Lo studio dell evoluzione libera nei sistemi dinamici

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1 Lo studio dell evoluzione libera nei sistemi dinamici December, Un sistema lineare, dinamico, a dimensione finita e continuo (ovvero in cui il tempo t appartiene all insieme dei reali) può essere descritto tramite una rappresentazione implicita con lo stato strutturata in questo modo: x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) x(t ) = x x è un vettore che identifica lo stato iniziale, e la sua dimensione n è detta dimensione del sistema o dello spazio di stato. x(t) dunque rappresenta lo stato : lo stato è una variabile dei sistema che ad ogni istante t descrive totalmente la situazione corrente, e in più permette di caratterizzare (analizzati gli ingressi) il comportamento futuro: si tratta quindi di un risultato parziale interno. Molto facilmente si può vedere la derivazione del vettore di stato di un sistema dal concetto di stato che abbiamo visto nel corso di Calcolatori. u(t) rappresenta il vettore di ingressi al tempo t. Chiamiamo p il numero di ingressi. y(t) rappresenta l uscita al tempo t. Chiamiamo q la grandezza del vettore delle uscite. A, B, C e D sono 4 matrici descrittive del sistema: le loro dimensioni sono A=nxn, B=nxp, C=qxn e D=qxp. D in particolare esprime un legame diretto fra gli ingressi e le uscite: come spesso succede, non c è nessun legame di questo tipo, e D è semplicemente posto a. Si può passare facilmente ad una rappresentazione esplicita del sistema risolvendo le equazioni differenziali. La prima è un equazione differenziale lineare non omogenea. La soluzione è quindi somma della soluzione dell omogenea associata più un fattore particolare dovuto al coefficiente diverso da. x (t) = a x(t) x(t) = e a(t t) x

2 La seconda parte la scriviamo direttamente in forma integrale, essendo troppo complessa per essere risolta: t t e a(t τ) bu(τ)dτ Tutto ciò è generalizzabile per coefficienti a e b matriciali e non scalari. L espressione della risposta si ottiene per sostituzione. t y(t) = c e a(t t) x + [ce a(t t) b + du(τ)]dτ t In realtà, siccome adesso stiamo lavorando con sistemi stazionari, l istante iniziale t non è importante, e può essere posto a per comodità. Infatti, il comportamento di un sistema stazionario resta invariato rispetto alla traslazione temporale: se a distanza di tempo inseriamo gli stessi ingressi e ci troviamo nello stesso stato, l uscita sarà sempre la stessa. Non cambia se osservo il sistema in un intervallo di tempo [t, t ] o se lo osservo al tempo [t + m, t + m] con m arbitrario. Ora diamo un po di definizioni relative a questa rappresentazione. φ(t) = e At è detta matrice di transizione dello stato. Se u(t) =, abbiamo che φ(t) x rappresenta proprio l evoluzione libera nello stato del sistema, ovvero come si evolve lo stato del sistema quando non l ingresso è permanentemente nullo. Un esempio potrebbe essere un motore che continua a girare in un ambiente chiuso ed isolato, e di cui vogliamo studiare l usura al mancare di stimoli esterni (che potrebbero essere particelle di polvere o carburante di bassa qualità, che modificano il corso dell evoluzione del nostro motore). h(t) = e At B è la matrice delle risposte impulsive. Viene chiamata così in quanto se prendiamo l ingresso pari all impulso centrato in, l evoluzione forzata è proprio pari ad H(t) per un importante proprietà della funzione impulso di Dirac. x f (t) = t e Aτ Bu(τ)dτ è l evoluzione forzata, ovvero il cambiamento di stato in presenza di determinati ingressi estesi per un intervallo di tempo. Il fatto che l evoluzione libera e quella forzata in somma diano proprio x(t), cioè l evoluzione totale del sistema, è un importante proprietà dei sistemi lineari. ψ(t) = Ce At è la matrice di transizione in uscita. W (t) = Ce At B + Dδ(t) identifica la risposta impulsiva del sistema. Anche per l uscita distinguiamo un uscita forzata e una libera: y L (t) = ψ(t) x y F (t) = t W (t τ)u(τ)dτ

