( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CAPITOLO VII DERIVATE. (3) D ( x ) = 1 derivata di un monomio con a 0

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1 CAPITOLO VII DERIVATE. GENERALITÀ Defiizioe.) La derivata è u operatore che ad ua fuzioe f associa u altra fuzioe e che obbedisce alle segueti regole: () D a a a derivata di u moomio D 6 D 0 D () D ( a ) a 0 0 derivata di u moomio co D , D ( ) 0 0, D () D ( ) derivata di u moomio co a 0 () D ( c ) 0 D ( ) 0, D ( 0) 0, D 0 derivata di ua costate () D ( ) derivata di u moomio co a 0 Più i geerale risulta: α (.) D ( ) α α ( α reale qualsiasi )

2 Ricordado le regole delle poteze: a) a a b) a c) a a a seguoo varie proprietà applicate ei segueti D ( ) D, D, D 8 8, D ( ), Se α allora si ha: D che si può scrivere, i modo più semplice, come segue: (6) D ( ) derivata della radice -esima D, D, D Più i geerale si ottiee: [ ] (7) D f f ' [ f ] derivata della radice-esima di ua fuzioe ( ) D ( ) ( ) 6

3 6 D D ( ) ( 6 ) ( ) ( 6 ) ( 6 ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] D a f ± b g a D f ± b D g derivata della somma ( o differeza ) e liearità (8) D 7 6 D D 7D 6D D 6 6 6D D D 6D 8 D 7 D 7D 7 [ ] [ ]' ' ' D f g f g f g f g derivata del prodotto (9) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D 0 [( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D [( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) D (0) D f g f g ', g f ' g f g [ ] g 0 derivata del quoziete 7

4 D D D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () [ ] [ ] [ ] [ ] D f g f '... g'... f ' g g' derivata di fuzioi composte ( ) ( ) ( ) D 8 [ ] D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 7 ) D [( ) ] ( ) ( ) ( ) ( 6 ) D 7 ( ) 7 f f () D [ e ] e f ' derivata di fuzioi espoeziali ( ) ( ) ( 7 ) ( 9 7) D e e e D e e e 8

5 ( ) ( ) e ( ) ( ) D e e e ( ) ( ) ( ) 6 D e e e 6 e 0 ( ) [ ] () D l f f ' f derivata di fuzioi logaritmiche D [ l( ) ] ( ) 6 [ l( ) ] ( ) D D l 0 0 ( ) ( ) ( ) Osservazioe: riteiamo opportuo richiamare l attezioe dello studete su alcue proprietà dei logaritmi che si rivelerao particolarmete utili soprattutto per lo studio di fuzioi: log b c log b log c co a, b > 0 e a a a a b loga loga b loga c c co a, b, c > 0 e a loga loga( b ) b log b co a, b > 0 e a e itero positivo a loga b co a, b > 0 e a e itero positivo log a a co a > 0 e a log a 0 co a > 0 e a log a 0 co a > 0 e a log b N loga N formula del cambio di base co N itero positivo log b a 9

6 Ioltre, sfruttado la defiizioe classica di logaritmo, è facile verificare l equivaleza delle segueti espressioi: z log b ; a b ; a log a b b ; a z I geerale si è soliti idicare co l o ache co log il logaritmo aturale o Neperiao, cioè i base e.. TABELLA DELLE DERIVATE PIÙ COMUNI Riportiamo qui di seguito ua tabella riassutiva delle derivate di alcue fuzioi elemetari, scrivedo a siistra la fuzioe e, ella stessa liea, a destra, la sua derivata: c ' 0 ', ℵ ' α, α R e > 0 ' α α ' m, > m si ' cos cos ' si ' m m tg ' cos ctg e ' e a, a > 0 ' a loga l, > 0 tg ' cotg si ' ' ( l) log a, > 0, a > 0, a ' log a e 0

7 arcsi, π < < π arccos, 0 < < π arctg arcctg ' ' ' ' Riportiamo adesso u eleco di derivate di fuzioi elemetari otteuto dalla tabella precedete sostituedo alla variabile idipedete ua certa fuzioe f ( ) di cui si coosca la derivata ed applicado poi la regola di derivazioe delle fuzioi composte: [ f ] ' f [ ] ' f f ' f ' f [ ] f m ' m [ ] f m si f ' cos f f ' cos f ' si f f ' tg f ' f f ' cos ctg f ' si f f ' arcsi f ' [ f ] f ' arccos f ' [ f ] f ' arctg f ' [ f ] f ' arcctg f ' [ f ] f '

8 e f a f ' f ' e f ' f ' a l a f l f ' f f ' log a f ' f [ f ] g logae f ' g [ ] ( ) g ' f g' log f f f '

9 ESERCIZI PROPOSTI Calcolare le derivate delle segueti fuzioi poliomiali: [6] 7 [] [] 6 [6 6] [ ] [8] [ ] [ ] [] [8] [8] [ 8] [ ] 7 [ ] 8 7 [0 7 ] 9 [ ] ( )( ) [6 8 7] ( )( ) [ ] ( ) [0( ) ] ( ) [ ( )( ) ] ( )( ) [6 0 ] ( ) ( 7) [( )( 7) ( 98 7)] ( )( ) [6 8 7] ( )( ) [ 8 ]

10 ( )( ) [( 0 6 6)] ( )( ) [(0 6 8)] (8 ) 0 [80(8 ) 9 ] ( ) ( ) [( )( )] ( )( ) [( )( )] ( ) ( ) [( )( ) ] ( ) ( ) [( )( 6 6 )] ( ) ( ) [( )( ) ( )] ( ) ( ) [( ) ( ) (0 )] ( 6 )( ) 8 [6( ) 7 (7 6 )] ( ) ( ) 7 [( 7 0 )( ) ( ) 6 ] ( ) ( ) [( )( 8 )] ( ) ( )] [( ) (7 ) ( )] Calcolare le derivate delle segueti fuzioi razioali fratte: ( ) ( )

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13 ( 6 ) ( ) ( 8 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) Calcolare le derivate delle segueti fuzioi irrazioali: 7 7 ( 7) 7

14 6 ( ) ( ) ( 6 ) ( ) 8 ( ) 8 ( )

15 ( ) ( ) ( )

16 8 9 ( 8) 0 7 ( ) 8 7 ( ) ( ) ( 9 6) ( ) ( ) Calcolare le derivate delle segueti fuzioi espoeziali e logaritmiche: ( ) l l 0

17 e [e ] e e e [()e ] e e l [l ] l [l ] e e e e l l l e e [e ( )] e ( e ) [e ( e )] e ( 7) [e ( 6)] l l 6l 6 [l ] (l) [(l) (l )] l 6 l [ 8 l 0 l l 0l] l (l ) [(l )(l )] l [(l )] l [(l )] l [l (l )] l l ( ) l l

18 l l l 7l l l ( l l l 6) l ( ) l l l( 7 7 8) 78 l l l e ( ) e e l e ( ) l ( ) l ( 8) l l 8 8 ( ) l ( )( )

19 ( ) l ( ) l( ) l l ( ) l e l e l l e l ( ) 6 l ( ) e e e e l e e e e ( ) ( ) e l l ( l ) l l l e ( ) l e l( ) l e e

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