Esercizi su spazi ed operatori lineari

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1 Esercizi su spzi ed opertori lineri Corso di Fisic Mtemtic 2, Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno 23 Ottobre Spzio L 2 Esercizio 1. Per = 0, b = 1, dire quli delle seguenti funzioni pprtengono llo spzio L 2 [, b]: i) e x, ii) (x 1) /3, iii) 1/ sin(x), iv) exp[(x 1) ]/ sin 2 (x 1). Esercizio 2. Per =, b =, dire quli delle seguenti funzioni pprtengono llo spzio L 2 [, b]: i) e x, ii) (x 2 3) /3, iii) (x 2 3) 2/5, iv) exp[2x x 2 ]. Esercizio 3. Come devono essere e b perché si bbi e x L 2 [, b]? Esercizio 4. Introducendo il peso w(x) = k/π exp[ kx 2 /2] con k rele e positivo, come devono essere e b per vere e x L 2 [, b; w]? Esercizio 5. Sino = 0, b = π, e f = sin(x), g = exp(ix). Clcolre f 2, g 2, e (f, g). Verificre l disuguglinz di Schwrz. Esercizio 6. Sino = 0, b = π, e f = sin(x), g = cos(x), h = sin(2x). Clcolre le norme delle funzioni ed i prodotti sclri tr loro; verificre l disuguglinz di Schwrz. 1

2 2 Opertori lineri Esercizio 7. Dire quli dei seguenti opertori sono lineri: i) A(f) = f(x) + 1, ii) A(f) = f 2 (x) 25, iii)a(f) = df/ + log(f(x)), iv) A(f) = v) A(f) = K(x, y) exp[f(y)] dy, K(x y) f(y) dy. Esercizio 8. Se A è utoggiunto, cioè A = A +, come deve essere l funzione polinomile F perché si [F (A)] + = F (A)? E se A è nti-utoggiunto, cioè A + = A? Esercizio 9. Si S lo spzio delle funzioni f : R C tle che f (n) (x) 2 < n = 0,..., N. Come devono essere i coefficienti c k in A = N k=0 c k d k k ffinché l opertore A definito su S si utoggiunto? Esercizio 10. Se A = A + e B = B +, qul è l condizione perché risulti (AB) + = (AB)? Esercizio 11. Clcolre i commuttori [x, d/] e [F (x), d/]. Esercizio 12. Sino A = 1 2 ( x + Clcolre A +, B + e H = AB, K = BA. ; B = 1 2 ( x. Esercizio 13. commuttori Con l notzione dell esercizio precedente, clcolre inoltre i [A, B], [H, A], [H, B]. 2

3 3 Autovlori ed utofunzioni Esercizio 14. Si consideri l opertore A = d/. Clcolre le utofunzioni corrispondenti gli utovlori λ k = k N. Anlogmente per l opertore B = id/. Esercizio 15. Si consideri l opertore A = id/ in L 2 [, ]. Determinre tutte le sue utofunzioni ed i reltivi utovlori. Esercizio 16. Si consideri l opertore A = d 2 / 2 in L 2 [, ]. Determinre A +, nonché tutte le utofunzioni ed i reltivi utovlori di A. Esercizio 17. Si consideri l opertore A = id/ in L 2 [0, 2π]. Determinre tutte le sue utofunzioni ed i reltivi utovlori. Esercizio 18. Si consideri l opertore A = d 2 / 2 in L 2 [0, 2π]. Determinre A +, nonché tutte le utofunzioni ed i reltivi utovlori di A. 4 Altri esercizi Esercizio 19. Si S lo spzio delle funzioni C d R 3 in R; si L : S S l opertore differenzile L = x 2 x x y y + z z. Mostrre che S è uno spzio linere e che L è un opertore linere; determinre il nucleo di L. Come cmbi l rispost se S è invece lo spzio delle funzioni C d B R 3 in R, con B definito d x 1? Esercizio 20. Si consideri lo spzio di funzioni H = L 2 [, 1] dotto del prodotto sclre stndrd (f, g) = +1 f (x) g(x), e su questo l opertore linere A che ssoci d f H l funzione g = A[f] := K(x, y) f(y) dy ; K(x, y) := 1 + xy. Mostrre che, per ogni f H, si h g H. Inoltre, determinre: (1) il rnge di A e l su dimensione; (2) il nucleo di A, l su dimensione e codimensione; (3) l ggiunto A + di A; (4) infine, determinre utovlori ed utofunzioni di A. [Suggerimento: può essere utile esprimere A in un form equivlente, fcendo uso del prodotto sclre in H. L esercizio sembr ssi complesso, m è in reltà semplice.] 3

