RAPPRESENTAZIONE PROBABILISTICA DI UN CAMPIONE CASUALE SEMPLICE

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1 INFERENZA STATISTICA La Statistica Ifereziale studia come estedere i risultati e le coclusioi che provegoo dall aalisi di u campioe di osservazioi alla popolazioe a cui il campioe appartiee. Vi soo molteplici motivi per ricorrere ad ua idagie campioaria: costi di u idagie cesuaria; tempi prolugati di u idagie cesuaria; l osservazioe è distruttiva; i moltissimi casi, la popolazioe di riferimeto è virtuale eifiita. 1

2 IL CAMPIONAMENTO Si ituisce che il campioe deve essere rappresetativo della popolazioe di riferimeto e quidi libero da qualsiasi elemeto soggettivo. Esistoo vari metodi di campioameto (Teciche di Campioameto), ma oi cosidereremo solo il campioameto casuale: leuitàstatistichecheetrao afarpartedelcampioesooestratteimodocasuale dalla popolazioe di riferimeto. Se le estrazioi delle uità statistiche che etrao el campioe soo idipedeti si parla di campioe casuale semplice. Affichéleestrazioisiaoidipedeti se la popolazioe è fiita le estrazioi devoo essere co reiserimeto se la popolazioe è ifiita oppure se la popolazioe è molto più ampia della umerosità del campioe, le estrazioi possoo essere co o seza reiserimeto Nel seguito ci limiteremo a cosiderare campioi casuali semplici, che verrao abbreviati co c.c.s. 2

3 RAPPRESENTAZIONE PROBABILISTICA DI UN CAMPIONE CASUALE SEMPLICE Suppoiamo di estrarre a caso ua uità dalla popolazioe di riferimeto e di osservare su di essa la caratteristica di iteresse. Sia x il valore osservato sull uità. Aprioririspetto all esperimeto, ossia prima dell estrazioe dell uità e della rilevazioe della caratteristica, o siamo i grado di prevedere quale valore osserveremo. Pertato, x è la realizzazioe di ua variabile casuale X la cui distribuzioe di probabilità descrive quali soo i valori che possoo essere assuti dalla caratteristica su u uità estratta a caso e co quale probabilità (se X è discreta) o desità (se X è cotiua ) verrao osservati. Geeralizziamo il ragioameto da ua sola uità a uità, per otteere u c.c.s. di dimesioe. Se x 1,x 2,...,x soo le osservazioi umeriche raccolte sulle uità estratte, ciascua è la realizzazioe di ua variabile casuale. Più precisamete, x 1 è l a r e a l i z z a - zioe della variabile casuale X 1 che descrive il risultato che osserveremo sulla prima uità estratta, x 2 è l a r e a l i z - zazioe della variabile casuale X 2 che descrive il risultato che osserveremo sulla secoda uità estratta e così via. 3

4 Trattadosi di repliche della variabile X queste variabili soo ideticamete distribuite, tutte co la stessa distribuzioe di X. Ioltre,essedoleestrazioiidipedeti, le variabili stesse soo idipedeti. I sitesi, PRIMA di effettuare l osservazioe, u c.c.s. può essere rappresetato da ua pla di variabilicasuali, X 1,X 2,...,X, i.i.d.; DOPO aver effettuato l osservazioe, u c.c.s. è rappresetabile da ua pla di valori, x 1,x 2,..., x,ciascuorealizzazioediuavariabilecasuale. Esempio 1 Suppoiamo di voler studiare l altezza della popolazioe italiaa. Estraiamo u c.c.s. di dimesioe 8, osservado le segueti altezze (i cm): x 1 =170,x 2 =181,x 3 =189,x 4 =160, x 5 =182,x 6 =171,x 7 =158,x 8 =186 Questi valori soo realizzazioi di altrettate variabili casuali, X 1,...,X 8,i.i.d.chedescrivooilc.c.s.prima di fare l osservazioe. La distribuzioe di caratteristiche atropometriche è spesso approssimabile co ua distribuzioe gaussiaa. È quidi ragioevole assumere che X N(µ, σ 2 ), dove X è la variabile casuale che descrive l osservazioe su ua geerica uità estratta a caso. Aalogamete, X 1,...,X soo i.i.d. co distribuzioe N(µ, σ 2 ). 4

5 I questo esempio, µ = E(X) =E(X i )èl igota altezza media della popolazioe italiaa e σ 2 = V (X) = V (X i )èl igota variaza dell altezza ella popolazioe italiaa. Quidi, etrambi i parametri della ormale, µ e σ 2,rappresetaodellequatitàdiiteressedellapopolazioe di riferimeto e soo igoti. Potremmo pesare di stimare le igote quatità di popolazioe, µ e σ 2,colecorrispodetiquatitàcampioarie: x =175cm e s 2 =10, 85 2 Tuttavia, se ripetessimo l esperimeto ed estraessimo u uovo c.c.s. di 8 idividui otterremmo, i geerale, altezze diverse dalle precedeti e quidi stime diverse delle quatità di popolazioe. Ci domadiamo, pertato, quato soo accurate le stime della media e della variaza dell altezza della popolazioe italiaa? possiamo idividuare u itervallo di valori ragioevoli per µ eperσ 2? i base ai risultati otteuti, è ragioevole affermare, ad esempio, che l altezza media della popolazioe italiaa è superiore a 170 cm? Esempio 2 U idustria che produce pompe idrauliche acquista guarizioi i plastica da u foritore. Per garatire la qualità delle pompe prodotte, l idustria ha la ecessità di verificare quale è la percetuale di guarizioi acquistate che soo difettose. A questo fie, si estraggoo casualmete 20 guarizioi tra quelle acquistate e per ciascua si 5

6 verifica la coformità alle specifiche, otteedo i segueti risultati x 1 =0,x 2 =0,x 3 =0,x 4 =0,x 5 =0,x 6 =1,x 7 =0, x 8 =0,x 9 =0,x 10 =0,x 11 =0,x 12 =0,x 13 =0,x 14 =0, x 15 =1,x 16 =0,x 17 =0,x 18 =0,x 19 =0,x 20 =0 dove 0= o difettosa, 1= difettosa. Si oti che la popolazioe di riferimeto è costituita da tutte le guarizioi acquistate, preseti e future (popolazioe virtuale ). Prima di estrarre il campioe o siamo i grado di prevedere i risultati, per cui ciascua x i può essere vista come realizzazioe di ua variabile casuale X i,co X 1,X 2,...,X 20 i.i.d.. Poiché il risultato è dicotomico (difettosa/o difettosa), è aturale assumere X i Be(π). I questo esempio, π = P (X i =1)rappreseta la frazioe di guarizioi difettose ell itera popolazioe (virtuale) di riferimeto, ed è igota. Come ell Esempio 1, ache i questo cotesto il parametro della distribuzioe delle X i è u a q u a t i t à d i i t e r e s s e d e l l a popolazioe: è da π, cheèpossibilegiudicarelaqualità delle guarizioi acquistate. Sembra ragioevole stimare l igoto π tramite la corrispodete frazioe campioaria di pezzi difettosi, ossia tramite p = 20 i=1 x i 20 = 2 20 =0, 1 Tuttavia, se ripetessimo il campioameto, estraedo u uovo c.c.s. di dimesioe 20, potremmo otteere u 6

7 umero differete di pezzi difettosi e quidi ua stima differete. Le domade che ci poiamo soo allora Quato accurata è la ostra valutazioe della vera, ma igota frazioe di guarizioi difettose acquistate? Possiamo idividuare u itervallo di valori ragioevoli per π? Se l idustria foritrice ha garatito ua percetuale di guarizioi difettose o superiore a 5%, metre il campioe e cotiee 10%, ci soo elemeti per cotestare la foritura e chiedere il risarcimeto? Esempio 3 Per valutare l uso di uo sportello bacomat, è stato rilevato il umero di utilizzi su u campioe di 10 giori scelti casualmete, otteedo i segueti valori x 1 =10,x 2 =6,x 3 =5,x 4 =7,x 5 =7, x 6 =6,x 7 =7,x 8 =8,x 9 =11,x 10 =9 Si oti che, come ell Esempio 2, la popolazioe di riferimeto è ifiita e virtuale, essedo costituita da tutti igioripassati,presetiefuturi. Segliutilizzitrai vari giori soo tra loro idipedeti e o vi è stato essu cambiameto sistematico durate il periodo della rilevazioe, le variabili casuali X 1,...,X 10,dicuile10 osservazioi campioarie soo realizzazioi, possoo essere assute i.i.d.. I aggiuta, trattadosi di coteggi, potrebbe essere ragioevole assumere X i Po(λ). I 7

