Svolgimento dei temi d esame di Matematica Anno Accademico 2015/16. Alberto Peretti

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Svolgimento dei temi d esame di Matematica Anno Accademico 2015/16. Alberto Peretti"

Transcript

1 Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica Anno Accadmico 05/6 Albrto Prtti April 06

2 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 PROVA INTERMEDIA DI MATEMATICA I part Vicnza, 04//05 Domanda Scomporr in fattori non ultriormnt scomponibili il polinomio P ) = = 3) = + ) 3) Domanda Risolvr l quazion L quazion quival a = = = 0 = ln = ln = ln Domanda 3 Risolvr l quazion ln ) + = 0 Con la condizion di sistnza < 0 l quazion quival a ln ) = ln ) = = / = / = La soluzion è accttabil nlla condizion di sistnza Domanda 4 La disquazion quival a Risolvr la disquazion + ) < + < 0 Gli zri sono = ± 5 Prtanto l soluzioni dlla disquazion sono pr valori intrni: 5 < < + 5 Domanda 5 Risolvr la disquazion + > C è la condizion di sistnza Poi la disquazion quival a + > 0 > > 0 + < 0 La disquazion quival ai sistmi sgni discordi) { > 0 + < 0 { < 0 + > 0 { > 0 < { < 0 > Il primo sistma è impossibil, il scondo fornisc l soluzioni < < 0 Tma dl 04//05 I part Prova intrmdia)

3 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 Domanda 6 Disgnar nl piano con rifrimnto cartsiano l insim dll soluzioni dll quazion + = 0 Usando il compltamnto dl quadrato si ha ) = 0 + ) = 0 ) = Si tratta dll quazion di un iprbol con cntro nl punto 0, ), asintoti obliqui di pndnz ±) rami ch stanno al di sopra al di sotto dl cntro La curva è raffigurata in rosso qui a fianco Domanda 7 Ottnndolo con l trasformazioni lmntari, si disgni il grafico dlla funzion f) = ln ) Il grafico si ottin a partir dal grafico di ln con l trasformazioni qui sotto riportat ln ln ) ln ) Domanda 8 Dopo avr disgnato un grafico dlla funzion f : [, ] R, con f) =, si dtrminino i punti di massimo di minimo di f Il grafico è qui a fianco Dal grafico si vd ch il punto di massimo è in ma = mntr il punto di minimo è in min = Domanda 9 Si calcoli il lim 0 ln ) 3 / Con l algbra di limiti ln ) lim 0 3 = ln 0 )) 0 ) 3 = ln0+ ) 0 = 0 = + Domanda 0 Si calcoli la drivata dlla funzion f) = / f ) = / + / / ) Tma dl 04//05 I part Prova intrmdia)

4 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 3 PROVA INTERMEDIA DI MATEMATICA I part Vicnza, 04//05 Domanda Dir s il polinomio P ) = è divisibil pr + Possiamo applicar il torma di Ruffini Dato ch il divisor + si annulla in, basta calcolar il dividndo P ) in Si ha P ) = + = 0 Quindi P ) non è divisibil pr + Domanda Risolvr l quazion L quazion quival a = = = 0 = ln = ln = ln Domanda 3 Risolvr l quazion + ln) = 0 Con la condizion di sistnza > 0 l quazion quival a ln) = ln) = = / = / = La soluzion è accttabil nlla condizion di sistnza Domanda 4 La disquazion quival a Risolvr la disquazion < ) > 0 ) > 0 Prtanto l soluzioni dlla disquazion sono pr valori strni: < 0 oppur > Domanda 5 Risolvr la disquazion < + C è la condizion di sistnza Poi la disquazion quival a + > 0 > > 0 + < 0 La disquazion quival ai sistmi sgni discordi) { > 0 + < 0 { < 0 + > 0 { > 0 < { < 0 > Il primo sistma è impossibil, il scondo fornisc l soluzioni < < 0 Tma dl 04//05 I part Prova intrmdia)

5 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 4 Domanda 6 Disgnar nl piano con rifrimnto cartsiano l insim dll soluzioni dll quazion + = 0 Usando il compltamnto dl quadrato si ha + = + ) = Si tratta dll quazion di un iprbol con cntro nl punto, 0), asintoti obliqui di pndnz ±) rami ch stanno al di sopra al di sotto dl cntro La curva è raffigurata in rosso qui a fianco Domanda 7 Ottnndolo con l trasformazioni lmntari, si disgni il grafico dlla funzion f) = ln + ) Il grafico si ottin a partir dal grafico di ln con l trasformazioni qui sotto riportat ln ln + ) ln + ) Domanda 8 Dopo avr disgnato un grafico dlla funzion f : [, ] R, con f) =, si dtrminino i punti di massimo di minimo di f Il grafico è qui a fianco Dal grafico si vd ch il punto di massimo è in ma = mntr il punto di minimo è in min = / Domanda 9 Si calcoli il lim + 3 Domanda 0 Con l algbra di limiti Si calcoli la drivata dlla funzion f) = ln f ) = ln lim + 3 = + ) 3 = 0 + = 0 ) ) + ) Tma dl 04//05 I part Prova intrmdia)

6 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 5 PROVA INTERMEDIA DI MATEMATICA II part Vicnza, 06//05 ESERCIZIO Dat l du funzioni f) = ) g) = si provi ch ntramb tndono a + pr + Si dimostri poi ch f g sono quivalnti pr + Si dtrmini infin l sprssion dlla funzion invrsa di ntramb Si ha lim f) = lim + + ) = + ) = 0 + = 0 + = + lim g) = lim + + = + = + = 0 + = + Occorr dimostrar ch il limit dl quozint di f g tnd a f) lim + g) = lim + Pr quanto riguarda l funzioni invrs si ha ) = lim + ) H = lim + = = ) ) = = = + quindi f ) = + Pr la g si ha = ) quindi g ) = ln + = = + = ln + ) ESERCIZIO Data la funzion f) = { 0 ln + ) 0 <, s n disgni un grafico utilizzando l trasformazioni lmntari Si provi ch alla funzion f è applicabil il torma di Wirstrass nll intrvallo [, ] si vrifichi la tsi Si stabilisca s alla funzion f è applicabil il torma di Lagrang nll intrvallo [, ] Pr quanto riguarda la funzion polinomial propongo du possibili modi di procdr Si può più smplicmnt scrivr = + ), da cui si ricava ch il grafico è qullo di una parabola con la concavità rivolta vrso il basso ch incontra l ass in = oppur = 0 Si potva anch far: lim + ) = lim ) + ) con il cambio di variabil = t si trasforma nl limit notvol t lim = t 0 + t = lim + Qusto modo di procdr non utilizza pr la vrità l trasformazioni lmntari ma è comunqu accttabil Tma dl 06//05 II part Prova intrmdia)

7 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 6 Si può arrivar al grafico anch attravrso l trasformazioni lmntari, ma occorr prima riscrivr l sprssion compltando il quadrato = ) = + ) Quindi il grafico crcato è qullo ch si ottin dal grafico di con una traslazion a sinistra di in alto di, com raffigurato qui sotto 4 + ) + ) Pr quanto riguarda la funzion logaritmica invc, il grafico si ottin con l sgunti trasformazioni lmntari ln ln + ) ln + ) Quindi il grafico dlla funzion f è qullo rapprsntato qui sotto 4 Il torma di Wirstrass è applicabil s la funzion è continua in un intrvallo chiuso limitato L intrvallo [, ] è chiuso limitato pr dfinizion Pr vrificar la continuità di f in qusto intrvallo possiamo anzitutto affrmar ch f è crtamnt continua ngli intrvalli [, 0) 0, ], 3 in quanto in tali intrvalli la funzion coincid con una funzion lmntar o somma/prodotto/quozint/composta di funzioni lmntari) Nl punto = 0, com dtto in nota, dobbiamo vrificar la continuità usando la dfinizion Possiamo prò affrmar ch la funzion f è pr dfinizion continua in = 0 da sinistra, in quanto in un intorno sinistro di 0 coincid con la funzion polinomial Quindi è sufficint vrificar la continuità da dstra Faccio notar ch da dstra non possiamo utilizzar lo stsso argomnto di prima, dato ch nl punto = 0 la funzion assum il suo valor attravrso la funzion polinomial, mntr a dstra dl punto ssa coincid con la funzion logaritmica La continuità da dstra è data dall uguaglianza tra f0) = 0 ) 0 = 0 lim f) = lim 0 + ln + ) = ln = Vrificar la tsi dl torma significa constatar ch nll smpio dato è vro quanto la tsi affrma 3 Mtto in vidnza qusto asptto, a volt non così chiaro agli studnti: con qusta scrittura stiamo affrmando ch la funzion è continua nll intrvallo [, 0), cioè in tutti i punti, con < 0 nll intrvallo 0, ], cioè in tutti i punti, con 0 < agli strmi d la continuità si intnd rispttivamnt da dstra da sinistra) Quindi non stiamo dicndo nulla pr quanto riguarda la continuità nl punto = 0, ch andrà studiato succssivamnt Tma dl 06//05 II part Prova intrmdia)

8 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 7 La tsi dl torma di Wirstrass è ch la funzion f nll intrvallo [, ] assum i valori dl suo strmo infrior dl suo strmo suprior in tal intrvallo, o quivalntmnt ch f ha in [, ] un punto di massimo un punto di minimo globali) Dal grafico possiamo vdr ch la tsi è vrificata ch il punto di massimo è in =, con valor corrispondnt f ) = 4 massimo di f) il punto di minimo è in =, con valor corrispondnt f ) = minimo di f) Passiamo all ultima domanda, l applicabilità dl torma di Lagrang, l cui ipotsi sono ch la funzion sia continua nll intrvallo [, ] già vrificato) drivabil ni punti intrni, cioè nll intrvallo, ) Quindi studiamo la drivabilità Possiamo intanto dir ch dal grafico non par ssrci vidnza di un punto di non drivabilità punti angolosi o cuspidi), ma dobbiamo provarlo rigorosamnt In modo analogo a quanto fatto con la continuità, possiamo affrmar ch la funzion f è crtamnt drivabil ngli intrvalli, 0) 0, ), coincidndo con funzioni lmntari Sfruttando appunto la drivabilità in qusti punti possiamo poi scrivr Prtanto avrmo 4 f ) = s < < 0 + s 0 < < f 0) = lim f ) = lim ) = f +0) = lim f ) ) = lim = Prtanto f è drivabil in = 0 quindi il torma di Lagrang è applicabil Non è richista la vrifica dlla tsi dl torma ESERCIZIO 3 Data la funzion f) = ln ) s n dtrmini il dominio si calcolino i limiti significativi Si calcoli la drivata di f, si dica poi in quali intrvalli la funzion f è crscnt o dcrscnt si trovino gli vntuali punti di massimo o minimo locali Si disgni infin un possibil grafico di f La condizion di sistnza pr la funzion f è data dal sistma { 0 cioè > 0 { 0 <, quindi l insim di dfinizion è, 0) 0, ) Prtanto i limiti significativi da calcolar sono:, 0, 0 + Con l algbra di limiti si ha Infin lim f) = ln )) = 0 ln+ ) = ; lim f) = ln 0) = 0 = ; 0 0 lim f) = ln 0) = + 0 = lim f) = ln ) = ln0 + ) = ) = + Il sgno dlla funzion non è richisto La drivata di f è f ) = ) = + 4 Un asptto un po tcnico ma ch è il caso di sottolinar: la drivata dstra è pr dfinizion il limit dl rapporto incrmntal da dstra, non il limit dstro dlla drivata Quindi far il limit di f non smpr quival a calcolar la drivata dstra Prò s la funzion è continua da dstra d sist il limit dlla drivata, allora qusto è ugual alla drivata dstra potrbb ssr infinita) Lo stsso ovviamnt val pr la drivata sinistra Solitamnt è più smplic il calcolo dl limit dlla drivata risptto al limit dl rapporto incrmntal Attnzion ch s la funzion non è continua potrmmo avr un limit dlla drivata finito con una drivata ch invc non sist Tma dl 06//05 II part Prova intrmdia)

9 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 8 Pr studiar dov la funzion crsc o dcrsc studiamo il sgno dlla drivata f ) > 0 + > 0 + ) > 0 Dato ch il dnominator nl campo di sistnza è smpr positivo, la disquazion quival alla Prtanto la funzion f è crscnt in + > 0, ch è vrificata pr < 5, 5 > + 5 ) + ) 5, dcrscnt in ) 5, 0 0, + 5 Inoltr M = 5 è punto di massimo local non global) m = + 5 è punto di minimo local non global) Un possibil grafico di f è il sgunt ) Tma dl 06//05 II part Prova intrmdia)

10 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 9 PROVA CONCLUSIVA DI MATEMATICA I part Vicnza, 5/0/06 Domanda Domanda quindi + ln Calcolar l intgral d Calcolar l intgral / + ln d = / ln d ln d = ln ln d = ln = ln ) / + ln ) d = + ln + c d = ln + c ln ) = ) ) = Domanda 3 Calcolar la somma dlla sri + n/ n=0 + n=0 n/ = + n=0 = + ) n = n/ / n=0 + n=0 ) n = n Domanda 4 Dir s convrg o divrg la sri n + n n= Pr n + a numrator è trascurabil risptto a 3 n a dnominator n è trascurabil risptto ad n Quindi il trmin gnral è quivalnt a 3 n n = n/3 n = n, /3 ch è il trmin gnral di una sri armonica gnralizzata con paramtro α = /3 < La sri divrg prtanto divrg anch la sri data Domanda 5 Calcolar il prodotto tra matrici ) ) ) ) 3 = 3 4 ) 0 Tma dl 5/0/06 I part Prova conclusiva)

