Note di trigonometria.

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1 Note di tigonometi. Muo Sit e-mil: Novembe Indice 1 Seno, coseno e tngente di un ngolo Gfici delle funzioni seno e coseno Gfico dell funzione tngente Fomule di ddizione (sottzione). 5 3 Sui tingoli ettngoli Moto monico Sui tingoli qulunque Teoem dei seni Teoem del coseno Un lto teoem Poblem 1: noti i lti di un tingolo tove gli ngoli 15 6 Etostene. Il ggio teeste istco di Smo. L distnz Te-Lun Nome File: tigonometi tex 1

2 1 Seno, coseno e tngente di un ngolo. y ( 1, 0) (0, 1) P T sin cos tn O (1, 0) (0, 1) x Il seno di è l odint di P, segmento osso. Il coseno di è l sciss di P, segmento blu. L tn è l odint di T, segmento ncione. Vlgono i seguenti ftti: cos 2 + sin 2 = 1 tn = sin cos. Figu 1 In un sistem di ssi ctesini si tcci l ciconfeenz di cento O e ggio unitio. Si l ngolo che il ggio vettoe OP descive uotndo ttono ll oigine O ptie dl semisse positivo delle x. Si conviene di indice con il segno + gli ngoli descitti d OP medinte un otzione in senso ntioio, con il segno gli ngoli ottenuti medinte un otzione in senso inveso. In tl modo ogni vettoe OP individu un unico ngolo 0 < 360 e viceves ogni ngolo 0 < 360 individu un unico vettoe OP. Definizione 1.1 (Definizione di seno e coseno di un ngolo.). In un sistem di ssi ctesini si considei l ciconfeenz di cento O e ggio unitio e si l ngolo descitto dl ggio vettoe OP. Si chim coseno di (si scive cos ) l sciss del punto P ; si chim seno di (si scive sin ) l odint di P. Definizione 1.2 (Definizione di tngente di un ngolo.). In un sistem di ssi ctesini si considei l ciconfeenz di cento O e ggio unitio e si l ngolo descitto dl ggio vettoe OP. Si tcci l tngente ll ciconfeenz in = (1, 0) e si indichi con T l intesezione di tle tngente con il polungmento del vettoe OP. Si chim tngente di (si scive tn oppue tg ) l odint del punto T. 2

3 1.1 Gfici delle funzioni seno e coseno. y +1 π 2 0 π 2 π 3 2 π 2π x Gfici delle funzioni y = sin x e y = cos x. 1 Figu 2 Vlgono le seguenti uguglinze sin(x + π ) = cos x (1.1) 2 cos(x π ) = sin x (1.2) 2 pe ogni x R. Petnto i due gfici si ottengono uno dll lto medinte oppotune tslzioni nell diezione dell sse x. Pecismente: - se si tsl il gfico di y = sin x pllelmente ll sse x di un ttto pi π 2 si ottiene il gfico di y = cos x; - se si tsl il gfico di y = cos x pllelmente ll sse x di un ttto pi + π 2 si ottiene il gfico di y = sin x. Esecizio 1.3. Tccie il gfico delle seguenti funzioni nell intevllo [0, 2π] () (b) y = cos( x) y = sin( x) (c) y = sin( π 2 + x) (d) y = cos(π x) (e) y = sin(π + x) (f) y = sin( 3 2 π + x) Esecizio 1.4. Utilizzndo Geogeb tccie i gfici di y = sin(ωx + φ) e y = cos(ωx + φ) pe divesi vloi delle costnti, ω e φ. Qul è il significto di queste costnti? 3

4 1.2 Gfico dell funzione tngente. y π 2 π 3 2 π 2π x Gfico dell funzione y = tn x Figu 3 Esecizio 1.5. Tccie il gfico delle seguenti funzioni nell intevllo [ π 2, + π 2 ] () y = tn( x) (b) y = tn(π + x) (c) y = tn(π x) Esecizio 1.6 (Invese delle funzioni goniometiche.). Tccie il gfico delle seguenti funzioni () (b) (c) [ 1, 1] csin [ π/2, π/2] [ 1, 1] ccos [ π/2, π/2] R ctn ( π/2, π/2) 4