3 Notiamo che l uscita forzata è un integrale di convoluzione fra la risposta impulsiva e l ingresso. Se conosciamo la risposta impulsiva infatti possiamo calcolare la risposta per qualsiasi altro tipo di ingresso: per questo si dice che W(t) è un modello matematico per il comportamento forzato, ovvero può sempre descriverlo. Prima di parlare in dettaglio dell evoluzione libera, un ultima premessa: come è possibile calcolare l esponenziale di una matrice. Se A è uno scalare, conosciamo la funzione esponenziale. Se A è diagonale con λ,..., λ n scalari sulla diagonale principale, allora e λt... e At e λt... = e λnt Se A non è diagonale, allora esiste una matrice simile diagonale e una matrice invertibile T tale che In questo caso: A = T DT e At = T e Dt T e sappiamo calcolare questo nuovo esponenziale. Motivo: e At = I + ta + t A tk k! Ak È uno sviluppo in Taylor noto, generalizzato al caso di esponente sotto forma di matrice. Quindi ) e T DT = T T +tt DT + t T D T tk k! T D k T = T (I + ta tk k! Ak T = T e Dt T Calcolo dell evoluzione libera di un sistema Prendiamo la matrice generica A tale che essa possieda un autovalore reale λ e una coppia di autovalori complessi coniugati λ, = α ± jω. Da qui calcoliamo gli autovettori destri ponendo (A λ i I)u i =. Nel caso della coppia di complessi coniugati, possiamo risolvere l equazione in modo da ottenere un autovettore delle parti reali u a e un autovettore delle parti immaginarie u b, che ci serviranno in seguito. Poi calcoliamo gli autovettori sinistri ponendo v i (A λ i I) =. Anche qui vale lo stesso discorso. 3

4 A questo punto possiamo definire le matrici T, T e Λ in questo modo T = ( u u a u b ) T = Λ = v t v t v t 3 λ α ω ω α Ovviamente se abbiamo più di un autovalore reale, essi saranno posti in fila sulla diagonale principale, e lo stesso vale per i blocchetti relativi agli autovalori complessi. Notiamo che è una matrice diagonale a blocchi, ma questo non ci modificherà di molto il calcolo dell esponenziale. Infatti l autovalore reale viene modificato in e λ, mentre il blocco viene considerato separatamente: α ω ω α e t ( = e αt cos ωt sin ωt sin ωt cos ωt A questo punto abbiamo quello che ci serve per calcolare e At usando quella che viene chiamata una forma spettrale generalizzata. φ(t) = e λt u v t + e αt [( u a va t + u b vb) t ( cos ωt + ua vb t u b va t ) ] sin ωt Ovviamente se abbiamo più di un autovalore tutto ciò sarà ripetuto per tutti. Moltiplicando tutto per x introduciamo alcune notazioni per semplificare. Intanto poniamo v t i x = c i per ogni autovettore sinistro. Questi nuovi scalari definiscono le componenti di x rispetto agli autospazi generati dagli u i. Allo stesso modo otteniamo c a = v t a x e c b = v t b x che invece definiscono le componenti rispetto al piano individuato da u a, u b. Chiamiamo poi m = c a + c b e moltiplico e divido la parte complessa della funzione per m [( x L (t) = c e λt u + me αt c a u a m + u c ) ( b c b b cos ωt + u a m m u c ) ] a b sin ωt m A questo punto scelgo uno scalare ϕ tale che sin ϕ = ca m sappiamo già la proprietà cos ϕ + sin ϕ = sarà rispettata. ) e cos ϕ = c b m, e x L (t) = c e λt u +me αt [(cos ωt sin ϕ + sin ωt cos ϕ) u a + (cos ωt cos ϕ + sin ωt sin ϕ) u b ] Applicando le proprietà trigonometriche: 4