11 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 0 0 Domanda 6 Scrivr la matric di complmnti algbrici dlla matric 0 3 Ricordando ch il complmnto algbrico dll lmnto di posto i, j) è il dtrminant dlla sottomatric ch si ottin liminando la i-sima riga la j-sima colonna, cambiato di sgno s il posto è dispari, si ha Domanda 7 Calcolar il rango dlla matric 3 Il dtrminant è nullo, o calcolandolo o ossrvando ch l prim du righ sono oppost, quindi il rango non è 3 Il rango è ossrvando ch ad smpio il minor complmntar dll lmnto di posto, ) è Domanda 8 Disgnar il dominio dlla funzion f, ) = ln ) La condizion di sistnza è > 0, ch quival a dir ntramb l variabili positiv oppur ntramb ngativ Si tratta quindi dll union dl primo dl trzo quadrant, assi cartsiani sclusi L insim è raffigurato in grigio a fianco Domanda 9 Classificar in bas al sgno la forma quadratica La matric simmtrica dlla forma quadratica è Q,, z) = + z + z 0 Il dtrminant si annulla in quanto l prim du righ sono oppost I minori principali dl primo ordin sono,, 0; i minori principali dl scondo ordin sono 0,, Essndoci un minor principal di ordin pari ngativo la forma è indfinita Si potva anch concludr ossrvando ch ad smpio Q, 0, 0) = > 0 Q0,, ) = < 0 Domanda 0 Calcolar l drivat parziali dlla funzion f, ) = ln + ) f = + f = ln + ) + + Tma dl 5/0/06 I part Prova conclusiva)

12 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 PROVA CONCLUSIVA DI MATEMATICA II part Vicnza, 8/0/06 ESERCIZIO Data la funzion f) = ln s n calcoli l intgral indfinito f) d intgrando pr parti Si dica prché l intgral di f nll intrvallo [, ] dv ssr positivo, succssivamnt, lo si calcoli Si stabilisca infin s la sri Pr l intgral indfinito si ha ln d = ln + n= fn) convrg o divrg ) ) d = ln + d = ln + c L intgral di Rimann nll intrvallo [, ] è crtamnt positivo in quanto la funzion intgranda è non ngativa in tal intrvallo il numrator si annulla in poi è positivo il dnominator è smpr positivo) Ricordo ch quando la funzion intgranda è non ngativa l intgral di Rimann è non ngativo coincid con l ara dlla rgion ch sta tra l ass il grafico dlla funzion stssa Ora calcoliamo l intgral dfinito: ln d = ln = ) 0 ) = + = Passiamo alla sri + n= fn) = + n= ln n n Si può vrificar provat a farlo!) ch il confronto con la sri armonica + n= n non porta ad alcun risultato in quanto ln n n è trascurabil risptto ad n, ma la sri armonica divrg Analogamnt non dà risultati il confronto con la sri armonica gnralizzata + n= n, dato ch qusta convrg, ma il trmin gnral ln n n non è trascurabil risptto ad n Funziona invc il confronto con la sri armonica gnralizzata + n= Si ha n 3/ lim n + ln n n ln n = lim n + n ln n n3/ = lim n + n = 0 / n 3/ in quanto è un confronto standard Prtanto il trmin gnral ln n n è trascurabil risptto ad, dato ch la sri n 3/ armonica gnralizzata + n= convrg in quanto α = 3/ >, allora convrg anch la sri data n 3/ ESERCIZIO Si considri il sistma linar A = b, con A = 0 4 b = 5 Si dica anzitutto s, in bas al torma di Rouché Caplli, il sistma ha soluzioni In caso affrmativo si risolva il sistma si indichi una bas dll soluzioni dl sistma omogno associato Si dica infin s tra l soluzioni di A = b ci sono vttori a componnti tutt positiv Affinché il sistma abbia almno una soluzion è ncssario sufficint ch il rango di A sia ugual al rango dlla matric complta A b) Tma dl 8/0/06 II part Prova conclusiva)

13 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 Il dtrminant di A si annulla la trza riga è la diffrnza dll prim du) Quindi il rango di A non è 3 Il minor complmntar dll lmnto di posto 3, 3) è divrso da zro val ) quindi il rango di A è Passiamo ad A b) = Ossrvando ch anch nlla matric complta si ha ancora ch la trza riga è la diffrnza dll prim du, possiamo dir ch il rango non è 3 l righ sono linarmnt dipndnti) quindi anch il rango di A b) è Il torma di Rouché Caplli garantisc l sistnza di soluzioni Dobbiamo ora risolvr il sistma A = b Si tratta di un sistma quadrato 3 3, ma con rango Il mtodo di risoluzion gnral prvd quindi di liminar un quazion in quanto dipndnt dall altr) di trasformar in paramtro una dll variabili Eliminando la trza quazion trasformando in paramtro la variabil z si ossrvi ch il minor principal di Nord-Ovst dl scondo ordin è divrso da zro), possiamo trasformar il sistma nl sistma quivalnt { = 6 5z = 5 4z Possiamo dirttamnt scrivr l soluzioni, dat dall insim S = { 6 5z, 5 4z, z) : z R } Una bas dll soluzioni dl sistma omogno associato si può ottnr scrivndo l soluzioni nlla forma standard soluzion particolar + soluzioni dl sistma omogno : S = { 6, 5, 0) + z 5, 4, ) : z R } Prtanto una bas è { 5, 4, ) } Possiamo anch affrmar ch il sottospazio di R 3 dll soluzioni dl sistma omogno associato ha dimnsion è una rtta pr l origin in R 3 ) L ultima domanda: tra l soluzioni di A = b ci sono vttori a componnti tutt positiv? Sì, ad smpio la soluzion ch si ottin dall sprssion 6 5z, 5 4z, z) ponndo z =, cioè la soluzion,, ) ESERCIZIO 3 Data la funzion f, ) = ln ) ) ) ln si dtrmini si disgni il suo dominio Si indichino un punto intrno un punto di frontira pr il dominio di f Si calcolino l drivat parziali di f si dica s il punto 0, ) è stazionario Si dtrmini infin la curva di livllo 0 di f L condizioni pr l sistnza dlla funzion f sono sprss dal sistma { { ) > 0 + ) < > 0 < La prima disquazion individua il crchio aprto) di cntro il punto 0, ) raggio La sconda disquazion individua la rgion ch sta al di sotto dlla parabola di quazion =, il cui grafico si ottin facilmnt con l trasformazioni lmntari Si tratta dlla parabola con ass vrtical, concavità vrso il basso, vrtic nl punto 0, ) ch incontra l ass in = ± Il dominio di f è rapprsntato qui a dstra in grigio Un punto intrno è ad smpio il punto 0, ) rosso); un punto di frontira è ad smpio il punto 0, 0) blu)5 L drivat parziali di f sono: f = ) + 5 Attnzion! È rrato affrmar, com molti hanno fatto, ch non sistono punti di frontira in quanto l insim è aprto / Tma dl 8/0/06 II part Prova conclusiva)

14 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 3 f = ) ) + Pr dir s il punto 0, ) è stazionario basta calcolar l drivat parziali in tal punto Si ha ma Prtanto il punto non è stazionario f 0, ) = 4 ) f 0, ) = 0 + = = = 0 3 Concludiamo con la curva di livllo 0 dlla funzion f Dobbiamo risolvr l quazion f, ) = 0 ln ) ) ln ) = 0 ln ) ) = ln ) cioè ) = ) = = 0 L soluzioni sono = 3± 5, ch nl piano individuano l du rtt di quazion = = 3 5 La prima rtta è strna al dominio ), mntr la sconda è in part contnuta nl dominio ) I punti dlla curva di livllo zro sono indicati in rosso nlla figura ch sgu Con qualch smplic calcolo si trova ch il sgmnto di livllo 0 congiung i du punti in cui la parabola la circonfrnza si intrscano Tali punti sono provar a vrificarlo) ) 5 ) /, 3 5 ) 5 ) /, 3 5 Tma dl 8/0/06 II part Prova conclusiva)

15 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 4 ESAME DI MATEMATICA I part Vicnza, 5/0/06 Domanda Scomporr in fattori non ultriormnt scomponibili il polinomio P ) = = ) = 3 4 ) Domanda Nll sprssion + / raccoglir s possibil smplificar + / = + / ) = + / ) Domanda 3 Risolvr l quazion ) + = 0 Raccoglindo un tra il trzo quarto trmin si ha ) ) = 0 ) ) = 0 = = = 0 = = Domanda 4 Risolvr la disquazion log ) + < 0 La condizion di sistnza è > 0, ch quival attnzion!) a 0 Poi la disquazion quival a log ) < log ) < log < 4 4 < < Considrando la condizion di sistnza l soluzioni sono l insim S = ), 0 0, ) Domanda 5 Disgnar nl piano cartsiano l insim dll soluzioni dlla disquazion 4 + < L quazion 4 + = dfinisc un lliss con cntro l origin Pr trovar l informazion corrtta sui smiassi dobbiamo scrivr l quazion nlla forma Quindi a = a + b < Si ha + < 4 b = Prtanto si ottin l lliss raffigurata a fianco / / Tma dl 5/0/06 I part

16 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 5 Domanda 6 f) = ln Aiutandosi con un grafico, dtrminar la controimmagin dll intrvallo, ) attravrso la funzion ln Domanda 7 Calcolar il limit lim + Dal grafico a sinistra si dduc ch la controimmagin dll intrvallo, ) è l intr- vallo di strmi dati dall controimmagini di = = Pr trovar qust basta porr la funzion ugual a Si ha Quindi possiamo scrivr f, ) = + ln ln = = ln = = = )) ), Con l algbra di limiti lim + + ln )) = ) + ln = ln 0 +) = = Domanda 8 ) Calcolar la drivata dlla funzion f) = / + ) ) f ) = / + + / + Domanda 9 0/ Calcolar l intgral d 0/ d = 0 0/ 0 d = 0 0/ + c Domanda 0 Calcolar l drivat parziali dlla funzion f, ) = ln) f = ln) ln ) f = ) ln ) Tma dl 5/0/06 I part

17 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 6 ESAME DI MATEMATICA II part Vicnza, 8/0/06 ESERCIZIO Data la funzion f) = { ln 0 < < ), s n disgni un grafico utilizzando l trasformazioni lmntari Si dica s f è continua drivabil in 0, + ) Si giustifichi l affrmazion ch f è invrtibil si scriva l sprssion dlla funzion invrsa L trasformazioni grafich lmntari dlla funzion logaritmica sono riportat qui sotto ln ln ln L trasformazioni dlla funzion polinomial sono riportat qui sotto ) ) ) Il grafico dlla funzion f è prtanto qullo qui a fianco Passiamo alla continuità drivabilità Dal grafico si vd ch f è continua nl suo dominio, comprso il punto = Pr motivar la cosa in modo più rigoroso dobbiamo dir quanto sgu La funzion f è crtamnt continua ngli intrvalli 0, ), + ), 6 in quanto in tali intrvalli la funzion coincid con trasformazioni di funzioni lmntari Nl punto =, com dtto in nota, dobbiamo vrificar la continuità usando la dfinizion Possiamo affrmar ch la funzion f è pr dfinizion continua in = da dstra, in quanto in un intorno dstro di coincid con il polinomio Quindi è sufficint vrificar la continuità da sinistra Faccio notar ch da sinistra non possiamo utilizzar lo stsso argomnto di prima, dato ch nl punto = la funzion assum il suo valor attravrso la funzion polinomial, mntr a sinistra dl punto è una funzion logaritmica La continuità da sinistra è data dall uguaglianza tra f) = ) = lim f) = lim ln ) = Passiamo alla drivabilità Possiamo intanto dir, in modo simil a quanto fatto con la continuità, ch la funzion f è crtamnt drivabil ngli intrvalli 0, ), + ), dato ch coincid con funzioni lmntari La drivabilità in = va studiata a part Asptti gomtrici dl grafico, com il fatto ch il punto, ) è il vrtic dlla parabola, suggriscono la prsnza di un punto di non drivabilità Ma dimostriamo la non drivabilità rigorosamnt Pr possiamo scrivr { f ) = s 0 < < ) s > 6 Con qusta scrittura stiamo affrmando ch la funzion è continua nll intrvallo aprto 0, ), cioè in tutti i punti, con 0 < < nll intrvallo aprto, + ), cioè in tutti i punti, con > Attnzion ch non stiamo dicndo nulla pr quanto riguarda il punto =, ch quindi andrà studiato a part Tma dl 8/0/06 II part