8 questo esempio, λ = E(X i )rappresetailumeromedio gioraliero di utilizzi del bacomat ella popolazioe di iteresse ed è igoto. Acheiquestocaso,ilparametro della distribuzioe delle X i è u a q u a t i t à d i i t e r e s s e della popolazioe: tramite λ è p o s s i b i l e v a l u t a r e l u s o d e l bacomat. Èragioevolestimarel igotoλ attraverso la corrispodete media campioaria x =7, 6. Siamo, però, cosapevoli che se predessimo u uovo campioe di 10 giori otterremmo valori diversi e quidi ua media diversa. Pertato, valgoo le usuali cosiderazioi: quato affidabile è la ostra stima? possiamo idetificare u itervallo di valori ragioevoli per λ? idaticampioaridaosostego,adesempio,all ipotesi che il umero medio gioraliero di utilizzi sia iferiore a 10? 8

9 IFONDAMENTIDELL INFERENZA STATISTICA (PARAMETRICA) Itreesempivistihaoicomuealcuecaratteristiche che costituiscoo i fodameti dell Ifereza Statistica (parametrica). Dato u c.c.s. di osservazioi x 1,x 2,...,x,ogix i è realizzazioe di ua variabile casuale X i. Le variabili X 1,X 2,...,X soo i.i.d. co ua fuzioe di probabilità (se le X i soo discrete) o di desità (se le X i soo cotiue) che idicheremo i modo geerico co f(x). La fuzioe f(x) dipededauoopiùparametri igoti che rappresetao caratteristiche di iteresse della popolazioe di riferimeto. Nell Esempio 1, X i N(µ, σ 2 )eiparametriigoti soo µ e σ 2,cherappresetao,rispettivamete, la media e la variaza dell altezza della popolazioe italiaa: f(x) = 1 σ 2π exp { 1 2σ2(x µ)2 } x IR Nell Esempio 2, X i Be(π) eilparametroigotoè π che rappreseta la frazioe di guarizioi difettose ella popolazioe di tutte le guarizioi acquistate: f(x) =π x (1 π) 1 x, x =0oppure1 Nell Esempio 3, X i Po(λ) eilparametroigoto è λ che rappreseta il umero medio gioraliero di 9

10 utilizzi del bacomat ella popolazioe costituita da tutti i giori: f(x) = e λ λ x, x =0, 1, 2,... x! Obiettivo dell Ifereza Statistica è utilizzare le osservazioi campioarie per risalire al vero valore dei parametri igoti e da qui alla distribuzioe di probabilità del feomeo di iteresse. Ad esempio, ell Esempio 2, variado π (0, 1) si geera ua famiglia di distribuzioi beroulliae di parametro π. Attraversoidati,sivuoleidetificare il vero valore di π edaquestolaveradistribuzioe di probabilità delle X i. 10

11 Le domade a cui l Ifereza Statistica cerca di dare ua risposta rietrao i 3 pricipali categorie 1. Si vuole stimare il vero valore dei parametri igoti i base alle osservazioi del campioe e capire quato accurata è la stima proposta (STIMA PUN- TUALE). 2. Si vuole idetificare u isieme di valori ragioevoli per i parametri igoti (STIMA INTERVALLA- RE). 3. Si formula u ipotesi sul vero valore dei parametri igoti e si vuole verificare se tale ipotesi è vera oppure o, i base alle osservazioi capioarie. (VERI- FICA DI IPOTESI). 11

12 LE STATISTICHE CAMPIONARIE: IL CASO DELLA MEDIA CAMPIONARIA Prediamo u c.c.s. x 1,x 2,...,x,realizzazioedella -pla di variabili casuali X 1, X 2,..., X,i.i.d.. Suppoiamo di voler fare ifereza sulla media igota di popolazioe (o, i geerale, del feomeo di iteresse) che idichiamo co m = E(X i ). Ua scelta aturale è stimare m tramite la corrispodete media campioaria: x = 1 x i Tuttavia, ogi c.c.s. di dimesioe produce potezialmete u valore diverso di x. Poichéleosservazioix i soo realizzazioi delle variabili casuali X i,lastessamedia x può essere vista come la realizzazioe della variabile casuale X = 1 X i. La distribuzioe di probabilità di X,chiamatadistribuzioe campioaria, rappresetaladistribuzioedelle medie campioarie di tutti i c.c.s. di dimesioe estraibili dalla popolazioe di riferimeto. I altre parole, la distribuzioe di X determia il modo i cui la media campioaria x varia passado da u c.c.s. di dimesioe all altro. i=1 i=1 12

13 Popolazioe Camp.4 Camp.5 x 4 x 5 Camp.1 x 1 Camp.3 x 3 Camp.2 x 2 Esempio 4 Suppoiamo che la ostra popolazioe di riferimeto sia u ura co 3 pallie umerate da 1 a 3 e idichiamo co X la variabile casuale che descrive il valore di ua pallia estratta casualmete dall ura. Prediamo =2. Tuttiipossibilic.c.s. didimesioe 2soo(estrazioicoreiserimeto):(1,2),(2,1),(1,3), (3,1), (2,3), (3,2), (1,1), (2,2), (3,3). Poiamo X 1 =valore della prima pallia estratta, X 2 =valore della secoda pallia estratta e X =(X 1 + X 2 )/2 13

14 La distribuzioe campioaria di X è valori di X 1 1,5 2 2,5 3 Tot probabilità 1/9 2/9 3/9 2/9 1/9 1 Ad esempio, la probabilità di osservare u c.c.s. tale che x =2è3/9(ossialaprobabilitàdiestrarre(2,2)o(1,3) o(3,1)). N.B.: La media di popolazioe è m = E(X 1 )=E(X 2 )= 2. Esempio 1 Riprediamo l Esempio 1 e suppoiamo che µ =170cm e σ 2 =15 2 (ma media e variaza di popolazioe soo i geerale igote). Sappiamo che X 1,...,X 8 soo i.i.d. co distribuzioe N(µ =170;σ 2 =15 2 ). Per oti risultati della probabilità, la distribuzioe campioaria di X è (si cofroti co pag. 101 della Probabilità) X = 1 8 ) X i N (170, i=1 Pertato, la probabilità, per esempio, di osservare u campioe per il quale x <175 è ( ) P ( X <175) = Φ 15/ =0,

15 LE STATISTICHE CAMPIONARIE Quato visto per X può essere esteso a qualuque altra fuzioe di X 1,...,X. I geerale, si defiisce STATISTICA CAMPIO- NARIA ua qualsiasi fuzioe T = g(x 1,X 2,...,X ) delle variabili casuali X 1,...,X che geerao i dati. Essedo fuzioe di variabili casuali, T stessa è ua variabile casuale dotata di ua propria distribuzioe di probabilità, chiamata distribuzioe campioaria. Sul campioe effettivamete osservato x 1,x 2,...,x, T avrà come realizzazioe il valore umerico t = g(x 1,x 2,...,x )(sipesiallarelazioetralavariabile casuale X elamediaumerica x). La media campioaria è u esempio di statistica campioaria. U altro esempio molto importate di statistica campioaria è la variaza campioaria S 2 = 1 (X i X) 2 i=1 la cui realizzazioe sul c.c.s. effettivamete osservato è s 2 = 1 (x i x) 2. i=1 15