4 5 Soluzioni 5.1 Spzio L 2. E opportuno ricordre che L 2 [, b] è lo spzio delle funzioni f : [, b] R che hnno norm qudrt finit, con f 2 := f(x) 2. Esercizio 1. i) Per f(x) = e x, risult d un integrzione dirett che f 2 = (e 2 1)/2 <, e f L 2 [0, 1]. ii) llo stesso modo, per f(x) = (x 1) /3 bbimo f 2 = 3 <, e f L 2 [0, 1]. iii) Per f(x) = 1/ sin(x), è opportuno considerre I(ε) := ε f(x) 2 = ε 1 sin(x) ; nell intervllo di interesse il seno è positivo (e così il coseno); inoltre [1/ sin(x)] = log[sin(x/2)] log[cos(x/2)]. Risult quindi I(ε) = {log[sin(1/2)] log[cos(1/2)]} {log[sin(ε/2)] log[cos(ε/2)]} ; nel limite ε 0, questo diverge. Quindi f(x) 2 = e l funzione non pprtiene d L 2 [0, 1] (notimo per inciso che pprtiene invece d L 1 [0, 1]). iv) Infine, per f(x) = exp[(x 1) ]/ sin 2 (x 1), è sufficiente notre che l funzione è limitt in [0, 1], e quindi l su norm L 2 è nch ess limitt, e f L 2 [0, 1]. Esercizio 2. i) Per f(x) = e x bbimo f 2 = e 2b e 2, che nel cso in oggetto diverge; f L 2 [, ]. ii) Per f(x) = (x 2 3) /3, l integrle generle (che si può trovre sulle tvole degli integrli) fornisce un espressione in termini di un funzione ipergeometric, che diverge con i limiti di integrzione scelti; f L 2 [, ]. iii) Lo stesso vviene per f(x) = (x 2 3) 2/5 ; nche in questo cso f L 2 [, ]. iv) Per f(x) = exp[2x x 2 ], bbimo un integrle Gussino; più precismente risult f 2 = e 2 π/2 < ; in questo cso f L 2 [, ]. Esercizio 3. Per f(x) = e x bbimo f 2 = e 2b e 2, con < b; per l convergenz è quindi necessrio e sufficiente che e b sino finiti. 4

5 Esercizio 4. In questo cso bbimo f 2 = (k/π) e 2x e kx2 /2 = (k/π) Si trtt di un integrle Gussino, sempre finito per k > 0. e ( (kx2 /2)+2x). Esercizio 5. E sufficiente ricordre l definizione di norm ed effetture delle integrzioni elementri. Risult sin(x) 2 = π/2, e ix 2 = π, (sin(x), e ix ) = π 0 sin(x) e ix = 1/4. In effetti, l disuguglinz di Schwrz (f, g) 2 f 2 + g 2 in questo cso diviene (1/16) π 2 /4 + π 2 = (5/4)π 2, che è senz ltro ver. Esercizio 6. Abbimo or f 2 = g 2 = h 2 = π/2 ; (f, g) = 0, (f, h) = 0, (g, h) = 4/ Opertori lineri Esercizio 7. i) Abbimo A(f + g) = f(x) + g(x) + 1 A(f) + A(g), quindi questo opertore non è linere. ii) Anche in questo cso, A(f +g) = f 2 (x) + g 2 (x) + 2f(x)g(x) 25 A(f)+ A(g), e l opertore non è linere. iii) Or risult A(f + g) = df/ + dg/ + log(f(x) + g(x)) df/ + dg/ + log(f(x)) + log(g(x)) = A(f) + A(g); l opertore non è linere. iv) In questo cso, v) In questo cso, A(f + g) = A(f) + A(g) = A(f + g) A(f) + A(g). K(x, y) exp[f(y) + g(y)]dy ; K(x, y) (exp[f(y)] + exp[g(y)]) dy ; A(c 1 f + c 2 g) = K(x y) [c 1 f(y) + c 2 g(y)] dy = c 1 A(f) + c 2 A(g). 5

