Comunicazioni Elettriche anno accademico Esercitazione 1

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1 Comunicazioni Elettriche anno accademico Esercitazione Esercizio Un processo aleatorio a tempo discreto X(n) è definito nel seguente modo: Viene lanciata una moneta. Se il risultato è testa X(n)= per tutti i valori di n, se il risultato è croce X(n)= - per tutti i valori di n. a. Rappresentare le funzioni campione del processo. b. Trovare la pmf per X(n). c. Trovare la pmf congiunta di X(n) e X(n+k). d. Trovare la media e la funzione di autocovarianza di X(n). Esercizio Siano X e Y due variabili aleatorie iid che assumono valori e con probabilita /3 e /3, rispettivamente. Si consideri il segnale aleatorio Z ( = X cos( + Y sin(, < t <. Mostrare che il processo Z ( è stazionario in senso lato, ma non stazionario in senso stretto. Esercizio 3 At Si consideri il processo aleatorio X ( = e con 0 (a) Trovare il valore medio µ X () t (b) Trovare µ X ( 0) (c) Calcolare la funzione di autocovarianza. t e A variabile aleatoria uniforme in [, M ] 0. Esercizio 4 Sia X( il processo aleatorio X ( = Ag(, con A variabile aleatoria che assume valori + e con uguale probabilità e g ( = rect( t 0.5). Trovare: ) la pmf di X( ) la media E [ X (] 3) la pmf congiunta di X( e X(t + τ) con τ > 0

2 Corso di Comunicazioni Elettriche Università di Cassino Esercizi svolti in classe il 8//004 Esercizio Un processo aleatorio ha le funzioni campione del tipo X(=Y dove Y è una variabile aleatoria con pdf uguale a: f Y ( y) = y 7 ) Il processo è continuo o discreto? ) Trovare E [ X (]. E X (. 3) Trovare [ ] ( δ ( y + 3) + δ ( y + ) + δ ( y + ) + δ ( y) + δ ( y ) + δ ( y 3) + δ ( 3) ) Esercizio t Sia X( il processo aleatorio X = rect D. X( è un processo a valori continui o discreti?. Trovare distribuzione del primo ordine di X( 3. Stabilire se X( è stazionario in senso stretto 4. Calcolare la media e la funzione di autocorrelazione del processo X( (, con D variabile aleatoria con pdf ( α ) λe λα u( α ) f D =. Esercizio 3 Siano X e Y due variabili aleatorie indipendenti. Sia X distribuita uniformemente nell intervallo (,) e sia E [ Y ] = e E [ Y ] = 6. Si consideri il processo aleatorio V = Ye R v t, t ) e E [ V ( ]. ( Xt (. Trovare [ V (] E, Esercizio 4 Sia X( un processo aleatorio avente caratterizzazione del I ordine: f x ( x) = rect X (, e caratterizzazione del II ordine tale che risulti f X ( t ) X ( t ) ( x, x ) f ( ) ( x ) f ( ) ( x ), t X t X t t Se ( = X ( cos( πf è un nuovo processo aleatorio, calcolare: Y 0 ) E[Y(]; ) var(y(); 3) R Y (t,τ). =.

3 Esercizio 5 Si consideri il seguente processo aleatorio complesso: X ( n) = A( n) e jθ ( n) dove θ ( n) = πb( n) ed A (n) e B (n) sono entrambi processi di Bernoulli a valori equiprobabili e statisticamente indipendenti tra loro. Stabilire se X (n) è stazionario in senso lato (SSL). Esercizio 6 Uno scommettitore vuole contattare la sua agenzia per fare una puntata su una corsa di cavalli. Considerando che il telefono può risultare occupato, egli decide di telefonare una volta ogni 3 minuti. Se la probabilità di trovare occupato è 0.95, indipendentemente dalle altre telefonate che egli fa, determinare il tempo medio che lo scommettitore aspetterà per fare la puntata. Esercizio 7 4 La probabilità di fare Jackpot su una slot-machine è (le prove si suppongono indipendenti). Supponiamo, per semplicità, che il Jackpot sia l unica vincita possibile su questa slotmachine. Se gettone costa $, e in un mese arrivano esattamente 4000 persone che giocano ognuna 0$ su quella macchina, a quanto deve ammontare il Jackpot perché il gestore guadagni mediamente 5000$ al mese? Qual è la probabilità di vincere con 000$, se dall ultimo Jackpot sono stati spesi 0000$ senza vincere?

4 Corso di Comunicazioni Elettriche Università di Cassino Esercizi svolti in classe il 8/0/004 Esercizio. Nel sistema di figura, l interruttore I si trova commutato (la posizione non varia nel tempo) su A con probabilità p e su B con probabilità -p. Le a(n) sono v.a. i.i.d. B(p a,) e le b(n) sono v.a. i.i.d. B(p b,). - Valutare la PSD della sequenza c(n); - dire se c(n) è ergodica per la componente continua. Esercizio. È dato il processo aleatorio X ( = X cos(πf 0 X sin(πf 0 dove X e X sono due variabili aleatorie indipendenti Gaussiane a valor medio nullo e varianza σ X = σ X = 4. Questo processo è l ingresso dei due sistemi LTI di figura. Ricavare la densità di probabilità del primo ordine f Y ( y; del processo Y( nei due casi. X( H (f) Y( f 0 / X( H (f) Y( f 0

5 Esercizio 3. Siano X( e Y( processi aleatori congiuntamente stazionari in senso lato e congiuntamente gaussiani, con funzioni di auto e mutua correlazione RX ( τ ), RY ( τ ) e RXY ( τ ) e corrispondenti spettri S X ( f ), SY ( f ) e S XY ( f ). Sia Z( = X ( cos(π f0 + Y ( sin(πf 0 con f0 costante deterministica. a) Stabilire se Z( è un processo aleatorio gaussiano. b) Trovare la media µ z ( e la funzione di autocorrelazione R z ( t, t ) di Z(. Stabilire se Z( è stazionario in senso lato. c) Supporre: S X ( f ) = S Y A f < f ( f ) = 0 altrove S XY jaf / f f < f ( f ) = 0 altrove dove f < f e A 0 sono costanti deterministiche. Trovare ( f ). 0 > S Z Esercizio 4. Un processo aleatorio Gaussiano SSL a media nulla X(, con spettro di densità di potenza S X (f) = 4, transita nel filtro avente funzione di trasferimento f H ( f ) = rect B / f + B / + rect B B Dal processo aleatorio di uscita dal filtro, Y(, vengono estratti due campioni temporali Y =Y(T) e Y =Y(T) con T = /(B). Calcolare la funzione densità di probabilità della variabile aleatoria Z = Y Y. Esercizio 5 (.46 Proakis) Mostrare che la trasformata di Hilbert di un segnale pari è dispari e la trasformata di Hilbert di un segnale dispari è pari. Esercizio 6 (.59 Proakis) t Sia ( sinc ( ) ) = una segnale passabanda. m = e sia x( m( cos πf 0t m( sin πf 0t - Trovare il preinviluppo z () t e l equivalente passabasso di x ( - Determinare e rappresentare graficamente la trasformata di Fourier di x () t. Quale è la banda di x () t? ) - Ripetere per () t = m( cos πf t + m( sin πf t x 0 0

6 Esercizio 7 (.56 Proakis) Il segnale passabanda x( = sinc( cos(πf 0 passa attraverso il filtro passabanda con risposta ( 0 impulsiva h = sinc ( sin(πf. Usando gli equivalenti passabasso del segnale in ingrasso e della risposta impulsiva del filtro, trovare l equivalente passabasso del segnale in uscita e da questo il segnale in uscita y (.