16 Esempio 4 Riprediamo l esempio di ua popolazioe costituita da u ura co 3 pallie umerate da 1 a 3. Ricordiamo che tutti i possibili c.c.s di dimesioe 2soo: (1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(1,1), (2,2), (3,3). La distribuzioe campioaria della variaza campioaria S 2 = 1 { (X1 2 X) 2 +(X 2 X) 2} è valori di S 2 0 0,25 1 Tot probabilità 3/9 4/9 2/9 1 Ad esempio, la probabilità di estrarre u c.c.s tale che s 2 =0è3/9(èlaprobabilitàdiestrarreo(1,1) o(2,2)o(3,3)). 16

17 LA STIMA PUNTUALE Sulla base di u c.c.s. di osservazioi, l obiettivo è idetificare il vero valore del parametro igoto i modo putuale, ossia attraverso u uico valore. I modo formale, il problema della stima putuale può ricodursi alla scelta di ua statistica campioaria t = g(x 1,...,x )chequatifichiilverovaloredelparametro igoto. La statistica campioaria t usata per stimare il parametro igoto è chiamata STIMA. La variabile casuale T = g(x 1,...,X ), di cui t è l a r e a l i z z a z i o e s u l campioe effettivamete estratto, viee chiamata STI- MATORE. Lostimatoreèquidiuavariabilecasuale dotata di ua sua distribuzioe campioaria. Esistoo metodi geerali di stima putuale che permettoo di costruire stimatori/stime per parametri di iteresse i qualuque situazioe. Tuttavia, iizieremo ad affrotare il problema della stima putuale i modo semplice, usado criteri di ragioevolezza. 1. Se vogliamo stimare ua media di popolazioe, m = E(X i ), è ragioevole usare come stima la media campioaria x, cheèrealizzazioedellostimatore X. È quello che abbiamo fatto ell Esempio 1 per stimare µ, l altezzamediadegliitaliai,otteedocome stima x =175cm. 2. Se vogliamo stimare la variaza di popolazioe, v 2 = V (X i ), è ragioevole usare come stima la variaza campioaria s 2, che è realizzazioe dello stimato- 17

18 re S 2. Èquellocheabbiamofattoell Esempio1 per stimare σ 2,lavariazadell altezzadegliitaliai, otteedo come stima s 2 =10, Se vogliamo stimare ua probabilità π di successo i ua popolazioe beroulliaa (ossia, X i Be(π)), è ragioevole usare come stima la frazioe di successi el campioe p p = 1 x i i=1 che è realizzazioe dello stimatore p = 1 X i. i=1 Èquellocheabbiamofattoell Esempio2,otteedo la stima p=0,1. N.B.: Per la frazioe campioaria di successi, si userà la stessa otazioe per la variabile casuale (lo stimatore) e per la sua realizzazioe (la stima). Soo tutti e tre stimatori/stime suggeriti dal buo seso, ma hao qualche proprietà? Il puto fodametale è che lavoriamo co stime, ossia approssimazioi del vero valore; per questo vorremmo sapere quato buoa è la stima? quato grade è l errore di approssimazioe? 18

19 Rispoderemo a queste domade teedo coto che uo stimatore è ua variabile casuale co ua sua distribuzioe di probabilità (la distribuzioe campioaria). Le proprietà dello stimatore possoo, quidi, essere studiate aalizzado le caratteristiche della sua distribuzioe campioaria, come il valore atteso, la variaza, ecc.. Questo è oto come il pricipio del campioameto ripetuto i base al quale si valutao le proprietà di uo stimatore pesado ad ipotetiche repliche del campioameto. Si ragioa, cioè, come se si estraessero tutti i c.c.s.di dimesioe dalla popolazioe di riferimeto, esuciascuodiessisicalcolasseuauovastima. Viee poi studiato il comportameto complessivo di tutte le stime otteute, le quali soo realizzazioi della stessa variabile casuale, lo stimatore. Di fatto l esperimeto o viee replicato, ma si ragioa come se lo fosse. Di seguito, vediamo le più importati proprietà formali che possoo essere richieste ad uo stimatore. 19

20 PROPRIETA DEGLI STIMATORI: 1) L ERRORE QUADRATICO MEDIO Idichiamo geericamete co θ il parametro igoto che vogliamo stimare (ad esempio, θ = µ o θ = π, ecc.) e co T lo stimatore di θ (ad esempio, T = X o T = p, ecc.). Suppoiamo che T 1 e T 2 siao due stimatori per lo stesso parametro igoto θ, le cui fuzioi di desità di probabilità soo rappresetate el grafico sottostate; quale dei due preferireste? T 2 f(t) T θ t 20

21 Idealmete, vorremmo che la distribuzioe campioaria dello stimatore T di θ fosse il più possibile cocetrata attoro a θ stesso. Se così fosse, ifatti, qualuque sia il c.c.s. estratto, la stima t o potrebbe discostarsi molto da θ. Per esempio, el caso molto irrealistico che T = θ co probabilità 1, avremmo la certezza che qualuque sia il c.c.s. estratto la stima t sia esattamete uguale al parametro da stimare θ. Ua quatità che viee frequetemete utilizzata per misurare la cocetrazioe della distribuzioe di T attoro a θ è l ERRORE QUADRATICO ME- DIO (EQM) defiito come EQM(T )=E [ (T θ) 2]. Poiché (T θ) 2 può essere iterpretato come ua distaza di T da θ, EQMèladistazamediadaθ. I altre parole, EQM misura di quato i media le realizzazioi di T su tutti i possibili c.c.s. di dimesioe estraibili dalla popolazioe di riferimeto distao da θ. U valore piccolo di EQM implica che qualuque sia il c.c.s. di dimesioe estratto dalla popolazioe, co alta probabilità, la stima t sarà vicia a θ. Èauspicabile,pertato,scegliereuostimatoreco EQM piccolo. I particolare, tra due stimatori T 1 e T 2 dello stesso parametro θ, dovremmoscegliere quello co EQM più piccolo. 21

22 L EQM può essere scomposto el modo seguete: Ifatti, EQM(T )=V (T )+[E(T ) θ] 2 E[(T θ) 2 ]=E(T 2 +θ 2 2θT) =E(T 2 )+θ 2 2θE(T )= = E(T 2 ) [E(T )] 2 +[E(T )] 2 + θ 2 2θE(T )= La quatità = V (T )+[E(T ) θ] 2. E(T ) θ è c h i a m a t a DISTORSIONE dello stimatore T. Pertato, l EQM può essere espresso come EQM(T )=[distorsioe(t )] 2 + V (T ) Le due compoeti dell EQM soo 1. la distorsioe di T,cheèlegataallaposizioe della distribuzioe di T ; 2. la variabilità della distribuzioe di T. Per avere uo stimatore co EQM piccolo possiamo lavorare su etrambe le compoeti. Iizieremo cosiderado la distorsioe. 22

23 PROPRIETA DEGLI STIMATORI: 2) LA CORRETTEZZA Suppoiamo che T 1 e T 2 siao due stimatori per lo stesso parametro igoto θ, le cui fuzioi di desità di probabilità soo rappresetate el grafico sottostate; quale dei due preferireste? T 2 T 1 0 f(t) 0 θ t Uo stimatore T per θ è d e t t o corretto o o distorto se E(T )=θ, ossia se la distorsioe E(T ) θ è p a r i a 0. 23

24 La distribuzioe campioaria di uo stimatore corretto è cetrata attoro a θ. La correttezza di uo stimatore garatisce che la media delle stime otteute su tutti i c.c.s. di dimesioe che possiamo estrarre dalla popolazioe sia uguale al parametro igoto. Seppure la correttezza è ua proprietà auspicabile, essa forisce solo delle garazie i media e o ci assicura che la stima otteuta sul c.c.s. effettivamete estratto sia uguale a θ (o ache solo vicia). 24

