoluzione nel dominio del empo bisogna allora eseguire le segueni operazioni in successione: 1) Inverire l'asse di rappresenazione di uno dei due segnali [Si passa cioè da x() a x( -) oppure da y() a y( -)]; 2) sul segnale il cui asse è sao inverio operare una raslazione che è negaiva quando avviene verso sinisra e posiiva quando avviene verso desra; 3) calcolare il prodoo ra il segnale raslao e l'alro non raslao; 4) calcolare l'area del prodoo. 2

3 Esercizio n.1 Calcolare la convoluzione ra i segnali : e essendo 1 più piccolo di. I due segnali sono riporai nella figura 1.1 x() = rec 1 ( - 1/2) y() = rec ( - /2) x() y() 1 Fig.1.1 Come sopra ricordao, la prima operazione da fare è quella di inverire l'asse di uno dei due segnali, ad esempio x() (Fig.1.2). x(-) y() 1 Fig.1.2 Successivamene si deve raslare x (-); è evidene che raslazioni negaive, cioè verso sinisra, fanno si che non vi siano inervalli di empo in cui i due segnali x ( -) e y() siano conemporaneamene preseni; queso implica che il loro prodoo è sempre nullo e quindi per minore di zero C xy () è sempre nulla. 3

4 La figura 1.3 mosra la siuazione esisene per raslazioni posiive e minori di 1. x(-) y() 1+ Fig.1.3 Gli esremi di inegrazione dell'inegrale di convoluzione saranno allora 0 e e perano si scriverà : C xy () = d 0 = La convoluzione cresce linearmene raggiungendo per = 1 il valore 1. Per compreso ra 1 e si può facilmene osservare come il valore della convoluzione rimanga cosane; infai, indipendenemene dal valore di, la duraa della sovrapposizione dei due segnali reangolari rimane 1 e perano il valore della convoluzione è 1. Successivamene per raslazioni comprese ra e ( + 1) si realizza la siuazione descria in fig In queso caso si scriverà: C xy () = 1 d = ( +1 - ) Per valori di ancora maggiori si realizza nuovamene la siuazione iniziale di segnali non sovrapposi e quindi la convoluzione è nulla. 4

5 y() x(-) 1+ Fig.1.4 In definiiva si ha: C xy () = 0 per 0 e per > (1 + ) C xy () = C xy () = 1 per 0 < 1 per 1 < C xy () = ( + 1 ) per < (1 + ) L andameno della convoluzione è riporao nella fig.1.5 Si può osservare, e queso vale in generale, che l'inervallo di empo in cui la convoluzione è diversa da 0 è pari alla somma degli inervalli in cui sono diversi da 0 i segnali convolui. x()*y() ΑΒ1 ΑΒ1/ Fig.1.5 Si dice che l'impulso di fig.1.5 ha una duraa in quano convenzionalmene si assume come duraa di un impulso il empo che passa ra l'isane in cui, nel empo di salia, si raggiunge un 5

6 valore che è il 50% di quello finale e quello, nel empo di discesa, in cui si raggiunge lo sesso valore. Il empo di salia e quello di discesa sono in queso caso enrambi uguali a 1. Un segnale a forma rapezoidale si oiene come convoluzione di due segnali reangolari, di cui uno dura quano il empo di salia (1) e il secondo ha una duraa uguale a quella dello sesso impulso rapezoidale (). Nel caso paricolare in cui in cui 1 sia uguale a (si indica con il valore comune), il rapezio degenera in un riangolo di base 2 e alezza ; la duraa convenzionale - come sopra definia - è ancora (fig.1.6). x()*y() ΑΒ 2 Fig.1.6 Simbolicamene queso segnale si indica come ri ( -), essendo ri () un segnale riangolare di ampiezza uniaria e cenrao nell'origine. 6

7 Esercizio n.2 Calcolare la convoluzione ra i segnali : e essendo 1 più piccolo di. I due segnali sono riporai nella figura 2.1 x() = ( /1) rec 1 ( - 1/2) y() = rec ( - /2) x() y() 1 Fig.2.1 La prima operazione da fare è sempre quella di inverire l'asse di uno dei due segnali, anche in queso caso x() (Fig.2.2). x(-) y() 1 Fig.2.2 Successivamene si deve raslare x (-); le raslazioni negaive, anche in queso caso, fanno si che non vi siano inervalli di empo in cui i due segnali x ( -) e y() siano conemporaneamene preseni; allora il loro prodoo è nullo e quindi per minore di zero C xy () è sempre nulla. La figura 2.3 mosra la siuazione esisene per raslazioni posiive e minori di 1. 7