18 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 7 Prtanto avrmo 7 f ) = lim f ) = lim ) = f +) = lim f ) = lim + + )) = 0 Quindi, ssndo divrs l drivat dstra sinistra, f non è drivabil in = Possiamo affrmar ch f è invrtibil nl suo dominio, cioè l intrvallo 0, + ), in quanto è strttamnt) dcrscnt lo vdiamo dal grafico Concludiamo con l sprssion dlla funzion invrsa Procuriamoci intanto l sprssion dll funzioni invrs di f ) = ln f ) = ) Con = ln si ha ln = ; = con = ) si ha ) = ; = ± ; = ± Tra l du sprssioni finali bisogna scglir qulla con il +, dato ch nl tratto rlativo alla funzion quadratica abbiamo ch è maggior di Pr la scrittura final complssiva dlla funzion invrsa occorr considrar ch la funzion f ha com valori cioè l ) l intrvallo, + ), mntr la funzion f ha com valori l intrvallo, ] Qusti sono gli intrvalli di variabilità dll Prtanto abbiamo { + f ) = > ESERCIZIO Data la trasformazion linar T 4 3 = si dica tra quali spazi ssa opra si scriva la sua matric di rapprsntazion Si dtrmini il rango di T una bas dlla sua immagin Si dtrmini infin il sottospazio in cui la trasformazion si annulla La trasformazion T è dfinita in R 4 assum valori in R 3, quindi possiamo scrivr T : R 4 R 3 La matric di rapprsntazion di T è A = 0 0 in quanto = Il rango di T è il rango dlla matric A Si vd facilmnt ch il rango è massimo, cioè 3, dato ch il minor ch si ottin dall ultim tr colonn è divrso da zro Infatti 0 0 dt 0 0 = 0 0 Ricordo ch l immagin di T è il sottospazio di R 3 gnrato dall colonn di A Una bas è formata da tr colonn indipndnti, ad smpio l ultim tr, quindi { una bas di ImT è 0 0, 0, } Un asptto un po tcnico ma ch è il caso di sottolinar: la drivata dstra è pr dfinizion il limit dl rapporto incrmntal da dstra, non il limit dstro dlla drivata Quindi far il limit di f non smpr quival a calcolar la drivata dstra Prò s la funzion è continua da dstra d sist il limit dlla drivata, allora qusto è ugual alla drivata dstra potrbb ssr infinita) Lo stsso ovviamnt val pr la drivata sinistra Solitamnt è più smplic il calcolo dl limit dlla drivata risptto al limit dl rapporto incrmntal Attnzion ch s la funzion non è continua potrmmo avr un limit dlla drivata finito con una drivata ch invc non sist Tma dl 8/0/06 II part

19 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 8 Faccio ossrvar ch si potva anch rispondr così: dato ch l immagin di T è un sottospazio di R 3 di dimnsion 3 il rango di T è la dimnsion dlla sua immagin), si tratta di tutto R 3 Quindi una sua bas è la bas fondamntal Praltro l ultim tr colonn di A sono la bas fondamntal, anch s l ordin di vttori è invrso Pr finir dtrminiamo il sottospazio in cui la trasformazion si annulla Esso è l insim dll soluzioni dll quazion T ) = 0, dov R 4 0 R 3 In sostanza si tratta di risolvr il sistma linar 4 = = 0 = 0 L soluzioni sono il sottospazio di R 4 ) cioè 4 = 0 = 3 = 0 S 0 = { t, 0, t, 0) : t R }, sottospazio gnrato dal vttor, 0,, 0) ESERCIZIO 3 Data la funzion f, ) = ) si dtrmini si disgni il suo dominio Si indichino un punto intrno un punto di frontira pr il dominio di f Si calcolino l drivat parziali di f si dica s il punto, 0) è stazionario Si dtrmini infin la curva di livllo 0 di f L condizioni pr l sistnza dlla funzion f sono sprss dal sistma { 0 ) 0 { ) + La prima disquazion individua la rgion ch sta a sinistra dlla parabola di quazion =, il cui grafico si ottin facilmnt con l trasformazioni lmntari Si tratta dlla parabola con ass orizzontal, concavità vrso sinistra, vrtic nl punto, 0) ch incontra l ass in = ± La prima disquazion individua il crchio aprto) di cntro il punto, 0) raggio Il dominio di f è rapprsntato qui sotto a sinistra in grigio Un punto intrno è ad smpio il punto, 0) rosso); un punto di frontira è ad smpio il punto 0, 0) blu)8 L drivat parziali di f sono: f = ) ) f = ) / Pr dir s il punto, 0) è stazionario basta calcolar l drivat parziali in tal punto Si ha f, 0) = qusto è sufficint pr dir ch il punto non è stazionario + 4 = 3 Concludiamo con la curva di livllo 0 dlla funzion f Dobbiamo risolvr l quazion f, ) = 0 ) = 0 = ) 8 Attnzion! È rrato affrmar, com molti hanno fatto, ch non sistono punti di frontira in quanto l insim è aprto Tma dl 8/0/06 II part

20 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 9 cioè = ) ) = = 0 L soluzioni sono = 3± 5, ch nl piano individuano l du rtt = = 3 5 La prima rtta è strna al dominio ), mntr la sconda è in part contnuta nl dominio ) I punti dlla curva di livllo zro sono indicati in rosso nlla figura ch sgu Con qualch smplic calcolo si trova ch il sgmnto di livllo 0 congiung i du punti in cui la parabola la 3 circonfrnza si intrscano Tali punti sono provar a vrificarlo) 5, ) 5 ) / 3 5, 5 ) ) / Tma dl 8/0/06 II part

21 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 0 PROVA CONCLUSIVA DI MATEMATICA I part Vicnza, 0/0/06 Domanda Calcolar l intgral ln d / ln d = ln d = ln ln + c f ) f) d = ln ) f) + c Domanda quindi Calcolar l intgral d d = ) ) d = + c d = = ) ) = Domanda 3 Calcolar la somma dlla sri + n=0 n/0 + n=0 + n/0 = n/0 = n=0 + n=0 /0 ) n = /0 = n + 3 n Domanda 4 Dir s convrg o divrg la sri n= n + n 3 Pr n + a numrator 3 n cioè n /3 ) è trascurabil risptto a n cioè n / ), mntr a dnominator n è trascurabil risptto a n 3 cioè n 3/ ) Quindi il trmin gnral dlla sri è quivalnt a n n 3 = n n 3 = n = n, ch è il trmin gnral dlla sri armonica Qust ultima divrg prtanto divrg anch la sri data Domanda 5 Dir s i vttori,, 3 ),, ) sono ortogonali oppur no Basta calcolar il prodotto intrno di du vttori vdr s qusto si annulla oppur no,, 3 ),,, ) = + ) ) + 3 ) = + 3 = 0 quindi i du vttori sono ortogonali 0 0 Domanda 6 Calcolar il prodotto tra matrici Tma dl 0/0/06 I part Prova conclusiva)

22 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/ = 0 0 ) Domanda 7 Calcolar la matric invrsa di Il dtrminant val La matric di complmnti algbrici è ) ) La sua trasposta è quindi l invrsa è ) Domanda 8 Disgnar il dominio dlla funzion f, ) = ln ln ) { > 0 La condizion di sistnza è data dal sistma < 0 Si tratta quindi dl quarto quadrant, assi cartsiani sclusi L insim è raffigurato in grigio a fianco Domanda 9 Classificar in bas al sgno la forma quadratica Q,, z) = z + + z + z La matric simmtrica dlla forma quadratica è Il dtrminant si annulla ci sono righ o colonn uguali) I minori principali dl primo ordin sono tutti uguali ad ; i minori principali dl scondo ordin sono tutti nulli quindi la forma è smidfinita positiva Domanda 0 Calcolar l drivat parziali dlla funzion f, ) = + ln ) f = + ln ) + f = + ln )) Tma dl 0/0/06 I part Prova conclusiva)

23 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 PROVA CONCLUSIVA DI MATEMATICA II part Vicnza, 04/0/06 ESERCIZIO Data la funzion f) = + si stabilisca s la sri fn) convrg o divrg Si calcoli l intgral indfinito f) d intgrando pr parti Si n= dica prché l intgral di f nll intrvallo [, ] dv ssr positivo, succssivamnt, lo si calcoli Abbiamo la sri fn) = n n n = n n= Il trmin gnral tnd a zro confronto standard) quindi la sri può convrgr n= Propongo du modi altrnativi pr studiar la convrgnza Calcoliamo il limit fn + ) n + ) n+) n + ) n lim = lim n + fn) n + n n = lim n + n n+ = lim n + n= Il primo è attravrso l uso dl critrio dl rapporto ) n + = n lim n + + n) Il limit val l =, dato ch si tratta di un numro minor di, pr il critrio dl rapporto la sri convrg Si potva altrnativamnt oprar con un critrio di confronto, ad smpio con la sri armonica gnralizzata + n= n n 4 Il limit lim n n n + = lim n n + n = 0, dato ch si tratta di un confronto standard potnza/sponnzial Possiamo quindi affrmar ch il trmin gnral n è trascurabil risptto a n n, dato ch la sri armonica gnralizzata + n= n convrg α = > ), allora convrg anch la sri data Passiamo all intgral indfinito, dov è richista un intgrazion pr parti Si ha d = ) ) d = + d Intgrando nuovamnt pr parti il grado dl polinomio si è abbassato) si ha ) = + ) ) d = + d = + c L intgral può ssr anch scritto com + + ) + c Concludiamo con l intgral di Rimann nll intrvallo [, ] Esso è crtamnt positivo in quanto la funzion intgranda ) è positiva in tal intrvallo, ad cczion di =, dov si annulla Ricordo ch quando la funzion intgranda è non ngativa l intgral di Rimann è non ngativo coincid con l ara dlla rgion ch sta tra l ass il grafico dlla funzion stssa Ora calcoliamo l intgral: d = + + ) ch è infatti una quantità positiva = + + ) + + ) = 5 + = 5, Tma dl 04/0/06 II part Prova conclusiva)

24 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 3 ESERCIZIO Data la trasformazion linar T ) = T = si dica tra quali spazi ssa opra si scriva la sua matric di rapprsntazion Si dica s T è invrtibil Si dtrmini il rango di T una bas dlla sua immagin Si dtrmini infin una bas dl sottospazio dfinito da T ) = 0 La trasformazion T è vidntmnt dfinita in R 3 ha i suoi valori in R 3, quindi scriviamo T : R 3 R 3 La sua matric di rapprsntazion è A = 0 T è invrtibil s solo s la matric A è invrtibil qusto si ha s solo s il dtrminant di A non si annulla Prò si vd facilmnt ch invc dt A = 0, in quanto l prim du colonn sono oppost Quindi T non è invrtibil Il rango di T coincid con il rango dlla matric A, ch vidntmnt non è 3 Pr affrmar ch è possiamo ossrvar ch ad smpio il minor complmntar dll lmnto di posto, ) è divrso da zro val ) Una bas dll immagin di T : ricordo ch l tr colonn di A sono gnratori di ImT Non sono prò una bas in quanto linarmnt dipndnti Dato ch il rango è ci sono al più du colonn indipndnti, in considrazion dl minor considrato in prcdnza, possiamo dir ch la sconda la trza colonna formano una bas di ImT Pr dtrminar infin una bas dl sottospazio dfinito da T ) = 0 dobbiamo chiaramnt prima dtrminar qusto sottospazio Esso è l insim dll soluzioni dll quazion T ) = 0 Qusta significa = Ossrvo ch si tratta di un sistma quadrato omogno 9 = = = 0 + = 0 Qui dobbiamo sfruttar quanto già trovato in prcdnza Anziché procdr col mtodo di sostituzion, col qual è facil far pasticci, usiamo il mtodo gnral Dato ch il rango di A è abbiamo 3 quazioni, possiamo liminar un quazion dipndnt: la prima corntmnt con il minor usato prima) Il sistma quival quindi a { = 0 + = 0 Ancora in cornza con il solito minor possiamo far divntar paramtro la, portandola a dstra { + 3 = = da cui { = 3 = 0 L soluzioni sono quindi dat dall insim sottospazio di R 3 ) { } { } S =,, 0) : R =,, 0) : R L ultima scrittura vidnzia ch il vttor,, 0) è il gnrator bas di S, sottospazio di dimnsion 9 Potrmmo già dir ch l omognità garantisc almno una soluzion ch dt A = 0 garantisc l sistnza di infinit soluzioni com consgunza dl torma di Cramr) Tma dl 04/0/06 II part Prova conclusiva)

25 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 4 ESERCIZIO 3 Data la funzion f, ) = ) ) si trovino i suoi punti stazionari si stabilisca la loro natura, cioè s sono vntualmnt punti di massimo o di minimo Si dtrmini si disgni la rgion in cui la funzion è positiva, indicando infin la curva in cui si annulla La funzion è un polinomio di trzo grado, d è quindi dfinita in tutto il piano Calcoliamo l drivat parziali f = ) f = + ) ) Crchiamo ora i punti stazionari, annullando l du drivat Occorr risolvr quindi il sistma { ) = 0 + = 0 { = 0 + = 0 { = + = 0 I du sistmi quivalgono quindi a { = 0 + = 0 { = = 0 { = 0 = { = = ± Prtanto abbiamo 3 punti stazionari: 0, ),, ), ) Ora dobbiamo studiar la natura di qusti punti attravrso l condizioni dl scondo ordin, cioè l drivat scond Calcoliamo quindi il gradint scondo di f ) ) f f f, ) = ) f f = Il gradint scondo va ora calcolato ni tr punti stazionari ) 0 f0, ) = La matric è dfinita ngativa prtanto il punto 0, 0 ) è punto di massimo local ) 0 f, ) = La matric è indfinita prtanto il punto, ) è punto di slla né di massimo né di minimo) ) 0 f, ) = La matric è indfinita prtanto il punto, ) è punto di slla né di massimo né di minimo) La rgion in cui la funzion è positiva è l insim dll soluzioni dlla disquazion ) ) > 0, ch quival ai sistmi { > 0 > 0 { < 0 < 0 { > < { < > La rapprsntazion dlla rgion è qui sotto in grigio Il punto di massimo è in rosso i punti di slla sono in blu / Pr dtrminar la curva in cui la funzion si annulla basta risolvr l quazion ) ) = 0, ch quival a = 0 oppur = 0 0 = oppur = Tma dl 04/0/06 II part Prova conclusiva)