25 ESEMPI DI STIMATORI CORRETTI E NON CORRETTI 1. La media campioaria X è sempre uo stimatore corretto per la media di popolazioe m = E(X i ). Dimostrazioe: Dato m = E(X i ), per ogi i = 1,...,,siha ( ) E( X) X X =E = m = m Esempio 4 La correttezza della media campioaria è u risultato geerale. Tuttavia, per fissare le idee, riprediamo l esempio dell ura co 3 pallie umerate da 1 a 3 e verifichiamo per questo caso specifico per via diretta la o distorsioe di X. La media di popolazioe è m = 2 = E(X 1 ) = E(X 2 ). Usado la distribuzioe campioaria di X specificata apag.12,abbiamo E( X) = , , =2 Si oti però che se avessimo estratto il campioe (1,1) la stima di m sarebbe stata x = La frazioe campioaria di successi p è u o s t i m a t o r e corretto della frazioe π di successi ella popolazioe. 25

26 Dimostrazioe: Segue dalla correttezza della media campioaria, otado che p stessa è ua media di variabili casuali Be(π), ciascua co valore atteso π. 3. La variaza campioaria S 2 o è uo stimatore corretto della variaza di popolazioe v 2. Sia x 1,...,x u c.c.s. da ua popolazioe di media m evariazav 2,ossiaE(X i )=mev(x i )=v 2, per ogi i =1,...,.Allora, E(S 2 )=E [ 1 ] (X i X) 2 = E i=1 = 1 ( 1 E(Xi 2 ) E( X 2 ) i=1 ) Xi 2 X 2 = Teedo coto del fatto che E(X 2 i )=V (X i)+[e(x i )] 2 = v 2 +m 2 e, aalogamete, E( X 2 )=V ( X)+[E( X)] 2, si ha i=1 E(S 2 )= 1 (v2 + m 2 ) { V ( X)+[E( X)] 2}. Sappiamo ioltre che E( X) =m e ( ) V ( X) X X =V = v2 da cui { } v E(S 2 )=v 2 + m m2 = v2 = 1 v2. 26

27 Èfacile correggere S 2 i modo da derivare uo stimatore corretto di v 2. Per i precedeti risultati, ifatti, lo stimatore S 2 = S 2 1 = 1 (X i 1 X) 2 è t a l e c h e ( E(S 2 )=E S 2 i=1 ) = E(S 2 ) 1 1 = v2. S 2 è c h i a m a t a variaza campioaria corretta. Idicheremo la realizzazioe campioaria di S 2 co s 2. Ad esempio, ell Esempio 1, la variaza campioaria corretta osservata è s 2 =10, /7 = 134, 54 27

28 L EQM PER STIMATORI CORRETTI Si oti che se T è u o s t i m a t o r e c o r r e t t o d i θ, allora EQM(T )=V (T ) elaqualitàdellostimatorepuòsemplicemeteessere valutata i base alla sua variaza. Esempio 5 Valutiamo l EQM della media campioaria X come stimatore di ua media di popolazioe m = E(X i ). Abbiamo visto che la media campioaria è uo stimatore corretto di m, quidi ( ) EQM( X) =V ( X) X X =V = 1 2 v2 = v2 dove v 2 = V (X i )èlavariazadipopolazioe. Si oti che l EQM decresce al crescere di. Ialtre parole, più grade è il campioe e meglio si comporta lo stimatore. Èquestauacodizioechedeveessere soddisfatta da u qualuque stimatore sesato. Se T 1 e T 2 soo etrambi stimatori corretti per θ, i base al criterio dell EQM, tra i due è preferibile quello co variaza più piccola. Esempio 6 Cosideriamo T 1 = X 1 e T 2 = X come stimatori per ua media m = E(X i )dipopolazioe. Soo etrambi stimatori corretti, ifatti E(T 1 ) = E(X 1 )=m, ma EQM(T 1 )=V (T 1 )=V (X 1 )=v 2 28

29 edall Esempio5sappiamoche EQM(T 2 )=V ( X) = v2, dove v 2 = V (X i ). Da cui si deduce che, per ogi 1, EQM(T 1 ) EQM(T 2 )echet 2 è p r e f e r i b i l e a T 1. Ua parte della Statistica Ifereziale (la Teoria ottimale) si dedica a idetificare per ciascu problema di stima lo stimatore migliore, ossia co EQM più piccolo. No etreremo ei dettagli della Teoria ottimale, ci limitiamo a dire (seza dimostrazioe) che se il c.c.s. x 1,...,x è t r a t t o d a u a popolazioe ormale, ossiax i N(µ, σ 2 )perogi i =1,...,,alloralamediacampioaria X ela variaza campioaria corretta S 2 soo gli stimatori ottimali, rispettivamete, per µ e σ 2,ella classe degli stimatori corretti; se il c.c.s. x 1,...,x è t r a t t o d a u a popolazioe beroulliaa, ossiax i Be(π) per ogi i =1,...,,alloralafrazioecampioaria di successi p è l o s t i m a t o r e o t t i m a l e d i π ella classe degli stimatori corretti. 29

30 PROPRIETÀ DEGLISTIMATORI: 3) LA CONSISTENZA Trae i problemi di stima molto semplici, è i geerale difficile idetificare uo stimatore co proprietà di ottimalità, ad esempio, o distorto e/o co EQM miimo. Questo ha idotto gli statistici ad aalizzare le proprietà asitotiche degli stimatori, ossia come si comporta la distribuzioe campioaria dello stimatore per. Verificare le proprietà di uo stimatore per o è u mero esercizio teorico: l idea di base è che ua proprietà asitotica sarà almeo approssimativamete soddisfatta i campioi di dimesioe fiita, purché sufficietemete gradi. La cosisteza è u a d e l l e pricipali proprietà asitotiche che possoo essere richieste ad uo stimatore. Per sottolieare la dipedeza dalla umerosità campioaria,idichiamolostimatorecot = g(x 1,...,X ). Idealmete, si vorrebbe che T θ, per (se il campioe è così grade da coprire l itera popolazioe, dovremmo essere i grado di quatificare le quatità di popolazioe di iteresse i modo esatto). Tuttavia, o possiamo applicare l usuale defiizioe di limite, perché T o è ua successioe umerica, besì ua successioe di variabile casuali. Abbiamo, 30

31 per questo, bisogo di ua defiizioe di covergeza diversa. Il problema viee risolto richiededo che, al crescere di, ladistribuzioecampioariadit si cocetri sempre di più attoro a θ. Più precisamete, uo stimatore T di θ si dice cosistete se lim EQM(T )= lim E[(T θ) 2 ]=0 I sostaza, uo stimatore è cosistete se la sua accuratezza migliora all aumetare della umerosità campioaria, sio a divetare perfetta. 31

32 Se T è u o s t i m a t o r e c o r r e t t o d i θ,alloraeqm(t )= V (T )elostimatoreècosistetese lim V (T )=0, Esempio 6 Riprediamo gli stimatori T 1 = X 1 e T 2 = X per ua media di popolazioe m. MetreT 2 è u o s t i m a t o r e cosistete, dato che EQM(T 2 )= v2 0, per, T 1 o è uo stimatore cosistete, poiché EQM(T 1 )=v 2 0, per. dove v 2 è l a v a r i a z a d i p o p o l a z i o e. Per gli stimatori X, S 2 e p si ha la media campioaria X è u o s t i m a t o r e c o s i - stete per ua media di popolazioe m = E(X i ), sia che la popolazioe sia gaussiaa che o gaussiaa. Segue dagli sviluppi dell Esempio 6. la variaza campioaria corretta S 2 è u o s t i m a - tore cosistete per ua variaza di popolazioe v 2 = V (X i ), sia che la popolazioe sia gaussiaa che o gaussiaa (o dimostrato). la frazioe campioaria di successi p è u o s t i - matore cosistete per ua probabilità π. Segue dagli sviluppi per la media campioaria, ricordado che p stesso è ua media di variabili beroulliae. 32

33 Esercizio (per casa) Siao X 1,...,X i.i.d. co distribuzioe N(µ, σ 2 ). Dati i due stimatori di µ T 1 =0, 9X 1 +0, 1 ( 1 1 ) X i i=2, T 2 = X 1 + X 2 1. dimostrare che soo etrambi stimatori corretti per µ; 2. calcolare l EQM di etrambi gli stimatori; 3. verificare se soo stimatori cosisteti. 33