5 2 Fomule di ddizione (sottzione). Sino V = (v 1, v 2 ) e W = (w 1, w 2 ) due vettoi spiccti dll oigine. Il loo podotto scle si può scivee nei seguenti due modi: dove θ è l ngolo compeso t V e W. Si ossevi o l seguente figu V W = v 1 w 1 + v 2 w 2 = V W cos θ (0, 1) β β O (1, 0) Figu 4 = (cos, sin ), = (cos β, sin β), mente il podotto scle di pe è = cos cos β + sin sin β (2.1) = cos( β) (2.2) Uguglindo i secondi membi di (2.1) e (2.2) si ottengono le fomule di sottzione del coseno, ovveo cos( β) = cos cos β + sin sin β (2.3) Fomule di ddizione del coseno. st poe nell uguglinz 2.3 β = γ. Si ottiene cos( + γ) = cos cos( γ) + sin sin( γ) e quindi cos( + γ) = cos cos γ sin sin γ (2.4) Fomule di sottzione del seno Si ottengono icodndo che pe ogni ngolo θ, sin θ = cos( π 2 θ) e cos θ = sin(π 2 θ) (2.5) Ponendo β = θ nell pim delle uguglinze 2.5 si ottiene 5

6 ) sin( β) = cos (( π 2 ) + β = cos( π 2 ) cos β sin( π 2 = sin cos β cos sin β ) sin β (2.6) Fomule di ddizione del seno. st poe nell uguglinz 2.6 β = γ. Si ottiene sin( ( γ)) = sin cos( γ) cos sin( γ) e quindi sin( + γ) = sin cos γ + cos sin γ (2.7) 6

7 3 Sui tingoli ettngoli. P H () (b) Figu 5: L ciconfeenz è centt in e h ggio 1. Il tingolo ettngolo P H è simile l tingolo. Si considei un tingolo ettngolo come quello mostto in figu 5 (). Si scelg un sistem di coodinte in modo tle che l sse x coincid con il lto e l sse y isulti pssnte pe e otogonle (figu 5 (b)); si tcci l ciconfeenz di cento e ggio unitio. I tingoli P H e sono simili cos = H 1 sin = P H 1 = = (3.1) (3.2) tn = P H H = (3.3) In molti poblemi, che diveso titolo coinvolgono un tingolo ettngolo, è utile icode le uguglinze seguenti cos = sin = cteto dicente ipotenus cteto opposto ipotenus (3.4) (3.5) tn = cteto opposto cteto dicente (3.6) 7

8 3.1 Moto monico Definizione 3.1 (Moto monico). Si P un pticell che si muove di moto cicole unifome. Si chim moto monico il moto dell poiezione otogonle di P su un dimeto dell ciconfeenz. on ifeimento ll figu si suppong che l pticell P desciv l ciconfeenz di ggio con velocità in modulo pi v. Si vuole descivee, l vie del tempo t, il moto del punto H, poiezione otogonle di P sul dimeto. y v y v H y P O x Figu 6: Il punto H, poiezione di P sul dimeto, si muove di moto monico. Si suppong inolte che ll istnte t = 0 l pticell si tovi in. ll istnte t il ggio OP h descitto l ngolo ÂOP = ; l posizione del punto H in quell istnte di tempo è individut dll odint di P cioè y = sin Poichè = ωt si ottiene (legge oi del moto monico): y = sin(ω t) (3.7) Velocità e ccelezione di H ll istnte t sono dte d v y = v cos = v cos(ωt) e y = cos = cos(ωt). Ricodndo che in un moto cicole unifome v = ω e = ω 2, le ultime due uguglinze ssumono l fom v y = ω cos(ωt) (3.8) y = ω 2 sin(ωt) (3.9) Dinmic del moto monico. Posto s = OH (figu 6), le leggi che descivono il moto monico ssumono l fom seguente 8

9 s = sin(ω t) (3.10) v = ω cos(ωt) (3.11) = ω 2 sin(ωt) (3.12) Dividendo temine temine l pim e l tez di queste uguglinze si ottiene s = 1 ω 2, ovveo = ω 2 s. In fom vettoile si ottiene = ω 2 s (3.13) i si pone l seguente domnd: se il punto H ppesent un oggetto di mss m che si muove di moto monico, qul è l foz che gisce su di esso? L ispost è immedit. Moltiplicndo pe m l uguglinz 3.13 e icodndo l second legge dell dinmic si ottiene F = mω 2 s (3.14) Petnto un oggetto di mss m che si muove di moto monico è soggetto un foz di tipo elstico F = k s l cui costnte elstic è k = mω 2 Le elzioni igudnti il moto monico che coinvolgono mss, pulszione, costnte elstic, peiodo e fequenz sono le seguenti: ω = k m m T = 2π k f = 1 k 2π m 9