8 x(-) y() 1+ Fig.2.3 La regione in cui enrambi i segnali non sono nulli è quella compresa ra 0 e. Gli esremi di inegrazione dell'inegrale di convoluzione saranno allora 0 e : C xy () = ( - )d Per risolvere facilmene queso inegrale si può osservare che esso non è alro se non l'area di un riangolo di base e alezza / 1; la sua area perano vale 2 /21 e queso è allora il valore della convoluzione nell'inervallo di empo in esame. La convoluzione cresce in modo parabolico raggiungendo per = 1 il valore 1/2. nche adesso per compreso ra 1 e si può facilmene osservare come il valore della convoluzione rimanga cosane; infai, indipendenemene dal valore di, la duraa della sovrapposizione dei due segnali reangolari rimane 1(fig.2.4) e perano il valore della convoluzione è 1/2. x(-) y() 1+ Fig.2.4 8

9 Successivamene per raslazioni comprese ra e ( + 1) si realizza la siuazione descria in fig In queso caso si scriverà: C xy () = 1 ( - )d 1 1 y() x(-) 1+ Fig.2.5 Si può osservare che, in queso caso, il calcolo dell'inegrale di convoluzione coincide con il calcolo dell'area del rapezio reangolo di alezza ( + 1 ), base maggiore e base minore ( )/1 (per calcolare ale valore basa ricorrere alla similiudine dei riangoli). llora l'inegrale di convoluzione vale: C xy () =( + 1 )[( )/1+1]/2 = ΑΒ[1 2 ( ) 2 ]/21 La convoluzione assume il valore 1/2 per = e vale 0 per = 1 +. Per valori di ancora maggiori si realizza nuovamene la siuazione iniziale di segnali non sovrapposi e quindi la convoluzione è nulla. In definiiva si ha: C xy () = 0 per 0 e per > (1 + ) C xy () = 2 /21 C xy () = 1/2 per 0 < 1 per 1 < Tale andameno è riporao nella fig.2.6 C xy () = ΑΒ[1 2 ( ) 2 ]/21 per < (1 + ) 9

10 x()*y() ΑΒ1/ Fig.2.6 Si può ancora osservare che l'inervallo di empo in cui la convoluzione è diversa da 0 dura la somma degli inervalli in cui sono diversi da 0 i segnali convolui. 10

11 Esercizio n.3 Calcolare la convoluzione ra i segnali : e x() = e - a ( - 0) u-1 ( - 0 ) y() = e - b ( - 1) u-1 ( - 1 ) a, b sono due quanià posiive con a>b. I due segnali sono riporai nella fig x() y() 0 1 Fig.3.1 Come al solio bisogna inverire l'asse di uno dei due segnali prima di operare le raslazioni. (fig.3.2). x( - ) y() _ 0 1 Fig

12 In queso caso è facile osservare come raslazioni negaive conducono ad una convoluzione nulla, ma queso risulao si oiene anche per raslazioni posiive e inferiori a In enrambi i casi x( ) e y() non sono mai conemporaneamene diversi da 0. Per valori di maggiori di la convoluzione non è nulla (Fig.3.3). x( - ) y() _ 0 _ e sarà daa dalla espressione: C xy () = Fig e -b ( - 1) e - a( - - 0) d 1 che dà: C xy () = e b 1 + a( 0 - ) e ( a - b) d e quindi: C xy () = e b 1 + a( 0 - ) 1 ( a - b) e (a-b)(- 0 + ) - e (a-b) 1 che può essere modificao come: C xy () = (a-b) e-b(- 0-1 ) -e -a(- 0-1 ) Nel caso in cui 0 e 1 fossero enrambi nulli si avrebbe il risulao: C xy () = (a-b) e-b - e -a Si può verificare come la presenza dei ermini di riardo 0 e 1 causa una raslazione di della convoluzione calcolaa per riardi nulli, come indicao nell'inroduzione. 12