34 SINTESI DELLE PROPRIETÀ DI X, S 2 e p 1. LA MEDIA CAMPIONARIA La media campioaria X = 1 i=1 X i co X 1,...,X i.i.d. tali che E(X i ) = m e V (X i )=v 2,èuostimatorecorrettoecosistete per m. IlsuoEQMè EQM( X) =V ( X) = v2 che forisce ua misura dell accuratezza di X come stimatore di m. Sev 2 o è ota, l EQM può essere valutato sostituedo v 2 co s 2. Se X 1,...,X soo i.i.d. N(µ, σ 2 ), allora X è ache lo stimatore migliore (co EQM più piccolo) tra tutti gli stimatori corretti di µ. Per oti risultati della probabilità (si veda pag. 101 della Probabilità), vale ioltre ) X N (µ, σ2 Se il campioe ha umerosità grade, allora, per il teorema del limite cetrale, qualuque sia la distribuzioe (o gaussiaa) delle variabili X i X = X X N (m, v2 dove m = E(X i )ev 2 = V (X i )(sicofrotico pag. 114 della Probabilità). 34 )

35 2. LA FRAZIONE CAMPIONARIA DI SUCCESSI La frazioe campioaria di successi p = 1 X i, i=1 co X 1,...,X i.i.d. tali che X i Be(π), è uo stimatore corretto e cosistete di ua probabilità di successo π. Èachelostimatoreco il più piccolo EQM ella classe degli stimatori corretti di π. IlsuoEQMè π(1 π) EQM(p) =V (p) = che si deriva facilmete dall EQM di X sostituedo la variaza geerica v 2 co V (X i )=π(1 π). L EQM può essere valutato sostituedo a π la sua stima p. Per il teorema del limite cetrale, per grade vale ( ) π(1 π) p N π,, (si cofroti co pag. 115 della Probabilità). 3. LA VARIANZA CAMPIONARIA CORRETTA La variaza campioaria corretta S 2 = 1 (X i 1 X) 2 = 1 S2 i=1 co X 1,...,X i.i.d. tali che E(X i ) = m e V (X i )=v 2,èuostimatorecorrettoecosistete per v 2. (No viee precisato l EQM, perché o utilizzato el seguito). 35

36 Se X 1,...,X soo i.i.d. N(µ, σ 2 ), allora S 2 è ache lo stimatore migliore (co EQM più piccolo) tra tutti gli stimatori corretti di σ 2.Ioltre, ( 1)S 2 σ 2 (risultato o dimostrato) χ

37 UN METODO GENERALE DI STIMA PUNTUALE: IL METODO DEI MOMENTI Gli stimatori X, p e S 2 soo stati proposti sulla base di criteri di ragioevalezza, ma è importate poter disporre di metodi geerali di costruzioe di stimatori, applicabili, i liea di pricipio, a qualuque problema di stima e per qualuque parametro. Esistoo diversi metodi geerali per la stima putuale. Noi copriremo uo solo di questi, il metodo dei mometi. Sia x 1,...,x u c.c.s. e θ il parametro da stimare. Il primo passo del metodo dei mometi cosiste el determiare E(X i )chesaràigeeraleuafuzioe di θ. Al secodo passo, si risolve rispetto a θ l equazioe E(X i )= x. La soluzioe dell equazioe, che idichiamo co θ, è la stima co il metodo dei mometi di θ. L idea di base del metodo dei mometi è eguagliare la media teorica (ache chiamata mometo primo teorico) E(X i )allacorrispodetemediacampioaria x edaquestaequazioederivareuastimaper θ. 37

38 Esempio 1 Se vogliamo stimare l altezza media degli italiai µ, i base al metodo dei mometi, dovremmo risolvere rispetto a µ l equazioe E(X i )=µ = x =175, otteedo la stima µ = x =175. Esempio 2 Se vogliamo stimare la frazioe π di guarizioi difettose ell itera popolazioe, i base al metodo dei mometi dovremmo risolvere rispetto a π l equazioe E(X i )=π = x = p =0, 1 dove si tiee coto del fatto che, essedo le x i realizzazioi di variabili casuali beroulliae, x = p. La stima co il metodo dei mometi di π è q u i d i π = p =0, 1. Esempio 3 Se vogliamo stimare il umero medio gioraliero di utilizzi del bacomat λ, i base al metodo dei mometi dovremmo risolvere rispetto a λ l equazioe E(X i )=λ = x =7, 6. La stima co il metodo dei mometi di λ è q u i d i λ = x =7, 6. Esempio 7 Èstatoosservataladuratadi15lampadiescelte casualmete tra quelle prodotte da ua fabbrica. La durata media delle 15 lampadie del campioe è 38

39 x =65ore. Sipuòipotizzarecheladuratadelle lampadie abbia distribuzioe espoeziale di parametro λ igoto. Si vuole stimare λ. Co queste ipotesi le variabili casuali che descrivoo il campioe, X 1,...,X 15,sooi.i.d. Exp(λ). Applicado il metodo dei mometi, si ottiee ua stima putuale per λ risolvedo l equazioe E(X i )=1/λ = x =65. La stima co il medoto dei mometi per λ è q u i d i λ =1/ x =1/65. Il metodo dei mometi è applicabile ache al caso i cui si debbao stimare due o più parametri igoti. Vediamo il caso di due parametri. Suppoiamo che la distribuzioe delle X i dipeda da due parametri igoti, θ 1 e θ 2,chedevooessere stimati. Al primo passo il metodo dei mometi richiede il calcolo di E(X i )ee(x 2 i )chesarao,i geerale, fuzioi di θ 1 e θ 2. Al secodo passo, si risolve rispetto a θ 1 e θ 2 il sistema di equazioi { E(X i )= x E(X 2 i )= 1 i=1 x2 i Le soluzioi del sistema, θ 1 e θ 2,soolestimecoil metodo dei mometi di θ 1 e θ 2,rispettivamete. L idea di base è acora eguagliare le medie teoriche, E(X i )ee(xi 2 ), co la corrispodeti medie campioarie. Lo stesso meccaismo può essere applicato 39

40 apiùdidueparametri. Ilomedelmetododeriva dal fatto che E(X j )èachechiamatoilmometo j-esimo di X i. Esempio 1 Nell esempio sull altezza degli italiai, sia la media di popolazioe µ che la variaza di popolazioe σ 2 soo igote e devoo essere stimate dalle osservazioi. Applicado il metodo dei mometi, abbiamo che E(X i )=µ e E(X 2 i )=σ2 + µ 2 erisolvedorispetto a µ e σ 2 il sistema di equazioi { µ = x σ 2 + µ 2 = 1 i=1 x2 i si ottego le stime µ = x =175e σ 2 = s 2 =10, 85 2, rispettivamete, per µ e σ 2.Lestimecoilmetodo dei mometi della media e della variaza di popolazioe soo quidi la media campioaria e la variaza campioaria o corretta, rispettivamete. Proprietà del metodo dei mometi: Èumetodomoltosempliceequasisempreapplicabile co campioi casuali semplici. Produce stimatori cosisteti, ma o ecessariamete corretti e/o ottimali (co EQM miimo). Può produrre stimatori corretti e/o ottimali, ma le due proprietà o soo garatite e devoo essere verificate caso per caso. 40

41 STIMA INTERVALLARE L obiettivo della stima itervallare è idetificare, sullabase delle osservazioi del campioe, u itervallo di valori che, co u certo grado di attedibilità, cotega l igoto parametro di popolazioe θ. Esempio 2 Avevamo otteuto la stima putuale p =0, 1. Possiamo dire che l itervallo (0,05,0,15) è u itervallo di valori ragioevoli per π, laverafrazioediguarizioidifettose ella popolazioe? quali garazie ci dà questo itervallo di icludere π? GLI INTERVALLI DI CONFIDENZA Il problema di idividuare u itervallo di valori ragioevoli per u parametro θ igoto può essere affrotato trovado due statistiche campioarie, T I = g I (X 1,...,X ) e T S = g S (X 1,...,X ), tali che P (T I θ T S )=1 α dove α è u v a l o r e p r e fi s s a t o. I questo modo, la probabilità che θ sia icluso ell itervallo (T I,T S )è1 α. L itervallo (T I,T S )vieechiamatoitervallo di cofideza di livello 1-α odilivello(1-α) 100% per θ. 41