10 4 Sui tingoli qulunque 4.1 Teoem dei seni Lemm 4.1. In un tingolo ogni lto è ugule l podotto del dimeto del cechio cicoscitto l tingolo pe il seno dell ngolo opposto tle lto. O β β D Figu 7 Indicto con il ggio del cechio cicoscitto si h, pe esempio: = 2 sin β (4.1) Questo lemm è volte chimto teoem dell cod; l su dimostzione è lscit pe esecizio. Teoem 4.1 (dei seni). I lti di ogni tingolo sono popozionli i seni degli ngoli opposti. γ b c β Figu 8 on ifeimento ll figu, il teoem dei seni ffem che sin = b sin β = c sin γ (4.2) Pim dimostzione. Si il ggio del cechio cicoscitto l tingolo. Dl lemm pecedente segue che: 10

11 Petnto, sin = b sin β = sin = 2, c sin γ b sin β = 2, c sin γ = 2 (4.3) Second dimostzione. L e del tingolo si può espimee in te modi divesi: = 1 2 b sin γ = 1 2 bc sin = 1 c sin β (4.4) 2 D queste uguglinze segue che: sin = b sin β = c sin γ Utilizzndo il teoem dei seni si dimost fcilmente il seguente Teoem 4.2. L bisettice di uno qulsisi degli ngoli inteni di un tingolo divide il lto opposto in pti popozionli i lti dicenti. Dimostzione. Indict co D l bisettice dell ngolo γ (si ved l figu) occoe dimoste che D : D = : (4.5) γ 2 γ 2 δ D π δ Figu 9 Pe ipotesi ÂD = D = γ 2 ; posto ÂD = δ si h: ĈD = π δ. Il teoem dei seni, pplicto l tingolo D, pemette di icve l uguglinz D = sin γ 2 sin δ mente, lo stesso teoem, pplicto l tingolo D fonisce l uguglinz (4.6) Segue che D = D D = sin γ 2 sin δ (4.7) 11

12 4.2 Teoem del coseno Teoem 4.3 (del coseno). In ogni tingolo il qudto di un suo lto è ugule ll somm dei qudti degli lti due lti meno due volte il podotto degli lti due lti pe il coseno dell ngolo t essi commpeso. γ b c β Figu 10 on ifeimento ll figu, il teoem del coseno ffem che Dimostzione. [Pe esecizio] on il teoem del coseno si dimost il seguente 2 = b 2 + c 2 2 bc cos (4.8) Teoem 4.4. In ogni pllelogmm l somm dei qudti delle digonli è ugule ll somm dei qudti di tutti i suoi lti. D d 1 d 2 l 2 l 1 π Figu 11 Dimostzione. Gli ngoli ll bse di un pllelogmm sono supplementi; posto D =, è Â = π. Si considei il tingolo ; utilizzndo il teoem del coseno si ottiene ossi 2 = cos(π ) (4.9) d 2 1 = l l l 1 l 2 cos (4.10) 12

13 ispetto l tingolo D il teoem del coseno fonisce l uguglinz ossi D 2 = D D cos (4.11) d 2 2 = l l l 1 l 2 cos (4.12) Sommndo temine temine le uguglinze (4.10) e (4.12) si ottiene d d 2 2 = 2 l l 2 2 (4.13) 4.3 Un lto teoem Teoem 4.5. Si T un tingolo qulsisi e il ggio del cechio inscitto. Indicti con, β e γ gli ngoli inteni del tingolo si h tn 2 = p tn β 2 = p c tn γ 2 = p b (4.14) In lte pole, l tngente dell metà di un ngolo inteno del tingolo è ugule l quoziente del ggio del cechio inscitto e l diffeenz t il semipeimeto e il lto opposto. b F γ O E D c β Figu 12 Dimostzione. Dopo ve tccito le bisettici degli ngoli inteni si conducno dll incento O (cento del cechio iscitto) le pependicoli i lti. Si h tn 2 = D tn β 2 = E tn γ 2 = F (4.15) È immedito veifice che l somm di D, E e F è ugule l semipeimeto del tingolo p = D + D + F (4.16) 13

14 llo l uguglinz (4.15) si può scivee così tn 2 = p tn β 2 = p c tn γ 2 = p b (4.17) Ossevzione L e del tingolo si può scivee in due modi: medinte l uguglinz oppue medinte l fomul di Eone = p (4.18) = p(p )(p b)(p c) (4.19) Uguglindo i secondi membi delle due pecedenti uguglinze si scive il ggio del cechio inscitto nel tingolo in funzione dei suoi lti, ossi = p(p )(p b)(p c) p = (p )(p b)(p c) p (4.20) Sostituendo (4.20) in (4.14) si ottiene: tn 2 tn β 2 tn γ 2 = = = (p b)(p c) p(p ) (p )(p c) p(p b) (p )(p b) p(p c) (4.21) 14