26 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 5 La funzion si annulla sui punti dlla rtta di quazion = oppur sui punti dlla parabola di quazion =, indicati in rosso nlla figura Non richisto: pr stabilir s il punto di massimo local è anch di massimo global si può ossrvar ch lungo la rtta di quazion = la rstrizion di f è f = ) ) = ) = qusta quantità tnd a + s + Quindi il punto 0, ) non è di massimo global Il massimo global non sist 0 Attnzion, non si dv far il sistma dll du quazioni!! Altrimnti si trovano soltanto i du punti in cui si annullano contmporanamnt ntrambi i fattori Tma dl 04/0/06 II part Prova conclusiva)

27 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 6 ESAME DI MATEMATICA I part Vicnza, 0/0/06 Domanda Nll sprssion + raccoglir, s possibil, smplificar + = + ) = + 3 ) Domanda Risolvr l quazion + ) = + ) Attnzion Dividndo subito ambo i mmbri pr + si sbaglia, dato ch si prd una possibil soluzion L quazion quival a Qusta quival a + ) + ) = 0 + ) ) = 0 + = 0 oppur = 0 cioè = oppur = quindi = oppur = 0 Quindi S = {, 0 } Domanda 3 Risolvr la disquazion La disquazion quival ai sistmi 3 > 0 { 3 > 0 > 0 { 3 < 0 < 0 { + ) 3) > 0 > 0 { + ) 3) < 0 < 0 { < > 3 > 0 { < < 3 < 0 Il primo sistma ha pr soluzioni > 3 il scondo < < 0 Quindi S =, 0) 3, + ) Domanda 4 Risolvr la disquazion ln ) + < 0 La condizion di sistnza è > 0, ch quival attnzion!) a 0 Poi la disquazion quival a ln ) < < < < Considrando la condizion di sistnza l soluzioni sono l insim S = ), 0 0, ) Domanda 5 Disgnar nl piano cartsiano l insim dll soluzioni dlla disquazion 4 < 0 La disquazion quival a ) + ) < 0 quindi ai sistmi { > 0 + < 0 { < 0 + > 0 { < < { > > Tma dl 0/0/06 I part

28 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 7 / L insim è raffigurato qui sopra in grigio Domanda 6 Calcolar il limit lim ln + /) 0 Domanda 7 Domanda 8 Con l algbra di limiti lim ln + /) = ln 0 + /0 = ln = + 0 = 0 Calcolar la drivata dlla funzion f) = Calcolar l intgral + ln ) f ) = + ln ) + + ln ) ln d / ln d = ln d = ln ln + c f ) f) d = ln ) f) + c 3 Domanda 9 Scrivr la matric di complmnti algbrici dlla matric 3 3 Ricordando ch il complmnto algbrico dll lmnto di posto i, j) è il dtrminant dlla sottomatric ch si ottin liminando la i-sima riga la j-sima colonna, cambiato di sgno s il posto è dispari, si ha Domanda 0 Calcolar l drivat parziali dlla funzion f, ) = + ln ) f = + ln )) f = + ln ) + Tma dl 0/0/06 I part

29 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 8 ESAME DI MATEMATICA I part Vicnza, 0/0/06 Domanda Nll sprssion + raccoglir, s possibil, smplificar + = + ) ) = 3 + Domanda Risolvr l quazion = ) Attnzion Dividndo subito ambo i mmbri pr si sbaglia, dato ch si prd una possibil soluzion L quazion quival a Qusta quival a quindi = 0 oppur = ln Quindi S = { 0, ln } ) = 0 ) = 0 = 0 oppur = 0 cioè = 0 oppur = Domanda 3 Risolvr la disquazion La disquazion quival ai sistmi + > 0 { > 0 + > 0 { < 0 + < 0 { > 0 ) + ) > 0 { < 0 ) + ) < 0 { > 0 < > { < 0 < < Il primo sistma ha pr soluzioni > il scondo < < 0 Quindi S =, 0), + ) Domanda 4 Risolvr la disquazion ln ) < 0 La condizion di sistnza è > 0, ch quival attnzion!) a 0 Poi la disquazion quival a ln ) < < < < Considrando la condizion di sistnza l soluzioni sono l insim S =, 0 ) 0, ) Domanda 5 Disgnar nl piano cartsiano l insim dll soluzioni dlla disquazion < 0 Raccoglindo, la disquazion quival a ) < 0 quindi ai sistmi { > 0 < 0 { < 0 > 0 { > 0 < { < 0 > L insim è raffigurato qui sotto in grigio Tma dl 0/0/06 I part

30 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 9 Domanda 6 Calcolar il limit lim ln ) + + Domanda 7 Con l algbra di limiti lim ln ) + + = ln ) = ln = + 0 = Calcolar la drivata dlla funzion f) = ) ln + f ) = ) ln ) Domanda 8 ln d = ln Calcolar l intgral d ln ln )/ )3/ d = + c = ln 3 + c 3/ 3 f α ) f ) d = f α+ ) ) α + + c Domanda 9 Scrivr la matric di complmnti algbrici dlla matric Ricordando ch il complmnto algbrico dll lmnto di posto i, j) è il dtrminant dlla sottomatric ch si ottin liminando la i-sima riga la j-sima colonna, cambiato di sgno s il posto è dispari, si ha Domanda 0 Calcolar l drivat parziali dlla funzion f, ) = + ln ) f = + ln ) + f = + ln )) Tma dl 0/0/06 I part

31 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 30 ESAME DI MATEMATICA II part Vicnza, 04/0/06 ESERCIZIO Data la funzion f) = ), dopo avrn studiato il sgno, i limiti significativi la drivata, si arrivi a disgnarn un possibil grafico Si dtrminino i punti di massimo di minimo di f nll intrvallo [0, 3] i corrispondnti valori massimo minimo Si disgni infin il grafico dlla funzion f + ) Ossrviamo ch non ci sono condizioni di sistnza quindi la funzion è dfinita in tutto R Cominciamo con il sgno Studiamo dov la funzion è positiva f) > 0 ) > 0 { > 0 > 0 { < 0 < 0 { > > 0 { < < 0 Ossrvando ch la sconda disquazion è smpr vra nl primo sistma smpr falsa nl scondo, la funzion f risulta positiva pr >, ngativa pr < si annulla in = I limiti significativi sono soltanto gli infiniti Si ha lim ) = ) + = + ) = lim + ) = + ) = + 0 forma indtrminata) Pr risolvr la forma indtrminata basta ad smpio far = lim + ) + H = lim + + = + = 0 Un possibil grafico è qullo riportato qui sopra Calcoliamo la drivata Ora considriamo la funzion nll intrvallo [0, 3] pr dtrminarn i punti di massimo di minimo i corrispondnti valori massimo minimo Dal grafico ottnuto si vd ch nll intrvallo [0, 3] la funzion è crscnt da 0 a poi dcrscnt fino a 3 Il punto di minimo è m = 0 il punto di massimo è M = I valori corrispondnti sono f m ) = f0) = = min [0,3] f f M ) = f) = = ma [0,3] f Pr disgnar infin il grafico dlla funzion f + ) basta usar l trasformazioni grafich lmntari applicandol al grafico ch abbiamo ottnuto dlla funzion f Srv uno spostamnto a sinistra di un ribaltamnto risptto all ass Ecco i du passaggi Si potva anch ricorrr al fatto ch, trascurata la costant, è un confronto standard f ) = + ) ) = + ) = ) Chiaramnt c è un solo punto stazionario: = Ricordando ch la funzion sponnzial è smpr positiva, la drivata di f risulta positiva pr < ngativa pr > Quindi la funzion f è crscnt in, ], dcrscnt in [, + ) ha un punto di massimo global) in = Tma dl 04/0/06 II part

32 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 3 ESERCIZIO Si considri il sistma di quazioni linari z = + + z = + = 3 Si scrivano anzitutto l matrici dl sistma Si provi, attravrso il torma di Rouché Caplli, ch il sistma ha soluzioni Succssivamnt si risolva il sistma, indicando una soluzion particolar l soluzioni dl sistma omogno associato Si indichi infin la dimnsion una bas dll soluzioni dl sistma omogno associato L matrici dl sistma, cioè l matrici incomplta complta, sono A = A b) = Il torma di Rouché Caplli affrma ch il sistma ha almno una soluzion s solo s il rango di A è ugual al rango di A b) Il dtrminant di A si annulla, ad smpio ossrvando ch l prim du colonn sono oppost Quindi il rango di A non è 3 Il minor complmntar dll lmnto di posto, ) è divrso da zro val ) quindi il rango di A è Passiamo ad A b), ch potrbb avr rango 3 Possiamo calcolar i tr minori dl trzo ordin trovrmmo ch sono tutti nulli) oppur ossrvar ch la trza riga è combinazion linar dll prim du, dato ch si ottin dalla prima più du volt la sconda Qusto prmtt di affrmar ch il rango di A b) non è 3 quindi è grazi ad smpio allo stsso minor considrato poco fa pr A Essndo uguali i du ranghi, il sistma ha soluzioni Dobbiamo ora risolvr il sistma A = b Si tratta di un sistma quadrato 3 3, ma con rango Il mtodo di risoluzion gnral prvd quindi di liminar un quazion in quanto dipndnt dall altr) di trasformar in paramtro una dll variabili Eliminando la prima quazion trasformando in paramtro la variabil qusto corntmnt con il minor dl scondo ordin ch abbiamo considrato ai fini dl rango), possiamo trasformar il sistma nl sistma quivalnt { + z = + = 3 + cioè { = 3 + z = + 3 cioè { = 3 + z = Possiamo quindi scrivr l soluzioni, dat dall insim S = {, 3 +, ) : R } Pr ottnr, com richisto, una soluzion particolar l soluzioni dl sistma omogno associato basta scrivr l soluzioni nlla forma quivalnt { } S = 0, 3, ) +,, 0) : R, dalla qual si ricava ch 0, 3, ) è una soluzion particolar ch l soluzioni dl sistma omogno associato sono i vttori dl tipo,, 0), con R cioè i multipli dl vttor,, 0)) In A b) ci sono 4 sottomatrici quadrat di ordin 3, ma il dtrminant di una di qust cioè A) lo abbiamo già calcolato Tma dl 04/0/06 II part

33 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 3 Infin, la dimnsion dll soluzioni dl sistma omogno associato è lo si vd dal numro di paramtri ch prmttono di sprimrl oppur dalla formula n ra) = 3 = ) una bas è formata dal vttor,, 0) ESERCIZIO 3 Data la funzion f, ) = ) ) si trovino i suoi punti stazionari si stabilisca la loro natura, cioè s sono vntualmnt punti di massimo o di minimo Si dtrmini si disgni la rgion in cui la funzion è positiva, indicando infin la curva in cui si annulla La funzion è un polinomio di trzo grado, d è quindi dfinita in tutto il piano Calcoliamo l drivat parziali f = + ) ) f = ) Crchiamo ora i punti stazionari, annullando l du drivat Occorr risolvr quindi il sistma { + = 0 ) = 0 { = 0 + = 0 { = + = 0 I du sistmi quivalgono quindi a { = 0 + = 0 { = = 0 { = 0 = { = = ± Prtanto abbiamo 3 punti stazionari:, 0),, ), ) Ora dobbiamo studiar la natura di qusti punti attravrso l condizioni dl scondo ordin, cioè l drivat scond Calcoliamo quindi il gradint scondo di f f, ) = ) f f f f = ) ) Il gradint scondo va ora calcolato ni tr punti stazionari ) 0 f, 0) = La matric è dfinita ngativa prtanto il punto 0, 0) è punto di massimo local ) f, ) = La matric è indfinita prtanto il punto, ) è punto di slla né di massimo né di 0 minimo) ) f, ) = La matric è indfinita prtanto il punto, ) è punto di slla né di massimo né di minimo) 0 La rgion in cui la funzion è positiva è l insim dll soluzioni dlla disquazion ) ) > 0, ch quival ai sistmi { > 0 > 0 { < 0 < 0 { > < { < > La rapprsntazion dlla rgion è qui a dstra in grigio Sono anch indicati il punto di massimo in rosso i du punti di slla in blu Pr dtrminar la curva in cui la funzion si annulla basta risolvr l quazion ) ) = 0, / ch quival a = 0 oppur = 0 3 = oppur = Tma dl 04/0/06 II part

34 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 33 La funzion si annulla quindi sui punti dlla rtta di quazion = oppur sui punti dlla parabola di quazion =, indicati in rosso nlla figura qui sopra Non richisto: pr stabilir s il punto di massimo local è anch di massimo global si può ossrvar ch lungo la rtta di quazion = la rstrizion di f è f = ) ) = ) = qusta quantità tnd a + s + Quindi il punto, 0) non è di massimo global Il massimo global non sist 3 Attnzion, non si dv far il sistma dll du quazioni!! Altrimnti si trovano soltanto i du punti in cui si annullano contmporanamnt ntrambi i fattori Tma dl 04/0/06 II part