42 CONSIDERAZIONI 1. α è la probabilità che l itervallo di cofideza o icluda θ e, idealmete, vorremmo che fosse più piccola possibile. Ma attezioe, se poessimo α = 0, l itervallo dovrebbe compredere tutti i valori che possoo essere assuti da θ equestoitervalloo ha alcua utilità pratica. I geerale, più piccolo è α più ampio è l itervallo di cofideza, idetificado così i modo meo preciso dove si colloca θ. Esisteu trade-off tra la garazia di icludere θ elaprecisioe dell itervallo. Come compromesso, tipicamete si sceglie α [0, 01; 0, 1]. 2. Essedo T I e T S due variabili casuali, ache l itervallo (T I,T S ) è c a s u a l e. Dopo aver osservato il c.c.s. x 1,...,x avremo che t I = g I (x 1,...,x )e t S = g S (x 1,...,x )soolerealizzazioieffettivamete osservate di T I e T S.Pertato,l itervallodi cofideza osservato (t I,t S )oèpiùcasuale,ma umerico. 3. No è corretto dire che l itervallo umerico (t I,t S ) cotiee θ co probabilità 1 α. Questaaffermazioe vale solo per l itervallo casuale (T I,T S ). Richiamado il pricipio del campioameto ripetuto, la corretta iterpretazioe di u itervallo di cofideza di livello 1 α è l a s e g u e t e. S e r i p e t i a m o i l c a m - pioameto e su tutti i possibili c.c.s. di dimesioe calcoliamo u uovo itervallo osservato (t I,t S ), allora (1 α) 100% di questi cotiee θ. Tuttavia, sul sigolo campioe effettivamete estratto o possiamo sapere se cotega θ oppure o. 42

43 METODI DI COSTRUZIONI DI INTERVALLI DI CONFIDENZA Esistoo varie procedure di costruzioe di itervalli di cofideza per u parametro θ di popolazioe igoto. I geerale, esse si fodao sui segueti passi. 1. Si sceglie il livello di cofideza 1 α. 2. Si idetifica uo stimatore T di θ. 3. Si cerca ua fuzioe di T ediθ, Q(T,θ)(quatità pivotale), la cui distribuzioe di probabilità sia completamete ota. 4. Se q α/2 e q 1 α/2 soo, rispettivamete, i quatili α/2 e1 α/2 diq(t,θ), allora P (q α/2 Q(T,θ) q 1 α/2 )=1 α 5. Isolado θ all itero della disuguagliaza, si deriva u itervallo di cofideza per θ. 43

44 ESEMPI DI INTERVALLI DI CONFIDENZA 1. INTERVALLI DI CONFIDENZA PER I PARAMETRI DI UNA POPOLAZIONE NORMALE Sia x 1,x 2,...,x u c.c.s. da ua popolazioe ormale, ossia X 1, X 2,..., X soo i.i.d. co distribuzioe N(µ, σ 2 ). INTERVALLO DI CONFIDENZA PER µ CASO CON σ 2 NOTA Suppoiamo di cooscere σ 2,lavariazadipopolazioe, ma di o cooscere µ, lamediadi popolazioe. Vogliamo costruire u itervallo di cofideza di livello 1 α per µ. Sappiamo che ) X N (µ, σ2 da cui Allora, P X µ σ 2 z 1 α/2 X µ σ 2 N(0, 1). z 1 α/2 =1 α 44

45 ricordado che z α/2 = z 1 α/2.ora,isoladoµ si ottiee ( ) σ 2 P X z 1 α/2 µ }{{ X σ 2 + z 1 α/2 =1 α }}{{ } T I T S Allora, u itervallo di cofideza di livello 1 α per la media µ quado la variaza σ 2 è o t a è ( ) σ 2 X z 1 α/2, X σ 2 + z 1 α/2 opiùbrevemete ( ) σ 2 X ± z 1 α/2 L ampiezza dell itervallo è σ 2 2z 1 α/2 Aparitàdituttoilresto,alcresceredi l ampiezza dell itervallo dimiuisce, ossia l itervallo diveta più preciso. A parità di tutto il resto, se dimiuisce α, z 1 α/2 aumeta e quidi l ampiezza dell itervallo aumeta. A parità di tutto il resto, se dimiuisce σ 2,dimiuiscel ampiezza dell itervallo. L itervallo umerico, basato sulle osservazioi x 1,..., x,realizzazioedell itervallocasuale trovato è ( ) σ 2 x ± z 1 α/2 dove x è la media calcolata sul campioe estratto. 45

46 Esempio 8 Si suppoga che il peso (i kg) di certe cofezioi abbia distribuzioe ormale di media µ igota e deviazioe stadard pari a 2,5kg. Su u campioe casuale di 100 cofezioi è stato calcolato u peso medio di 11,5kg. Si costruisca u itervallo di cofideza di livello 95% per µ. E chiaro dal testo che la variaza σ 2 può cosiderarsi ota e pari a 2,5 2 kg 2.Sitrattaalloradi usare l espressioe per l itervallo di cofideza per µ appea trovata: ( ) σ 2 x ± z 1 α/2 I questo caso x =11, 5kg 1 α =0, 95 e quidi α =0, 05 z 1 α/2 = z 0,975 =1, 96 =100 L itervallo di cofideza (umerico) di livello 95% per µ è ( ) 2, , 5 ± 1, 96 =(11, 02kg; 11, 98kg) 100 Iterpretazioe... 46

47 CASO CON σ 2 IGNOTA Siamo ella stessa situazioe di prima, ma suppoiamo ora che sia µ che σ 2 siao igoti. Il ostro parametro di iteresse rimae la media di popolazioe µ e, i particolare, vogliamo costruire u itervallo di cofideza per µ. Nel caso precedete abbiamo usato la quatità X µ σ 2 N(0, 1) per costruire l itervallo per µ. Oraperòσ 2 o è o t a e q u e s t a q u a t i t à o è d i r e t t a m e t e u t i - lizzabile. Possiamo procedere i questo modo: stimare σ 2 tramite il suo stimatore corretto S 2 e sostituire questo stimatore all itero della precedete quatità, otteedo X µ S 2 t 1 Ifatti, X e S 2 soo idipedeti (o dimostrato). Ioltre, X µ = ( X µ) ( X σ µ)/ = t 1, ( 1)σ 2 ( 1)σ 2 S 2 S 2 ( 1)σ 2 S 2 ( 1) dato che il umeratore dell ultima frazioe ha di- N(0, 1) e al deomiatore abbiamo stribuzioe χ 2 1 /( 1). 47

48 P Da questo risultato, si ha che P t 1;1 α/2 X µ S 2 t 1;1 α/2 =1 α teedo coto del fatto che t 1;α/2 = t 1,1 α/2. Ora, isolado µ, siottiee S X 2 t 1;1 α/2 µ X S + t 2 1;1 α/2 =1 α }{{}}{{} T I T S Allora, u itervallo di cofideza per µ di livello 1 α, quadoacheσ 2 o è ota, è S X 2 t 1;1 α/2, X S + t 2 1;1 α/2 o, più brevemete, X ± t 1;1 α/2 S 2 Si oti che, valedo S 2 = S 2 /( 1), l itervallo otteuto è equivalete a ( ) S 2 X ± t 1;1 α/2 1 dove S 2 la variaza campioaria o corretta. 48

49 L itervallo umerico, basato sulle osservazioi x 1,..., x,corrispodeteall itervallocasuale trovato è s x ± t 2 1;1 α/2 dove x e s 2 soo, rispettivamete, la media e la variaza corretta calcolate sul campioe. Si ricordi ifie, che, per sufficietemete grade, diciamo maggiore di 31, possiamo approssimare t 1;1 α/2 co z 1 α/2. 49