13 La fig.3.4 rappresena il risulao della convoluzione per = 8, a =2, b =1, 0 e 1 nulli. Fig.3.4 Nel caso in cui i coefficieni a e b fossero ra loro uguali le due precedeni formule, ponendo semplicemene b = a, ci porerebbero a forme indeerminae. Con normali operazioni di limie si oiene: C xy () = (- 0-1 )e -a(- 0-1 ) e: C xy () = e -a Quese formule valgono per > e > 0 rispeivamene essendo nulla la convoluzione per valori di empo inferiori. La fig.3.5 rappresena il risulao della convoluzione nel caso a =b =1 e ancora uguale a 8. 13

14 Fig.3.5 Esercizio n.4 Calcolare la convoluzione ra i segnali : e x() = rec ( - /2) y() = [rec ( - 5/2) rec ( - 7/2)] I due segnali sono riporai nella figura 4.1 x() y() Fig.4.1 Per risolvere facilmene ale problema si può ricorrere a quano indicao nell'inroduzione circa la linearià dell'operazione convoluzione. llora: x() * y() = rec ( - /2) * [rec ( - 5/2) rec ( - 7/2)] = 14

15 = 2 {rec ( - /2) * rec ( - 5/2) + rec ( - /2) * rec ( - 7/2)} Dall'esercizio 1 possiamo ricavare l'espressione della convoluzione ra due reangoli che dà: rec ( ) * rec ( ) = ri ( ) Tenendo cono della regola di raslazione si oiene allora in conclusione: C xy () = 2 {ri ( - 3) - ri ( - 4)} La fig.4.2 illusra C xy (). x() * y() Fig

16 Esercizio n.5 Calcolare la convoluzione ra i segnali : e x() = rec ( - /2) y() = ( - ) rec ( - /2) I due segnali sono riporai nella figura 5.1 x() y() Fig.5.1 nche ora è facile osservare che per minore di zero C xy () è sempre nulla. Per 0 < si ha la siuazione descria in figura 5.2. y (-) x() + Fig

17 Si ha allora: C xy () = (- +) d = 0 = (-) = Per < 2 si ha invece la siuazione descria in figura 5.3. x() y( -) _ + e la convoluzione divena: Fig.5.3 C xy () = 2 - (- +) d = (x - + ) x dx = = (2 -)3 3 + (-) (2 -)2 2 Per valori di superiori la convoluzione orna ad essere nulla. Si può osservare che C xy () vale 3 /3. Il risulao della convoluzione è riporao nella fig.5.4 per = 2. 17

18 Esercizio n.6 Fig.5.4 Calcolare la convoluzione ra i segnali : e x() = rec ( - /2) y() = cos (2 π f ) pplicando la definizione di convoluzione si può scrivere: e quindi anche : + C xy () = rec ( - /2) cos (2 π f( - )) d - C xy () = cos (2 π f ( -))d 0 = 2 π f 2 π f( -) -2 π f cos x dx = = 2 π f sin (2 π f( -)) + sin (2 π f) Uilizzando noe formule goniomeriche si può ancora scrivere: = 2 π f sin (2 π f)cos (2 π f) +(1- cos (2 π f)) sin(2 π f) = 18

19 = 2 π f M cos(2 π f + φ) con e M = 2-2 cos(2 π f) = 2 sin (π f) φ = g-1 cos(2 π f) - 1 sin (2 π f) = g -1-2sin 2 (π f) 2sin (π f)cos (π f) = g -1 cos2 (π f) -sin 2 (π f) - 1 2sin (π f)cos (π f) f) = - g-1sin(π cos (π f) = - π f = Si può osservare come la convoluzione ra una sinusoide e un impulso reangolare sia ancora una sinusoide della sessa frequenza con ampiezza e fase modificae. Queso è vero qualunque sia la forma del segnale x(). Esercizio n.7 Calcolare la convoluzione ra i segnali : e x() = ri ( ) y() = δ ( θ) Per definizione la convoluzione è: C xy ( ) = ri () ( )d Tenendo cono delle proprieà campionarici della funzione di dirac si oiene: C xy () = ri ( - θ) L impulso di Dirac ha rascinao il segnale con cui è convoluo nel suo puno di applicazione. Se è θ nullo si può osservare come la convoluzione del segnale con l impulso di dirac coincide col segnale sesso. x() * u 0 ( ) = x() Rispeo all operaore di convoluzione l impulso di Dirac cenrao rappresena l elemeno uniario. 19