35 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 34 ESAME DI MATEMATICA I part Vicnza, 7/06/06 Domanda Dir s sist un polinomio P ) tal ch + ) P ) = 3 + La domanda quival a chidrsi s A) = 3 + è divisibil pr + Pr il torma di Ruffini basta calcolar A) in = Si ha A ) = ) 3 = 0 quindi, appunto pr il torma di Ruffini, A) non è divisibil pr +, cioè non sist un polinomio P ) com richisto Domanda Nll sprssion /4 ln 4 + / ln raccoglir /4 ln smplificar /4 ln 4 + / ln = /4 /4 ) ln 4 ln /4 ln + / ln ln = /4 ) ) ln /4 ln ln + / /4 = /4 ln + /4) Domanda 3 Risolvr l quazion ln 3) + ln + = 0 L quazion è dfinita pr > 0 Ricordando ch ln 3) = 3 ln, possiamo riscrivr l quazion com 3 ln + ln + = 0 4 ln = ln = 4 = /4 Domanda 4 Risolvr la disquazion La disquazion è dfinita pr 0 Equival a + < + < 0 + Il polinomio a numrator è positivo pr ogni, dato ch il dlta è ngativo Quindi la frazion è ngativa s solo s < 0, ch sono l soluzioni < 0 Domanda 5 Disgnar nl piano cartsiano l insim dll soluzioni dll quazion + = ) Fornisco du modi pr arrivar al disgno dlla curva A partir dall quazion =, rlativa ad una parabola con ass orizzontal, vrtic nll origin concavità rivolta vrso dstra, si può ossrvar ch l quazion data si ottin sostitundo + al posto di al posto di Com noto qusto quival ad una traslazion dlla parabola originaria ch porta il vrtic nl punto, ) Il disgno è quindi qullo qui a dstra Un altro modo può ssr la riscrittura dll quazion nlla forma quivalnt + = + ; = ; = ) Si tratta quindi dlla parabola con ass orizzontal, concavità rivolta vrso dstra, ch intrsca l ass in = 0 = La stssa disgnata prima Tma dl 7/06/06 I part

36 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 35 ln ) Domanda 6 Calcolar il lim + ln /) Domanda 7 Con l algbra di limiti ln ) lim + ln /) = ln + ) ln / + ) Calcolar la drivata dlla funzion f) = ln ) ln f ) = ln ) = ln 0+ ln = 0 = + ) + ln ) / ) = 4 ln Domanda 8 Trovar una primitiva di f) = ln Una primitiva si può trovar calcolando l intgral indfinito di f Pr parti: ln d = ln d = 3 ln d = Una primitiva in particolar può ssr qulla con c = 0 o qualunqu altro valor) ln c 3 Domanda 9 Dtrminar un vttor non nullo ortogonal a, ) Si tratta di un qualunqu vttor non nullo), ) il cui prodotto intrno con il vttor dato dia com risultato zro Quindi, ), 3, ) = = = 0 Qualunqu soluzion trann ch = = 0) va bn: ad smpio = = 3 Quindi un vttor è, ) 3 Domanda 0 Dir s il punto 3, ) è di massimo pr la funzion f, ) = Ricordiamo anzitutto ch pr ssr un punto di massimo dv ssr un punto stazionario Il gradint di f è ) f, ) = + 3, + Qusto vttor non si annulla nl punto assgnato, dato ch 3, ) = 0, ) Quindi il punto assgnato non può ssr di massimo Tma dl 7/06/06 I part

37 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 36 ESAME DI MATEMATICA II part Vicnza, 9/06/06 ESERCIZIO Data la funzion { f) = + < , s n disgni un grafico utilizzando l trasformazioni lmntari Sulla bas dl grafico si dica qual è l immagin di f, quali sono i suoi punti di massimo/minimo globali i corrispondnti valori, cioè il massimo il minimo di f Si dica poi s f è continua drivabil in, + ) si scriva l sprssion dlla drivata ni punti in cui qusta sist La trasformazion grafica lmntar dlla funzion sponnzial è riportata qui sotto + L trasformazioni dlla funzion polinomial sono riportat qui sotto Convin considrar ch + = ) ) Il grafico dlla funzion f è prtanto qullo qui sotto + + Dal grafico possiamo affrmar ch l immagin di f, cioè l insim di valori ch f assum, è l intrvallo [0, ] Il minimo di f è quindi 0 il massimo è Punto di minimo global è m =, con appunto f) = 0, punto di massimo global è M = +, con f + ) = Passiamo alla continuità drivabilità Dal grafico si vd ch f non è continua in = 0, unico punto di non continuità Pr motivar la cosa in modo più rigoroso dobbiamo dir quanto sgu La funzion f è crtamnt continua ngli intrvalli [, 0) 0, + ], in quanto in tali intrvalli la funzion coincid con trasformazioni di funzioni lmntari Tma dl 9/06/06 II part

38 A Prtti Svolgimnto di tmi d sam di Matmatica AA 05/6 37 Nl punto = 0 possiamo dir ch f0) = attravrso il polinomio) ch f è continua da dstra Ma quindi f non è continua da sinistra in zro lim f) = lim ) = Passiamo alla drivabilità Possiamo dir subito ch f non è drivabil in = 0, dato ch non è continua in = 0 In tutti gli altri punti f è crtamnt drivabil, dato ch coincid con funzioni lmntari, possiamo scrivr dirttamnt l sprssion dlla drivata, dov qusta sist: { f < 0 ) = 0 < +, 4 ESERCIZIO Dati i vttori v = 0,, 0, ), v =, 0, 0, ), v 3 =,, 0, 0), dtto V il sottospazio di R 4 da ssi gnrato, si dica, motivando adguatamnt la risposta, s v, v, v 3 sono una bas di V Succssivamnt si dtrmini la dimnsion di V Indicata poi con A la matric formata con i tr vttori disposti in riga, si dica s il sottospazio di R 3 gnrato dall colonn di A coincid oppur no con R 3 Si indichi infin una bas di qusto sottospazio Essndo i tr vttori chiaramnt gnratori dl sottospazio V da ssi gnrato, pr ssr una bas di qusto sarà ncssario sufficint ch ssi siano linarmnt indipndnti La dipndnza o indipndnza può ssr studiata con la dfinizion, ma convin srvirsi di lgami tra qusta il rango dlla matric formata con i tr vttori: i tr vttori sono li s solo s il rango dlla matric è 3 La matric dispongo i vttori in riga, è comunqu indiffrnt), è 0 0 A = È facil accorgrsi ch la prima riga è la somma dll altr du Qusto è sufficint pr dir ch il rango di A non è 3 Anch snza calcolarlo sattamnt è comunqu ) possiamo dir ch i tr vttori non sono una bas di V La dimnsion di V è ugual al rango di A, quindi ad smpio grazi al minor formato con l prim du righ l prim du colonn) Ora occupiamoci dl sottospazio di R 3 gnrato dall colonn di A Possiamo dir subito ch la sua dimnsion è la stssa di V, cioè, dato ch anch qusta è ugual al rango di A Prtanto qusto sottospazio non può ssr tutto R 3, ch ha dimnsion 3 Una bas dl sottospazio gnrato dall colonn di A è data da una coppia di colonn indipndnti Si vd facilmnt ch può andar bn una qualunqu coppia di colonn, purché non ci sia nlla coppia la trza colonna, ch è il vttor nullo 5 ESERCIZIO 3 Data la funzion ) ) f, ) = ln ln si dtrmini si disgni nl piano cartsiano il suo dominio Si indichino poi nl dominio i punti in cui la funzion si annulla Si calcoli il gradint di f si dica s ci sono punti stazionari pr la funzion L condizioni pr l sistnza dlla funzion f sono sprss dal sistma > 0 > 0, 0 4 La drivabilità agli strmi si intnd o da dstra o da sinistra 5 Ricordo ch pr vrificar ch du colonn sono linarmnt indipndnti il modo più rapido è calcolar il rango dlla sottomatric di A formata da qull du colonn vrificar ch qusto è Quindi, ad smpio, l prim du colonn sono li in quanto nlla rlativa sottomatric il minor formato dall prim du righ è divrso da zro Tma dl 9/06/06 II part

ANALISI 2 ESERCITAZIONE DEL 06/12/2010 PUNTI CRITICI

ANALISI 2 ESERCITAZIONE DEL 06/12/2010 PUNTI CRITICI ANALISI ESERCITAZIONE DEL 06//00 PUNTI CRITICI Un punto critico è un punto in cui la funzion è diffrnziabil il piano tangnt al grafico è orizzontal Riconosciamo qusti punti prché il gradint è il vttor

Dettagli

x 1 x 2 Studiare e disegnare il grafico delle seguenti funzioni Esercizio no.1 Soluzione a pag.2 Esercizio no.2 Soluzione a pag.4

x 1 x 2 Studiare e disegnare il grafico delle seguenti funzioni Esercizio no.1 Soluzione a pag.2 Esercizio no.2 Soluzione a pag.4 Edutcnica.it Studio di funzioni Studiar disgnar il grafico dll sgunti funzioni Esrcizio no. Soluzion a pag. Esrcizio no. Soluzion a pag. y 5 y Esrcizio no. Soluzion a pag.6 Esrcizio no. Soluzion a pag.8

Dettagli

ESERCIZI PARTE I SOLUZIONI

ESERCIZI PARTE I SOLUZIONI UNIVR Facoltà di Economia Corso di Matmatica finanziaria 008/09 ESERCIZI PARTE I SOLUZIONI Domini di funzioni di du variabili Esrcizio a f, = log +. L unica condizion di sistnza è data dalla disquazion

Dettagli

CONOSCENZE. 1. La derivata di una funzione y = f (x)

CONOSCENZE. 1. La derivata di una funzione y = f (x) ESAME D STATO ESEMP D QUEST D MATEMATCA PER LA TERZA PROVA CONOSCENZE. La drivata di una funzion y f (), in un punto intrno al suo dominio, : il it, s sist d è finito, dl rapporto incrmntal pr h, f ( h)

Dettagli

Teoria. Tale retta limite non sempre esiste. Si veda il grafico sottostante. Matematica 1

Teoria. Tale retta limite non sempre esiste. Si veda il grafico sottostante. Matematica  1 LA ERVATA UNA FUNZONE Toria l problma dlla tangnt Uno di problmi classici c portano al conctto di drivata è qullo dlla dtrminazion dlla rtta tangnt a una curva in un punto. La tangnt ad una circonfrnza

Dettagli

INDICE. Studio di funzione. Scaricabile su: TEORIA. Campo di esistenza. Intersezione con gli assi

INDICE. Studio di funzione. Scaricabile su:  TEORIA. Campo di esistenza. Intersezione con gli assi P r o f. Gu i d of r a n c h i n i Antprima Antprima Antprima www. l z i o n i. j i md o. c o m Scaricabil su: http://lzioni.jimdo.com/ Studio di funzion INDICE TEORIA Campo di sistnza Intrszion con gli

Dettagli

0.1. CIRCONFERENZA 1. La 0.1.1, espressa mediante la formula per la distanza tra due punti, diviene:

0.1. CIRCONFERENZA 1. La 0.1.1, espressa mediante la formula per la distanza tra due punti, diviene: 0.1. CIRCONFERENZA 1 0.1 Circonfrnza Considriamo una circonfrnza di cntro P 0 (x 0, y 0 ) raggio r, cioè il luogo di punti dl piano P (x, y) pr i quali si vrifica la rlazion: 0.1.1. P 0 P = r. La 0.1.1,

Dettagli

Svolgimento di alcuni esercizi

Svolgimento di alcuni esercizi Svolgimnto di alcuni srcizi Si ha ch dal momnto ch / tnd a pr ch tnd a (la frazion formata da un numro, in qusto caso il numro, fratto una quantità ch tnd a ±, in qusto caso, tnd smpr a ) S facciamo tndr

Dettagli

PROGRAMMA DI RIPASSO ESTIVO

PROGRAMMA DI RIPASSO ESTIVO ISTITUTO TECNICO PER IL TURISMO EUROSCUOLA ISTITUTO TECNICO PER GEOMETRI BIANCHI SCUOLE PARITARIE PROGRAMMA DI RIPASSO ESTIVO CLASSI MATERIA PROF. QUARTA TURISMO Matmatica Andra Brnsco Làvor ANNO SCOLASTICO

Dettagli

Esame di stato di istruzione secondaria superiore Indirizzi: Scientifico Comunicazione Opzione Sportiva Tema di matematica

Esame di stato di istruzione secondaria superiore Indirizzi: Scientifico Comunicazione Opzione Sportiva Tema di matematica wwwmatmaticamntit Nicola D Rosa maturità Esam di stato di istruzion scondaria suprior Indirizzi: Scintifico Comunicazion Opzion Sportiva Tma di matmatica Il candidato risolva uno di du problmi risponda

Dettagli

Soluzioni. Capitolo 2 (, 0 3] [2.1] A B = {1, 3, 4, 6, 7, 8}, A B = {4, 7}, A\B = {1, 3, 6}, B\A = {8}.

Soluzioni. Capitolo 2 (, 0 3] [2.1] A B = {1, 3, 4, 6, 7, 8}, A B = {4, 7}, A\B = {1, 3, 6}, B\A = {8}. Soluzioni Capitolo [.] A B = {,,,, 7, 8}, A B = {, 7}, A\B = {,, }, B\A = {8}. [.] I) [, 0] V) VI) V [, 0] (, 0) V IX) [, 00) X) ( [, ],(, 00) (, 00) (, 0 + ) (, 0 ], ), (, 0 + ) [.] B\A = {} {b = n +,

Dettagli

Ulteriori esercizi svolti

Ulteriori esercizi svolti Ultriori srcizi svolti Effttuar uno studio qualitativo dll sgunti funzioni ) 4 f ( ) ) ( + ) f ( ) + 3) f ( ) con particolar rifrimnto ai sgunti asptti: a) trova il dominio di f b) indica quali sono gli

Dettagli

0 < a < 1 a > 1. In entrambi i casi la funzione y = a x si può studiare per punti e constatare che essa presenta i seguenti andamenti y.