50 Esempio 9 Ua macchia è stata predisposta per riempire bottiglie di olio dal coteuto omiale di 1 litro. Si sa che la macchia commette degli errori i fase di riempimeto e che la quatità effettivamete versata su ciascua bottiglia segue ua distribuzioe gaussiaa. La macchia viee fermata e cotrollata ogi qualvolta si verifica che la media gioraliera esce dai limiti di ±5 ml. Se l osservazioe per u dato gioro viee fatta solo su u campioe di 10 bottiglie, otteedo i segueti dati (i litri) 1, 000 0, 998 1, 003 1, 002 0, 999 0, 997 0, 999 1, 001 1, 000, 1, 010 utilizzare i dati per vedere se la macchia deve essere fermata trovado u itervallo di cofideza al 99% per la media gioraliera. Poichè gli errori el riempimeto soo ormalmete distribuiti, possiamo vedere le 10 osservazioi x 1, x 2,..., x 10 come u c.c.s. da ua N(µ, σ 2 ), dove µ rappreseta la media della quatità di olio versata elle bottiglie. Sia µ che σ 2 soo igote. Vogliamo costruire u itervallo di cofideza di livello 0,99 per µ. Calcoliamo gli igredieti dell itervallo di cofideza. x =1, 0009 litri s 2 =0, litri 2 50

51 1 α =0, 99 α =0, 01 α/2 =0, α/2 =0, 995 t 9;0,995 =3, 2498 L itervallo cercato è ( ) 0, , , , 2498 ;1, , 2498 = =(0, 99614; 1, 00466) litri I base all itervallo otteuto, fermeremmo la macchia? La tolleraza è ±5mlsulcoteutoomiale di 1 lt, ossia riteiamo la macchia fuori cotrollo se la media gioraliera esce al di fuori dell itervallo (0,995,1,005) lt. I base all itervallo otteuto, la media gioraliera cade all itero dei limiti di tolleraza equidiofermeremmolamacchia. 51

52 INTERVALLO DI CONFIDENZA PER σ 2 Spostiamo ora l iteresse da µ, cheèstatoilpara- metro di iteresse ei precedeti itervalli, a σ 2,la variaza della popolazioe. Vogliamo costruire u itervallo di cofideza di livello 1 α per σ 2,quado ache µ è i g o t o. Così come la media campioaria X è s t a t o i l p u t o di parteza per costruire u itervallo di cofideza per µ, lavariazacampioaria(ellasuaversioe corretta) S 2 è i l p u t o d i p a r t e z a p e r c o s t r u i r e u itervallo di cofideza per σ 2. Sappiamo che, per ua popolazioe ormale, Pertato, ( P ( 1)S 2 σ 2 χ 2 1;α/2 ( 1)S 2 σ 2 χ 2 1 χ 2 1;1 α/2 ) =1 α Ora isoliamo σ 2,otteedo ( ) ( 1)S 2 P χ 2 σ 2 ( 1)S 2 1;1 α/2 χ 2 1;α/2 =1 α Allora, u itervallo di cofideza di livello 1 α per σ 2 è ( ) ( 1)S 2 χ 2, ( 1)S 2 1;1 α/2 χ 2 1;α/2 52

53 Se volessimo u itervallo per σ piuttosto che per σ 2 basterà predere la radice quadrata di etrambi gli estremi: Ifatti, = P P ( ( 1)S 2 χ 2, 1;1 α/2 ( ( 1)S 2 χ 2 1;1 α/2 ( ( 1)S 2 χ 2 1;1 α/2 ) ( 1)S 2 χ 2 1;α/2 ) σ 2 ( 1)S 2 = σ χ 2 1;α/2 ) ( 1)S 2 χ 2 1;α/2 =1 α 53

54 Esempio 10 Ua uova terapia è stata sperimetata su u campioe di 12 pazieti e i tempi di guarigioe osservati soo stati (i giori) (a) Assumedo ua distribuzioe ormale per il tempo di guarigioe, trovare u itervallo di cofideza di livello 95% per il tempo medio di guarigioe dei pazieti sottoposti a terapia. Le 12 osservazioi rappresetao u c.c.s. da N(µ, σ 2 ), co µ e σ 2 etrambi igoti. I particolare, µ è i l t e m p o m e d i o ( i g i o r i ) d i g u a r i g i o e per il quale vogliamo costruire u itervallo di cofideza. Gli igredieti dell itervallo soo da cui x =24, 67 giori s 2 =53, 39 s 2 = S2 12 =58, α =0, 95 α =0, 05 1 α/2 =0, 975 t 11;0,975 =2, 2 L itervallo cercato è ( ) 58, 24 24, 67 ± 2, 2 =(19, 82; 29, 52) giori 12 54

55 (b) Si dia u itervallo di cofideza al 90% per la variaza σ 2 1 α =0, 9 α =0, 1 1 α/2 =0, 95 α/2 =0, 05 χ 2 11;0,05 =4, 57 χ 2 11,0,95 =19, 68 L itervallo cercato per σ 2 è ( ) 11 58, , 24 ; =(32, 55; 140, 18) 19, 68 4, 57 55

56 2. INTERVALLO DI CONFIDENZA APPROS- SIMATO PER UNA PROBABILITÀ Sia x 1,x 2,...,x u c.c.s. da ua popolazioe beroulliaa, ossia X 1,X 2,...,X soo i.i.d. Be(π). P ( No coosciamo la probabilità π di successo ella popolazioe e vogliamo costruire u itervallo di cofideza per π di livello 1 α. Partiamoda p = 1 X i i=1 che sappiamo essere uo stimatore ottimale per π. Sappiamo ioltre che, per grade, ( ) π(1 π) p N π, Allora, da cui P z 1 α/2 p π π(1 π) p π π(1 π) Ora, isolado π, otteiamo p z 1 α/2 π(1 π) N(0, 1) z 1 α/2 = p p + z 1 α/2 π(1 π) 1 α ) = 1 α 56

57 da cui u itervallo di cofideza di livello approssimato 1 α per π è ( ) π(1 π) π(1 π) p z 1 α/2,p+ z 1 α/2 Il problema è che o cooscedo π o siamo i grado di calcolare π(1 π)/. Tuttavia, poiché stiamo lavorado co gradi campioi, possiamo sostituire a π il suo stimatore cosistete p otteedo l itervallo ( p(1 p) p(1 p) p z 1 α/2,p+ z 1 α/2 Il corrispodete itervallo umerico si ottiee poedo p uguale alla frazioe osservata di successi el campioe. OSSERVAZIONE: Affiché l approssimazioe risulti buoa, dovremmo avere π, (1 π) 5, ma o cooscedo π, possiamo verificare se p, (1 p) 5. Dobbiamo avere quidi a disposizioe almeo 10 osservazioi, di cui almeo 5 successi e 5 isuccessi. ) 57

58 Esempio 11 Il direttore di ua baca di ua piccola città itede ivestigare la proporzioe di depositati che vegoo pagati mesilmete. Per compiere tale studio vegoo scelti i modo casuale 200 depositati e di questi 23 affermao di essere pagati mesilmete. Stimare la vera proporzioe di depositati della baca pagati mesilmete e costruire u itervallo di cofideza di livello 90% per tale proporzioe. Abbiamo due modi equivaleti di vedere il problema. 1. Osserviamo 200 valori, x 1,..., x 200,co { 1 se l i-esimo cliete è pagato mesilmete x i = 0 se l i-esimo cliete o è pagato mesilmete 23 x i soo uguali a 1 e x i soo uguali a 0. I questo caso abbiamo u c.c.s di dimesioe 200 da Be(π). 2. Osserviamo u uico valore x = 23 da ua Bi(200,π). Qualuque sia il modo di iterpretare l idagie, sappiamo che p = =0, 115 = frazioe di successi osservati è ua stima della frazioe π ella popolazioe. 58

