Oscillazioni libere e risonanza di un circuito RLC-serie (Trattazione analitica del circuito RLC-serie)

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1 Ing. Eleronca - II a Esperenza del aboraoro d Fsca Generale II Oscllazon lbere e rsonanza d un crcuo -sere (Traazone analca del crcuo -sere on quesa breve noa s vuole fornre la raazone eorca del crcuo -sere sa n condzon ransore (oscllazon lbere che n condzon sazonare d oscllazon forzae. Nella noa vengono forne le soluzon complee delle equazone dfferenzal del crcuo nelle due condzon menzonae.. Oscllazon lbere del crcuo sere Per sudare le oscllazon lbere del crcuo consderamo lo schema d Fg.. Negl san successv a ogn sposameno dell nerruore I da una poszone all alra la correne nel crcuo segue un andameno emporale d po oscllaoro smorzao o esponenzale dpendene da valor delle capacà, nduanza e ressenza degl elemen crcual. Per analzzare ale comporameno consderamo n deaglo l caso n cu l nerruore I pass dalla poszone alla poszone (ved Fg.. In queso caso supporremo che Q E sa la carca sulle armaure del condensaore prma del cambo d poszone dell nerruore. Fg. Schema del crcuo per lo sudo delle oscllazon lbere Indcando con Q e rspevamene la carca sulle armaure d e la correne che flusce nel crcuo, s no che possamo scrvere Q d ( d Inolre, dao che dq, ( d l equazone ( può essere rscra nella forma seguene d Q dq Q (3 d d Quesa è un equazone dfferenzale del second ordne le cu soluzon sono del po A exp(-α. Inserendo ale soluzone nella (3 ed effeuando le ovve semplfcazon oenamo l equazone d secondo grado che segue α α, che ha le soluzon

2 α, ± ± ( dove s è poso / e /. Per comodà defnamo anche ( ' (/. Quesa quanà c sarà ule successvamene. I possbl cas sono re: Smorzameno semplce: < S hanno due soluzon real esponenzal e la soluzone generale della (3 è una combnazone d esse; coè α α Q( A e Ae. (5 S no che n queso caso α, α > e che qund enramb gl esponenzal sono decrescen. Imponendo che Q ( Q e che ( [ dq / d] (condzon nzal s oene α α A Q ; A Q (6 α α α α Percò Q α Q α α α α α Q ( ( α e α e ; ( ( e e (7 α α α α (4 Smorzameno crco: Queso è un caso specale; la soluzone generale della (3 nvece d essere una combnazone d esponenzal, è del po seguene / / Q( A e Ae. (8 e condzon nzal deermnano Q A Q e A, (9 e qund / Q / Q( Q e ; ( e ( Oscllazon smorzae: > a (4 ha ora due soluzon complesse e conugae dae da α, ± j ', ( dove j è l unà mmagnara. a soluzone della (3 assume qund la forma (/ j ' (/ j ' Q( A e Ae Imponendo le condzon nzal s ha Q / Q( e 'cos( ' sn( ' ' ( e [ / ( ' ] Q / ( e sn( ' (3 '

3 Quese relazon mosrano che sa la carca che la correne presenano delle oscllazon alla frequenza ' ' / p. Quese oscllazon sono smorzae esponenzalmene dal faore / e. In Fg. è rporao l andameno della correne n funzone del empo per un crcuo sere come quello d Fg., con Q -4 e rad/s. S no che sono sa consdera re cas esamna sopra. Fg.. Oscllazon forzae del crcuo -sere e rsonanza onsderamo ora l crcuo d Fg. 3. A causa della presenza d un generaore d d.d.p. snusodale, dopo una fase ransora, la correne nel crcuo è obblgaa a oscllare snusodalmene. Fg. 3 Schema del crcuo sere con generaore d ensone alernaa Nella presene suazone l comporameno del crcuo è regolao dall equazone seguene d Q d Q V sn( (4 d d dove è la pulsazone della d.d.p. applcaa. Superao l ransoro, a cu non samo neressa n queso caso, la carca sulle armaure del condensaore avrà un andameno del po Q ( Asn( (5

4 dove la cosane A e la fase α saranno funzone de paramer del crcuo (e coè d, e. Per valuarle s deve sosure la (5 nella (4 e verfcare l equazone che ne consegue. Dalla (5 abbamo dq A cos(, (6a d d Q A sn(, (6b d e sosuendo nella (4 s rcava A A sn( A cos( sn( V sn(. (7 Facendo uso delle formule d somma per sen e cosen, che nel nosro caso fornscono le seguen sn( sn( cosα cos( snα, cos( cos( cosα sn( snα la (7 può essere scra nella forma A cosα snα sn( A snα cosα cos( V sn(. ugualanza fra prmo e secondo membro deve valere ad ogn sane e perché cò sa possble debbono concdere (a prmo e secondo membro coeffcen delle analoghe funzon snusodal oscllan. Ponendo X /, la condzone appena espressa corrsponde al ssema seguene [ X snα cosα ] A[ X cosα snα ] V a prma relazone c permee d rcavare cosα X snα anα α arcan X X Sosuendo nella seconda oenamo AX V A[ X cosα X anα snα ] V A cosα cosα X e qund V Q ( cosα sn( X Analogamene, per l nensà d correne abbamo dq( V cosα ( cos( (8 d X Infne, ponendo α ϕ /, s vede faclmene che l nensà d correne può essere scra anche nella forma V snϕ ( sn( ϕ, (9 X e noando che X X anϕ snϕ cosα anα an α X s oene V ( sn( ϕ. ( X e quanà X e Z X sono anche dee reaanza e mpedenza del crcuo. S no che la massma ampezza dell nensà d correne segue la legge