0 < a < 1 a > 1. In entrambi i casi la funzione y = a x si può studiare per punti e constatare che essa presenta i seguenti andamenti y. INTRODUZIONE Ossrviamo, in primo luogo, ch l funzioni sponnziali sono dlla forma a con a costant positiva divrsa da (il caso a è banal pr cui non sarà oggtto dl nostro studio). Si possono allora vrificar

Dettagli

1 Derivate parziali 1. 2 Regole di derivazione 5. 3 Derivabilità e continuità 7. 4 Differenziabilità 7. 5 Derivate seconde e teorema di Schwarz 8

1 Derivate parziali 1. 2 Regole di derivazione 5. 3 Derivabilità e continuità 7. 4 Differenziabilità 7. 5 Derivate seconde e teorema di Schwarz 8 UNIVR Facoltà di Economia Sd di Vicnza Corso di Matmatica Drivat dll funzioni di più variabili Indic Drivat parziali Rgol di drivazion 5 3 Drivabilità continuità 7 4 Diffrnziabilità 7 5 Drivat scond torma

Dettagli

Teorema (seconda condizione sufficiente per i campi conservativi piani): Sia F ( x, y)

Teorema (seconda condizione sufficiente per i campi conservativi piani): Sia F ( x, y) Campi Vttoriali Form iffrnziali-sconda Part Torma (sconda condizion sufficint pr i campi consrvativi piani): Sia F (, y) un campo vttorial piano dfinito in un aprto A di R, si supponga ultriormnt = y ;

Dettagli

Studio di funzione. R.Argiolas

Studio di funzione. R.Argiolas Studio di unzion R.Argiolas Introduzion Prsntiamo lo studio dl graico di alcun unzioni svolt durant l srcitazioni dl corso di analisi matmatica I assgnat nll prov scritt. Ringrazio anticipatamnt tutti

Dettagli

Lemma 2. Se U V é un sottospazio vettoriale di V allora 0 U.

Lemma 2. Se U V é un sottospazio vettoriale di V allora 0 U. APPUNTI d ESERCIZI PER CASA di GEOMETRIA pr il Corso di Laura in Chimica, Facoltà di Scinz MM.FF.NN., UNICAL (Dott.ssa Galati C.) Rnd, 3 April 2 Sottospazi di uno spazio vttorial, sistmi di gnratori, basi

Dettagli

Esercizi sullo studio di funzione

Esercizi sullo studio di funzione Esrcizi sullo studio di funzion Prima part Pr potr dscrivr una curva, data la sua quazion cartsiana splicita f () occorr procdr scondo l ordin sgunt: 1) Dtrminar l insim di sistnza dlla f () ) Dtrminar

Dettagli

Soluzioni. a) Il dominio è dato da tutti i numeri reali tranne quelli che annullano il denominatore di (x+1)/x. Quindi D = R {0} = (-,0) (0,+ ).

Soluzioni. a) Il dominio è dato da tutti i numeri reali tranne quelli che annullano il denominatore di (x+1)/x. Quindi D = R {0} = (-,0) (0,+ ). Soluzioni Data la unzion a trova il dominio di b indica quali sono gli intrvalli in cui risulta positiva qulli in cui risulta ngativa c dtrmina l vntuali intrszioni con gli assi d studia il comportamnto

Dettagli

= l. x 0. In realtà può aversi una casistica più amplia potendo sia x che f ( x) tendere ad un elemento dell insieme

= l. x 0. In realtà può aversi una casistica più amplia potendo sia x che f ( x) tendere ad un elemento dell insieme LIMITI DI FUNZINI. CNCETT DI LIMITE Esula dallo scopo di qusto libro la trattazion dlla toria sui iti. Tuttavia, pnsando di far cosa gradita allo studnt, ch dv possdr qusta nozion com background, ritniamo

Dettagli

IV-3 Derivate delle funzioni di più variabili

IV-3 Derivate delle funzioni di più variabili DERIVATE PARZIALI IV-3 Drivat dll funzioni di più variabili Indic Drivat parziali Rgol di drivazion 5 3 Drivabilità continuità 7 4 Diffrnziabilità 7 5 Drivat scond torma di Schwarz 8 6 Soluzioni dgli srcizi

Dettagli

1 Il concetto di funzione 1. 2 Funzione composta 4. 3 Funzione inversa 6. 4 Restrizione e prolungamento di una funzione 8

1 Il concetto di funzione 1. 2 Funzione composta 4. 3 Funzione inversa 6. 4 Restrizione e prolungamento di una funzione 8 UNIVR Facoltà di Economia Sd di Vicnza Corso di Matmatica 1 Funzioni Indic 1 Il conctto di funzion 1 Funzion composta 4 3 Funzion invrsa 6 4 Rstrizion prolungamnto di una funzion 8 5 Soluzioni dgli srcizi

Dettagli

ESERCIZI DI CALCOLO NUMERICO

ESERCIZI DI CALCOLO NUMERICO ESERCIZI DI CALCOLO NUMERICO Mawll Equazioni non linari: problma di punto fisso Esrcizio : Si vogliono approssimar l soluzioni dll quazion non linar. Dtrminar il numro di radici dll quazion localizzarl.

Dettagli

DERIVATE. h Geometricamente è il coefficiente angolare della retta secante congiungente i punti della curva di ascissa x. y = in un punto x.

DERIVATE. h Geometricamente è il coefficiente angolare della retta secante congiungente i punti della curva di ascissa x. y = in un punto x. DERIVATE OBIETTIVI MINIMI: Conoscr la dinizion di drivata d il suo siniicato omtrico Sapr calcolar smplici drivat applicando la dinizion Conoscr l drivat dll unzioni lmntari Conoscr l rol di drivazion

Dettagli

Teoria dell integrazione secondo Riemann per funzioni. reali di una variabile reale.

Teoria dell integrazione secondo Riemann per funzioni. reali di una variabile reale. Capitolo 2 Toria dll intgrazion scondo Rimann pr funzioni rali di una variabil ral Esistono vari tori dll intgrazion; tutt hanno com comun antnato il mtodo di saustion utilizzato dai Grci pr calcolar l

Dettagli

METODO DEGLI ELEMENTI FINITI

METODO DEGLI ELEMENTI FINITI Dal libro di tsto Zinkiwicz Taylor, Capitolo 14 pag. 398 Il mtodo dgli lmnti finiti fornisc una soluzion approssimata dl problma lastico; tal approssimazion driva non dall avr discrtizzato il dominio in

Dettagli

Prof. Fernando D Angelo. classe 5DS. a.s. 2007/2008. Nelle pagine seguenti troverete una simulazione di seconda prova su cui lavoreremo dopo le

Prof. Fernando D Angelo. classe 5DS. a.s. 2007/2008. Nelle pagine seguenti troverete una simulazione di seconda prova su cui lavoreremo dopo le Pro. Frnando D Anglo. class 5DS. a.s. 007/008. Nll pagin sgunti trovrt una simulazion di sconda prova su cui lavorrmo dopo l vacanz di Pasqua. Pr mrcoldì 6/03/08 guardat il problma 4 i qusiti 1 8 9-10.

Dettagli

Prova scritta di Algebra 23 settembre 2016

Prova scritta di Algebra 23 settembre 2016 Prova scritta di Algbra 23 sttmbr 2016 1. Si considri la sgunt applicazion: { Z21 Z ϕ : 3 Z 7 [x] 21 ([2x] 3, [x] 7 ) a) Vrificar ch ϕ è bn dfinita. b) Dir s ([1] 3, [5] 7 ) Imϕ in tal caso trovarn la

Dettagli

Tecniche per la ricerca delle primitive delle funzioni continue

Tecniche per la ricerca delle primitive delle funzioni continue Capitolo 4 Tcnich pr la ricrca dll primitiv dll funzioni continu Nl paragrafo.7 abbiamo dato la dfinizion di primitiva di una funzion f avnt pr dominio un intrvallo I; abbiamo visto ch s F 0 è una primitiva

Dettagli

Equazioni di Secondo Grado in Una Variabile, x Complete, Pure e Spurie. Tecniche per risolverle ed Esempi svolti

Equazioni di Secondo Grado in Una Variabile, x Complete, Pure e Spurie. Tecniche per risolverle ed Esempi svolti Equazioni di Scondo Grado in Una Variabil, x Complt, Pur Spuri. Tcnich pr risolvrl d Esmpi svolti Francsco Zumbo www.francscozumbo.it http://it.gocitis.com/zumbof/ Qusti appunti vogliono ssr un ultrior

Dettagli

Nozioni di base sulle coniche (ellisse (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1, iperbole(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1, parabola e circonferenza):

Nozioni di base sulle coniche (ellisse (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1, iperbole(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1, parabola e circonferenza): Nozioni di bas sull conich (lliss (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1, iprbol(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1, parabola circonfrnza): Dlta =0, significa un solo punto di intrszion tra fascio di rtt conica Dlta >=0, significa 2

Dettagli

Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca

Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca Pag. 1/5 Sssion straordinaria 2017 I043 ESAME DI STATO DI ISTRUZIONE SECONDARIA SUPERIORE Indirizzi: LI02, EA02 SCIENTIFICO LI03 - SCIENTIFICO - OPZIONE SCIENZE APPLICATE (Tsto valvol anch pr la corrispondnt

Dettagli

0.06 100 + (100 100)/4 (100 + 2 100)/3

0.06 100 + (100 100)/4 (100 + 2 100)/3 A. Prtti Svolgimnto di tmi d sam di MDEF A.A. 5/ PROVA CONCLUSIVA DI MATEMATICA pr l DECISIONI ECONOMICO-FINANZIARIE Vicnza, 5// ESERCIZIO. Trovar una prima approssimazion dl tasso di rndimnto a scadnza

Dettagli

PROGRAMMAZIONE IV Geometri. ORGANIZZAZIONE MODULARE (Divisa in unità didattiche) MODULO TITOLO DEL MODULO ORE PREVISTE A Richiami di algebra 15

PROGRAMMAZIONE IV Geometri. ORGANIZZAZIONE MODULARE (Divisa in unità didattiche) MODULO TITOLO DEL MODULO ORE PREVISTE A Richiami di algebra 15 PROGRAMMAZIONE IV Gomtri ORGANIZZAZIONE MODULARE (Divisa in unità didattich) MODULO TITOLO DEL MODULO ORE PREVISTE A Richiami di algbra 15 B Rcupro di trigonomtria C Funzioni rali a variabil ral 12 D Limiti

Dettagli

II-1 Funzioni. 1 Il concetto di funzione 1. 2 Funzione composta 5. 3 Funzione inversa 7. 4 Restrizione e prolungamento di una funzione 9

II-1 Funzioni. 1 Il concetto di funzione 1. 2 Funzione composta 5. 3 Funzione inversa 7. 4 Restrizione e prolungamento di una funzione 9 1 IL CONCETTO DI FUNZIONE 1 II-1 Funzioni Indic 1 Il conctto di funzion 1 Funzion composta 5 3 Funzion invrsa 7 4 Rstrizion prolungamnto di una funzion 9 5 Soluzioni dgli srcizi 9 In qusta dispnsa affrontiamo

Dettagli

Appunti sulle disequazioni frazionarie

Appunti sulle disequazioni frazionarie ppunti sull disquazioni frazionari Sono utili l sgunti dfinizioni Una disquazion fratta o frazionaria è una disquazion nlla qual l incognita compar in qualch suo dnominator. Una disquazion razional è una

Dettagli

γ : y = 1 + 2t 1 + t 2 z = 1 + t t2

γ : y = 1 + 2t 1 + t 2 z = 1 + t t2 Politcnico di Milano Inggnria Industrial Analisi Gomtria Esrcizi sull curv. Si considri la curva x t + t : y 6 + 4t t t t R. z t t (a) Stabilir s la curva piana. (b) Stabilir s la curva smplic. (c) Stabilir

Dettagli

di disequazioni lineari

di disequazioni lineari Capitolo Disquazioni Esrcizi sistmi di disquazioni linari Toria p. 68 L disquazioni l loro soluzioni Pr ciascuna dll sgunti disquazioni, invnta un problma ch possa ssr risolto con la disquazion stssa.

Dettagli

PROPORZIONI. Cosa possiamo dire di esse? Che la superficie della figura A sta alla superficie della figura B come 4 sta a 6.

PROPORZIONI. Cosa possiamo dire di esse? Che la superficie della figura A sta alla superficie della figura B come 4 sta a 6. Corso di laura: BIOLOGIA Tutor: Floris Marta PRECORSI DI MATEMATICA PROPORZIONI Ossrvar l sgunti figur: Cosa possiamo dir di ss? Ch la suprfici dlla figura A sta alla suprfici dlla figura B com sta a 6.