59 Per costruire l itervallo di cofideza, 1 α =0, 9 α =0, 1 1 α/2 =0, 95 z 0,95 =1, 64 L itervallo di cofideza cercato è ( ) 0, 115(1 0, 115) 0, 115(1 0, 115) 0, 115 1, 64, (0, , = =(0, 082; 0, 158) 59

60 3. INTERVALLO DI CONFIDENZA APPROS- SIMATO PER LA MEDIA DI UNA PO- POLAZIONE NON-NORMALE Sia x 1,...,x u c.c.s. da ua popolazioe di media m evariazav 2,ossiaE(X i )=m e V (X i )=v 2 per ogi i =1,...,. Si vuole costruire u itervallo di cofideza di livello 1 α per m. I geerale, per poter costruire tale itervallo è ecessario cooscere la distribuzioe delle X i che o è però qui specificata. Tuttavia, se è grade, geeralizzadoquatovistoperπ, è possibile costruire u itervallo che abbia almeo livello approssimato 1 α, usadoargometazioi asitotiche. Ifatti, per il teorema del limite cetrale, per grade, si ha che ) X N (m, v2 da cui X m v2 / N (0, 1). e P ( z 1 α/2 X ) m v2 / z 1 α/2 = 1 α. Isolado m all itero della disuguagliaza, si deriva ( P X z1 α/2 v2 / m X + z 1 α/2 v2 /) = 1 α, 60

61 equidiuitervallodicofidezadilivelloapprossimato 1 α per m per gradi campioi è dato da ( X z1 α/2 v2 /, X + z 1 α/2 v2 /). Se, come spesso accade, v 2 o è oto, poiché stiamo lavorado co gradi campioi, possiamo sostituirlo co il suo stimatore cosistete S 2,otteedo l itervallo ( X z1 α/2 S 2 /, X + z 1 α/2 S 2 /). Il corrispodete itervallo umerico è ( ) x z 1 α/2 s 2 /, x + z 1 α/2 s 2 /. N.B.: L espressioe dell itervallo otteuto per v 2 oto è l a s t e s s a d i q u e l l o p e r u a p o p o l a z i o e o r m a - le. Tuttavia, el caso di ua popolazioe ormale l itervallo ha esatto livello 1 α idipedetemete dalla umerosità campioaria, metre el caso di ua popolazioe o-ormale l itervallo ha livello approssimato 1 α solo i gradi campioi. La qualità dell approssimazioe migliora co la dimesioe del campioe. L itervallo di cofideza otteuto per π è u c a - so particolare di questa procedura, i cui X = p e, sfruttado il fatto che per ua popolazioe beroulliaa v 2 = π(1 π), lo stimatore utilizzato per v 2 o è S 2,besìp(1 p). 61

62 Esempio 12 Si è iteressati a studiare il reddito medio mesile delle famiglie di u certo paese. A questo scopo si estrae u campioe di 196 famiglie il cui reddito medio mesile risulta pari a x =1864eurocovariaza campioaria corretta pari a s 2 =141, 61. Si costruisca u itervallo di cofideza di livello 1 α =0, 95 per il reddito medio mesile della popolazioe. La distribuzioe del reddito è geeralmete caratterizzata da ua forte asimmetria positiva, determiata dalla preseza di pochi redditi molto elevati. Per questo o è ragioevole assumere che le X i siao ormalmete distribuite. Tuttavia, essedo la umerosità campioaria piuttosto elevata possiamo ricorrere ad argometi asitotici e utilizzare l itervallo approssimato (1864 ± z 0, , 61/196 ) =(1865, 67; 1862, 33). 62

63 4. INTERVALLO DI CONFIDENZA PER LA DIFFERENZA DELLE MEDIE DI DUE POPOLAZIONI NORMALI Suppoiamo di voler cofrotare due popolazioi i relazioe ad u feomeo di iteresse. Ad esempio, vogliamo cofrotare il reddito delle famiglie italiae co il reddito delle famiglie fracesi, oppure la redditività di ua strategia aziedale A cotro la redditività di ua strategia B. A questo fie prediamo due c.c.s.: x 1,x 2,...,x 1 dalla popolazioe I y 1,y 2,...,y 2 dalla popolazioe II esuppoiamoche x 1,x 2,...,x 1 siao realizzazioi di X 1,X 2,...,X 1 i.i.d. N(µ 1,σ1 2); y 1,y 2,...,y 2 siao realizzazioi di Y 1,Y 2,...,Y 2 i.i.d. N(µ 2,σ2); 2 eiduecampioisiaotraloroidipedeti. Ad esempio, per cofrotare il reddito dei fracesi eilredditodegliitaliai,prediamo 1 famiglie fracesi e e osserviamo il reddito e 2 famiglie italiae e e osserviamo il reddito. Quidi assumiamo che sia per i fracesi che per gli italiai il reddito sia ormalmete distribuito, ma co medie e variaze che possoo essere diverse. Siamo iteressati a cofrotare il livello medio del feomeo elle due popolazioi, ossia µ 1 e µ 2 (ad esempio, il reddito medio dei fracesi cotro il reddi- 63

64 to medio degli italiai) e, per questo, costruiamo u itervallo di cofideza per µ 1 µ 2. CASO CON VARIANZE NOTE Suppoiamo iizialmete che σ 2 1 e σ 2 2 siao ote. Il puto di parteza per costruire u itervallo di cofideza per µ 1 µ 2 è l a d i ff e r e z a t r a l e d u e medie campioarie Sappiamo che e X Ȳ = X N Ȳ N i=1 X i ( µ 1, σ2 1 1 ) ( ) µ 2, σ2 2 2 i=1 Y i BREVE RICHIAMO DI PROBABILITA Se X N(µ 1,σ 2 1 )ey N(µ 2,σ 2 2 )idipedeti, allora, ax + by N(aµ 1 + bµ 2,a 2 σ b2 σ 2 2 ) Dal richiamo di probabilità, ) X (µ Ȳ N 1 µ 2, σ2 1 + σ

65 e Allora, ( X Ȳ ) (µ 1 µ 2 ) N(0, 1) σ σ2 2 2 P z 1 α/2 ( X Ȳ ) (µ 1 µ 2 ) z 1 α/2 =1 α σ σ2 1 2 Se isoliamo µ 1 µ 2,otteiamo P ( X Ȳ ) z σ1 2 1 α/2 + σ2 2 µ 1 µ ( X Ȳ )+z 1 α/2 σ1 2 + σ =1 α Abbiamo quidi otteuto l itervallo di cofideza di livello 1 α per µ 1 µ 2,cheèdatoda ( X Ȳ ) ± z σ1 2 1 α/2 + σ2 2 1 Il corrispodete itervallo umerico, si ottiee sostituedo alle variabili casuali X e Ȳ le medie campioarie osservate x e ȳ. 2 65

66 Esempio 13 Per valutare la diversità della preparazioe degli studeti di due corsi di laurea A e B della facoltà di Ecoomia, 50 studeti del corso A e 100 studeti del corso B vegoo sottoposti ad u test. Gli studeti del corso A e B ottegoo u puteggio medio di 3 e 2,5, rispettivamete. Si suppoga ioltre che le variabili casuali X e Y che geerao i puteggi ei due corsi di laurea siao idipedeti e tali che X N(µ 1, (0, 2) 2 ) Y N(µ 2, (0, 5) 2 ) Si trovi u itervallo di cofideza di livello 0,99 per µ 1 µ 2.Idatiidicaocheilcorsodilaurea o iflueza il puteggio, ossia µ 1 = µ 2? Gli igredieti di cui abbiamo bisogo per costruire l itervallo soo x =3 ȳ =2, 5 1 α =0, 99 α =0, 01 1 α/2 =0, 995 z 0,995 =2, 58 L itervallo ( cercato è 0, 2 2 (3 2, 5) ± 2, ) 0, =(0, 35; 0, 65) Poiché l itervallo cotiee solo valori positivi, abbiamo l idicazioe che µ 1 µ 2 > 0, ossia µ 1 >µ 2. 66