5 x L (t) = c e λt u + me αt [sin(ωt + ϕ)u a + cos(ωt + ϕ)u b ] L evoluzione libera è quindi caratterizzata dalla combinazione lineare di evoluzioni indipendenti dello stato iniziale lungo un autospazio secondo una determinata legge di moto. Queste evoluzioni sono chiamati modi naturali. Lo studio dei modi ci permette, conoscendo gli autovalori di A, di sapere come si evolverà lo stato del sistema a partire da un vettore iniziale. I termini associati ad autovalori reali sono detti modi naturali aperiodici: la loro legge di moto è esponenziale, comandata dal solo autovalore ed è limitata dalla direzione dell autovettore corrispondente. Se l autovalore è nullo, si rimane nello stato iniziale; se è positivo, l evoluzione diverge allontanandosi dall origine; se è negativo, converge verso l origine. Nel caso di evoluzioni decrescenti verso l origine possiamo definire un parametro descrittivo, detto costante di tempo e definito come τ = λ : questo ci dice il tempo necessario all evoluzione per essere uguale a quella iniziale per un fattore /e. I termini associati a coppie di autovalori complessi sono i modi naturali pseudoperiodici: la legge è ancora esponenziale ma con una parte periodica di seno e coseno dovuta alla presenza della parte immaginaria. L evoluzione questa volta non è limitata ad un vettore, ma al piano individuato dai due autovettori. Se alpha=, l evoluzione è descritta dal seno lungo u(a), dal coseno lungo u(b). Abbiamo quindi un ellisse. Se alpha>, c è un inviluppo dovuto alla legge esponenziale, quindi una spirale divergente; se alpha< la spirale converge nell origine del piano. Le leggi di moto sono oscillanti convergenti (smorzati) se alpha<, oscillanti costanti se alpha=, oscillanti divergenti se alpha>. La pulsazione è pari alla parte immaginaria dell autovalore. Anche qui definiamo due parametri, la pulsazione naturale e lo smorzamento. ω n = α + ω ξ = α ω n La pulsazione naturale descrive quale sarebbe la pulsazione del sistema se non ci fosse la parte reale. Lo smorzamento (diverso da solo se c è una parte reale non nulla) descrive proprio l allontanarsi del sistema da questa situazione ideale a causa della presenza della legge esponenziale. Infatti quando alpha< lo smorzamento è positivo, e indica la velocità di convergenza della legge di moto. Ovviamente è anche possibile che, nonostante A sia regolare, si abbiano molteplicità algebriche non unitarie. Niente panico: la regolarità ci assicura che esistono comunque un numero di autovettori pari alla molteplicità algebrica. Si avranno quindi o più modi coincidenti, descritti dalle stesse leggi di moto ma con coefficienti diversi. 5

6 Esempio pratico Calcolare l evoluzione libera dello stato in questo sistema a tempo continuo: A = con x = Il calcolo degli autovalori ci porta λ = e la coppia di complessi coniugati ± j Gli autovettori destri: Da cui si ricavano: Gli autovettori sinistri: u = u = + j u 3 = j u a = u b = v = u v = v 3 = j j +j j 6

7 T = ( u u a u b ) = e Λt = Λ = et e t cos t e t sin t e t sin t e t cos t Possiamo passare alla forma spettrale generalizzata. l unico modo naturale aperiodico = Analizziamo prima x L (t) = e λt u v t x c = ( ) x L (t) = e t u = = Adesso un modo naturale pseudoperiodico. c a = ( ) = c b = ( ) = e t m =, ϕ = + kπ x L (t) = e t sin t + cos t = e t sin t e t (cos t sin t) Per il terzo modo pseudoperiodico, quello che descrive il complesso coniugato, si procede allo stesso modo. 7

8 Conclusioni Segnalatemi eventuali errori in questa dispensa, sicuramente qualcuno ne ho lasciato (o se proprio siete così gentili da volermi fare tanti complimenti...). Lisa 8