Dettagli

Analisi dei Sistemi. Soluzione del compito del 26 Giugno ÿ(t) + (t 2 1)y(t) = 6u(t T ). 2 x1 (t) 0 1

Analisi dei Sistemi. Soluzione del compito del 26 Giugno ÿ(t) + (t 2 1)y(t) = 6u(t T ). 2 x1 (t) 0 1 Analisi di Sistmi Soluzion dl compito dl 26 Giugno 23 Esrcizio. Pr i du sistmi dscritti dai modlli sgunti, individuar l proprità strutturali ch li carattrizzano: linar o non linar, stazionario o tmpovariant,

Dettagli

lim x 3 lim Servendosi della definizione, verifica l esattezza dei limiti seguenti Esercizio no.1 Esercizio no.2 Esercizio no.3 Esercizio no.

lim x 3 lim Servendosi della definizione, verifica l esattezza dei limiti seguenti Esercizio no.1 Esercizio no.2 Esercizio no.3 Esercizio no. Edutcnica.it Dfinizion di it Srvndosi dlla dfinizion, vrifica l sattzza di iti sgunti Esrcizio no. Soluzion a pag. ( ) Esrcizio no. Soluzion a pag. Esrcizio no. Soluzion a pag. ( ) Esrcizio no. Soluzion

Dettagli

Compito di Fisica Generale I (Mod. A) Corsi di studio in Fisica ed Astronomia 4 aprile 2011

Compito di Fisica Generale I (Mod. A) Corsi di studio in Fisica ed Astronomia 4 aprile 2011 Compito di Fisica Gnral I (Mod A) Corsi di studio in Fisica d Astronomia 4 april 2011 Problma 1 Du blocchi A B di massa rispttivamnt m A d m B poggiano su un piano orizzontal scabro sono uniti da un filo

Dettagli

Distribuzione gaussiana

Distribuzione gaussiana Appunti di Misur Elttric Distribuion gaussiana Funion dnsità di probabilità di Gauss... Calcolo dlla distribuion cumulativa pr una variabil di Gauss... Funion dnsità di probabilità congiunta...6 Funion

Dettagli

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Saper integrare equazioni differenziali del primo ordine lineari e a variabili separabili.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Saper integrare equazioni differenziali del primo ordine lineari e a variabili separabili. EQUAZIONI DIFFERENZIALI OBIETTIVI MINIMI Sapr riconoscr classificar l quazioni diffrnziali. Sapr intgrar quazioni diffrnziali dl primo ordin linari a variabili sparabili. Sapr intgrar quazioni diffrnziali

Dettagli

Esercizio 1. Cov(X,Y)=E(X,Y)- E(X)E(Y).

Esercizio 1. Cov(X,Y)=E(X,Y)- E(X)E(Y). Esrcizi di conomtria: sri 4 Esrcizio Siano, Z variabili casuali distribuit scondo la lgg multinomial di paramtri n, p, p, p p p.. Calcolar la Covarianza tra l variabili d. Soluzion Dat du variabili dinit

Dettagli

INDICE 1. 1 Triangolazione di matrici Teorema di Cayley-Hamilton Matrici nilpotenti Forma canonica delle matrici 3 3.

INDICE 1. 1 Triangolazione di matrici Teorema di Cayley-Hamilton Matrici nilpotenti Forma canonica delle matrici 3 3. INDICE Torma di Cayly-Hamilton, forma canonica triangolazioni. Vrsion dl Maggio Argomnti sclti sulla triangolazion di matrici, il torma di Cayly-Hamilton sulla forma canonica dll matrici 3 3 pr i corsi

Dettagli

PROPORZIONI. Cosa possiamo dire di esse? Che la superficie della figura A sta alla superficie della figura B come 4 sta a 6.

PROPORZIONI. Cosa possiamo dire di esse? Che la superficie della figura A sta alla superficie della figura B come 4 sta a 6. Corso di laura: BIOLOGIA Tutor: Floris Marta PRECORSI DI MATEMATICA PROPORZIONI Ossrvar l sgunti figur: Cosa possiamo dir di ss? Ch la suprfici dlla figura A sta alla suprfici dlla figura B com sta a 6.

Dettagli

Calcolo delle Probabilità e Statistica. Prova scritta del III appello - 7/6/2006

Calcolo delle Probabilità e Statistica. Prova scritta del III appello - 7/6/2006 Corso di Laura in Informatica - a.a. 25/6 Calcolo dll Probabilità Statistica Prova scritta dl III appllo - 7/6/26 Il candidato risolva i problmi proposti, motivando opportunamnt l propri rispost.. Sia

Dettagli

Esercizio 3. Determinare la dimensione, la codimensione, una base, equazioni cartesiane, equazioni parametriche ed un complemento per U R 3, dove

Esercizio 3. Determinare la dimensione, la codimensione, una base, equazioni cartesiane, equazioni parametriche ed un complemento per U R 3, dove Sapinza Univrsità di Roma Corso di laura in Inggnria Enrgtica Gomtria - A.A. 2015-2016 Foglio n.10 Somma intrszion di sottospazi vttoriali prof. Cigliola Esrcizio 1. Sono dati i vttori v 1 = ( 1, 0, 0),

Dettagli

INTEGRALI DOPPI Esercizi svolti

INTEGRALI DOPPI Esercizi svolti INTEGRLI OPPI Esrcizi svolti. Calcolar i sgunti intgrali doppi: a b c d f g h i j k y d dy, {, y :, y }; d dy, {, y :, y }; + y + y d dy, {, y :, y }; y d dy, {, y :, y }; y d dy, {, y :, y + }; + y d

Dettagli

Trasformate di Laplace e risoluzione di sistemi lineari di Equazioni Differenziali Ordinarie

Trasformate di Laplace e risoluzione di sistemi lineari di Equazioni Differenziali Ordinarie Trasformat di Laplac risoluzion di sistmi linari di Equazioni Diffrnziali Ordinari Flaviano Battlli 1 Trasformat di Laplac di funzioni a valori in R Una funzion f : R R si dic un original o anch L-trasformabil,

Dettagli

ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO PIANO NAZIONALE DI INFORMATICA SCIENTIFICO BROCCA Sessione 2002 seconda prova scritta Tema di MATEMATICA

ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO PIANO NAZIONALE DI INFORMATICA SCIENTIFICO BROCCA Sessione 2002 seconda prova scritta Tema di MATEMATICA ESAMI DI STATO DI LIEO SIENTIFIO PIANO NAZIONALE DI INFORMATIA SIENTIFIO BROA Sssion 00 sconda prova scritta Tma di MATEMATIA Il candidato risolva uno di du problmi 5 di 0 qusiti dl qustionario. PROBLEMA

Dettagli

Funzioni lineari e affini. Funzioni lineari e affini /2

Funzioni lineari e affini. Funzioni lineari e affini /2 Funzioni linari aini In du variabili l unzioni linari sono dl tipo a b l unzioni aini sono dl tipo a b c Il graico di una unzion linar è un piano passant pr l origin il graico di una unzion ain è un piano.

Dettagli

LE FRAZIONI LE FRAZIONI. La frazione è un operatore che opera su una qualsiasi grandezza e che da come risultato una grandezza omogenea a quella data.

LE FRAZIONI LE FRAZIONI. La frazione è un operatore che opera su una qualsiasi grandezza e che da come risultato una grandezza omogenea a quella data. LE FRAZIONI La frazion è un oprator ch opra su una qualsiasi grandzza ch da com risultato una grandzza omogna a qulla data. AB (Il sgmnto AB è stato diviso i tr parti sono stat prs du) Una frazion è scritta

Dettagli

x 1 = t + 2s x 2 = s x 4 = 0

x 1 = t + 2s x 2 = s x 4 = 0 Sapinza Univrsità di Roma Corso di laura in Inggnria Enrgtica Gomtria - A.A. 2015-2016 prof. Cigliola Foglio n.10 Somma intrszion di sottospazi vttoriali Esrcizio 1. Sono dati i vttori v 1 = ( 1, 0, 0),

Dettagli

Test di autovalutazione

Test di autovalutazione UNITÀ FUNZINI E LR RAPPRESENTAZINE Tst di autovalutazion 0 0 0 0 0 50 60 70 80 90 00 n Il mio puntggio, in cntsimi, è n Rispondi a ogni qusito sgnando una sola dll 5 altrnativ. n Confronta l tu rispost

Dettagli

Soluzione. Un punto generico ha coordinate ( x, y) Per cui. Le coordinate del centro sono allora

Soluzione. Un punto generico ha coordinate ( x, y) Per cui. Le coordinate del centro sono allora Sssion suppltiva LS_ORD 7 Soluzion di D Rosa Nicola Soluzion Un punto gnrico ha coordinat, pr cui si ha: PO PA Pr cui PO PA [ ] L coordinat dl cntro sono allora O,, è R. C, d il raggio, visto ch la circonfrnza

Dettagli

Calcolo di integrali. max. min. Laboratorio di Calcolo B 42

Calcolo di integrali. max. min. Laboratorio di Calcolo B 42 Calcolo di intgrali Supponiamo di dovr calcolar l intgral di una funzion in un intrvallo limitato [ min, ma ], di conoscr il massimo d il minimo dlla funzion in tal intrvallo. S gnriamo n punti uniformmnt

Dettagli

CURVE DI PROBABILITÀ PLUVIOMETRICA Le curve di probabilità pluviometrica esprimono la relazione fra le altezze di precipitazione h e la loro durata

CURVE DI PROBABILITÀ PLUVIOMETRICA Le curve di probabilità pluviometrica esprimono la relazione fra le altezze di precipitazione h e la loro durata CURVE DI PROBABILITÀ PLUVIOMETRICA L curv di probabilità pluviomtrica sprimono la rlazion fra l altzz di prcipitazion h la loro durata t, pr un assgnato valor dl priodo di ritorno T. Tal rlazion vin spsso

Dettagli

SESSIONE ORDINARIA 2012 CORSI SPERIMENTALI

SESSIONE ORDINARIA 2012 CORSI SPERIMENTALI PROBLEMA SESSIONE ORDINARIA 0 CORSI SPERIMENTALI Sia ( x) ln ( x) ln x sia ( x) ln ( x) ln x.. Si dtrmino i domini di di.. Si disnino, nl mdsimo sistma di assi cartsiani ortoonali Oxy, i raici di di..

Dettagli

Ing. Gestionale Ing. Informatica Ing. Meccanica Ing. Tessile. Cognome Nome Matricola

Ing. Gestionale Ing. Informatica Ing. Meccanica Ing. Tessile. Cognome Nome Matricola Ing Gstional Ing Informatica Ing Mccanica Ing Tssil Cognom Nom Matricola Univrsità dgli Studi di Brgamo Scondo Compitino di Matmatica II ) Si considri la matric 2 3 3 2 Si calcolino gli autovalori gli

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2012

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2012 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 0 Il candidato risolva uno di du problmi di 0 qusiti in cui si articola il qustionario. PRBLEMA Dlla funzion f, dfinita pr 0, si sa ch è dotata

Dettagli

Misurazione del valore medio di una tensione tramite l uso di un voltmetro numerico

Misurazione del valore medio di una tensione tramite l uso di un voltmetro numerico Misurazion dl valor mdio di una tnsion tramit l uso di un voltmtro numrico La zion si conduc slzionando la funzion dc dllo strumnto collgando i trminali dllo strumnto al gnrator sotto zion: tnndo conto

Dettagli

Unità didattica: Grafici deducibili

Unità didattica: Grafici deducibili Unità didattica: Grafici dducibili Dstinatari: Allivi di una quarta lico scintifico PNI tal ud è insrita nllo studio dll funzioni rali di variabil ral. Programmi ministriali dl PNI: Dal Tma n 3 funzioni

Dettagli

( ) ( ) ( ) [ ] 2 ( ) 18 9) DERIVATA DI UNA FUNZIONE COMPOSTA

( ) ( ) ( ) [ ] 2 ( ) 18 9) DERIVATA DI UNA FUNZIONE COMPOSTA 8 9 DERIVATA DI UNA FUNZIONE COMPOSTA La drivata di una funion composta ( funion di funion si ottin (dim all pagin 0 : a drivando la funion principal ( qulla ch si applica pr ultima risptto al suo argomnto

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2011

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2011 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. Il candidato risolva uno di du problmi 5 di qusiti in cui si articola il qustionario. PROBLEMA Sia f la funzion dfinita sull insim R di numri

Dettagli

POTENZE NECESSARIE E DISPONIBILI

POTENZE NECESSARIE E DISPONIBILI POTENZE NECESSARIE E DISPONIBILI In qusto capitolo ci proponiamo di dtrminar l curv dll potnz ncssari pr l vari condizioni di volo. Tali curv dipndranno da divrsi fattori com il pso dl vlivolo, la quota,

Dettagli

Corso di Laurea in Economia Matematica per le applicazioni economiche e finanziarie. Esercizi 4

Corso di Laurea in Economia Matematica per le applicazioni economiche e finanziarie. Esercizi 4 Corso di Laura in Economia Matmatica pr l applicazioni conomich finanziari Esrcizi 4 Vrificar s l sgunti funzioni, nll intrvallo chiuso indicato, soddisfano l ipotsi dl torma di Roll, in caso affrmativo,

Dettagli

REGRESSIONE LOGISTICA

REGRESSIONE LOGISTICA 0//04 METODI E TECNICHE DELLA RICERCA IN PSICOLOGIA CLINICA E LABORATORIO AA 04/05 PROF. V.P. SENESE Sconda Univrsità di Napoli (SUN) Facoltà di Psicologia Dipartimnto di Psicologia METODI E TECNICHE DELLA

Dettagli

Modi dominanti. L evoluzione libera del sistema lineare. x(k + 1) = Ax(k) a partire dalla condizione iniziale x(0) = x 0 è:

Modi dominanti. L evoluzione libera del sistema lineare. x(k + 1) = Ax(k) a partire dalla condizione iniziale x(0) = x 0 è: Capitolo. INTRODUZIONE. L voluzion libra dl sistma linar Modi dominanti ẋ(t) = Ax(t), x(k + ) = Ax(k) a partir dalla condizion inizial x() = x è: x(t) = At x, x(k) = A k x Al tndr di t [di k all infinito,

Dettagli

Istogrammi ad intervalli

Istogrammi ad intervalli Istogrammi ad intrvalli Abbiamo visto com costruir un istogramma pr rapprsntar un insim di misur dlla stssa granda isica. S la snsibilità dllo strumnto di misura è alta, è probabil ch tra gli N valori

Dettagli

Appendice A Richiami di matematica

Appendice A Richiami di matematica Appndic A Richiami di matmatica A. Notazion scintifica Uso dgli sponnti I numri ch incontriamo in chimica sono spsso strmamnt grandi (pr s. 8 80 000 000) o strmamnt piccoli (pr s. 0,000 004 63). Quando

Dettagli

ESAME DI MATEMATICA I parte Vicenza, 05/06/2017. x log 2 x?