6 L opertore è linere. Esercizio 8. Un polinomio si scrive come n F (A) = k=0 c k A k, dove A k = A... A. Nturlmente, (A k ) + = (A + ) k. Quindi nel cso A = A + bbimo sempre (A k ) + = (A + ) k = (A) k, ed ogni funzione polinomile fornisce un opertore utoggiunto. Nel cso A + = A + bbimo immeditmente, rgionndo llo stesso modo, che (A k ) + = () k A k, quindi l opertore identificto dll funzione F (A) è utoggiunto se il polinomio F (A) contiene solo potenze pri, ntiutoggiunto se contiene solo potenze dispri. Esercizio 9. Ricordimo che A + è definito d Nel nostro cso, ricordndo che (A + f, g) = (f, Ag) f, g S. (f, Ag) = + f(x) c k d k g(x) k e che lim x f = lim x g = 0, possimo ottenere l opertore ggiunto integrndo per prti (l possibilità di scmbire l somm e l integrle nel cso di somm infinit non è stt discuss, m in questo cso l somm è finit); bbimo, grzie ll nnullrsi dei termini di bordo, + f(x) dk g(x) k Quindi in tutt generlità A + = = () k N () k c k k=0 + d k k ; d k f(x) k g(x). ne segue che A + = A se e solo se c k = 0 per tutti i k dispri. Esercizio 10. Con l ipotesi A = A +, B = B +, bbimo (AB) + = B + A + = BA. L condizione cerct è quindi che si [A, B] = 0. Esercizio 11. I commuttrori possono in generle essere clcolti pplicndoli d un funzione generic f. Abbimo [x, d/] f = x(df/) (d/)(xf) = x(df/) f xdf/ = f, quindi [x, d/] = id; [F (x), d/] f = F (df/) (d/)(f f) = F (df/) (df/)f F (df/) = (df/)f, 6

7 quindi [x, d/] = (df/) id. Esercizio 12. Se A = c 1 A 1 + c 2 A 2, llor A + = c 1A c 2A + 2. Dto che (come clcolto si lezione che nell soluzione dell esercizio 3 qui sopr) risult (d/) + = (d/), ed ovvimente x + = x = x, bbimo A + = 1 ( x = B ; B + = 1 ( x + = A. 2 2 Qunto d H = AB, bbimo quindi H(f) = A[B(f)] = (1/2)A[xf (df/)] = (1/2) [x 2 f x(df/) + f + x(df/) (d 2 f/ 2 )] = (1/2) [(x 2 + 1)f (d 2 f/ 2 )] ; H = 1 2 Allo stesso modo, per K = BA risult quindi K(f) = [(x 2 + 1) d2 2 B[A(f)] = (1/2)B[xf + (df/)] = (1/2) [x 2 f + x(df/) f x(df/) (d 2 f/ 2 )] = (1/2) [(x 2 1)f (d 2 f/ 2 )] ; K = 1 2 [(x 2 1) d2 2 ] ].. Esercizio 13. Possimo procedere si per clcolo diretto, si usndo i risultti dell esercizio precedente, cos che fremo qui. Inftti [A, B] = AB BA = H K; dll esercizio precedente risult immeditmente H K = [A, B] = 1. Inoltre risult con semplici clcoli (usndo l espressione di H e K determint sopr) che [H, A] = 1 ( x + = A ; [H, B] = 1 ( x = B. 2 2 Abbimo nche [K, A] = 1 2 ( x + = A ; [K, B] = 1 2 ( x E inoltre fcile clcolre il commuttore di H e K; risult [H, K] = 0. = B. 7

8 5.3 Autovlori ed utofunzioni Esercizio 14. Per A, l determinzione delle utofunzioni si riduce ll soluzione di df k / = λ k f k, che h soluzione f(x) = exp[kx] e quindi (per λ k = k) f k (x) = c k e kx dove le c k sono costnti rbitrrie (e non si h somm sull indice k). Anlogmente, per B le utofunzioni cercte sono f k (x) = c k e ikx. Esercizio 15. Le utofunzioni φ k e di reltivi utovlori λ k sono ( meno dell costnte moltiplictiv rbitrri, che qui non scrivimo per semplicità) φ k (x) = e ikx, λ k = k ; k R. Esercizio 16. L ggiunto A + è, come risult dgli esercizi precedenti, A + = A; qunto d utovlori ed utofunzioni, φ k = e ikx, λ k = k 2 k R. Esercizio 17. In questo cso, φ k = e ikx, λ k = k k C. (Si noti che non bbimo richiesto l periodicità delle funzioni, m solo l loro pprtenenz d L 2 [0, 2π]. L periodicità vrebbe imposto k R nziché k C) Esercizio 18. In questo cso, φ k = e ikx, λ k = k 2 k C. (Si noti ncor che non bbimo richiesto l periodicità delle funzioni, m solo l loro pprtenenz d L 2 [0, 2π]. L periodicità vrebbe imposto k R nziché k C.) 8