15 5 Poblem 1: noti i lti di un tingolo tove gli ngoli Poblem 5.1. Noti i lti, b, c di un tingolo tove i suoi ngoli, β, γ. γ b c β Figu 13 Pimo metodo. Utilizzndo il teoem del coseno (pe esempio, 2 = b 2 + c 2 2bc cos ) si ottiene Utilizzndo il teoem dei seni nell fom cos = b2 + c 2 2 2bc sin = sin β = b sin Il tezo ngolo γ è il supplemente dell ngolo + β b sin β si tov l ngolo β (5.1) (5.2) γ = π ( + β) (5.3) Secondo metodo. Si clcol il semipeimeto p e le diffeenze p, p b, p c; poi, dlle uguglinze (4.21), si icvno gli ngoli ichiesti. 15

16 6 Etostene. Il ggio teeste. Dll ossevzione delle eclissi totle di lun i Geci pe pimi dedusseo l sfeicità dell te. Dunte questi eventi l supeficie lune costituisce un gigntesco schemo sul qule si poiett l omb dell te che isult sempe delimitt d contoni cuvi ed estememente egoli. L ssunzione dell sfeicità del nosto pinet pemise divesi stonomi geci di detminne le dimensioni. istotele, ifcendosi pobbilmente clcoli eseguiti d Eudosso, sseì che il peimeto teeste dovev essee di cic migli mente lcuni contemponei di chimede lo vlutono di migli. T tutte le divese misuzioni l più iuscit e fmos è quell di Etostene ( ). Nel sggio Sull misuzione dell te egli fece le seguenti ipotesi: 1. l veticle in un punto qulsisi dell supeficie teeste è diett veso il cento dell te; 2. i ggi soli che colpiscono l supeficie teeste povengono d così lontno che si possono considee t loo plleli; 3. lessndi e Siene (l ttule ssun) si tovno sullo stesso meidino cioè l città di lessndi si tov esttmente nod di Siene. Ftte queste ipotesi, Etostene ossevò che nel solstizio d estte nell città di Siene i ggi del sole eno pependicoli ispetto l teeno, mente lessndi essi fomvno con l veticle l ngolo = L distnz t le due città e stt vlutt in 785 km ggi soli S O Figu 14 on ifeimento ll figu, si considei l intesezione dell sfe teeste con il pino che contiene il cento O dell te, il punto S (Siene) e il punto (lessndi). L ngolo ŜO e l ngolo che il ggio di sole fom con l veticle ll te in sono uguli pechè coppi di ngoli coispondenti fomti dlle due ette pllele s 1, s 2 e dll tsvesle O. Dll popozione ( ) : 360 = 785 : 2πR si icvno l lunghezz dell ciconfeenz e del ggio teeste. I vloi stimti d Etostene sono 16

17 2πR = km R = km I vloi oggi conosciuti dell ciconfeenz e del ggio teeste sono ispettivmente km e km. 7 istco di Smo. L distnz Te-Lun. istco di Smo ( ), stonomo geco, popose più di 1500 nni pim di openico il sistem eliocentico. Nel sggio Sull dimensioni e sulle distnze del Sole e dell Lun (pevenuto fino noi) egli sostenne che il sole e l cento dell univeso e che l te uotv ttono esso. Spiegò il ciclo delle stgioni con l inclinzione dell sse teeste e clcolò (nche se in modo molto ppossimtivo) l distnz Te-Lun. Le sue congettue non venneo ccettte di suoi contemponei. T 6 ggi soli T 1 T 5 T 2 T 4 T 3 Figu 15 Si ossevi l figu 15: qundo l te si tov in posizione T 1, l lun si tov esttmente t il sole e l te; ess ivolge un ossevtoe teeste il suo emisfeo non illuminto e quindi non ppe visibile: è l fse di lun nuov (novilunio). Qundo l te si tov in T 2 un ossevtoe posto in quell posizione vede solo un piccol pte dell emisfeo lune illuminto (lun cescente), mente qundo l te è in T 4 l lun è oppost l sole ispetto ll te e ppe completmente illumint: è l fse di lun pien (plenilunio). Se invece te-lun-sole fomno un ngolo etto (cioè se l te è in posizione T 3 o T 6 ) si dice che l lun è in qudtu; llo un ossevtoe teeste vedà esttmente mezz 17

18 lun. Qundo si veific quest configuzione e sole e lun sono entmbi visibili (ll lb o l tmonto) è possibile misue l ngolo θ (figu 16). Si icv Distnz te-lun = LT = ST cos θ L S θ T Figu 16 I isultti tovti d istco sono molto impecisi pe due gioni: l fse di qudtu non è deteminbile con pecisione pe mezzo dell sol ossevzione e piccoli eoi nell vlutzione dell ngolo θ (possimo 90 ) cusno notevoli vizioni nel clcolo di cos θ. 18