5 V V M X rporaa (n forma normalzzaa ad nel grafco d Fg. 4. ( Fg. 4 ome s può noare dall eq. (, M ( è massma quando /. a frequenza / è dea frequenza d rsonanza del crcuo. S no che a ale frequenza, o equvalenemene per, anche lo sfasameno ϕ ra l nensà d correne e la ensone applcaa V(, par a X / ϕ( arcan arcan, ( s annulla. Vene defno faore d mero o faore d qualà del crcuo, QF, la quanà che segue M ( QF, (3 W ( dove l numeraore della frazone rappresena la massma energa mmagazznaa nell nduanza e W è l energa dsspaa nella ressenza n un cclo, uo calcolao alla frequenza d rsonanza. S vede mmedaamene che (ved la ( V M (, (4 menre Percò W V V V P( d ( d sn ( d sn xdx (5 ( T / / QF (6

6 Ing. Eleronca - II a Esperenza del aboraoro d Fsca Generale II Oscllazon lbere e forzae d un crcuo -sere (Inroduzone eorca o scopo d quesa esperenza è quello d sudare le oscllazon lbere e forzae d un crcuo sere. Il crcuo è composo da un ressore, un condensaore e una nduanza collega n sere fra loro e conness a loro vola ad un generaore d ensone capace, a seconda de cas, d fornre una d.d.p. cosane a ra (onda quadra o alernaa snusodale (ved crcuo schemazzao n fgura. V unco srumeno d msura è un osclloscopo, araverso cu s porà rlevare, n conemporanea, la d.d.p. forna dal generaore, V, e quella a cap della ressenza, V. Essendo V, l confrono ra V e V permeerà anche la msura, nella seconda pare dell esperenza, dello sfasameno ϕ ra ensone e correne. on l esperenza c s propone d valuare l comporameno del crcuo nelle due dverse condzon d lavoro. I a fase: Smorzameno e Oscllazon Smorzae In ale fase l generaore dovrà fornre una d.d.p. con forma d onda quadraa. I fron rpd d una ale forma d onda hanno lo scopo, come nel caso del crcuo, d rmpazzare le chusure e aperure dell nerruore. Successvamene ad ogn frone d onda, a seconda del valore della ressenza crcuale, V mosrerà dvers andamen assoca a regm d smorzameno semplce o oscllazon smorzae vs nella raazone eorca del crcuo. Dopo aver deermnao spermenalmene la ressenza crca del crcuo, la caraerzzazone delle oscllazon del crcuo dovrà essere effeuaa rlevando l andameno del cosddeo decremeno logarmco n funzone d sessa. Tale quanà corrsponde a dove e sono le ampezze de prm due pcch posv presena dall nensà d correne quando l crcuo è n regme d oscllazon smorzae (ved Fg.. Queso paramero può essere ulzzao per quanfcare la velocà con cu le oscllazon s smorzano. Infa ulzzando l eq. (3, osservamo che due pcch sono poszona a 5 / ', rspevamene, e percò ' e /

7 ' ( ( ' e che, una vola sosu valor d e, dvena / ( Da quesa possamo vedere che per / << l decremeno logarmco dvena essenzalmene proporzonale ad. In effe, n quese condzon poremmo scrvere II a fase: Oscllazon Forzae e sonanza In ale fase l generaore dovrà fornre una d.d.p. snusodale e la ressenza crcuale dovrà essere fssaa ad un deermnao valore. In al condzon, la d.d.p. V, anche se sempre snusodale, mosrerà un ampezza e una sfasameno (rspeo a V dpendene dalla frequenza della ensone V forna dal generaore sesso. Dopo aver deermnao la frequenza d rsonanza (corrspondene allo sfasameno nullo, s dovrà deermnare la cosddea curva d rsonanza del crcuo, e coè s dovrà rporare n grafco l valore d V /V n funzone della frequenza applcaa. Po, per caraerzzare la qualà della rsonanza s dovrà deermnare l faore d qualà del crcuo QF. Il suo valore può essere valuao spermenalmene araverso un anals della curva d rsonanza. Infa, se s valuano valor d (o n cu M ( è par ad ( / M (ved e n Fg. 4 allora QF Quesa relazone è ano pù precsa quano pù la curva d rsonanza è srea norno ad e qund s suggersce d ulzzare una ressenza non roppo elevaa.