ESAME DI MATEMATICA I parte Vicenza, 05/06/2017. x log 2 x? A. Peretti Svolgimento dei temi d esame di Matematica A.A. 6/7 ESAME DI MATEMATICA I parte Vicenza, 5/6/7 log? Domanda. Per quali valori di è definita l espressione L espressione è definita se l argomento

Dettagli

Le coniche e la loro equazione comune

Le coniche e la loro equazione comune L conich la loro quazion comun L conich com ombra di una sra Una sra ch tocca il piano π nl punto F è illuminata da una sorgnt puntiorm S. Nl caso dlla igura l'ombra dll sra risulta una suprici dlimitata

Dettagli

Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria TEMA A

Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria TEMA A Fondamnti di Algbra Linar Gomtria Inggnria Arospazial d Inggnria dll Enrgia - Canal B Quarto Appllo - 3 fbbraio 5 TEMA A Risolvr i sgunti srcizi motivando adguatamnt ogni risposta. () Sia data la matric

Dettagli

APPUNTI DI CALCOLO NUMERICO

APPUNTI DI CALCOLO NUMERICO APPUNTI DI CALCOLO NUMERICO Mawll Equazioni non linari: probla di punto isso Sisti di quazioni non linari Introduzion Il probla di punto isso è un probla ch si prsnta spsso in oltissi applicazioni Esso

Dettagli

Problema 3: CAPACITA ELETTRICA E CONDENSATORI

Problema 3: CAPACITA ELETTRICA E CONDENSATORI Problma 3: CAPACITA ELETTRICA E CONDENSATORI Prmssa Il problma composto da qusiti di carattr torico da una succssiva part applicativa costituisc un validissimo smpio di quilibrio tra l divrs signz ch convrgono

Dettagli

Studiare la seguente funzione ( è richiesto lo studio di f ( x ) e la ricerca degli eventuali asintoti obliqui ) :

Studiare la seguente funzione ( è richiesto lo studio di f ( x ) e la ricerca degli eventuali asintoti obliqui ) : Ystudio Corsi lzioni d srcizi on lin di Matmatica, Statica Scinza dll costruzioni www.studio.it/sit. Dominio : Poichè la unzion è pari, lo studio vin itato al smipiano dll asciss positiv. Intrszion assi

Dettagli

Capitolo 1. L insieme dei numeri complessi Introduzione ai numeri complessi

Capitolo 1. L insieme dei numeri complessi Introduzione ai numeri complessi Capitolo 1 L insim di numri complssi 11 Introduzion ai numri complssi Dfinizion 111 Sia assgnata una coppia ordinata (a, b) di numri rali Si dfinisc numro complsso l sprssion z = a + ιb I numri a b sono

Dettagli

( ) ESERCIZI PROPOSTI. y x. cos x y. x y. c cos. xlog. x y. ctg 2. sin 1. x + 1. ctgx. c sin = + ( ) 1 = + ( ) ( )

( ) ESERCIZI PROPOSTI. y x. cos x y. x y. c cos. xlog. x y. ctg 2. sin 1. x + 1. ctgx. c sin = + ( ) 1 = + ( ) ( ) ESERCIZI PROPOSTI I) Dtrminar l intgral gnral dll sgunti quazioni diffrnziali linari dl primo ordin (fr..): ) ' ) ' ) ) ' os ' 5) ' 6) 7) tg ' ' 8) ' ( + log ) 9) ' ) ) log sin os [ log ] ' + ' sin ( +

Dettagli

I criteri di resistenza (o teorie della rottura) definiscono un legame tra lo stato tensionale e la sua pericolosità.

I criteri di resistenza (o teorie della rottura) definiscono un legame tra lo stato tensionale e la sua pericolosità. 6-0 6- I critri di rsistnza (o tori dlla rottura) dfiniscono un lgam tra lo stato tnsional la sua pricolosità. Ogni stato tnsional può ssr rapprsntato da una funzion scalar dll tnsioni principali ch può

Dettagli

[ ] ( ) ( ) ( e ) jωn. [ ] [ [ n. [ n] = T [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] ( ) ( ) ( e ) jωn. [ ] [ [ n. [ n] = T [ ] [ ] [ ] [ ] Sistmi Linari Tmpo Invarianti (LTI) a Tmpo Discrto Dfiniamo il sistma tramit una trasformaion T []. La proprità di linarità implica ch [ α 1x1[ n] + α2x2[ n ] α1t x1[ n] + α2t x La proprità di tmpo invariana

Dettagli

Alla temperatura di 300K è ragionevole ritenere che tutto il drogante sia attivato, cioè che ad ogni atomo accettore corrisponda una lacuna, per cui

Alla temperatura di 300K è ragionevole ritenere che tutto il drogante sia attivato, cioè che ad ogni atomo accettore corrisponda una lacuna, per cui 1 1. Una ftta di silicio è drogata con una concntrazion N A = 10 16 atm/cm 3 di atomi accttori, si valuti la concntrazion di portatori maggioritari minoritari alla tmpratura T = 300K. Alla tmpratura di

Dettagli

ISTITUTO MAGISTRALE MARIA IMMACOLATA di San Giovanni Rotondo (FG) INDIRIZZO: PEDAGOGICO

ISTITUTO MAGISTRALE MARIA IMMACOLATA di San Giovanni Rotondo (FG) INDIRIZZO: PEDAGOGICO ISTITUTO MAGISTRALE MARIA IMMACOLATA di San Giovanni Rotondo (FG) INDIRIZZO: PEDAGOGICO ORGANIZZAZIONE MODULARE DEI CONTENUTI DI MATEMATICA DEL BIENNIO FINALITÀ Acquisir rigor spositivo prcision di linguaggio

Dettagli

w(r)=w max (1-r 2 /R 2 ) completamente sviluppato in un tubo circolare è dato da wmax R w max = = max

w(r)=w max (1-r 2 /R 2 ) completamente sviluppato in un tubo circolare è dato da wmax R w max = = max 16-1 Copyright 009 Th McGraw-Hill Companis srl RISOLUZIONI CAP. 16 16.1 Nl flusso laminar compltamnt sviluppato all intrno di un tubo circolar vin misurata la vlocità a r R/. Si dv dtrminar la vlocità

Dettagli

Calore Specifico

Calore Specifico 6.08 - Calor Spcifico 6.08.a) Lgg Fondamntal dlla Trmologia Un modo pr far aumntar la Tmpratura di un Corpo è qullo di cdr ad sso dl Calor, pr smpio mttndolo in Contatto Trmico con un Corpo a Tmpratura

Dettagli

1. Dati i tensori: { L = 3ex e y + 2e y e z + 3e z e x

1. Dati i tensori: { L = 3ex e y + 2e y e z + 3e z e x 1 Univrsità di Pavia Facoltà di Inggnria Corso di Laura in Inggnria Edil/Architttura Corrzion prova scritta Esam di Mccanica Razional 30 gnnaio 01 1. Dati i tnsori: { L = 3x y + y z + 3 z x M = x x y y

Dettagli

1 Studio di funzioni, sviluppi di Taylor e serie

1 Studio di funzioni, sviluppi di Taylor e serie Studio di fuzioi, sviluppi di Taylor sri. Esrcizi. Sia fx = x +. Dtrmiar l isim di dfiizio. Studiar il sgo. Calcolar i iti agli strmi dll isim di dfiizio. Dir s ci soo asitoti. Dtrmiar l isim di cotiuità

Dettagli

Linee accoppiate. Corso di Componenti e Circuiti a Microonde. Ing. Francesco Catalfamo. 3 Ottobre 2006

Linee accoppiate. Corso di Componenti e Circuiti a Microonde. Ing. Francesco Catalfamo. 3 Ottobre 2006 orso di omponnti ircuiti a Microond Ing. Francsco atalamo 3 Ottobr 006 Indic Ond supriciali modi di ordin suprior Lin in microstriscia accoppiat Ond supriciali Un onda supricial è un modo guidato ch si

Dettagli

ESERCIZI SULLA DEMODULAZIONE INCOERENTE

ESERCIZI SULLA DEMODULAZIONE INCOERENTE Esrcitazioni dl corso di trasmissioni numrich - Lzion 4 6 Fbbraio 8 ESERCIZI SULLA DEMODULAZIONE INCOERENE I du sgnali passa basso di figura sono utilizzati pr la trasmission di simboli binari quiprobabili

Dettagli

ESERCIZI SULLA CONVEZIONE

ESERCIZI SULLA CONVEZIONE Giorgia Mrli matr. 97 Lzion dl 4//0 ora 0:0-:0 ESECIZI SULLA CONVEZIONE Esrcizio n Considriamo un tubo d acciaio analizziamo lo scambio trmico complto, ossia qullo ch avvin sia all intrno sia all strno

Dettagli

Quaderni del Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Parma. Ottobre 1996 n. 152

Quaderni del Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Parma. Ottobre 1996 n. 152 Quadrni dl Dipartimnto di Matmatica Univrsità dgli Studi di Parma Francsca Fiornzi GLI ALBERI SRADICATI BINARI COME CONCETTO ESSENZIALE PER LA DESCRIZIONE DEI MODELLI DI EAB Ottobr 1996 n. 152 1 2 Francsca

Dettagli

Studio di funzione. Pertanto nello studio di tali funzioni si esamino:

Studio di funzione. Pertanto nello studio di tali funzioni si esamino: Prof. Emnul ANDRISANI Studio di funzion Funzioni rzionli intr n n o... n n Crttristich: sono funzioni continu drivbili in tutto il cmpo rl D R quindi non sistono sintoti vrticli D R quindi non sistono

Dettagli

Lezione 2. Richiami di aerodinamica compressibile. 2.1 Gas ideale. 2.2 Velocità del suono. 2.3 Grandezze totali

Lezione 2. Richiami di aerodinamica compressibile. 2.1 Gas ideale. 2.2 Velocità del suono. 2.3 Grandezze totali Lzion 2 Richiami di arodinamica comprssibil In qusto corso si considrano acquisit alcun nozioni di bas di trmodinamica di gas arodinamica comprssibil quali i conctti di gas idal nrgia intrna ntalpia ntropia

Dettagli

Spettro roto-vibrazionale di HCl (H 35 Cl, H 37 Cl )

Spettro roto-vibrazionale di HCl (H 35 Cl, H 37 Cl ) Spttro roto-vibrazional di HCl (H 5 Cl, H 7 Cl ) SCOPO: Misurar l nrgi dll transizioni vibro-rotazionali dll acido cloridrico gassoso utilizzar qust nrgi pr calcolar alcuni paramtri molcolari spttroscopici.

Dettagli

Regimi di cambio. In questa lezione: Studiamo l economia aperta nel breve e nel medio periodo. Studiamo le crisi valutarie.

Regimi di cambio. In questa lezione: Studiamo l economia aperta nel breve e nel medio periodo. Studiamo le crisi valutarie. Rgimi di cambio In qusta lzion: Studiamo l conomia aprta nl brv nl mdio priodo. Studiamo l crisi valutari. Analizziamo brvmnt l Ar Valutari Ottimali. 279 Il mdio priodo Abbiamo visto ch gli fftti di politica

Dettagli

SUL MODELLO DI BLACK-SHOLES

SUL MODELLO DI BLACK-SHOLES SUL MODELLO DI BLACK-SHOLES LUCA LUSSARDI 1. La dinamica di Black-Schols Il modllo di Black-Schols pr i mrcati finanziari assum com ipotsi fondamntal ch i przzi di bni finanziari sguano una bn dtrminata

Dettagli

Fisica Generale VI Scheda n. 1 esercizi di riepilogo dei contenuti di base necessari. 1.) Dimostrare le seguenti identità vettoriali:

Fisica Generale VI Scheda n. 1 esercizi di riepilogo dei contenuti di base necessari. 1.) Dimostrare le seguenti identità vettoriali: Fisica Gnral VI Schda n. 1 srcizi di ripilogo di contnuti di bas ncssari 1.) Dimostrar l sgunti idntità vttoriali:. A (B C) = B (A C) C (A B) (A B) = ( A) B ( B) A ( A) = ( A) 2 A. suggrimnto: è important

Dettagli

1) La probabilità di ciascun evento elementare è non negativa. 2) La somma delle probabilità di tutti gli eventi elementari vale 1.

1) La probabilità di ciascun evento elementare è non negativa. 2) La somma delle probabilità di tutti gli eventi elementari vale 1. CAPITOLO SECONDO CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Spazi di probabilità, vnti smplici d vnti composti Indichiamo con S lo spazio dgli vnti. Esso è un insim, i cui lmnti sono dtti vnti. Nl lancio di un dado, lo

Dettagli

Statistica multivariata Donata Rodi 04/11/2016

Statistica multivariata Donata Rodi 04/11/2016 Statistica multivariata Donata Rodi 4//6 La rgrssion logistica Costruzion di un modllo ch intrprti la dipndnza di una variabil catgorial dicotomica da un insim di variabili splicativ Trasformazioni da

Dettagli