9 5.4 Altri esercizi Esercizio 19. L linerità di S è evidente, così come quell di L (che discende dll linerità dell operzione di derivzione). Il nucleo di L corrisponde lle funzioni u S che soddisfno l equzione differenzile x 2 u x x y u y + z u z = 0 ; si trtt di un PDE linere ed omogene del primo ordine. Per risolvere quest è conveniente utilizzre il metodo delle crtteristiche (ed in effetti il senso dell esercizio è quello di fr rimrcre l relzione con quest ultimo). Abbimo e quindi x 2 = dy xy ; x = dy y log(x) = log(y) + log(c 1 ) ; x y = c 1 = ζ 1. Usndo or nche il coefficiente di u z, bbimo e quindi, Quest fornisce dy ζ 1 = dz z y ζ 1 = log(z) log(c 2 ). z e 1/x = c 2 = ζ 2. In conclusione, il nucleo di L come opertore sullo spzio delle funzioni differenzibili trtti corrisponde lle funzioni u(x, y, z) S dell form u = F [ζ 1, ζ 2 ] = F [xy, ze 1/x ]. In pprenz F sembr essere un funzione rbitrri, m ricordimo che u deve essere C ; d ltr prte, ζ 2 h un singolrità in x = 0. Quindi le F risultno in effetti ssi condizionte d quest richiest, e dobbimo chiedere u = f(ζ 1 ), con f un funzione rbitrri purché C. Se definimo S come lo spzio delle funzioni C d B in R, il problem dell singolrità non si present, e dunque il nucleo di L diviene l insieme delle funzioni con F funzione C dei suoi rgomenti. u = F (ζ 1, ζ 2 ) Esercizio 20. Inizimo con l osservre che K(x, y) è limitto in [-1,1]; dunque è evidente che f H = L 2 [, 1] ssicur A[f] H. 9

10 Inoltre, notimo che si può scrivere A[f] in termini del prodotto sclre di f con le funzioni 1 ed x: inftti A[f] = = = K(x, y), f(y) dy (1 + xy), f(y) dy f(y) dy + x = (1, f) + x(x, f). In ltre prole, possimo riscrivere A come y f(y) dy A(f) = (1, f) 1 + (x, f) x. ( ) Risult or più semplice rispondere lle diverse questioni. (1) Dto che evidentemente (1, f) ed (x, f) possono ssumere qulsisi vlore l vrire di f H, vremo (con α, β costnti) Rn(A) = {α + β x} C 2. (2) Per determinre il nucleo di A, possimo nuovmente ricorrere ll (*): f Ker(A) deve evidentemente soddisfre (1, f) = 0 = (x, f). Si trtt del complemento ortogonle Rn(A), ed h evidentemente dimensione infinit, e codimensione due. (3) Per determinre A +, si h H un generic funzione; llor deve essere (h, Af) = (A + h, f). Usndo l rppresentzione (*) per A, bbimo fcilmente (h, Af) = (h, 1) (1, f) + (h, x) (x, f) ; ( ) voglimo or vedere questo come il prodotto sclre di f con un elemento h = A + h di H. In effetti, (**) si può scrivere come ( (h, 1) 1 + (h, x) x, f ) = (h, 1) (1, f) + (h, x) (x, f) dl che vedimo immeditmente che (ricordimo che x R) A + h = (1, h) 1 + (x, h) x = Ah. In ltre prole, A + = A. 10

11 (4) E evidente che le utofunzioni di A devono essere in Rn(A), e quindi dell form f(x) = + b x := F b (x). Per funzioni di quest form bbimo A[F b ] = = K(x, y) f(y) dy (1 + xy) ( + by) dy = b x. Autovlori ed utofunzioni sono quindi determinti d A[F b ] = b x = λ F b = λ [ + bx] e le soluzioni sono evidentemente dte d λ 1 = 2, Φ 1 = 1 ; λ 2 = (2/3), Φ 2 = b x. A queste si ggiungono tutte le funzioni del nucleo di A, che sono utofunzioni con utovlore zero. 11